CC BY
26
М.А. Зуееу И.Н. Сисакян, А,Б. Шварцбург
О СТРУКТУРЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН С ПЕРИОДИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОЙ СРЕДОЙ
Исследования дифракции плоских волн на голографических решетках, а также проблемы управления параметрами излучения вызывают интерес к структуре полей в периодических средах [1,2].
В данной работе рассматривается падение s-поляризованной волны F = (E(y,z>-■е , 0, 0) из полупространства 2 > 0 с диэлектрической проницаемостью € = const на среду (z < 0) с неоднородным возмущением = е + /fe(y,z). При этом структура полей определяется уравнениями Гелъмгольца (k0 = а)/с):
77 к°
+ + к2 2 т „ 2 о
Е = 0 при z > 0
л
е
Е = -к
Зу
3z
ДеСу,z)•Е при г < О
(1 >
и стыковкой граничных условий:
z = + 0
= Е
z = -0
ЭЕ
37
z = + 0
ЭЕ
37
z = -0
С2)
Теория возмущений, традиционно применяемая для подобных задач, может быть построена различными способами [1~3]. Ниже предлагается рекурентная схема решения системы эквивалентных (1), (2) интегродифференциальных уравнений. Пусть
1 к • у - 1 к 'г У 2
Е( у,г > 0> = Е + ^ где задана падающая волна Е « Е "е 7 _
п а д от р п а д о
С к + к = к "б), а отраженная и преломленная Е = Е(у,г < 0) описывается
у г о от р пр
вытекающими из (1) уравнениями:
со
Е (у,г > 0) = / dy'-g, (Д ,z)-E Су',0); отр __' к у' отр ' '
(3)
OO
E <y,z < 0) = / dy'-gACA ,z)-E Cy',0) + F;
пр -co у пр ' '
C4)
— OO QO
F = /dz' • / d у ' • G £ (Д ,Z*,z)•k2•де(y ' ,z')•Er Cy'^z'),
о — OO ^ ^ ^
где G и g определяются с уметом условий излучения Функциями Ханкеля Н
С 5)
(1 )
G. (Д
к у
HV ' !к/д^ * С г 1 + г ) 2 J - Нм > (к Л* * С 2 1 -2 )
(1 ) о
g, (Л ,z ) = ^к у'
Э G. СА ,2 / 2 )
к у
3 z '
i к • I z |
Н
(1 >
к = к у/~е , к = кл V е, Д
о ' О ' у
При этом граничные условия
z ' =0 г/д2* z2
У
= У - у. (2) сводятся к
(к Уд2 + z2);
У
соотношению:
Э
37
оо
/ dy
z = 0 -
ОО
W2)
9к(Л
Е Су',0) = 2 i к -Е -е
п р z о
i к -у У
1L
3 z
(6)
z = 0 .
Уравнения (4)-(6) позволяют построить разложение Е^Су,*) по степеням Де,
т к -у
после чего определяется Еотр(у,0) = Епр(У'0) ~ Ео"е У и в соответствии с СЗ)
находится Е^ (у,г).
Будем рассматривать отклик на периодическое возмущение
то • у -Лде(у/2) = Де-е у
Тогда, вводя
д = У к2 - Ск +т -а Ъ = Ук2 - (к +та >2, = к , с|0 * £ ), (7)
нт У У т У У 0 2 0 2
на основании изложенной схемы получим интересующую нас структуру полей:
Е ® i(k +mо )•у m -i(q +по )-z
^ = s (де)m•е У у • Е b -е m"n 2 ; (8)
Ео т=0 п=0 тп
Ег>тг, ik-y + iq^-z со i (k +mo )-y + iq -z m
_£lf> = ( e У o + s (Де)ш.е ^ • 23 b / (9)
q0+q0 m=1 n=0 mn
где для коэффициентов b реализуются рекурентные соотношения:
mn
2q0 ka-b
о m-1,n-1 оо А ' "mn - - '
ЬЛ„ = -Г" , ь
СЮ)
'.♦5. .....
m (q +q + n-a >
Ь = - E b mo , mn
m m-n z
п=1 (д +3 )
Полученное решение (8)-(10) удовлетворяет исходной системе (1)-(2), что может быть проверено непосредственной подстановкой. Соотношения (8), (9) наглядно демонстрируют возникновение серии боковых лучей в каждом порядке теории возмущений по Де, При этом для каждого порядка т реализуется один отраженный луч с конечной амплитудой ~(Де)т и (т+1) преломленных. Как и следовало ожидать [2],
направления отраженных лучей характеризуется углами ф к оси г:
т
sin ф = (k +то )/к = sin а ♦ т-
т у у г
Л
У
где
а - угол падения (sin а = к /к);
Л = 2п/к - длина волны;
г = 2тi/o - продольный масштаб неоднородности возмущения ДАе.
Несколько сложнее описание преломленных лучейt амплитуды которых имеютр согласно (10), резонансный характер при о = (É¡m - Соответствующий предельный переход целесообразно обсудить, ограничиваясь первым порядком теории возмущений. В этом случае из (8)-(10) имеем компактные выражения:
Е<1) /q -q \ ik -y+iq -z i С k +0 )-y+iq -z (11)
51£ _ -e y ° " a-e y y 1 ;
Eo
(1 )
пр _
♦ b
2q
i к -y-iq0-z
<qo+qo>
i (k +o )у У У
- (a+b) • e
iCk +o ) • y - i q* z
i <q0+oz)•
где
2k • Де
о
(q +q )(q +q ) <q + q +CT >
0 0 11 О 1 2
t
(13)
2k
Де
b =
(14)
Из (11)-(1А) ясно, что в резонансном случае о^- а^ез = амплитуда а
(13) отраженной волны остается конечной. В преломленной волне при этом происхо дит слияние находящихся в противофазе боковых лучей. Соответствующая структура поля, обеспечивающая различные предельные переходы, имеет вид:
(рез)
пр _
2q
i (k +а ) -y-iq., mz У У +
(15)
2q
iyriVz
i(k +a ) ■ y-iq *
v v 7 ^ 1
- e
где
К + -
о *
q •(q + q ) 41 41 41
k0 ' Де ?
♦ k
Де
Действительно, при |к0-Деж2|
переходят друг в друга, а при о ствует френелевскому [2] :
« 1 и I(а2-а^ез)-2| « 1 выражения (12) и (15) * 0 (но конечных Де) соотношение (15) соответ-
пр
2 к
к +к 2 2
i к •у-iк -2
. " 2 ,
где
уТ:
л (ё+де) - к2
о у
В заключение следует отметить, что при малых о рассмотренная резонансная ситуация реализуется, если а ортогонален к направлению невозмущенного луча:
а -к ♦ орез.к = О
У У г г
Литература
1. Константинов О.В., Романов Ю.Ф. , Р ы х л о в А.Ф. ЖТФ, 1981 , т. 51 , вып. 2, с. 239-
2. Б о р н М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1 973.
3» Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
