CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 152, кн. 2
Физико-математические пауки
2010
УДК 535.32/58
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В СРЕДАХ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПРЕЛОМЛЕНИЕМ
С. О. Елютин, А.И. Маймистов
Аннотация
Теоретически рассмотрено распространение импульсов накачки и ее второй гармоники в квадратично нелинейной метасреде при условии, что лилейные свойства материала характеризуются отрицательным показателем преломления па частоте пакачки и положительным показателем преломления па частоте гармоники. Получены аналитические решения в виде периодических кпоидальпых воли и связанных уединенных волн пакачки и гармоники симултопов. Численно исследована полная система уравнений модели, включающей такие факторы, как дисперсия групповых скоростей второго порядка, эффект разбегапия импульсов пакачки и гармоники из-за различия направлений их групповых скоростей. Получен аналог соотношения Мэпли Роу для параметрических процессов в метасредах.
Ключевые слова: отрицательный показатель преломления, вторая гармоника, импульс, дисперсия, модуляция, солитоп, эффект разбегапия.
Введение
Развитие нанотехнологий за последнее время привело к созданию новых материалов с необычными свойствами метаматериалов. Метаматериалы представляют собой периодические плазмонные структуры с пространственными параметрами порядка длины волны видимого или ближнего ПК-диапазона, размещенные в диэлектрической среде. В оптическом диапазоне эти структуры как некоторый квазинепрерывный материал демонстрируют сильную дисперсию. Метаматериалы могут вести себя как среда с отрицательным показателем преломления (ОПП) вследствие отрицательности как эффективной диэлектрической проницаемости материала, так и его магнитной проницаемости [1]. В этом случае электрическое поле, магнитное поле и волновой вектор составляют левую тройку векторов, для которой вектор Пойнтинга потока энергии и волновой вектор антипараллельны [2]. При этом метаматериалы называют левыми средами, или в английской транскрипции 'left-handed materials" (LHM). В LHM падающий и преломленный лучи лежат по одну сторону от нормали к границе преломления [3].
Необычные свойства сред с ОПП ярко проявляются, когда показатель преломления в одной спектральной области может быть положительным, в другой спектральной области он отрицателен. Импульсная генерация второй гармоники (ГВГ) [4] представляет собой один из примеров процесса, когда можно смоделировать взаимодействие волновых пакетов, несущие частоты которых лежат в различных спектральных областях, в которых показатель преломления имеет различные знаки. ОПП здесь выявляется в форме пространственного распределения иитенсивностей взаимодействующих воли [5 7]: излучение гармоники происходит навстречу волне основной частоты. Квадратично нелинейная метасреда действует как распределенное брэгговское зеркало. Недавние спектральные измерения в ме-таматериалах с различной структурой элементарных ячеек надежно зафиксировали отклики на удвоенной и утроенной частотах возбуждения [8. 9]. Особенностью
параметрических процессов в отрицательно-положительных метасредах является неисчезающий эффект разбегания (walk-off effect) импульсов накачки и гармоники из-за различия направлений их групповых скоростей. Совокупное действие механизмов пелинейностей и дисперсии групповых скоростей делает динамическую картину распространения параметрически связанных волн довольно сложной.
Целыо настоящей статьи является моделирование процесса трехволнового смешения в специфических условиях, когда для волны фундаментальной частоты среда является «левой», тогда как для гармоники «правой». Далее в работе вслед за формулировкой основных уравнений рассмотрены случаи, где возможны аналитические решения модели. В предельном случае непрерывных волн получаются выражения, являющиеся аналогом соотношения Мэнли Роу, но в применении к исследуемой «правой-левой» среде. Численными методами исследованы переходные процессы формирования импульсов второй гармоники в метасреде с учетом процессов разбегания импульсов и дисперсии групповых скоростей взаимодействующих воли.
1. Основные уравнения модели
Генерация второй гармоники (ГВГ) есть трехволновое взаимодействие по схеме + ^ = 2^1 = 2ш, где и о>2 _ несущие частоты накачки и гармоники) в квадратично-нелинейной среде. В квазигармоническом приближении медленных амплитуд и для случая коллинеарного распространения волн гармоники (Е2) и накачки (Е1) уравнения нестационарной ГВГ выглядят следующим образом [10]:
д_
1dz ' Vq 1 dt
1 д\ Did2 с* iz(k'2 ) m
д , 1 d\F D2d2 C2r-iz(k,-2ki)
Tz + ^d-t)£2~—d^£2---X \ (2)
где vg,i, vg,2 - групповые скорости волновых пакетов, представляющих импульсы накачки и гармоники; hj2 = (wj/c)2E(wj)y(wj); e, у - диэлектрическая и магнитная проницаемости; xi = X(2)(wi; w2, —wi), х2 = X(2)(w2; wi,wi) (здесь x(2) ^нелинейная восприимчивость второго порядка). Коэффициенты D1 и D2 определяют дисперсию групповых скоростей на фундаментальной частоте и частоте гармоник. Направление распространения взаимодействующих волн, тем самым, определяется параметром sj - знаком квадратного корня из h2.
Из условия коллинеарного синхронизма Ah = 0 следует, что волновой вектор гармоники k2 = 2k 1. Если среда характеризуется положительным показателем преломления, то векторы ki,2 и векторы Пойнтинга взаимодействующих волн направлены одинаково. Однако вектор волны с несущей частотой в спектральной области отрицательного преломления (si = —1) и соответствующий ей вектор Пойнтинга направлены в противоположных направлениях. Если допустить, что на частоте второй гармоники среда дает положительное преломление, то импульс накачки, на частоте которой коэффициент преломления среды отрицателен, вызовет волну гармоники с противоположным по отношению к падающей волне накачки направлением фазовой скорости и, соответственно, излучение на удвоенной частоте во встречном направлении. Для такой схемы взаимодействующих волн уравнения ГВГ (1), (2) с учетом выражений для поляризации перепишутся в нормализованном виде:
dei а d2ei , • • * /о\
-дС=г2^+ге1~ге^ (3)
de2 ,вд2б2 . хдв2 .в 2
—— = —г—т—г--i^eo — о—--\- 1-е-,. 4
д( 2 дт2 дт 2 К
В (3). (4) произведена замена переменных и введены обозначения:
Ei = Eoei(C,r)exp(-«C), ¿2 = Eoe2(Z,т)ехр(гДС - 2iZ), z = L(,
L , „ s ,. L , 2nc
i = -r+-lC-, A=-,
c vg,1 w
L = (c/27rw)v/£i/Vi(ioXi)_1 = Av/£i/Ati(47r2foXi)_1,
DiL D,L
I ~ Г2 / 2 ' Ml;2 —
L2/c2' 1 L2/
£1,2 = £(^1,2), Y =Д - 2, Д = LДk, 2X2 = X1,
О ^2X2 /£1М2
W1X1 V £iM2 \Vg,1 Vg,^
L
тивное преобразование накачки в гармонику. Огибающие импульсов взаимодействующих волн нормированы на £o- В уравнениях (3), (4) считается, что ось z направлена против направления групповой скорости импульса накачки. Импульс
z
z
у передней плоскости с координатой z = 0.
Параметр 6 учитывает эффект разбегания (walk-off effect) импульсов фундаментальной волны и гармоники из-за различия их групповых скоростей. Тем самым 6 есть мера нарушения группового синхронизма, который характерен для взаимодействия уединенных воли, дополнительно к фазовому синхронизму. В отличие от стандартной ГВГ, когда при малой разнице между групповыми скоростями накачки и гармоники эффект разбегания мал, в нашем случае, как минимум, 6 > 2 и эффект разбегания всегда присутствует.
Из уравнений модели (3), (4) с учетом граничных и начальных условий: |e1j2(Z = 0, т)|2 ^ |е10,20(т)|2 и |e 1,212 ^ ^и т ^ получаем интеграл
движения
в
1е2|2 - T^kil2 ) с1т = const. (5)
Для непрерывного излучения отсюда вытекает соотношение, аналогичное соотношению Мэнли Роу. Соотношение Мэнли Роу отражает новый тип фазового синхронизма, который в [6] был назван «обратным синхронизмом». Это принципиальное отличие параметрического взаимодействия волн в средах с отрицательным преломлением.
Для рассмотрения возможных аналитических решений перейдем к действительным переменным в системе уравнений модели (3), (4): е1 = aехр(г<£ч), е2 = = b ехр(г^2)- Получим:
da а / dadw1 д2^1л\ , . ^
db db в ( db dw2 ,dV2 \ в 2
+ ^ " И + Ъ-ТОГ = оа (7)
dZ дт 2 V дт дт дт2 J 2 ду>1 а
д2
- 2 ^ "а 1 = -аЬсо8ф' (8)
Рис. 1. Амплитудно-модуляционная неустойчивость кондснсатного решения: (и) накачка, (б) гармоника. Параметры ао = 1.12, Ьо = 0.25, А = 3, 7 = 1.0, в = 1.0, 5мт = 1.0, а = в = — 1, амплитуда модуляции =0.1, штоа = 0.5.
где Ф = - 2^1.
2. Аналитические решения: волны без фазовой модуляции
Класс решений уравнений модели (6)-(9) определяется условием отсутствия временной или обоих, и временной и пространственной, фазовых модуляций (чирпа фазы), то есть д^1.2/дг = ^1)2, и/или д^1;.2/д£ = к1)2 являются константами, в частности нулями.
2.1. Конденсатные решения. Рассмотрим решения системы (6)-(9). где амплитуды волн являются константами: а = а0 и Ь = Ь0 при условии отсутствия временного чирпа фазы: ^1>2 = 0. Тогда из (6) следует, что Ф = 0 или Ф = шп, и уравнения (7) для Ф = 0 дают:
д^1 1 и д^2 , 0 2,-1 ,ЛпЛ
0
Ьо (А — 2Ьо) = -ао-
Решение (10) аналогично «конденсатному» решению нелинейного уравнения Шре-дингера. которое при определенных условиях проявляет модуляционную неустойчивость. Численный пример модуляционной нестабильности решения (10) представлен на рис. 1. Под воздействием слабого гармонического возмущения конден-
а
структура кноидальных волн в поле гармоники (рис. 1. 6).
2.2. Генерация второй гармоники в непрерывном излучении. В случае непрерывной накачки и при выполнении условия фазового синхронизма (Д = 0)
система уравнений (6) (9) принимает вид:
д^ в 2
— = ab sin Ф, — = - ar sin Ф, дс дс 2
(11)
дФ Л в 2\ V ;
Первые два уравнения системы (11) имеют первый интеграл в форме соотношения Мэнли Роу:
в
-о2 - Ь2 = eg = const. (12)
Для слоя нелинейного материала толщиной l краевое условие записывается как
a(Z = l) = ao, b(Z = 0)=0. (13)
При выборе постоянной разности фаз Ф = п/2 решения системы (11) выглядят следующим образом
b2 = c0tg2(coZ), a2 = 2с2в-1 cos-2(coZ), (14)
co
Г2 со
eos (c0l) =
V О ao
При увеличении l параметр co как первый корень трансцендентного уравнения стремится к нулю. Показатель эффективности ГВГ определен следующим выражением
„_ |b(Z = /)|2 2с0
М2 2 V еа%
и r ^ 0/2 пр и I ^ ж.
2.3. Примеры стационарных волн в процессе ГВГ в LHM. Пусть условие фазового синхронизма Ф = 0 выполнено, тогда 0 2 = 201 = 20. Считая величины К2 = 2ki = 2к постоянными, можно определить фазы взаимодействующих воли
= kZ + 0т, = 2kZ + 20т. (15)
Стационарные волны на обеих частотах должны распространяться как единое целое с одинаковыми скоростями, то есть решения системы (6) должны быть функциями общей переменной y = т — Z/V,
а = а(т — Z/V), b = Ь(т — Z/V),
где, как это можно получить из (6),
V-1 = а0 = 5 — 2ß0.
Это выражение определяет параметр «мгновенной скорости» 0 = 5/(а + 2ß). Все стационарные волны распространяются с абсолютной скоростью
1 1 (а 2ß \ 1 f D1 2D2
VS а + 2в \Vg,2 Vg l) Dl + 2D2 \ Vg2 Vg l
В принятых выше допущениях простейший класс решений модели (6) (9) получается в предположении пропорциональности решений для накачки и гармоники
Ь = /а.
Принимая такую связь, из (6) можно получить определения:
Функция а(у) определяется уравнением
д2а (2к Л 2/ 2
— = — + П2 а+^-а2. (16)
ду2 \ а у а
1. Граничные условия для решения в виде уединенной волны а ^ ао и йа/йу ^ ^ ^и т ^ Пусть дисперсионный параметр а = — 1 и в > 0, тогда пара-
метр в будет также отрицательным. В принятых предположениях стационарные решения уравнений (11), или уравнения (16), соответствующие яркому солитону, задаются выражением
(Зр/4)У2рГ
совЬ2 - Уо)/2]'
= 2Г ^—"—77^7' (1?)
Ъ(у) = , -, (18)
совЬ" [у/р(у - уо)/2]
где р = (П2 — 2к) должен быть положителен для принятых граничных условиях. Физически решения (17), (18) означают захват одной волны другой с образованием связанного состояния двух волн квадратичного симултона.
2. Периодические решения уравнения (16) в виде кноидальных волн на пьедестале соответствуют выбору параметра граничных условий: 0 < ао < 3р/4/.
Если 0 < ао < р/4/, то решение уравнения (16) может быть получено после ряда вычислений в следующем виде:
г(у) = ао + (3/2/) [в + (р — 4/ао)] сп2
чв + 3(р + 4/ао)
Если р/4/ < ао < 2р/4/, то решение уравнения (16) есть
Г/ в \ 1/2
а(у) = а0 + (3/2/) [р - (р - 4/а0)] сп2 1 1 ^ Здесь использованы следующие обозначения:
1/2
(у — Уо), т+
2'1Эв \ Г.. .. N „ +
(У-У0),т~
(19)
(20)
т± = - ( 1 ± 3<уР | , Р= \/3(р + 4/оп)(Зр — 4/ао),
сп(г, т±) - эллиптическая функция Якоби модуля т± и аргумента г.
3. Моделирование нестационарной ГВГ в ЬНМ-ПНМ
Объектом численного моделирования является полная система уравнений (6) (9), описывающая ГВГ в ГНМ-Т1НМ с учетом дефектов фазового (А) и группового (6) синхронизмов, дисперсии групповых скоростей волн накачки и гармоники (а, в)- Принципиальным отличием эффектов генерации гармоник в ГНМ
Рис. 2. Распространение импульсов накачки (ft, г) и гармоники (б, в) в протяженном LHM-образце без дисперсии групповых скоростей. Параметры: А = 2, y = 0, в = 0.5, а = 0.0, в = 0.0, S = 7.5 TpUiSe = 1. На вставке (д) пространственное изменение энергий накачки и гармоники в сравнении с уровнем, задаваемым модифицированным соотношением Мэн ли - Роу
от соответствующих параметрических процессов в традиционных средах является взаимодействие волновых пакетов накачки и гармоники на встречных направлениях. Лишь в некоторых специальных случаях (см. выше аналитический пример 1) стационарных волн происходит захват гармоники уединенной волной накачки и образование связанного состояния двух солитонов.
На задней грани образца задано краевое условие в виде падающего имиульса накачки. Для гармоники задано краевое условие на входной плоскости LHM-образца с координатой z = 0. Поскольку через переднюю грань нет потока энергии на высокой частоте, то из физических соображений правильным будет выбрать граничное условие для гармоники нулевым.
В примере, представленном на рис. 2, присутствует конечная отстройка от условия фазового синхронизма, вследствие чего эффективность преобразования в гармонику невелика (рис. 2, б) и волна накачки практически не истощается (рис. 2, а). В пространственно-временном поведении волны гармоники в отсутствие дисперсии групповых скоростей наблюдается два характерных эффекта. Во-первых, наблюдается несколько периодов пространственной модуляции амплитуды импульса гармоники ввиду конечной длины когерентности (Д = 2) (рис. 2, б, д), во-вторых, что характерно именно для ГВГ в лево-правой метасреде, отчетливо наблюдается эффект разбегании импульсов фундаментальной волны н гармоники из-за различия их групповых скоростей (walk-off effect) (рис. 2, б, в). Часть энергии гармоники (рис. 2, б) в результате взаимодействия с накачкой распространяется но той же характеристике, что и волна низкой частоты. Однако из области, где вследствие модуляции интенсивность гармоники резко уменьшилась (рис. 2, б), возникает излучение линейной слабой волны вдоль характеристики второй гармоники (рис. 2, в). В результате профиль волны гармоники расщепляется - эффект,
Рис. 3. Распространение импульсов пакачки (а, в) и гармоники (б, г) в протяженном LHM-образце при учете дисперсии среды. Параметры: А = -2, y = -4, в = 0.5, а = -0.5, в = -0.4, S = 5.0, TpUise = 1. На вставке (д) пространственное изменение энергий накачки и гармоники в с уровнем, задаваемым модифицированным соотношением Мэпли Роу
характерный именно для обсуждаемой модели ГВГ, когда эффектом "walk-off" пренебречь принципиально нельзя.
Быстрый спад амплитуды волны накачки по трассе распространения (рис. 3, д) обусловлен расплыванием временного контура уединенной волны (рис. 3, а). Из-за малости интенсивности фундаментальной волны в глубине метаматериала интенсивность гармоники у передней грани образца также мала (рис. 3, б). Как и в предыдущем, бсздисперсионном случае, из области, совпадающей с характеристикой волны накачки, вследствие эффекта "walk-off" возникает излучение вдоль характеристики второй гармоники. Эта особенность хорошо заметна на карте в градациях серого как асимметрия волнового процесса (рис. 3, г). Замечательно, что выраженная дисперсионная модуляция поля излучения (рис. 3, б) имеет нсосцил-ляторный характер, что можно было бы ожидать при дополнительном учете дисперсии групповых скоростей. На пространственно-временной карте процесса ГВГ (рис. 3, г) видно, что поле излучения разбивается на последовательность уединенных волн, стартующих из области распространения основного импульса гармоники, причем длительность формируемых слабых сигналов и их скважность убывают к задней границе среды. Как видно по временному контуру импульса второй гармоники, вышедшему па заднюю грань мстасрсды, эти сигналы имеют правильную колоколообразную форму. При увеличении толщины образца всплески на контуре разовьются в отдельные импульсы. Возникновение волн пространственной модуляции, начинающихся на разных участках временного профиля входного импульса накачки, есть признак нелинейных изменений фаз взаимодействующих волн. В результате временная форма выходного импульса накачки оказывается изрезанной двумя и возможно большим числом максимумов (рис. 3, б). Однако интеграл движения в виде модифицированного закона Мэнли Роу (5) остался неизменным (рис. 3, д).
Заключение
В работе аналитически и методами численного анализа исследована нестационарная ГВГ в искусственной среде, электромагнитные свойства которой допускают изменение знака коэффициента рефракции для волн разной частоты. Аналитически показана возможность возникновения связанного состояния фундаментальной волны и волны гармоники в виде уединенных импульсов. Отличительной особенностью рассмотренной модели от процессов ГВГ в средах с положительным преломлением является наличие неисчезающего эффекта разбегания импульсов фундаментальной волны и гармоники из-за различия их групповых скоростей. Этот эффект хорошо заметен в численном анализе переходных процессов ГВГ на встречных направлениях групповых скоростей параметрически связанных волн. Совокупное действие нслинейностей, дисперсии групповых скоростей и эффекта "walk-off" определило богатую динамику процесса ГВГ. включая формирование во временной шкале цуга хорошо выраженных импульсов, излучаемых из области формирования импульса гармоники.
Нам доставляет удовольствие поблагодарить АЛ!. Башарова и II.Р. Габитова за полезные дискуссии.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 09-02-00701-а, 09-07-12144-офи) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 2013 гг.
Summary
S.O. Elyutin, A.I. Maimistuv. Noiistationary Parametric Processes in Negative Refraction Media.
The article gives theoretical analysis of propagation of the fundamental wave and the second harmonic wave in quadratic nonlinear met.amedia. The linear properties of met.amat.erial are characterised by a negative refraction index at the fundamental frequency and a positive refraction index at the second harmonic frequency. The analytical solutions in the form of periodic cnoidal waves and the coupled pump and harmonic waves simultons, are obtained. The complete model, which includes the factors of dispersion of the second order group velocities and the pulse walk-off effect, is numerically investigated. A relation similar to the Mauley Rowe law is obtained for parametric processes in met.amat.erials.
Key words: negative refraction index, second harmonic, optical pulse, dispersion, modulation, soliton, walk-off effect.
Литература
1. Shelby R., Smith D.R., Schultz S. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction // Science. 2001. V. 292. P. 77 79.
2. Веселаго В.Г. Электродинамика материалов с отрицательным показателем преломления // Усп. физ. паук. 2003. Т. 173, № 7. С. 790 794.
3. Pendry J.В. Negative refraction makes a perfect lens // Pliys. Rev. Lett. 2000. V. 85, No 18. P. 3966 3969.
4. Sadorn M., D 'Aguanno G., Bloemer M. et al Dynamics of short pulses and phase matched second harmonic generation in negative material // Opt. Expr. 2006. V. 14, No 14. P. 4746 4756.
5. Shadrivuv I.V., Zharuv A.A., Kivshar Yu.S. Second harmonic generation in nonlinear left-handed metamaterials // J. Opt. Soc. Amer. B. 2006. V. 23, No 3. P. 529 534.
6. Popov А.К., Slabko V.V., Shalaev V.M. Second harmonic generation in left-lianded metamaterials // Laser Pliys. Lett. 2006. V. 3, No 6. P. 293 297.
7. Maimistov A.I., Gabitov I.R., Kazantseva E. V. Quadratic solit.ons in media with negative refractive index // Optics and Spect.r. 2007. V. 102, No 1. P. 90 102.
8. Kim Evgenia, Wang F., Wu W. et al Nonlinear optical spectroscopy of photonic metamaterials // Pliys. Rev. B. 2008. V. 78, No 11. P. 113102-1 113102-5.
9. Klein M. W., Wegener M., Feth N. et al Experiments on second- and third-harmonic generation from magnetic metamaterials // Opt. Expr. 2007. V. 15, No 8. P. 5238 5247.
10. Maimistov A.I., Gabitov I.R. Nonlinear optical effects in artificial materials // Eur. Pliys. J. Special Topics. 2007. V. 147. P. 265 86.
Поступила в редакцию 22.12.09
Елютин Сергей Олегович кандидат физико-математических паук, доцент кафедры физики Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» (Московского инженерно-физического института).
Е-шаП: elyutin.eiinail.ru
Маймистов Андрей Иванович доктор физико-математических паук, профессор кафедры физики твердого тела и папосистем Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» (Московский инженерно-физический институт), профессор Московского физико-технического института (государственного университета).
Е-шаП: rn.aimistovepieo.rn.ephi.ru
