О структурировании пространства параметров сжато-растянутого стержня по механическому состоянию Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 539.3

О СТРУКТУРИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ СЖАТО-РАСТЯНУТОГО СТЕРЖНЯ ПО МЕХАНИЧЕСКОМУ СОСТОЯНИЮ

© 2009 г. Х.П. Культербаев

Кабардино-Балкарский государственный Kabardino-Balkarian State

университет, г. Нальчик University, Nalchik

Рассматривается прямолинейный стержень переменного сечения при комбинированном осевом нагружении. В m-мерном евклидовом пространстве параметров проводится структурирование, соответствующее множеству возможных механических состояний. Предложен алгоритм численного метода решения проблемы собственных значений дифференциального уравнения продольного изгиба стержня.

Ключевые слова: механическое состояние; пространство параметров; собственные значения; сжато-растянутый стержень.

Rectilinear rod of variable section at joint axial weighting has been considered. In m-dimensional Euclidean space of parameters is realizing structuring which correspond to multitude of possible mechanical conditions. The algorithm numerical method of solution the problem of eigenvalues of differential equation of longitudinal bend of rod proposed.

Keywords: mechanical conditions; space of parameters; eigenvalues; press-stretched rod.

Задачи по изучению прочности и устойчивости прямолинейных стержней, нагруженных осевыми продольными силами, стали классическими и к настоящему времени имеют обширную библиографию. Напряжённо-деформированное состояние сжато-растянутых стержней в большинстве случаев устанавливается сравнительно легко, что позволяет успешно ответить и на вопросы прочности и жёсткости конструкции. Более сложной является проблема устойчивости, так как определение критических нагрузок для сжатых стержней при этом сопряжено со значительными трудностями, особенно в нетрадиционных случаях: стержни переменного сечения, неравномерно распределённая нагрузка, сочетание различных нагрузок и так далее. Отыскание собственных значений и форм потери устойчивости в таких задачах точными аналитическими методами возможно лишь в простейших частных случаях. Выход из такого затруднения состоит в использовании численных методов [1-4] и современных программных компьютерных средств.

Рассмотрим однородный стержень переменного сечения, находящийся под действием переменной распределённой нагрузки q(x) и системы сосредоточенных сил F¡ (рис. 1), действующих вдоль оси.

Внешние нагрузки считаются «мёртвыми», т. е. при деформировании стержня они не изменяются ни по величине, ни по направлению. Функции изменения переменной площади поперечного сечения А(х), переменной жёсткости £Дх) и распределённой нагрузки q(х) будем считать заданными.

x q(x) A(x), J(x)

É . , -, -, -, I

s1 - Fi - F 2

Показаны только две силы из возможных n.

Рис. 1

В описание такой системы включены разнообразные физико-механические и геометрические константы самой конструкции, материала и внешних воздействий. В совокупности они образуют евклидово арифметическое т-мерное пространство параметров Ет или подпространство такового с точками или векторами р(рь р2, - , рт). Реальные значения параметров в силу естественных причин ограничены сверху и снизу

Рн <Р] <Рк,] = 1, 2, ..., т,

так что поведение конструкции следует изучать в подпространстве, представляющем параллелепипед (гиперпараллелепипед)

Gm С Ет, Gm = {Р] | Р]н <Р] <Р]к,] = 1, 2, ... , т}.

Для сравнительно простого двухмерного случая, представимого наглядно, такой параллелепипед показан на рис. 2.

В зависимости от положения точки р в пространстве рассматриваемый стержень и его материал могут пребывать в различных механических состояниях: упругом или пластическом (точнее упруго-пластическом), в прямолинейной или искривлённой формах равновесия. Если материал стержня является

l

0

X

хрупким, вместо пластического состояния будет состояние разрушения. При этом имеют место их разнообразные сочетания, зависящие от совокупности параметров. Для дальнейших обсуждений целесообразно избрать нулевые значения параметров, соответствующие упругому состоянию материала и прямолинейной форме равновесия стержня. Простой параллельный перенос координатных осей вместе с их началом обеспечивает выполнение этого требования, что будет учитываться ниже. Будем полагать, что верхние значения параметров принадлежат уже другому изменившемуся механическому состоянию системы. В таком случае из параллелепипеда Gm выделяется некоторая часть Qm (на рис. 2 представлен Q2), которую будем называть областью допустимых состояний. Определение её границы Г, являющейся некоторой гиперповерхностью в пространстве параметров, представляет важнейшую задачу, так как далее с её помощью можно будет отвечать на вопросы о прочности, устойчивости, коэффициентах запаса, надёжности и т. д. При возрастании параметров точки границы Г соответствуют некоторому их предельному значению, при котором происходит переход от одного механического состояния к другому.

Р2

( © ^ p = Xe D \

\ о Г

Р1

Р = X e,

(1)

1. Достижение нормальными напряжениями в одном из поперечных сечений предела текучести материала ст и переход последнего из упругого состояния в пластическое. При этом искомый вектор p е Г определяется из уравнения

стТ - maxiст(x | p)| = 0, L = {x | x е (0, /)}. (2)

xeL

Алгоритм вычислений при этом может быть следующим. При движении вдоль луча (1) с малым шагом проверяется знак выражения в левой части (2). Смена знака соответствует пересечению границы области допустимых состояний. В таком случае по линейной интерполяции между двумя соседними значениями X устанавливается положение точки D (см. рис. 2), или иначе, вычисляется XD.

2. Достижение параметрами системы таких критических значений, при которых исходная прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и появляются смежные устойчивые искривлённые формы равновесия, т.е. происходят потеря устойчивости и ветвление решений описывающих уравнений. Сосредоточимся теперь на отыскании точки D по такому критерию.

В задаче о потере устойчивости прямолинейной формы равновесия примем, что продольный изгиб стержня описывается классической теорией с применением гипотезы Бернулли, а критические силы определяются из задачи Эйлера при соответствующих допущениях. Тогда изогнутая ось стержня после бифуркации описывается с помощью линейного обыкновенного дифференциального уравнения и в традиционных обозначениях имеет вид

B( x)v"( x) = M (x), x е L,

(3)

Рис. 2

Алгоритм численного определения границы области допустимых состояний будет следующим. В пространстве параметров Ет вводится декартовая система координат 0р\р2...рт. Начало координат (0, 0,...,0) и его ближайшая окрестность заведомо принадлежат области допустимых состояний Qm, т.е. материал находится в упругом состоянии, а сам стержень занимает прямолинейную форму равновесия.

Из начала координат проводим луч, описываемый уравнениями в параметрическом виде

где введено обозначение для переменной жёсткости на изгиб

В(х) = Ш(х).

Изгибающий момент в правой части уравнения (3) определяется из условия равновесия левой части стержня, отсечённой координатой х (рис. 3)

М (х) = -% Fj К х) - у( s])] -]qШv( х) - v(%)]d % . (4)

1=\ о

где X - изменяемая величина, е(еь е2, ..., ет) - единичный вектор, компонентами которого являются направляющие косинусы прямой, причём, как извест-

т

но Е е1 = \.

к=\

При движении вдоль этого луча, т.е. придании X увеличивающихся значений с малым шагом ДХ , произойдёт смена механического состояния, обусловленная двумя возможными причинами:

Рис. 3

При учёте (4) уравнение (3) становится интегро-дифференциальным

B(x)v"(x) + Z Fj [v(x) - v(Sj)] + k©[v(x) - v©]d| = 0,

j=1 0

x е L.

(5)

x

Для его решения к нему необходимо присоединять граничные условия, которые могут быть самыми разнообразными в зависимости от типа опор. Учёт их работы для обычных случаев влечёт появление четырёх дополнительных условий к уравнению (5) и, следовательно, увеличение порядка производных до четырёх. Тогда целесообразно перейти к дифференциальному уравнению соответствующего порядка. Такой результат достигается после двукратного дифференцирования по переменной x уравнения (5), в результате чего оно примет вид

[B(x)v"(x)]" + N(x)v"(x) + q(x)v'(x) = 0, x e L, (6)

где введено обозначение для продольной сжимающей силы

N(x) = Z Fj +xq©d|.

j=1 0

Уравнение (6) имеет очевидное тривиальное решение v(x) = 0 , что соответствует прямолинейному

равновесному положению стержня, т.е. обычному простому сжатию. Такой случай не является предметом интереса данного исследования. Поэтому далее задача будет состоять в том, чтобы найти такой вектор p, которому могут соответствовать ненулевые решения, т.е. искривлённые положения равновесия.

Определение границы между областями устойчивости и неустойчивости (иначе вычисление собственных значений и функций дифференциального уравнения (6)) аналитическими методами возможно лишь в простейших задачах, где, например, В(х) = const, q(x) = const, отсутствуют сочетания нагрузок, и они хорошо изучены. Решение более сложных задач таким способом сопряжено со значительными математическими трудностями или во многих случаях невозможно. Выход из такого затруднения состоит в использовании численных методов. Поэтому далее воспользуемся методом конечных разностей и разобьём длину стержня на n одинаковых отрезков с шагом h = l/n, c номерами узловых точек i = 1, 2,..., n, n + 1.

Вместо непрерывной функции непрерывного

аргумента v(x) введём сеточную функцию yi * v(xi), xi = (i - 1)h . Тогда производные в уравнении (6) можно представлять приближённо в виде конечноразностных соотношений

v ' (x-) * (y+1 - y -1) / 2h, v " (x-) * (y+1 - 2y + y+1)/ h 2 , в силу чего оно примет вид

ci,i-2 У,-2 + ci,i-1 У, -1 + c,,,y, + ci,i+1 y,+1 + ci,i+ 2 У,+2 = 0,

i = 3,4,..., n-1. (7)

C (X) =

При этом к левой части (6) процедура замены второй производной конечноразностным соотношением применена дважды. Коэффициенты уравнения имеют значения:

Сц-2 = 4-1, ^- = -2(ВМ + Вг) + Ы^2 - / 2,

= Вг-1 + 4В. + Вг+1 - 2,

Сг,г+1 =-2(В + В.,1) + N^2 + qlhЪ /2,

Сг,г+2 = Вг+1, ' = 3, 4, п - 1

Здесь Иг = Ы(х) qi = q(xi).

Система уравнений (7) недоопределённая, её матрица коэффициентов пока является прямоугольной размерности (п - 3)(п +1). Недостающие четыре уравнения могут быть найдены лишь из граничных условий, в силу чего их необходимо конкретизировать.

Пусть оба конца стержня будут шарнирно неподвижно опертыми. Тогда на левом конце (х = 0):

- прогиб равен нулю, т.е.

у = 0; (8)

- изгибающий момент равен нулю. Поэтому

М(0) = 0 ^ В(0У (0) = 0 ^ V " (0) и

2У1 ~5У2 + 4Уз ~У4 h2

= 0 ^2yi - 5y2 + 4Уз - y4 = 0. (9)

На правом конце (х = l) аналогично: v(l) = 0 ^ yn+1 = 0, M(l) = 0 ^ B(l)v" (l) = 0 ^v" (l)

-уп-2 + 4уп-1 - 5уп + 2уп+1

= 0 ^

h2

(10)

(11)

^ - Уп-2 + 4Уп-1 - 5Уп + 2Уп+1 =

Уравнения (7) - (11) образуют алгебраическую систему

Су = 0, (12)

где у = (уь у2, - , уп+1} - вектор, компонентами которого являются отклонения стержня, С - квадратная матрица размерности (п + 1)(п +1)

Г 1

2 -5 4 -1

С31 c32 c33 c34

c42 c43 c44

L L

"и-1,и-3 ип-1,п-2 -1

"п-1,п-1

4

"п-1,п

-5

Нулевые элементы матрицы здесь не выписаны.

Критические значения X, а через неё и вектор р, т.е. координаты поверхности Г, определяются из уравнения

йе^С(Х)] = 0, (13)

которое является условием существования нетривиального решения уравнения (12). Алгоритм определения границы Г по второй вышеупомянутой причине,

c

с

с

c

п-1,п +1

т. е. по потере устойчивости будет таким же, как и по первой, но вместо уравнения (2) будет применяться (13).

Точке D е Г соответствует меньшее из значений

= тт(Хь Х2),

найденных двумя способами. Такая процедура повторяется многократно по множеству векторов e, имея в виду последующее построение предельной поверхности Г по результатам вычислений.

Пример. Рассмотрим стальной стержень (рис. 4), опертый шарнирно неподвижно по концам, имеющий круглое поперечное сечение с переменным диаметром

d = 0,015 + 0,01 8ш(ях//), при прочих исходных данных

т = 2, / = 1 м, Е = 200 ГПа, q(х) = ^ (х2// - х)//.

= 0,4 м, п = 100, от = 370 МПа, р1 = р2 = q1.

l

0

я

q(x) A(x), J(x)

- ™ -

—r

Fi

Si

Рис. 4

Hh

600

400

200

q1l, H

-200

-400

-600

®

2 \ \ \ \ Г Vi 1 \

\ 1

: \П\

3 \ \iv\

\ Ш ^

i 1 4

Fi, H

-400

-200

0

Рис. 5

200

400

Пространство параметров представляет плоскость с системой координатных осей 0р1р2. Проведённые вычисления дали результаты, представленные на рис. 5.

Анализ рисунка обнаруживает следующее. Область допустимых состояний Q2 представляет собой замкнутую почти выпуклую фигуру, вытянутую в «северо-западном» направлении. Причина последнего факта в том, что точки, принадлежащие второму и четвёртому квадрантам, соответствуют нагрузкам, противоположным по направлению. При таком их сочетании для наступления предельных состояний требуются сравнительно большие значения сил, чем в других квадрантах, где нагрузки сонаправлены.

Граница Г области Q2 разбивается на характерные участки, состыкованные в точках 1, 2, 3, 4 и соответствующие двум критериям смены механических состояний. Точки участков 1-2, 3-4 получены из уравнения (2) и соответствуют переходу из упругого состояния в пластическое. Точки участков 4-1, 2-3 получены из уравнения (13) и соответствуют переходу из упругой прямолинейной формы равновесия в упругую, но уже криволинейную форму равновесия. По координатам точек, принадлежащих данным участкам, можно легко определить те значения нагрузок, которые традиционно называются критическими.

Поступила в редакцию

Область Q2 разбивается лучами 0-1, 0-2, 0-3, 0-4 на характерные секторы I, II, III, IV. В каждом из них возрастанию сферической нормы вектора р отвечает своя характерная смена механических состояний. Рост сферической нормы ||р|| в секторах I и III при пересечении поверхности Г влечёт смену упругого состояния и прямолинейной формы равновесия на пластическое состояние материала с сохранением прямолинейности стержня. То же самое первоначальное состояние в секторах II и IV при возрастании нормы приводит к переходу на криволинейную форму равновесия при упругой работе материала.

Литература

1. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций. М., 1977. 154 с.

2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М., 1967. 984 с.

3. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М., 1968. 504 с.

4. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю. Об устойчивости многопролётного стержня с переменной жёсткостью // Материалы Междунар. науч.-практ. конф. «Строительство -2006» / Ростовский госуд. строит. ун-т. Ростов н/Д., 2005. С. 126-128.

17 июля 2008 г.

Культербаев Хусен Пшимурзович - д-р тех. наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная механика», Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик. Тел. 8-8662-44-00-09. E-mail: kulthp@mail.ru

Kulterbaev Hussein Pshimurzovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Holder of chair of applied mechanics», Kabardino-Balkarian State University, Nalchik. Ph. 8-8662-44-00-09. E-mail: kulthp@mail.ru

0

X