CC BY
20
О структуре динамических возмущений в упругих пластинах, генерируемых локальными импульсными воздействиями
М.А. Чертов, А.Ю. Смолин, Е.В. Шилько, С.Г. Псахье
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
На основе применения метода подвижных клеточных автоматов проведено компьютерное моделирование импульсного ударного воздействия на плоскую металлическую мишень. Анализируется структура упругих волн, возникающих при динамическом нагружении. Отмечается, что численный подход позволяет моделировать ситуации, которые чрезвычайно сложно исследовать в рамках аналитических подходов. Показано, что характеристики возбуждений, наблюдаемых в компьютерном эксперименте, находятся в соответствии с аналитическим описанием. Показана возможность образования повреждений как результата взаимодействия возмущений, инициированных удаленными источниками.
1. Введение
Существует множество технологических процессов, в которых поверхности подвергаются ударному воздействию всевозможных типов. Это может быть интенсивная ультразвуковая обработка, бомбардировка горячими или расплавленными частицами в технологиях плазменного напыления, холодными твердыми частицами в технологиях холодного газоплазменного напыления [1-3]. В результате такого ударного воздействия в мишени возникают упругие волны, особенности структуры которых чаще всего не учитываются. Поскольку подобные упругие волны сопровождаются значительными градиентами смещений и напряжений, то можно ожидать, что они при определенных условиях будут вносить вклад в упомянутые процессы.
Для исследования данной проблемы в настоящей работе на основе метода подвижных клеточных автоматов [4, 5] был проведен ряд численных экспериментов, в которых моделировалось поведение металлических образцов при локальных импульсных воздействиях.
2. Метод подвижных клеточных автоматов
Моделирование проводилось на основе двумерной версии метода подвижных клеточных автоматов, который весьма успешно зарекомендовал себя в ряде задач вычислительной механики твердого тела, в том числе динамических [6, 7]. В рамках этого метода моделируе-
мая система представляется в виде ансамбля взаимодействующих частиц или клеточных автоматов, имеющих конечный размер. Метод наследует все преимущества классического метода клеточных автоматов, при этом добавляется способность автоматов к пространственному движению и вводятся новые параметры состояния, которые отнесены к паре автоматов. Такими параметрами, в частности, являются деформация и напряжение в паре. Взаимодействие задается соответствующей функцией отклика для автомата, которая определяет механическое поведение моделируемого материала. Фактически задается локальная зависимость напряжения от деформации для каждого элемента среды.
Для всех автоматов задаются начальные условия, а эволюция моделируемой системы определяется численным интегрированием уравнений движения. Поскольку автоматы имеют конечный размер и обладают моментом инерции, то уравнения движения Ньютона-Эйлера записываются с учетом поворотов:
Т
dt2 а2ег'
dt2
где Е1 = f1 + т1; к = (п хТ); f1, т1 — нор-
мальная и тангенциальная составляющие силы взаимо-
© Чертов М.А., Смолин А.Ю., Шилько Е.В., Псахье С.Г., 2004
действия; пу — единичный вектор нормали, определяемый через радиус-векторы центров автоматов R1 (/) и
I (/).
расстояния от центра до точки касания ^ .
пу = (и} - иг' )Д/+/).
Взаимодействие элементов среды является многочастичным, то есть состояние ближайших соседей дает свой вклад во взаимодействие пары. Полная сила, действующая в паре автоматов у, записывается в виде [8]:
^ = ри + X с (/ ку(а/, ik )р'к + k * /
+ Х с (/ / )у (а у, /) ру.
IФ i
Здесь ру — парная сила межавтоматного взаимодействия; FІJ — полная сила в паре с индексом у. Чисто парный вклад во взаимодействие определяется функцией отклика автоматов, зависящей от деформации в паре. Коэффициент С (у, iк (/I)) связан с переносом взаимодействия от пары ik (у1) к паре у. Член у (а у, к) связан с взаимным расположением пар элементов у и ik, в конечном итоге он предназначен для эффективного учета расширения автоматов вследствие ненулевого коэффициента Пуассона [9] (рис. 1).
Парное взаимодействие определяется функцией отклика материала, из которого составлен автомат. Можно выделить четыре основных типа функции отклика автоматов (рис. 2). В простейшем случае межавтоматное взаимодействие полагается упругим и линейным. В
этом случае функция отклика является линейной функцией параметра перекрытия (рис. 2, а). На рис. 2, б представлен вариант функции отклика для материала с деградацией упругих свойств. В отличие от случая, приведенного на рис. 2, а, где нагрузка и разгрузка идут по одному пути, здесь при достижении некого критического значения ад начинается понижение упругого модуля, разгрузка и последующие циклы нагрузки идут с меньшим наклоном. Такое поведение может быть обусловлено накоплением повреждений. Примеры функций отклика для необратимого поведения материала приведены на рис. 2, в, г. Случай, показанный на рис. 2, в, соответствует пластической деформации, когда разгрузка идет с исходным упругим модулем, а функция отклика, приведенная на рис. 2, г, — комбинации пластического течения и процессов деградации материала.
В данной работе рассматривался модельный материал, пластические свойства которого не учитывались. Упругий модуль и плотность материала соответствовали характеристикам алюминия: Е = 70 ГПа, р = 2930 кг/м3, предел прочности а с = 100 МПа.
3. Результаты моделирования
Расчеты проводились в двумерной постановке. Размер автомата составлял 0.5 мм. В начальный момент времени нагрузка в виде прямоугольного импульса с постоянной скоростью прикладывалась к середине или к краю моделируемой пластины. В расчетах варьировались сила удара, его направление, а также размер образцов.
Результаты моделирования показали, что общим, характерным явлением для всех вариантов является возникновение достаточно сложной структуры (вихреподобных пакетов скоростей) на фронте возмущений, распространяющихся по образцу. Причем их пространст-
а , , 0 а, / <*(1 ■ б /&' /
8 8
а j ‘ 0 а ' ■ Ш
°С1
8 8
Рис. 1. Пример взаимного расположения автоматов. Параметры перекрытия h пар элементов у, ik и]1 соответствуют деформации в парах
Рис. 2. Примеры функций отклика автоматов; ай — предел упругого поведения (точка деградации), а с — прочность
венная конфигурация во всех случаях оставалась неизменной.
В случае, когда толщина пластины была достаточно велика (по сравнению с длиной волны), движение частиц среды по эллиптическим траекториям было сосредоточено вблизи поверхности (рис. 3). По характеру движения частиц эту волну можно идентифицировать как волну Рэлея.
На рисунке в объеме образца четко видна продольная волна, распространяющаяся с большей скоростью. Скорость поверхностной волны составляла ~2.17-2.5 км/с, тогда как значение, полученное из теории упругости, — 2.93 км/с. Следует отметить, что здесь фактически распространяется некий пакет гармонических волн Рэлея, возбужденных в начальный момент приложенной нагрузкой. Поскольку в идеальном (упругом) случае рэлеевские волны не обладают дисперсией [10, 11], то он практически сохраняет свою форму.
В случае достаточно тонкой пластины движение по эллиптическим траекториям захватывает всю толщину образца (рис. 4).
Волны в тонких пластинах, когда поверхностные колебания у каждой границы оказывают друг на друга влияние, называются волнами Лэмба. Движение по эл-
липтическим траекториям, которое видно на рис. 4, соответствует движению частиц в нулевой антисимметричной моде Лэмба (а0) [10]. При й ^ 0 (й — толщина пластины) такие волны еще называют изгибными волнами в тонких пластинах [12]. На рис. 4 также видна нулевая симметричная мода (я0), которая распространяется с большей скоростью. В этом пределе (й ^ 0) смещение частиц для нулевых мод происходит в соответствии с соотношениями:
иХ = А(ш) вт(к8 х - Ш),
иу = 2В (ш) соб( к8 х - Ш),
иХа = С (ш) вт(ка х - шг),
иу = (ш) соб( ка х - шг),
причем осиXи 2направлены, как показано на рис. 4, и z = 0 совпадает с серединой пластины. Здесь Ш — частота волны; к8 и ка — волновые числа для симметричной и антисимметричной моды; А, В, С, D — амплитуды смещений. Как отмечалось в [10], в симметричной волне преобладает смещение вдоль оси X, оно больше поперечного смещения, которое происходит за счет эффекта Пуассона, в (к d)-1 раз, где к — волновое число
Антисимметричная мода (а0)
Рис. 4. Поле скоростей в тонкой пластине. Начальный импульс V = 1.0 м/с приложен к левому верхнему углу образца под углом 45° к оси X
Повреждение вдали
Рис. 5. Структура межавтоматных связей после одновременного удара двумя частицами (V = 50 м/с) по нормали к поверхности. Видно повреждение, возникающее вдали от точек удара за счет наложения двух волн
поперечного звука. Смещение вдоль оси X постоянно по высоте пластины, а поперечное смещение изменяется линейно с высотой, оно равно нулю в середине пластины и максимально на ее поверхностях. В антисимметричной волне ситуация обратная. Поперечное смещение постоянно по высоте и в (каd)- раз больше продольного (ка — волновое число моды Лэмба а0). Продольное максимально на поверхностях и равно нулю в середине.
Отметим, что поле скоростей, показанное на рис. 4, соответствует приведенным выражениям для смещения лишь качественно, непосредственно за фронтом волны. Это связано с тем, что при расчетах подобных ударных воздействий наблюдаются все гармоники волн с частотами от 0 до Штах, которая определяется дискретностью задачи. Эти гармоники распространяются с разной скоростью, они обладают дисперсией, и, по-видимому, на рис. 4 отображена сложная картина, образованная комбинацией этих волн. Конечно, такая картина ближе к реальным ситуациям, возникающим в эксперименте. Так, из расчета видно, что волны, возбуждаемые локальным импульсным воздействием, при своем распространении сопровождаются сильными сдвиговыми напряжениями. Такие напряжения могут вызвать необратимые пластические деформации вблизи поверхности. Не исключено, что именно такие процессы могут приводить к явлению аномально высокоскоростного перемещения границ зерен, описанному в работе [13].
В случае бомбардировки поверхности потоком частиц, как это имеет место в реальных экспериментах, в частности, по холодному газодинамическому напылению, возможны различные эффекты, связанные с взаимодействием описанных поверхностных волн. В частности, в расчете было получено, что наложение двух поверхностных волн может приводить к генерации повреждений (или необратимому пластическому изменению материала) в областях, удаленных от точки приложения удара (рис. 5). Рассматриваемые волновые возбуждения переносят упругую энергию, которая, будучи максимальной в точке удара, естественным образом убывает по мере распространения. Тем не менее, если в данной точке среда уже ослаблена наличием неоднородностей или дефектов, то энергия волны может быть достаточной для инициирования необратимых изменений в материале, таких как генерация и накопление по-
вреждений, локальные фазовые превращения и т.д. Еще одним фактором, который приводит к превышению порогового значения энергии, необходимого для локализации необратимых изменений, может быть взаимодействие нескольких волновых возбуждений.
4. Заключение
В работе рассмотрена структура волн, возникающих при импульсном нагружении материала. Показано, что эта структура имеет характерный вид, который сохраняется в ходе распространения волны.
Характеристики возбуждений, наблюдаемых в компьютерном эксперименте, несомненно, находятся в соответствии с аналитическим описанием. Однако численное моделирование является более универсальным инструментом в том смысле, что позволяет анализировать распространение волн в случае более сложной конфигурации поверхностей, в присутствии различного типа включений, дефектов и т.д.
Отмечается, что перенос волнами упругой энергии на значительное расстояние может приводить к локализации пластической деформации и накоплению повреждений вдали от области нагружения. Это может происходить за счет взаимодействия с концентраторами напряжений и суперпозиции волн.
Литература
1. Солоненко О.П., Алхимов А.П., Марусин В.В. и др. Высокоэнергетические процессы обработки материалов / Низкотемпературная плазма. - Т. 18. - Новосибирск: Наука, 2000. - 425 с.
2. Шоршоров М.Х., Харламов Ю.А. Физико-химические основы детонационно-плазменного напыления покрытий. - М.: Наука, 1978.- 224 с.
3. Воздействие мощного ультразвука на межфазную поверхность ме-
таллов / Под ред. А.И. Манохина. - М.: Наука, 1986. - 277 с.
4. Псахье С.Г., Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин И.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Изв. вузов. Физика. - 1995. - Вып. 38. -№ 11. - С. 58-69.
5. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин И.Ю., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Моисеенко Д.Д., Татаринцев Е.М., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. -№1. - С. 95-108.
6. Psakhie S., Horie Y., Ostermeyer G., Korostelev S., Smolin A., Shilko E., Dmitriev A., Blatnik S., Spegel M., Zavsek S. Movable cellular automata method for simulating materials with mesostructure // Theor. and Appl. Fract. Mech. - 2001. - No. 37. - P. 311-334.
7. Psakhie S.G., Smolin A. Yu., Tatarintsev E.M. Discrete approach to study fracture energy absorbtion under dynamical loading // Comp. Mats. Sci. - 2000. - V ї9. - P. ї79-Ш.
S. Пcaxьe C.T., Ocmepмaйep Г.П., Дмumpueв A.И., Шилъко E.B., Ci^o-лин A.Ю., Kopocmeлeв СЮ. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики.
I. Теоретическое описание // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - М2 2. -С. 5-ї3.
9. Пcaxьe C.T., ЧepmoвM.A., Шилъко E.B. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 3. -С. 93-96.
10. Викторов И.А. Физические применения ультразвуковые волн Рэлея и Лэмба в технике. - М.: Наука, 1966. - 168 с.
11. Бирюков С.В., Гуляев Ю.В., Крылов В.В., Плесский В.П. Поверхностные акустические волны в неоднородные средах. - М.: Наука, 1991. - 416 с.
12. ЛандауЛ.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -
247 с.
13. Псахье С.Г, ЗольниковК.П. О возможности вихревого механизма перемещения границ зерен при высокоскоростном сдвиговом нагружении // Физика горения и взрыва. - 1999. - Т. 34. - № 3. -
С. 126-128.
On the structure of dynamic disturbances generated by local impulsive loading in elastic plates
M.A. Chertov, A.Yu. Smolin, E.V. Shilko, and S.G. Psakhie
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
Using the movable cellular automaton method impulsive loading of a flat metal target is simulated numerically. The structure of elastic waves generated by dynamic loading is analyzed. It is noted that the numerical approach allows us to simulate situations that are extremely complicated to study in the framework of analytical approaches. The characteristics of excitations observed in the numerical experiment are shown to fit with the analytical description. We show the possibility of damaging due to the interaction of disturbances induced by remote sources.
