О сумме узкого и C-компактного операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 1, С. 3-9

УДК 517.98

О СУММЕ УЗКОГО И С-КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРОВ

Н. М. Абасов, М. А. Плиев

Памяти профессора, Ганиева И. Г.

В работе рассматриваются узкие линейные операторы, заданные на пространстве Банаха — Канторовича и принимающие значение в банаховом пространстве. Установлено, что сумма двух операторов Я + Т, где Я — узкий оператор, а Т — (бо)-непрерывный О-компактный оператор, также является узким оператором. Основными техническими инструментами, используемыми для доказательства этого результата, являются: разбиение элемента решеточно-нормированного пространства

О

Б01: 10.23671/У]МС. 2018.1.11391.

Ключевые слова: банахово пространство, пространство Банаха — Канторовича, узкий оператор, (бо)-непрерывный оператор, О-компактный оператор.

Узкие операторы, как самостоятельный объект исследования, впервые были рассмотрены в работе [1]. Однако некоторые частные результаты об этих операторах были известны и ранее (подробный исторический обзор можно найти в монографии [2]). Линейные узкие операторы в векторных решетках и решеточно-нормированных пространствах изучались в [3-5]. Позже некоторые результаты о линейных узких операторах были распространены на более общий случай ортогонально аддитивных отображений [6-9]. Следует отметить, что алгебраическая структура множества узких операторов остается плохо понятой и на сегодняшний день. В общем случае сумма двух узких операторов узким оператором не является [10]. В [11] доказана узость суммы узкого оператора и непрерывного оператора конечного ранга, заданных на порядково полной безатомной векторной решетке со значениями в банаховом пространстве. В настоящей заметке показано, что в случае линейных операторов, заданных на пространстве Банаха — Канторовича над порядково полной безатомной векторной решеткой и принимающих значения в банаховом пространстве, сумма узкого оператора и (6о)-непрерывного С-компактного оператора также является узким оператором.

© 2018 Абасов Н. М., Плиев М. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 18-51-41016 (Абасов Н. М.) и № 17-51-12064 (Плиев М. А.).

1. Предварительные сведения

Цель настоящего параграфа — зафиксировать терминологию, обозначения и ввести требуемые понятия. Необходимые сведения о векторных решетках и решеточно-нормированных пространствах можно найти в монографии [12].

Пусть V — векторное пространство над полем действительных чисел иЁ — действительная архимедова векторная решетка. Отображение || : V —» Е+ называется векторной нормой, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:

1) |г>| ^ 0; |г>| = 0 V = 0 (ь £ V);

2) |г>1 + г>2| < |гч| + |г>2| (г>ьг>2 € V);

3) |Аг>| = |Л||г>| (А £ Ж, у£ V).

Векторная норма называется разложимой, если

4) для любых е\, е2 € Е+ и ж £ V из представления |ж| = в1+е2 следует существование жьж2 £ V таких, что х = х\ + ж2 и |ж&| = (А; := 1, 2).

Тройка (V, (далее (У,Е), (V, |-|) или даже V для краткости) называется

решеточно-нормированным пространством, если | | — это _Е-значная векторная норма, заданная на V. Если векторная норма || разложима, то пространство V также называется разложимым.

Будем говорить, что сеть («а)аед (Ьо)-сводится к элементу V £ V и писать V = Ьо-Иш va, если существует убывающая сеть (е7)7ег в Е+ такая, что ш£7ег(е7) = 0 и для любого 7 £ Г существует индекс а(7) £ А такой, что — г>а(7)| ^ е7 для любого а ^ а(7). Сеть ^а)аед называется (Ьо)-фундаментальной, если сеть — Vв)(а,в)еДхД (Ьо)-сходится к нулю. Решеточно-нормированное пространство называется (Ьо)-полным, если каждая (Ьо)-фундаментальная сеть (Ьо)-сходптся к элементу этого пространства.

(Ьо)

ством Банаха — Канторовича.

Пусть X — нормированное пространство. Линейный оператор Т : V ^ X называется (Ьо)-непрерывные, если любую (Ьо)-сходящуюся сеть )«ед в V оператор переводит в сходящуюся по норме сеть (^а)аед в X.

Элемент и решеточно-нормированног о пространств а (V, Е) называется осколком элемента V £ V, если \и\ ± |г> — п|. Будем писать V = |_|™=1 уг> если V = ^ и Уг^-У], г ф ,]. Для п = 2 будем пис ать V = VI и v2. В этом случае ос колки VI, v2 элемен та V называются взаимно дополнительными. Множество всех осколков элемента V обозначается через ^ •

Множество В С V называется ограниченным по норме, если существует е £ Е+ такой, что неравенство ^ е выполняется для всех элементов v £ п. Пусть теперь Т : V ^ X — нормированное пространство. Линейный оператор Т : V ^ X называется АМ-компактным, если образ Т(В) любого ограниченного по норме множества В С V предкомпактен в X; С-компактном, если для любого V £ V множество Т(^) предком-пактно в X.

Пусть X — векторное пространство. Линейное отображение Т : V ^ X называется оператором конечного ранга, если Т(V) — конечномерное подпространство в X.

Пусть X — банахово пространство и Б — линейный оператор из V в X. Оператор Б называется узким, если для любых V £ V, е > 0 найдется пара и, ад взаимно дополнительных осколков элемента V таких, что ||Б(и — ад) || < е.

Для подмножеств Н и К векторного пространства X будем использовать следующее обозначение: Н + К := {V + и : V £ Н; и £ К}. Сумму Н + ... + Н п-копий множества Н

пН

1. Результаты

С

оператора является узким оператором. Приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты.

Лемма 1 [4, теорема 4.12]. Пусть V — пространство Банаха — Канторовича над по-рядково полной, безатомной векторной решеткой Е, X — банахово пространство. Тогда каждый линейный АМ-компактный (Ьо)-непрерывный оператор Т : V ^ X является узким.

Замечание 1. Отметим, что лемма 1 остается верной, если условие АМ-компакт-

С

С

Следующая лемма является ключевой.

Лемма 2. Пусть V — пространство Банаха — Канторовича над порядково полной, безатомной векторной решеткой Е X — банахово пространство, V £ V и Т : V ^ X — (бо)-яепрерывный С-компактный оператор. Тогда для любого е > 0 существует разбиение V = УV» такое, что для любой пары V1, V2 взаимно дополнительных осколков элемента vi, 1 ^ г ^ п, справедливо перавенство ||Т(V1 — V2)|| < е.

< Предположим, что утверждение леммы неверно. Это означает, что найдется е > 0 такое, что для любого разбиения V = У п £ N найдутся но мер 1 ^ го ^ пи такая

пара VI, взаимно дополнительных осколков элемента Vi0, что справедливо неравенство ||Т(^0 — )|| ^ е. Пожжем, что отсюда следует, что для любого к £ N найдется набор VI,..., ^ попарно дизъюнктных осколков элемента V такое, что для любого 1 ^ г ^ k существует пара , г;? взаимно дополнительных осколков ы такая, что — г;2)|| ^

к=1

жим, что оно верно для к > 1 и покажем, что тогда оно справедливо и для к + 1. Пусть VI,..., Vk — набор попарно дизъюнктных осколкор элемента V, для которых выполняется индукционное предположение, и пусть и = V — У^ Vi. Если найдутся взаимно дополнительные осколки щ и «2 элемента и такие, что \\Тщ — ТпгЦ ^ §, то в качестве возьмем элемент и. В противном случае найдется осколок Vi0 с помером 1 ^ го ^ к такой,

12

что существуют взаимно дополнительные осколки и v^0 элемента Vi0, для которых выполняется неравенство ЦТ(^0 — )Ц ^ е. Не уменьшая общности, можем полагать, что го = к. Согласно лемме 1 Т является узким оператором. Последнее означает, что для Vk и для любого 5 > 0 найдутся взаимно дополнительные осколки д и Н элемента Vk такие, что ||Т(д — Н)|| < 5. Используя разложимость векторной нормы пространства V и лемму о двойном разбиении в векторной решетке (см. [12, п. 1.3.3.3]), найдем такие попарно дизъюнктные осколки #1, #2 и Н1, Н2 элементов д и Н соответственно, что

д = #1 и #2; Н = Н1 и Н2; V)1 = #1 и Н1; VI = #2 и Н2. Кроме того, справедливы оценки

||Т(#1 + Н1 — #2 — Н2)|| = ||Т(V! — V22)|| ^ е; ||Т(#1 + #2 — Н1 — Н2)|| = ||Т(д — Н)|| <5.

Далее имеем

е < ||Т(д1 + Н1 — д2 — Н2)|| = ||Т(#1 + #2 — #2 + Н1 — Н1 + Н1 — #2 — Н2)||

< ||Т(д1 + д2 — Н1 — Н2)|| + 2||Т(Н1 — д2)|| <5 + 2||Т(Н1 — д2)Н;

е < ||Т(51 + Н - 52 - МП = ||Т(51 + Н + Н2 - Н2 - 52 - 51 + 51 - Н2)|| < ||Т(Н + Н2 - 51 - 52)| + 2||Т(Л2 - 51)I < 5 + 2||Т(Н2 - 51)!;

Отсюда в силу произвольности 5 > 0 получаем, что

ее 1№ -51)11 №"52)11 >2-

Положим

= Н2 + 51; = Н1 + 52; ик = Н2; п| = 51; 4+1 = Н; ик+1 = 52.

Тогда «1,..., Vk-l, ик, и^+1 — набор попарно дизъюнктных осколков элемента V, обладающих требуемыми свойствами, и справедливость индукционного перехода установлена. Положим ^ = {и-ад : и, ад £ (^, и ± ад}. Используя С-компактпость оператора Т, получаем, что := Т(^) — компактное подмножество. Положим В = {ж £ X : ||ж|| < §}• В силу компактности множества К найдутся но мер п £ N и окрестность нуля В1 в X такие, что + В С пВ.

Возьмем теперь окрестность нуля Н С В и конечный набор Ж1,...,ЖТО элементов множества Kv таких, что пН С В и Ку С и+ Н). Пусть, кроме того, I = пт. Согласно вышеприведенным рассуждениям найдется набор «1,..., V попарно дизъюнктных осколков элемента V и набор пар V1, V2 взаимно дополнительных осколков элементов 1ц, где 1 ^ г ^ I, такой что \\Т(и1 — г;2)|| ^ 1 ^ г ^ I. Так как {Т(V1 - V2) : 1 ^ г ^ тп} С ит=1(жк + Н), то найдется номер ко ^ т такой, что сагс! {г ^ I : Т(V1 - V2) £ Жк0 + Н} ^ п. Без ограничения общности можем полагать, что Т(у} — г>2) е жко + Я для любого 1 ^ г ^ п. Так как \\Т(у} — г>2)|| ^ §, Я С В = {ж е X : ||ж|| < |}, то ||жЛ ^ |, откуда следует, что ж&0 ^ В. Пусть теперь Н = ™=1 (V1 - V2). Так как осколки V» попарно дизъюнктны, то Н £ Пусть ж = ТН = ^П=1 Т(V1 - V2) £ К^. Далее имеем

ж £ пжко + пН С пжко + В1.

Тогда пжк0 £ К - В = Ку + В С пН и отсюда выводим, что жк0 £ Н. Получили противоречие. >

Следующее вспомогательное утверждение хорошо известно (см. [2, лемма 10.20]). Лемма 3. Пусть (жi)*= — семейство векторов конечномерного нормированного пространства X и пусть (Л0П=1 — набор действительных чисел такой, что 0 ^ Лi ^ 1 для любого 1 ^ г ^ п. Тогда существует набор действительных чисел (0^П=1, где £ {0,1}, такой, что

п

- ^^

i=1

ё1ш(Х)

^-шах ж,-

2 » 11

Лемма 4. Пусть V — пространство Банаха — Канторовича над порядково полной, безатомной векторной решеткой Е, X — банахово пространство, Б : V ^ X — линейный узкий оператор и Т : V ^ X — (Ьо) -непрерывный, С-компактный оператор конечного ранга. Тогда оператор К = Б + Т также является узким.

< Возьмем произвольный элемент V £ V и е > 0. Применяя лемму 2, можно найти такое разбиение V = УVi элемента V на дизъюнктные осколки, что для любой пары V1, V2 взаимно дополнительных осколков элемента г^ выполняется ||Т(у} — г;2)|| < 2Шт(т(У))' где 1 ^ г ^ п. Используя теперь узость оператора Б, для каждого осколка Vi подберем

пару взаимно дополнительных осколков щ, такую, что ((¿"(и» — ад^Ц < -фрц, 1 ^ г ^ п. Положим Хг = Т(щ — Юг), 1 ^ г ^ п, и пусть А» = ^ для любого 1 ^ г ^ п. Согласно лемме 3 можем записать

^(Ai - 0г)ж,:

Е

aix:

dim(T(V)) .. е

^ -о тах 11Ж«И < 7

2 i 4

Е

aix,

<

2

где а» £ {-1,1} для любого 1 ^ г ^ п. Тогда существует разбиение множества {1,..., п} на два дизъюнктных подмножества ^ и ^ что а; = 1, г £ а; = —1, г £ J.

Положив

и = Ц щ и Ц ш;, ш = Ц щ и Ц ш;,

¿е/ ¿е/ ¿е/ ¿е/

получаем

||R(u - w)|| = || (S + T)(u - w)|| < ||S(u - w)|| + ||T(u - w)||

^Su, + SwiSui Swi + ^ Tui + Twi Tui Tw, ie/ ieJ ieJ ie/ ie/ ieJ ieJ ie/

^S(u, - w,)^ S(w, - u,) + ^ T(u, - w,) T(u, - w,)

ie/

ie J

ie/

ieJ

||S(u, - w,)|| + ^

aix:

Ее е

i=1

Таким образом, и и ш — искомая пара взаимно дополнительных осколков элемента V. >

Сформулируем теперь основной результат.

Теорема 1. Пусть V — пространство Банаха — Канторовича над порядково полной, безатомной векторной решеткой Е X — банахово пространство, Б : V ^ X — линейный узкий оператор и Т : V ^ X — (6о)-непрерывный С-компактный оператор. Тогда оператор К = Б + Т также является узким.

< Банахово пространство X мы можем рассматривать как замкнутое линейное подпространство банахова пространства (Вх*) функций, ограниченных на компакте. Это можно записать в виде цепочки вложений:

X^ X** ^ ),

где под символом ^ мы понимаем изометрическое вложение, а через Bx* обозначается единичный шар банахова пространства X*. Известно, что если H — предкомпактное подмножество 1<^>(D) для некоторого бесконечного множества D и е > 0, то существует оператор конечного ранга R G L(l^(D)) такой, что ||x - Rx|| ^ е для любого x G H [2, лемма 10.25].

Возьмем произвольный элемент v G V и е > 0. Так как T — это C-компактный оператор, то K = T(Fv) — предкомпактное множество в X и, следовательно, в 1те(Вх* )• Тогда найдется линейный непрерывный оператор конечного ранга R G L(1^(Bx*)) такой, что ||vj — Rvj|| ^ | для любого v) £ К. Ясно, что G = R о т — линейный (бо)-неирерывный C

нительные осколки V\,V2 элемента v такие, что IKS' + G)(v\ — f2)|| < §• Окончательно

е

имеем

||(Б + ТXV! - V2)|| = ||Б(V1 - V2) + Т(V! - V2) + - V2) - - V2)|

< ||(Б + - V2)|| + ||Т(Vl - V2) - - V2)||

е ее

< 2 + " Ъ) ~ ВД^ ~ < 2 + 2 = £' >

Замечание 2. Отметим, что теорема 1 не выводится непосредственно из леммы 2, без

Т

должна быть постоянной величиной, так как она задает исходную оценку, относительно которой подбирается требуемое семейство попарно дизъюнктных осколков.

Авторы выражают благодарность рецензенту за внимательное чтение текста и ценные замечания, позволившие улучшить качество статьи.

Литература

1. Popov М. М., Plicbko А. М. Symmetric function spaces on atomless probability spaces: Diss. Math. (Rozprawy Mat.).—1990.—Vol. 306.-P. 1-85.

2. Popov M., Randrianantoanina B. Narrow Operators on Function Spaces and Vector Lattices.— De Gruyter, 2013.-(De Gruyter Stud, in Math. Vol. 45).

3. Maslyuchenko O., Mykhaylyuk V., Popov M. A lattice approach to narrow operators // Positivity.— 200э!—Vol. 13.-P. 459-495." DOI: 10.1007/sllll7-008-2193-z.

4. Pliev M. Narrow operators on lattice-normed spaces // Open Math.—2011.—Vol. 9, № 6.—P. 1276-1287. DOI: 10.2478/sll533-011-0090-3.

5. Abasov N., Megahed A. M., Pliev M. Dominated operators from lattice-normed spaces to sequence Banach lattices // Annals of Funct. Anal.-2016.-Vol. 7, № 4.-P. 646-655. DOI: 10.1215/200887523660990.

6. Pliev M., Popov M. Narrow orthogonally additive operators // Positivity.—2014.—Vol. 18, № 4.—P. 641667. DOI: 10.1007/sllll7-013-0268-y.

7. Mykhaylyuk V., Pliev M., Popov M., and Sobchuk O. Dividing measures and narrow operators // Stud. Math.-2015.-Vol. 231.-P. 97-116. DOI: 10.4064/sm7878-2-2016.

8. Pliev M. Domination problem for narrow orthogonally additive operators // Positivity.—2017.—Vol. 21, № l.-P. 23-33. DOI: 10.1007/sllll7-016-0401-9.

9. Плиев M. А., Фан С. Узкие ортогонально аддитивные операторы в решеточно-нормированных пространствах // Сиб. мат. журн.—2017.—Т. 58, № 1,—Р. 174-184. DOI: 10.17377/smzh.2017.58.117.

10. Mykhaylyuk V., Popov М. On sums of narrow operators on Kothe function space // J. Math. Anal. Appl.-2013.-Vol. 404.—P. 554-561. DOI: 10.1016/j.jmaa.2013.03.008.

11. Humenchuk H. I. On the sum of narrow and finite-rank orthogonally additive operator // Ukrainian Math. J.-2016.-Vol. 67, № 12.—P. 1831-1837. DOI: 10.1007/sll253-016-1193-6.

12. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—2003.—M: Наука, 2003.—619 с.

Статья поступила 8 ноября 2017 г. Плиев Марат Амурханович

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, старший научный сотрудник отдела функц. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: plimarat@yandex.ru;

Абасов Нариман Магамедович МАИ — Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), доцент кафедры высшей математики РОССИЯ, 121552, Москва, ул. Оршанская, 3 E-mail: abasovn@mail.ru

C

Abasov N. M., Pliev M. A.

We consider narrow linear operators defined on a Banach-Kantorovich space and taking value in a Banach space. We prove that the sum S + T of two operators is narrow whenever S is a narrow operator and T is a (bo)-continuous C-compact operator. For the proof of the main result we use the method of decomposition of an element of a lattice-normed space into a sum of disjoint fragments and an approximation of a C-compact operator by finite-rank operators.

Key words: Banach space, Banach-Kantorovich space, narrow operator, (bo)-continuous operator, C

References

1. Popov M. M., Plicbko A. M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces: Diss. Math. (Rozprawy Mat.), 1990, vol. 306, pp. 1-85.

2. Popov M., Randrianantoanina B. Narrow Operators on Function Spaces and Vector Lattices, De Gruyter, 2013. De Gruyter Stud, in Math., vol. 45.

3. Maslyuchenko O., Mykhaylyuk V., Popov M. A lattice approach to narrow operators, Positivity, 2009, vol. 13, pp. 459-495."dOI: 10.1007/s11117-008-2193-z.

4. Pliev M. Narrow operators on lattice-normed spaces, Open Math., 2011, vol. 9, no. 6, pp. 1276-1287. DOI: 10.2478/sll533-011-0090-3.

5. Abasov N., Megabed A. M., Pliev M. Dominated operators from lattice-normed spaces to sequence Banach lattices, Annals of Fund. Anal., 2016, vol. 7, no. 4, pp. 646-655. DOI: 10.1215/200887523660990.

6. Pliev M., Popov M. Narrow orthogonally additive operators, Positivity, 2014, vol. 18, no. 4, pp. 641-667. DOI: 10.1007/sllll7-013-0268-y.

7. Mykhaylyuk V., Pliev M., Popov M., and Sobchuk O. Dividing measures and narrow operators, Stud. Math.,"2015, vol. 231, pp. 97-116. DOI: 10.4064/sm7878-2-2016.

8. Pliev M. Domination problem for narrow orthogonally additive operators, Positivity, 2017, vol. 21, no. 1, pp. 23-33. DOI: 10.1007/sllll7-016-0401-9.

9. Pliev M. A., Fang X. Narrow orthogonally additive operators in lattice-normed spaces, Siberian Math. .J., 2017, vol. 58, no. 1, pp. 134-141. DOI: 10.1134/S0037446617010177.

10. Mykhaylyuk V., Popov M. On sums of narrow operators on Kothe function space, J. Math. Anal. Appl., 2013, vol 404, pp. 554-561. DOI: 10.1016/j.jmaa.2013.03.008.

11. Humenchuk H. I. , On the sum of narrow and finite-rank orthogonally additive operator, Ukrainian Math. J., 2016, vol. 67, no. 12, pp. 1831-1837. DOI: 10.1007/sll253-016-1193-6.

12. Kusraev A. G. Dominated Operators, Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ., 2000, 446 p.

Received 8 November, 2017

Pliev Marat Amurhanovich

Southern Mathematical Institute — the Affiliate

of Vladikavkaz Science Center of the RAS, Senior Researcher

22 Markus street, Vladikavkaz, 362027, Russia

E-mail: plimarat@yandex.ru;

Abasov Nariman Magamedovich MAI — Moscow Aviation Institute (National Research University), Associate Professor 3 Orshanskaya street, Moscow, 121552, Russia E-mail: abasovn@mail.ru