О СУММИРОВАНИИ 3J-СИМВОЛОВ ВИГНЕРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1

Научная статья УДК 517.983.24

doi: 10.18522/1026-2237-2023-1-24-28

О СУММИРОВАНИИ З/-СИМВОЛОВ ВИГНЕРА

Алексей Николаевич Хопёрский1, Рустам Викторович Конеев213

2Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону, Россия 'Иорепчку_ут_1 @rgups. ги 2koneev@gmail.com в

Аннотация. В рамках теории неприводимых тензорных операторов с использованием известных об-

щих аналитических результатов для двойных сумм

( \ SS

V jm )

произведений двух ßj-символов Вигнера кон-

кретизированы аналитические выражения для однократных сумм

( \

S

V m )

при значениях j\ = j'2 = 1 и j = 2

параметров верхней строки ßj-символа Вигнера. Полученные выражения дополняют широко известные аналитические результаты теории углового момента и оказываются востребованными при решении, в частности, таких задач атомной физики, как построение нерелятивистской квантовой теории однократного и двойного тормозного излучения при неупругом рассеянии фотона атомом (атомный ион).

Ключевые слова: неприводимый тензорный оператор, теорема Вигнера - Эккарта, ßj-символ Вигнера, формулы суммирования

Для цитирования: Хопёрский А.Н., Конеев Р.В. О суммировании ij-символов Вигнера // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2023. № 1. С. 24-28.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).

Original article

ON SUMMATION OF 5/-WIGNER SYMBOLS

Alexey N. Hopersky1, Rustam V. Koneevш

1 ,2Rostov State Transport University, Rostov-on-Don, Russia

'hopersky_vm_1@rgups.ru

2koneev@gmail.com я

Abstract. Within the framework of the theory of irreducible tensor operators, using well-known general ana-

i \ zz

v jm J

lytical results for double sums

of products of two 3j-Wigner symbols, analytical expressions for single

© Хопёрский А.Н., Конеев Р.В., 2023

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1

( \

for the values j = = 1 and j = 2 parameters of the upper row 3j Wigner symbol are specified.

sums E V m J

The expressions obtained supplement the well-known analytical results of the theory of angular momentum and are in demand in solving, in particular, such problems of atomic physics as the construction of a nonrelativistic quantum theory of single and double bremsstrahlung when a photon is scattered by an atom (atomic ion).

Keywords: irreducible tensor operator, Wigner-Eckart theorem, 3j-Wigner symbol, summation formulas

For citation: Hopersky A.N., Koneev R.V. On Summation of 3j-Wigner Symbols. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(1):24-28. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

Теория неприводимых тензорных операторов является неотъемлемой частью современного математического анализа [1, 2]. При реализации ее методов, например в рамках задач квантовой физики [3], возникают математические структуры, для которых в опубликованной литературе отсутствуют конкретизированные аналитические результаты. В числе таких широко востребованных структур оказываются формулы суммирования произведений Зу-символов Вигнера [4] с фиксированным полным моментом волновой функции состояния квантовой системы.

Формулы суммирования возникают при построении произведений парциальных амплитуд вероятности переходов между состояниями исследуемой квантовой системы. Аналитические структуры каждой из амплитуд вероятности (матричные элементы операторов радиационного и контактного переходов в представлении вторичного квантования как кратные интегралы по пространственным и угловым переменным) определяются теоремой Вигнера - Эккарта [4, 5]:

{jm\r(k>jm^ = (- î)j-m • (j||t(k)||j')•

J k J 'Л

(1)

у-М д М'

В (1) Т() - неприводимый тензорный оператор перехода между и |УМ^ - состояниями квантовой системы; к - ранг оператора перехода и его проекция д = —к, - к +1,..., к; 3 (М) и 3'(М') - полные моменты (их проекции М = —3, — 3 +1,..., 3) состояний; (з Т(к) 3') - приведённый (редуцированный, не зависящий от проекций) матричный элемент. Согласно (1), зависимость амплитуды вероятности перехода от проекций М, д и М' определена фазовым множителем и 3/-символом Вигнера. При этом 3/-символ Вигнера отличен от нуля при выполнении требований для его строк: ]' = ] + к, 3 + к — 1, ..., \3 — к| (условие треугольника) и д + М' = М .

В данной статье мы конкретизируем аналитические выражения для двух формул суммирования

i(-1)"

Jî J2 J V a b m У

I

/

J1 J2 V c d J

(2)

m y

(3)

Jl 7 Jl

V а Ь т Л с ё т в часто встречающемся случае 71 = 72 = 1, 7 = 2. В суммах (2), (3) и далее мы унифицировали обозначения для параметров 3/-символа Вигнера: 3 ^ 71, к ^ 72, 3' ^ 7 , — М ^ а, д ^ Ь и М' ^ т . Так, например, учёт дипольных (к = 1, д = —1,0,1) переходов с участием электронов сплошного спектра р(3 = 1) - и ё (3 = 2) -симметрии промежуточных (виртуальных) и конечных (наблюдаемых) состояний неупругого рассеяния фотона квантовой системой сопровождается возникновением суммы (3) при расчёте амплитуды вероятности инициированного однократного

m

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1

(переход между термами p ^ ) тормозного излучения [6, 7], тогда как сумма (2) возникает при расчёте амплитуды вероятности инициированного нелокального двойного (переход между термами 1P1^1D2 ^P1 ) тормозного излучения [8] при неупругом рассеянии фотона атомом (атомный ион).

m=—2

Результаты

Утверждение 1. При j1 = j2 = 1 и j = 2 сумма (2) принимает вид I1 1 2 V1 иг

V a b m À c d - m ) 5 A = A-), At=,/(2 + a)(1 - a)(1 + dp - d) .Sb.-,„1 A.-

I иг'1 1 2

Sb,——d '8c,—a — :

a-d + - |5Ô_a -Sc,—d — A

(4)

c,—d+1,

A— = V(2 — a)(l + a)(l — d )(2 + d ) • Sb,_a—1 • Sc,

—d—1 •

Доказательство. Рассмотрим известный общий аналитический результат (условие ортогональности Зу-символов Вигнера) [2]:

ii(— 1)—m (2j +1)

j m

j1 j2 V a b

j Л

m y

j1 j2 V c d

j

= (—1)

lj1+j2 —a—b

Sa,—c 'Sb,—d ,

(5)

m y

где т = -у, - у +1, ...,у; 5а р - символ Кронекера - Вейерштрасса. В нашем случае у = у2 = 1

и каждое из целых чисел а, Ь, с и d принимает значения -1, 0, +1. В силу требования равенства нулю суммы а + Ь + т = 0 для нижней строки Зу-символа Вигнера результирующий полный момент ограничен значениями у = 0, 1, 2, и выражение (5) принимает вид

(— 1)b+d •Sa,—b' Sc,—d + 3- S (— 1)'

1

I

m=—1

\1—m

111Y11 1 Л

Va b my

+ 5- I (— 1)m

m =—2

V c d — m

.a+b

Л = (— 1)a+b ^a,

V

a,—c - Sb,—d

(6)

2 , . Г112 V11 2

V а Ь т А с d - т у

В (6) первое слагаемое в левой части равно произведению Зу-символов Вигнера с нулевым столбцом,

'1 1 0 ^

а Ь 0,

( 1 1 0 ) Г1 1 о )

V a b о J v c d 01 '

))=jr1)1+b

•S

a,—b '

и возникает интересующая нас сумма (2). Учтём известные результаты для Зу-символов Вигнера в первой сумме из (6) [9-11]:

Г1 1

у а Ь - ]

О 1 11

а Ь 0,

^ ) = -^ •(— 1)1+b- V(1 + b)(2 — b) -Sa,1—b ,

V

Te •(" 1)1+b-b- Sa,—b ,

(7)

1 1 Г

a b 1 ;

1

2л/3

(— 1)b- V(1 — b)(2 + b) • Sa —1—

где символы Кронекера - Вейерштрасса воспроизводят требование а + Ь + т = 0. С учётом (7) из (6) получаем сумму (4). Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2. При у\ = у2 = 1 и у = 2 сумма (3) принимает вид

2

I

m=—2

1 1 2

V a b m У

V1 1 2Л

Vc d m y

+

b

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1

- l'Sa,с '5b,d _1 (_ 1)'

b+d

2bd + 4 1-5

]a,_b

+ B

(8)

B - B+ + B_, B+-V(1 + b)(2 - b)(l + d)(2 - d) - 5a,i_b • 5с,1_а B- ^(1 _ b)(2 + bXl _ d)(2 + d) - 5a,_i_b - 5c,_i_

\-\-d •

Доказательство. Рассмотрим известный общий аналитический результат (условие ортого

нальности 3/-символов Вигнера) [2]: / .

71 ]г J к а Ь т у

Il(2j +1)

j m

■\f ■ • Л j1 j2 j

- 5„ - 5

с d m

a,с ' 5b,d

(9)

Для j = j2 = 1 и j = 0, 1, 2 выражение (9) принимает вид

1 1 1 (_ 1)b+d -5a,_b ' 5c,_d + 3 (_ 1)1_m

3 m-_1

f

1 1 1

Y

va b myvc d my

1 1 1

1 1 2

1 1 2

+ 5 — - =§а,с ^ , (10)

т--2 V а Ь т Д с d т у где возникает интересующая нас сумма (3). С учётом (7) из (10) получаем сумму (8). Утверждение 2 доказано.

Замечания

1. Реализация слагаемых А+, А-, В+ и В- в суммах (4) и (8) требует обращения непосредственно к сферическим функциям (гармоники, к = 1, д = -1,0,1) [2]:

Ck)q (e)

где определен е - единичный вектор поляризации г-фотона в сферических координатах. Это сопровождается необходимостью исходно фиксировать геометрию (конкретизировать аналитический вид гармоник) предполагаемого физического эксперимента и проводить достаточно громоздкие вычисления [6-8]. Однако сохранение лишь первых слагаемых в правых частях сумм (4) и (8) в качестве приближения недопустимо. В самом деле, например, приближение перехода от суммы (8) к выражению

г

1 1 2

2

I

m—_2 v a b

m y

112 1 1

' 5a,с ' 5b,d

/V с d ту 5

приводит к учёту лишь значения проекции полного момента т = 0, тогда как информация о вкладе значений т = -2, -1, +1, + 2 теряется. Этот эффект с физической точки зрения приводит к потере фундаментальной информации о поляризационных свойствах (зависимость от угла рассеяния как угла между волновыми векторами падающего и рассеянного фотонов) наблюдаемого в предполагаемом эксперименте дифференциального сечения исследуемого процесса.

2. Изложенный выше алгоритм построения конкретизированных сумм произведений 3/-сим-волов Вигнера может быть реализован и для высших полных моментов 7 > 3 . В частности, с

физической точки зрения учёт рождения /-симметрии (у' = 3) электрона сплошного спектра при

дипольном (к = 1, д = -1,0,1) переходе между термами 1Э2^■lF3 и 1Э2^lF3требует построения формул суммирования

3

I

m—_3

2 1 3

Va b m У

2 1 3

V с d m y

I (_ 1)"

m — _3

2 1 3

Va b m.

2 1 3 i

V с d _ m y

где целые числа а = -2, -1, 0, +1, +2, Ь = -1, 0, +1 и т = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3. Такие построения сопровождаются резким увеличением объёма вычислений и являются предметом будущих исследований.

5

d

+

2

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1

Список источников

1. Юцис А.П., Савукинас А.Ю. Математические основы теории атома. Вильнюс: Минтис, 1973. 480 с.

2. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 439 с.

3. Biedenharn L.C., Louck J.D. Angular Momentum in Quantum Physics. Theory and Application. Addison; Wesley: Publishing Company Reading, 1981. 716 p.

4. Wigner E.P. Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra. New York: Academic Press Inc., 1959. 374 p.

5. Eckart C. The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems // Reviews of Modern Physics. 1930. Vol. 2, № 3. P. 305-380.

6. Хопёрский А.Н., Надолинский А.М., Петров И.Д. Эффект тормозного излучения при резонансном комптоновском рассеянии фотона многоэлектронным атомом // Письма в ЖЭТФ. 2020. Т. 111. С. 61-64.

7. Хопёрский А.Н., Надолинский А.М. Тормозное излучение при нерезонансном неупругом рассеянии фотона атомным ионом // Письма в ЖЭТФ. 2022. Т. 115. С. 469-473.

8. Хопёрский А.Н., Надолинский А.М., Конеев Р.В. Неупругое расщепление рентгеновского фотона атомным ионом // ЖЭТФ. 2022. Т. 162. С. 27-33.

9. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Наука, 1977. 320 с.

10. Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Prinston: Prinston University Press, 1974. 146 p.

11. Юцис А.П., Бандзайтис А.А. Теория момента количества движения в квантовой механике. Вильнюс: Мокслас, 1977. 463 с.

References

1. Jucys A. P., Savukynas A. J. Mathematical Foundations of the Atomic Theory. Vilnius: Mintis Publ.; 1973. 480 p. (In Russ.).

2. Varshalovich D.A., Moskalev A.N., Khersonsky V.K. Quantum theory of angular momentum. Leningrad: Nauka Publ.; 1975. 439 p. (In Russ.).

3. Biedenharn L.C., Louck J.D. Angular Momentum in Quantum Physics. Theory and Application. Addison; Wesley: Publishing Company Reading; 1981. 716 p.

4. Wigner E.P. Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra. New York: Academic Press Inc.; 1959. 374 p.

5. Eckart C. The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems. Reviews of Modern Physics. 1930;2(3):305-380.

6. Hopersky A. N., Nadolinsky A. M., Petrov I. D. Bremsstrahlung Effect at Resonant Compton Scattering of a Photon by a Multielectron Atom. JETP Letters. 2020;111(2):72-75.

7. Hopersky A. N., Nadolinsky A. M. Bremsstrahlung at the Nonresonant Inelastic Scattering of a Photon by an Atomic Ion. JETP Letters. 2022;115(8):434-438.

8. Hopersky A. N., Nadolinsky A. M., Koneev R.V. Inelastic Splitting of an X-ray Photon by an Atomic Ion. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2022;135(1):20-25.

9. Sobel'man I. I. Introduction to the theory of atomic spectra. Moscow: Nauka Publ.; 1977. 320 p. (In Russ.).

10. Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Prinston: Prinston University Press; 1974. 146 p.

11. Jucys A. P., Bandzaitis A. A. Theory of Angular Momentum in Quantum Mechanics. Vilnius: Mokslas Publ.; 1977. 463 p. (In Russ.).

Информация об авторах

А.Н. Хопёрский - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики. Р.В. Конеев - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики.

Information about the authors

A.N. Hopersky - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Higher Mathematics.

R. V. Koneev - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department ofHigher Mathematics.

Статья поступила в редакцию 24.11.2022; одобрена после рецензирования 25.12.2022; принята к публикации 02.03.2023. The article was submitted 24.11.2022; approved after reviewing 25.12.2022; accepted for publication 02.03.2023.