CC BY
47
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И Том VIII 1977
№ 1
УДК 533.6.011.8
О СТРУКТУРЕ ТЕЧЕНИЯ МНОГОАТОМНЫХ ГАЗОВ ОКОЛО ТЕЛ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ РЕАКЦИЯМИ
Н. К. Макашев
Исследован подслой неравновесного течения, который образуется при наличии интенсивных реакций как в газовой фазе, так и на поверхности тела. Концентрации компонентов или заселенности различных уровней внутренних степеней свободы молекул в этом подслое перестраиваются от значений, определяемых реакциями на поверхности, к значениям, соответствующим реакциям в газовой фазе. Процессы, протекающие в неравновесном подслое, имеют определяющее значение для формирования течения в целом.
При исследованиях обтекания тел химически реагирующими смесями многоатомных газов, в частности при расчете возникающих при этом пограничных слоев, обычно делаются упрощающие предположения о характере протекания реакций в газе и на поверхности. Так, например, были рассмотрены [1] равновесный пограничный слой и слабокаталитическая поверхность, замороженный или неравновесный пограничный слой и каталитическая поверхность. В этих случаях отсутствует такое взаимное влияние реакций в газовой фазе и на стенке, которое требовало бы введения новых элементов в структуру потока. В работе [2] было указано на то, что при обтекании некаталитической поверхности равновесным потоком решение в целом может быть построено лишь в том случае, если допустить существование около поверхности подслоя неравновесного течения. Однако ни толщина этой области, ни течение в ней не были изучены.
Ниже будет показано, что при наличии в газе и на поверхности тела достаточно интенсивных реакций течение по своей структуре может быть гораздо более сложным, чем обычно. Большое значение для формирования течения здесь имеет область, расположенная в непосредственной близости от тела, в которой параметры газа перестраиваются от значений, определяемых свойствами поверхности и, в особенности, реакциями на ней, к значениям, соответствующим процессам, протекающим в остальном
течении. Состояние газа в этой области в отличие от основного потока является существенно неравновесным. Толщина области имеет порядок га-1/2Ь, где е — число Кнудсена, л — хе/х1г, /, — характерный размер тела, хе и — характерное время релаксации поступательных и внутренних степеней свободы (время реакции) молекул. Если реакции в газе настолько интенсивны, что те — тЛ, толщина рассматриваемой области совпадает с длиной пробега молекул в газе, т. е. перестройка течения происходит в кнудсеновском слое, что еще раз указывает на то, что в ряде случаев учет слоя Кнудсена, описываемого только кинетическим уравнением Больцмана, принципиально необходим при построении основного приближения к решению задачи обтекания.
Важное значение здесь также имеет выбор модели, описывающей взаимодействие молекул газа с поверхностью. Ниже делается вывод о том, что часто используемое описание такого взаимодействия с помощью только коэффициентов аккомодации* в ряде случаев является неудовлетворительным.
1. Пусть некоторое достаточно гладкое тело обтекается многокомпонентной смесью многоатомных газов при наличии химических реакций или возбуждении внутренних степеней свободы молекул и М—1, Ие > 1. Предположим сначала, что поток имеет обычную структуру (пограничный слой и невязкая область), и посмотрим, к каким противоречиям это в некоторых случаях может привести. Как показано в [3, 4], течения многоатомных газов при г -> 0 и произвольном соотношении между величинами и можно описать с помощью уравнений газодинамики, имеющих тот же вид, что и в случае неравновесных течений (х^ — &, 8 — характерное время течения), но с коэффициентами переноса, зависящими от сечений как упругих, так и неупругих столкновений. Уравнение сохранения числа частиц сорта 2 в пограничном слое, полученное из этой системы уравнений, запишем в первом приближении (без учета кривизны поверхности) в виде
дп„ дп„ иг дп„ л
-аГ + ^ + -^Г+-£ь, = Т),
1ау = X Вы -Ту 1Г + ’
(1.1)
где Яц, /а — числовая плотность и диффузионный поток 2-молекул; и, Т — скорость и температура газа; /?2 — скорость образования 2-молекул в результате химических реакций или иных неупругих столкновений; /)2ф, /^—коэффициенты бинарной и термической диффузии; X; и у — координаты в тангенциальном и нормальном к поверхности направлениях. Если реакции в газе таковы, что тя<^ — т- е. «>е, то из (1.1) следует, что плотности от-
личаются от равновесных значений «°, удовлетворяющих уравнениям /?а (л?, Т) — 0, на величины порядка Исходя из
* Имеются в виду взаимодействия, приводящие к изменению внутреннего состояния молекул.
** Для медленных течений с М нетрудно показать, что течение будет
почти равновесным при а > в2. В этом случае отличие л2 от равновесных и® имеет порядок г2/а < 1 [5].
этого, можно получить значительно более простые уравнения равновесного пограничного слоя и граничные условия к ним. В частности, условия на поверхности выглядят так:
Условие для иу является следствием, во-первых, соотношения, описывающего баланс потоков частиц на поверхности
где /?<г№—скорость образования 2-молекул в реакциях на поверхности, К — величина порядка константы скорости гетерогенной реакции, и, во-вторых, равенства нулю стехиометрической суммы Ед/аЯа®*. Решение такой задачи может быть построено, но оно в ряде случаев не будет соответствовать действительности. В этом можно убедиться, подставив решение в условие баланса (1.3). Согласно полученному решению л2иу — /2у— п% Оо е1/2, однако плотности «д, соответствующие условиям у поверхности, в частности ее температуре Тт, после подстановки их в выражение для
не обязательно делают величиной порядка «2^/0э£1/2. Очевидно, такая ситуация возможна лишь в следующих случаях:
слабые реакции на поверхности, вследствие чего условие (1.2) при паиу—Jsy — п^иозЬ112 не накладывает жестких ограничений на значения Пв у поверхности;
совпадение значений я2, соответствующих равновесию реакций в газе при Т=Тт и равновесию гетерогенных реакций (если, например, на поверхности протекают обратимые реакции). С учетом того, что в общем случае в газе и на поверхности могут протекать различные реакции, такое совпадение является маловероятным.
Наконец, к течениям, которые могут быть описаны в рамках выбранной структуры, следует отнести и течения при —8, т. е. а'--е, когда величины л2 в газе могут быть произвольными. В остальных случаях структура должна включать в себя новые элементы, которые позволили бы в полной мере удовлетворить граничным условиям у поверхности [5].
2. Предположим, что необходимая перестройка течения происходит в некотором подслое с толщиной 8*, расположенном в непосредственной близости от поверхности. Следует ожидать, что состояние газа в этом подслое является неравновесным, т. е. в нем протекают реакции с существенно большими суммарными скоростями образования молекул определенного сорта, чем в обычном пограничном слое, где Здесь же л2/0, что
должно привести к значительному увеличению скорости переноса молекул, например, за счет диффузии. Поэтому величину 8.,. можно определить, сравнивая эти два члена в (1.1):
* В тех случаях, когда в реакцию на поверхности не вовлекается вещество этой поверхности, величина О равна нулю.
(1.2)
(Яз Иу + 1'зу) I у=0— /?£2®| —/?а°да (Лф (у=0), Тт) + О (/С/ау), (1-3)
откуда
ЕЛ-1/2 Ь.
(2.1)
Таким образом, видим, что эта новая область течения, которую назовем подслоем неравновесного течения, при а — 1 совпадает с кнудсеновским слоем, при а~е — с пограничным слоем. Для промежуточных значений а подслой неравновесного течения много тоньше пограничного слоя и много толще слоя Кнудсена*. Получим уравнения, описывающие подслой в предположении, что Характерной чертой подслоя является то, что концентрации компонентов изменяются поперек него на свою величину и, как следствие, в общем случае так же изменяется и температура газа. По этой причине справедливы оценки
д па 1 «1/2 дТ Г* а1'2 . гг т
ду п е ’ пу Ь г ’ ^со а .
Из (1.2) следует, что иу\у=о или равна нулю („непротекание*
на поверхности), или имеет порядок диффузионной скорости, т. е.
|иу | — С/оо а1/2 » С/оо е1/2. (2.2)
Как видно из (2.2), нормальная составляющая скорости в подслое в случае вовлечения материала поверхности в реакции на ней имеет величину, много большую, чем в обычном пограничном слое. Поэтому определяющее значение для структуры течения в целом имеет знак йу. Если иу> 0, то внешнее течение аналогично течению при сильном вдуве (см., например, [6]); при иу<СО течение вне неравновесного подслоя эквивалентно течению при сильном отсосе газа на поверхности тела. В тех случаях, когда иу [ =о = 0, внешним течением является равновесный пограничный слой с несколько иными, чем обычно, условиями „на стенке“: необходим учет конечного, в общем случае, изменения температуры поперек подслоя.
Поскольку в рассматриваемой ситуации (е«а«1) перенос импульса в газе осуществляется в основном в результате упругих столкновений, естественно предположить, что неупругие столкновения, приводящие к перераспределению концентраций и температуры, не оказывают столь сильного влияния на характер распределения среднемассовой скорости, который остается в основном тем же, что и во внешнем течении, так что могут быть сделаны такие оценки:
, п <4 _1/2 и* , диX , *,/2 т, , <Г *3/2 П .
иу | У = 0 — фу ' £ £ > ^ О-и • • ^12 и а>, 11у^ ^ иоо ,
в,|,=о>0, Иу~а1/2{/те,
ди, -1/2 г/
«У |з-=0< о, Иу~а»/*£Усо, -------------- 2~ .
Необходимо также отметить, что характерное время в подслое может быть иным, чем в основном течении, потому что величина ^ здесь определяется переносом газа по нормали к поверхности:
„ 8* Л„ „
* Оценка (2.1), очевидно, не зависит от скорости набегающего потока. При М 1 расширяется область значений а, для которых основное течение будет равновесным. Если М ~ е, то для а > е2 набегающий поток является равновесным; при а — е3 подслой неравновесного течения занимает здесь всю область течения.
Однако везде ниже для простоты будут рассматриваться лишь стационарные (в масштабе времени д4.) течения.
С помощью проведенных оценок получим уравнения, описывающие неравновесный подслой во всех трех возможных случаях:
I- йу | У“0 ~ 0, |
д . а ди др д I (2.3)
а7Уеу = (й*> -П, Iх оу = О, -ду — 0, 0у ду = 0 ;
II. ыу|у=о>0,
дп0 и., а дои~
г>, 4г=о.
диг _ др_ д да, др_п рНУ ду ~ г ^ Р- -йу , — и,
Ш*т + + с) 4 2 к,;
(2.4)
III. «УЬ=о<0,
дп,, д йрии
—~Ту--------Г -др /иу = /?9 («ф, 7"), -^- = 0,
<4 ар л
ду ду ^ ду ’ ду ’
д ! 3 , , г\ диу (ди^ \г й
ЯЙ--Т-.1 —Л7- + Я] -„Р— __*у
У ду \ 2 1 / И ду ' г \ ду / дучУ'
д_ ду
Здесь, кроме определенных выше, введены обозначения: ^ ^— коэффициент вязкости, — полный поток тепла, Е = Еа Ха Еа — средняя внутренняя энергия молекулы, где Хя = па!п, Ея — внутренняя энергия молекулы сорта 2. Заметим,что в случае „непроте-кания" на поверхности величина ду остается постоянной поперек подслоя лишь в том случае, если в реакциях сохраняется число частиц, т. е. £а/?д=0.
Поскольку в подслое неравновесного течения градиенты температуры концентраций значительно больше, чем, например, в обычном пограничном слое, эффекты, связанные с присутствием кнудсеновского слоя, проявляются здесь сильнее: величина скачка температуры для поверхности, диффузно испускающей молекулы, имеет порядок а1/2. На скорость скольжения процессы, протекающие в неравновесном подслое, не оказывают столь значительного влияния, лишь в случае иу\у=о<^0 она имеет порядок а1# Ц». Следовательно, для а 1 наличием слоя Кнудсена у поверхности в первом приближении можно пренебречь; в качестве граничных условий на поверхности во всех трех случаях имеем*
Т | у=0 = Тт, их |у=о = 0, (п0 «у + _/ау) | у—о = /?№>,. (2.5)
Условия на внешней границе получаются из сращивания решения в подслое с решением во внешней области течения. В ходе
* По поводу последнего из условий см. также [7, 8], где рассматривался вопрос об учете членов, обусловленных слоем Кнудсена.
процедуры сращивания нетрудно показать, что градиенты температуры и концентраций при ^->оо в координатах подслоя стремятся к нулю, а «о — к равновесным значениям соответствующим температуре на внешней границе. Сращивание решения для среднемассовой скорости вследствие отмеченных выше причин приводит к менее вырожденным условиям на внешней границе подслоя:
3. Для того, чтобы определить характер задач, возникающих при расчете таких течений, рассмотрим несколько конкретных случаев. Пусть, например, подслой неравновесного течения возникает на теле при обтекании последнего однокомпонентным многоатомным газом; химические реакции отсутствуют, иу |у=0 —0. Поскольку 8,— и а « 1, неравновесный подслой может быть описан в рамках обобщенного приближения Эйкена [3], согласно которому в однокомпонентном газе
причем коэффициенты переноса (?, X и ц совпадают с соответствующими коэффициентами в одноатомном газе. Из последнего уравнения системы (2.3) и условий сращивания при у -> оо следует, что
1 дТ л п дЕ — О
СР ® ч
откуда при числе Льюиса Ье — —^—=1 имеем интеграл
ловиями на поверхности (2.5), находим температуру на внешней границе подслоя Те:
Теперь задача о равновесном пограничном слое может быть поставлена и решена, в результате чего определятся как поток тепла к телу, так и трение на его поверхности (Рту и <7у здесь постоянны поперек неравновесного подслоя). Если же Ье Ф 1, то для получения таких результатов необходимо определить структуру самого подслоя, что будет сделано ниже для газа из двухуровневых молекул и (для простоты) для Ье = 1.
Введем новые переменные:
где величины с индексом 0 соответствуют _у = 0, а величины с индексом е—внешней границе подслоя.
срТ + Е — const, из которого при известных Tw и Xaw = —— ,
П у—0
(3.1)
определяемых ус-
ср Те + Е° (Те) = Tw + Еа Xsw, Те ф Т„.
У
у
Тогда система уравнений (2.3) (без уравнения для их) примет
вид
дх , . . дХ и: ; & •
Jol, — JoJ, Cpj0
h— 1 - E*~E'
**-*» CP(T°~ Te) ’
причем для т, j, X справедливы граничные условия:
| = 0, i = l, j — 1, А' = 0;
S = oo, т = 0, / = 0, Х=1.
(3.2)
(3.3)
Из (3.2) и (3.3) легко установить, что X + ^ = 1. Это соотношение является следствием интеграла (3.1). Предполагая, что т, как и X, монотонно изменяется по I (в противном случае скорость реакции R2 обращается в нуль внутри подслоя, что маловероятно), примем х за независимую переменную. В результате для у получим уравнение
«Э/2 , 2Х
дх hCpil
откуда с учетом (3.3) найдем
Ri (х).
Л =
he.
f lR2dx. (3.4)
і у
В связи с равенством (3.4) возникают два вопроса. Во-первых, всегда ли положительна величина, стоящая справа? И, во-вторых, какой знак должна иметь величина у0 в зависимости от условий задачи?
Исходя из определения константы h, нетрудно найти, что решение должно быть таково, чтобы у0Л-<0. Из таких же соображений следует, что знак R2 всегда совпадает со знаком h, т. е. выражение, стоящее справа в (3.4), неотрицательно. Таким образом, зная конкретный вид R2 и X, из (3.4) можно определить константу у*о== j2 у о* После этого могут быть решены уравнения (3.2) и найдена структура подслоя.
Пусть R2 = KRiT)[Xl{T)-Xti], где Х°(Т) = exp (—|f")[ 1 +
— і
, ДE — Ei— Еь причем AE<^kT.
В этом случае уравнения (3.2) могут быть существенно упрощены, так как изменение температуры поперек слоя невелико и имеет порядок AE/kTw<^\. Несложно показать, что R2(x)zzs
. В результате из
уравнений (3.2) получим
t = j= 1 X — exp ( = ехр(- у ^у ] . (3.5)
В этой связи интересно отметить, что толщина подслоя неравновесного течения, которую на основании (3.5) можно опреде-
ной фронта ламинарного пламени [9]. Вследствие определенно существующей аналогии между волнами горения и подслоя неравновесного течения последний может быть также назван „пристеночной волной горения11. Эта аналогия становится еще более выраженной в тех случаях, когда % о»=о)>0. Такая ситуация будет рассмотрена ниже.
перек подслоя. Величина градиента на этом этапе решения
является известной величиной, так как пограничный слой может быть рассчитан после получения решения уравнений подслоя неравновесного течения для температуры и концентраций.
4. Пусть теперь в газе происходят обратимые бимолекулярные реакции Д, -f А2^±А3 + Л4) причем компоненты газовой смеси вступают в реакцию и на поверхности: 1Л Ах Ч- /2Л25=^4^з + 1*Аа. В эту поверхностную реакцию вовлекаются молекулы вещества тела, так что Ь.1т — 13 т& + /4 /п4 — 1Х тх— 12т2 ф 0, тя — массы молекулы 2 компонента. Скорости образования молекул сорта Q в газе и на поверхности представим в виде [9]: Rb=(\—Rg, Rqw={1’q—Iq)Rw, где v2 и /а — стехиометрические коэффициенты реагентов, ч' и /" соответствуют продуктам прямой (-*) реакции, а и l's — реагентам, вступающим в эту реакцию. Предположим баланс потоков тепла на поверхности таким, что при температуре поверхности, равной Tw, скорость иу положительна. Действительное соотношение между потоками тепла, при котором реализуется такое течение, может быть получено в результате решения задачи с известной Tw и известным знаком иу. Закон диффузии и выражение для полного потока тепла q для простоты примем в следующей форме:
Кроме этого, предположим, что число Льюиса равно единице, т. е.
В этих условиях уравнения системы (2.4) записываются следующим образом (без уравнения для и,):
лить
фактически совпадает с известной толщи-
Распределение их находится из условия постоянства по-
йм,
Ка Va = — D V Уя , q = -kS/T+ р5>аКа Vs,
. (cp) 1 / \ V* v 5
Le =-----^-=1, (cp) = 2* CpQ Ya, cpS = -Y
5_ _k_
2 ms ■
2
* u 1 & M■= p«v=const, ——
* Я5
d% di d dF = 1.
(4.1)
где
t Г М J f (ёр) М , t = )-Wdy = i—T-d-v-
о г о
Из последнего уравнения системы (4,1) следует, что величина удельной энтальпии газа I является постоянной величиной и не зависит от I. Используя это, можно найти температуру на внешней границе неравновесного подслоя, если известны величины концентраций о, которые определяются из рассмотрения условия баланса потоков молекул у поверхности (1.3) и уравнений (4.1) (на этом подробнее остановимся ниже). Однако и после того, как найдена температура Те, внешнюю задачу здесь решить нельзя, так как неизвестной еще остается величина расхода М, которая является, как будет показано далее, собственным числом данной задачи*.
Условия (1.3) после некоторых простых преобразований позволяют установить равенство М = Ят&1гп. Подставляя его опять в (1.3), запишем эти соотношения в виде
Ь,гт\,ї
у __ *3,4 т3,4 = дГ3,4 j
5=0 ’ 3,40 |s-o' ‘
ь20 1 Д 1т ~~ д%
Сравнивая (4.1) и (4.2), найдем граничные условия для ха:
Ь,2т1,2 *3.4 «3.4 /Л оч
Х1-20 =------ШГ * *»•« = —ШГ~ • <4-3>
После введения в (4.1) новых переменных
Х2 — *з/(уа — ^а) Шя, Уя = Уа/(?а — уа) М&
правая часть уравнений для х* не зависит явно от индекса £2. Это
позволяет произвести дальнейшие преобразования функций х*
и У%, следуя известному методу Шваба — Зельдовича [9], и таким образом значительно упростить решение задачи. Пусть
*2 = Ус = У ы — У і, 2 = 2, 3, 4;
тогда систему (4.1) можно переписать таким образом:
дх* дУ*
dt <с„> ЛР ’ дї
Уі—*и
дг.0 д¥„ ~ ~
0, ---2 = 2,3, 4.
д£
(4.4)
Из последних двух уравнений следует, что xs = Fs = ,z2 = const, причем константы zs легко определяются с помощью (4.3), откуда . is ~ h
2 Mm ' '
* Внешняя задача может быть решена после определения Те, если на поверхности происходит вдув реагентов с известными и неравновесными по отношению к реакциям в газе концентрациями и с известной величиной ЛЇ~р0С а’/г. В этом случае около поверхности также существует подслой неравновесного течения, описываемый такими же уравнениями. Подробнее об этом см. ниже.
В результате получим соотношения между значениями массовых концентраций Ys у поверхности:
V _V т-2 1Ч ~ ll ™ V _ V М3,4 , l3,A — h ,л
— ШГтУз-40 — г 10 —^ !---W3.4, (4.5)
которые вместе с условием слабой неравновесности поверхностной реакции
Ri О7,,о, Tw) = О
должны определить значения всех Ya при у—О, а вместе с ними и значения удельной энтальпии I.
Таким образом, условие баланса потоков молекул различных сортов у поверхности здесь играет такую же роль при расчете равновесных концентраций компонентов газовой смеси, соответствующих гетерогенной реакции, как и условия сохранения числа атомов определенного сорта в химических реакциях газовой фазы при расчете равновесного состава. В то же время анализ соотношений (4.5) позволяет сделать определенные выводы и о реальной осуществимости стационарных течений такого типа для конкретных реакций на поверхности. Действительно, решение задачи можно в принципе построить лишь в том случае, если выполняется требование неотрицательности Ys, удовлетворяющих системе (4.5) и условию = 0. В том, что это не всегда так, легко убедиться, взяв в качестве примера гетерогенную реакцию вида /,Л,^/3Л3, т. е. при 12 — 14 = 0.
Из того факта, что / = const поперек подслоя, можно получить
w* Л/*
Kl° ~ У'* AF — ...А. д/ k
Tw-Te 2 Mm к'
где А а --= а3 + а4 — ах — а2.
Кроме того, в рассматриваемом случае справедливо равенство
(ср) =-^-k ^l— = const. С учетом этих выражений система уравнений, описывающих неравновесный подслой, запишется в виде дУ ch.
—v ° t —х. (4.6)
Я д; {ср)МНУк- У*е) й
О Т - Те у Уг-У°е *1 - У и
Здесь Т = _-----, Г =---------5- , , причем при вы-
Т™-Те’ Ую-У°и Ую-У°и
воде уравнений (4.6) учитывалось, что при \ -> оо У°е, как
это следует из условий на внешней границе подслоя и уравнений
(4.1). Функции "с, У и х в силу своего определения удовлетворяют граничным условиям:
-.0, т=1. Y = I, « = -(4
• оо, т = 0, У — о, * = 0.
(4.7)
Из (4.6) и (4.7) легко установить, что т== У. Это является следствием постоянства / поперек подслоя. Предполагая, что т
и У монотонно изменяются по £, выберем т в качестве независимой переменной. Тогда для х получим уравнение и граничные условия к нему:
-£- = 4 Ч^гТ) . А-1^(ср)МЦУ;0-У;еу,
= 0, х = 0; х=1, х = -(А^-1 У?Лк10 - К?е)->.
(4.8)
Это уравнение имеет первый порядок, поэтому удовлетворить обоим граничным условиям можно лишь при некоторых значениях параметра А, являющегося, таким образом, собственным числом задачи (4.8). Пусть А0 — такое собственное число. Тогда решение задачи существует лишь в том случае, если М2 — [(ср) Л0(Кю —
- Я.)]"1 >0. Если это условие выполняется (можно ожидать, что это так в тех случаях, когда т, У и х монотонно изменяются поперек подслоя), то структура течения определяется из уравнений (4-6). .______
—1 1
Так как А0 — X-1/?™ , то иу имеет величину порядка — у >--<■■■ >
т. е. совпадает по величине со скоростью волны горения, которая также является собственным числом соответствующей задачи [9].
Определив профили температуры и концентраций в подслое, можно найти распределение и* и отыскать величину трения на
ди, др
поверхности. Решением уравнения для «т: риу ■ ' ■ =---57 +
д ди
+ , удовлетворяющим условию сращивания на внешней
границе подслоя, является выражение
Ит== 1~5гехр[
о
где
о
Течение, подобное рассмотренному, возникает и в том случае, если на поверхности тела происходит вдув реагентов с известными концентрациями, температурой и известным общим расходом массы, причем скорость вдува имеет величину порядка а112 их. При вдуве с большими скоростями течение в неравновесном подслое с толщиной порядка может быть описано без учета вязких
членов. Отличительной чертой задачи с вдувом реагентов является то, что стационарное ее решение можно построить всегда, поскольку ограничения на решение, подобные приведенным выше, в данном случае отсутствуют. Метод же решения остается тем же самым.
5. Если реакции в газе протекают настолько интенсивно, что те~х;? и а—1, подслой неравновесного течения совпадает с кнуд-сеновским слоем. Параметры газа в таком слое Кнудсена изменяются на свою величину, поэтому задачу необходимо решать,
исходя из нелинейного кинетического уравнения Больцмана для многоатомного газа. Вследствие чрезвычайной сложности этой задачи рассмотрим ее приближенно, следуя известному методу Максвелла, для модельного случая однокомпонентного газа из двухуровневых молекул, причем Е2~^> Ех.
Пусть на поверхности протекают процессы возбуждения и дезактивации молекул, описываемые в стационарном состоянии следующими уравнениями баланса частиц в адсорбированном слое:
Здесь — интенсивность падающих на поверхность молекул, поверхностная плотность которых равна Л^; Ка, Кй, К* — константы скоростей возбуждения, дезактивации и десорбции; (1—5)—• вероятность адсорбции; V — коэффициент „размножения" молекул при дезактивации и возбуждении*. При этом для потока частиц пи у, который сохраняется поперек слоя Кнудсена, получим
Поскольку параметры газа сильно изменяются поперек кнуд-сеновского слоя, в качестве функции распределения падающих молекул следует взять максвелловскую функцию со сдвигом в пространстве скоростей на иу и плотностями соответствующими равновесию между всеми степенями свободы молекул при. температуре Те. Предположив, что 0<> — 1<^1, линеаризуем эту функцию по му и запишем ее в виде
где Еа — скорость У-молекулы, ке = т(2кТе)~1.
Считая, что молекулы, покидающие поверхность, также распределены по максвелловскому закону с температурой, равной Тгв, и учитывая постоянство поперек слоя Кнудсена не только пиу,
тока импульса при этом нарушается), для иу и скачка температуры получим выражения
* Принимается такая модель процессов на поверхности, когда в результате дезактивации (возбуждения) результирующее число молекул не равно начальному из-за перехода молекул под действием этих процессов из массы вещества тела в адсорбированный слой и обратно.
пиу = АГ* АГі — ^ (1 — 5) — /> (1 — 5) = (V — 1) (1 — S)J2.
3/2
/а® (їау < 0) = П%е
но и потока энергии
(постоянство по-
и.
уе
(5.1)
где Е°(Те) — средняя равновесная внутренняя энергия при температуре Те. Из (5.1) видно, что в случае Д£’~/:7’ скачок температуры имеет величину порядка единицы. Для более высоких температур, когда (Д£’/АГ)-^0, величина скачка температуры определяется выражением
Т'- ^ ЛГ иуе ~ - 0,44 кЦ2 иуе,
совпадающим с найденным в [8] в результате точного численного решения модельного уравнения Крука (для задачи умеренно сильного испарения). Величина иуе в нашем случае определяется взаимодействием реакций в газе и на поверхности. Если, наоборот, температура газа недостаточно высока, так что ЬЕ/кТ^ 1 и реакции практически заморожены, скорость иУе и скачок температуры, обусловленные взаимодействием реакций в газе и на стенке, стремятся к нулю, а газ по своим свойствам приближается к одноатомному.
В заключение заметим, что при сильно нарушается
и равновесие на поверхности. Более того, скорости реакций на поверхности в этом случае могут быть найдены лишь в ре-
зультате решения задачи о слое Кнудсена.
6. Наконец, обратимся к вопросу о выборе модели взаимодействия многоатомных молекул с поверхностью. Когда необходимо описать такое взаимодействие при наличии химических превращений молекул на поверхности тела, широко используется модель химических реакций, протекающих в лэнгмюровском адсорбированном слое (см., например, [7]). Если же на поверхности имеют место лишь изменения в степени возбуждения внутренних степеней свободы (колебаний, вращений и т. п.), то для описания таких процессов иногда используют по аналогии с моделью, описывающей взаимодействие с поверхностью одноатомных молекул, соответствующим образом определенные коэффициенты аккомодации для различных групп степеней свободы (см., например, [10])
Е1с
Здесь индекс г соответствует 1-й группе степеней свободы молекул (в общем случае включающей в себя как поступательные, так и внутренние степени свободы), характеризующейся двумя основными признаками: а) этой группе может быть поставлена в соответствие температура 7^; б) величина (ггс — е1г), вычисляемая для частиц, находящихся непосредственно у поверхности, с необходимой точностью совпадает с потоком энергии к телу за счет этой группы степеней свободы, определенным по газодинамическому решению вне слоя Кнудсена. Под е/с, е;> и подразумевается энергия, заключенная в *-й группе степеней свободы молекул, соответственно падающих на поверхность, отражающихся от нее и отражающихся после достижения полного равновесия между поверхностью и падающими на нее молекулами.
Таким образом, при а;=1 у молекул, покидающих поверхность, температура, соответствующая г'-й группе, равна температуре поверхности Тш\ при а(. = 0 отраженные молекулы имеют ту же температуру Ть что и падающие. Нетрудно видеть, что в рамках этой модели взаимодействия не может существовать ситуация, описанная выше и приводящая к необходимости введения подслоя
неравновесного течения. Такая модель взаимодействия молекул с поверхностью лишь допускает неравновесность у поверхности, если она существует уже в потоке («г = 0), но не описывает поверхности, которые сами создают такую неравновесность.
Необходимое обобщение в определение а1 можно ввести, считая функцией не одной, а нескольких заранее заданных (т. е. определяемых свойствами поверхности) температур Тш. Однако и эти яобобщенные“ коэффициенты аккомодации могут оказаться непригодными для описания течений около поверхностей с такими свойствами, что распределение покидающих их молекул по энергиям внутренних степеней вообще не соответствует больцмановс-кому с какой-то определенной температурой Тг„,. Например, это может происходить по той причине, что в спектре энергетических уровней отраженных молекул ряд уровней (или большинство из них) вообще не заселен. В этих случаях единственно возможной моделью (из известных) является та же модель лэнгмюровского адсорбированного слоя, что и для химических реакций. При этом в модель адсорбированного слоя могут включаться коэффициенты аккомодации там, где это возможно, например, при описании состояния поступательных степеней свободы молекул, покидающих поверхность с максвелловским распределением по скоростям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сб. „Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике", под редакцией Г. И. Майкапара. М., „Машиностроение", 1972.
2. Chung Р. М. Chemically reacting Nonequilibrium boundary layers. Adv. in Heat Transfer, vol. 2, 1965.
3. Галкин В. С., Коган М. Н., Макашев Н. К. Обобщённый метод Чепмена — Энскога. Ч. 1. Уравнения неравновесной газовой динамики. „Ученые записки ЦАГИ", т. 5, № 5, 1974.
4. Макашев Н. К. О свойствах обобщенного метода Чепмена— Энскога. В сб. .Молекулярная газовая динамика', Труды
ЦАГИ, вып. 1742, 1976.
5. Макашёв Н. К. О решении уравнения Больцмана в задачах обтекания тел в режиме сплошной среды. В сб. „Молекулярная
газовая динамика*. Труды ЦАГИ, вып. 1742, 1976.
6. Матвеева Н. С., Н е й л а н д В. Я. Сильный вдув на теле конечной длины в сверхзвуковом потоке. .Ученые записки ЦАГИ", т. 1, № 5, 1970.
7. Коган М. Н., Макашев Н. К. О граничных условиях для течений с химическими реакциями на поверхности. „Изв. АН СССР. МЖГ\< 1972, № 1.
8. Макашев Н. К. Испарение, конденсация и гетерогенные
химические реакции при малых значениях числа Кнудсена. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 3, 1974. .
9. Вильямс Ф. А. Теория горения. М., „Наука", 1971.
10. Кузнецов В. М., Кузнецов М. М. О граничных условиях для течений многоатомных газов. „Журн. прикл. мех. и тех. физ.', 1975, № 4.
Рукопись поступила 20\1 1976 г.
5—Ученые записки № 1
