CC BY
14
УДК 519.7
А.А. Мазуров1
О СТАЦИОНАРНЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ*
В статье изучаются свойства преобразования вектора значений функций трехзначной логики в вектор коэффициентов их полиномов. Аналогичное преобразование булевых функций применяется в криптологии, и его свойства подробно изучены. Введены стационарные классы функций трехзначной логики, получена их иерархия и точные значения количества функций в них.
Ключевые слова: функции многозначных логик, полиномы, преобразование Мёбиуса.
1. Введение. Булевы и fc-значные функции широко применяются в криптографии и кибернетике. В работах [1] и [2] исследовано преобразование между двумя представлениями булевых функций — в виде вектора значений и в виде полинома Жегалкина. Это преобразование линейно, и оно порождает классы функций, которые являются его собственными векторами. В этих работах установлены мощности таких классов функций, а также их иерархия и связь функций из них с другими важными свойствами.
В настоящей работе представлено обобщение полученных в [1] и [2] результатов на случай трехзначной логики.
2. Основные понятия. Пусть к — натуральное число, />• > 2. Множество всех натуральных чисел от 0 до к — 1 обозначается через /•-'/,: Е^ = {0,..., к — 1}.
Функцией k-значной логики от п переменных называется отображение /: /•,'/..
Множество всех функций fc-значной логики от п переменных обозначается Рк(п). Множество всех функций fc-значной логики (от любого количества переменных) обозначается Р^.
Вектором значений функции /, зависящей от переменных х\,... ,хп, называется последовательность значений функции на всех наборах от (0,..., 0) до (k — 1,..., к — 1) в лексикографическом порядке, т. е. на наборах, обозначающих числа от 0 до кп — 1 в fc-ичной системе счисления в порядке возрастания. Полиномом в fc-значной логике называется формула вида
/(ж 1,..., хп) = ^ ^ сах^1 2 ... хпп (mod к), аеЕ»
где ха = ^ ^ °а ~ ^ с„ G Ек, а = (аъ ...,ап).
а
Числа са называются коэффициентами полинома. Здесь и далее сложение и умножение элементов из /•,'/. (а именно значений переменых и значений функций, коэффициентов полинома) ведется по модулю к. Вектором коэффициентов полинома функции называется последовательность
с(0,...,0); • • • ) C(k — l,...,k — l) 1
где индексы расположены в лексикографическом порядке.
Для любого простого числа к и любой функции / € Рк существует и единственно представление этой функции в виде полинома с точностью до перестановки слагаемых [3].
Преобразование Мёбиуса — это отображение, переводящее вектор значений функции в вектор коэффициентов соответствующего ей полинома.
Утверждение 1 [4]. Преобразование Мёбиуса — это линейное преобразование в пространстве векторов размерности кп.
Теорема 1 [3, 4]. В преобразование Мёбиуса обратимо, если к простое, причем в i'-j
/х-Ч/) = /*(/)•
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: anat-mazurovQmail.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 09-99-00999.
Теорема 2 [1]. Количество функций от п переменных в Р->. таких, что //(/) = /, в точности
оп —1
равно 2
Пусть А и В — прямоугольные матрицы порядков тхпирхд соответственно. Кронекеровым произведением А х В матриц А и В называется матрица С размера тр х пц следующего блочного строения:
а,цВ а,12В ... а,1ПВ 0,21В 0,22В ... а,2пВ
С =
От 1 В а,т2В
,В
Кронекеровой к-й степенью квадратной матрицы А будем называть выражение
А,
А х
к = 1, к > 2.
Известны следующие свойства кронекерова произведения матриц. Свойство 1 [5]. (А х В)(С х I)) = (АС) х (ВО). Свойство 2. (Ах А)(В х В) = (АВ) х (АВ). Свойство 3. (АВ)М = АМ.ВН Свойство 4. (АТО)М = (А^)т.
Функцию / € Рк назовем стационарной функцией относительно р ^ 1, с константой т, если /*Р(Я = т-/,гдет6^\{0}.
Стационарным классом (функций п переменных) с константой т относительно назовем множество всех стационарных функций &-значной логики (зависящих от п переменных) с константой т относительно
Введем следующее обозначение: С}рт(п) = {/ £ -Рз(и) | ¿¿р(/) = т • /}.
3. О количестве функций в стационарных классах.
Теорема 3. В случае трехзначной логики матрица преобразования Мёбиуса для функций от п переменных Тп строится следуют,им образом:
Т, =
О 2 2
гр _ гр{п\
11! — 11 !
п> 2.
Доказательство. Доказательство следует из [6] непосредственной проверкой всех шагов рекурсии и вычислением коэффициентов.
Вернемся к преобразованию Мёбиуса. Поскольку количество матриц размера пхп в конечнознач-ных логиках конечно для любого п, последовательность степеней любой невырожденной матрицы даст либо исходную матрицу, либо единичную матрицу. Следующая теорема устанавливает степень, в которую необходимо возвести матрицу преобразования Мёбиуса для того, чтобы получить единичную матрицу.
Теорема 4. V/ € Р3 ¿¿8(/) =/.
Доказательство. Утверждение теоремы следует из того факта, что Т® = теоремы 3 о способе построения Тп и свойства 4.
Из предыдущего утверждения следует, что 8-кратное применение преобразования Мёбиуса к вектору значений любой функции 3-значной логики даст исходный вектор, поэтому достаточно рассмотреть только преобразования /х в степенях от 1 до 8.
Теорема 5. В Р3
д?(п) = р3(п),
Я1(п) = 0,
Яг (п) = Я\(п) = Я\(п) = Я1(п), д2(п) = я32(п) = я52(п) = я72(п), Я\(п) = Я\(п),
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
сЦ{п) = сЦ{п). (6)
Как видно из этого утверждения, достаточно рассматривать даже не все из них. Доказательство. Утверждения (1) и (2) теоремы следуют из теоремы 4. Все остальные равенства доказываются единообразно.
Докажем (4), наименее очевидное. Заметим, что если / € (¿2(п), то / € (¿^(п), ъ £ {1,3,5,7}, поэтому вложение <32 в остальные множества очевидно. Далее, пусть / принадлежит, например, (¿^(п), т.е. ¿¿3(/) = 2/. Тогда
м(/) = М9(/) = (м3)3(/) = 2/,
поскольку /х — линейное преобразование. Случаи (Зг (п) и ЯКп) рассматриваются аналогично. Теорема 6.
«21 (п) с д?(п) С <2$(п) с <21(п) = Рз(п), Я2{п) с д?(п), Я1{п) с Я\{п), Я\{п)^Я\{п) = Рг{п).
Доказательство. Рассмотрим первую цепочку включений. Достаточно заметить, что если м(/) = /; т0 /^2(/) = м(/) = /; из чег0 следует первое вложение цепочки. Все остальные вложения доказываются абсолютно аналогично.
3.1. Стационарные относительно //.' классы. Напомним, что в Р2 число функций, у которых вектор коэффициентов полинома совпадает с вектором значений функции, равно Ниже докажем, что нечто аналогичное верно и для трехзначной логики:
Утверждение 2. В Р3 матрица преобразования /¿4 строится следуют,им образом:
Т^ =
1 О о
2 2 0 1 0 2
ТП = (Т14)[Ч
Доказательство. Из выражения для вида матрицы Тп (теорема 3) и свойства 4 кронекеровой степени матрицы следует, что Т4 = (Т4)М, из чего получаем утверждение теоремы.
Теперь, зная вид матрицы преобразования /¿4 для всех натуральных п, можно посчитать число функций в классах С?|(п) и (3|(п). Заметим предварительно, что (¿¿4)2 является тождественным преобразованием, т. е. ¿¿4 является обратным само к себе.
Теорема 7. В Р3
|д4(п)| = з3" |д4(п)| = з3"
х |д4 х \Я\
,п
1)1, 1)1-
Доказательство. Докажем равенства по очереди.
1. Докажем, что вектор значений любой функции / € ЯЦп) должен иметь вид
(/2 + /Л/2),У^/2,/2), (7)
где у € С}\{п — 1), а /2 — любой вектор с элементами из Е3 длины Зп_1.
Пусть он имеет вид / = (/о, /1, /2) (записывая здесь и далее вектор в таком виде для экономии места, будем все же помнить, что и /, и /0, /1, /2 — это векторы-столбцы). Умножим матрицу Т4 на этот вектор и сравним результаты. Получаем систему
/о = М4(/о), /2 = М4(/О) + 2М4(/2).
Сложим второе и третье уравнения; прибавим в третьем уравнении к обеим частям ¿¿4(/2) с учетом того, что сложение идет по модулю 3, и заменим в соответствии с первым уравнением ¿¿4(/о) на /о. Получим два новых равенства:
'Л + /2 = 2М4(Л + /2),
/о = /2 +М4(/з).
Обозначим через у сумму + /2. Видно, что для того, чтобы исходная система выполнялась, нужно выбрать у из — !)• Возьмем произвольные у е (п ^ 1) и /2 — любой вектор с элементами из Е3 длины 3й"1. Из последних равенств легко находится вид, который должны иметь /0 и чтобы все равенства исходной системы выполнялись. Путем несложной проверки убеждаемся, что вектор вида (7) удовлетворяет исходной системе. Таким образом, каждый выбор векторов /2 и у задает какую-то (каждый свою) функцию из £?|(п). Найдем количество функций, вектор значений которых имеет такой вид. Получим, что |£?|(п)| = З'т' х |(3|(п — 1)|.
2. Докажем, что вектор значений любой функции / € <Э2(и) должен иметь вид
(/г + 2/х4(/2), у — /г, /2), (8)
где у € С?|(п — 1), а /2 — любой вектор с элементами из Е'з длины Зп_1.
Пусть он имеет вид (/о,/ь/2). Умножим матрицу Т4 на этот вектор и сравним результаты. Получаем систему
2-/о = М4(/о),
2-Л = 2М4(/о) + 2А4(/1), /2 = //(/о) + 2 //(/2).
Сложим второе и третье уравнения и умножим полученное на 2 (с учетом того, что все операции сложения и умножения производятся по модулю 3). В третьем уравнении заменим ¿¿4(/о) на 2/0 в соответствии с первым уравнением и прибавим к его обеим частям /о+/2. Получим два новых уравнения
'к + /2 = ^{к + /2), /о = /2 + 2М4(/2).
Далее, аналогично случаю (п), выбирая /1 + /2 = у из <3|(п — 1) и любую /2 из Рз(п — 1), из последних двух уравнений легко найдем вид, который должны иметь /о и /1. Путем несложной проверки убеждаемся, что вектор вида (8) удовлетворяет исходной системе. Таким образом, каждый выбор векторов /2 и у задает какую-то (каждый свою) функцию из (3|(п). Найдем количество функций, вектор значений которых имеет такой вид. Получим, что
|д4(п)| = ззП" х|д4(п^1)|.
Следствие 1. В трехзначной логике
. , Ч| Г3";,г' если п нечетное, КМ") = 1 о — (Зп + 1)
если п четное,
1^4/ м если п четное,
= < о1(зп+1)
если п нечетное.
Доказательство. Известно, что
|С?4(п)| = З'г' ' х \Q\in - 1)1, |д2(п)| = З'г' ' х \Qfin - 1)|.
Утверждение теоремы докажем методом математической индукции.
1. Базис индукции. Все три константы сохраняются при преобразовании /х4, и единственная из них (тождественный 0) удовлетворяет ¿¿4(/) = 2 • /.
2. Пусть для всех п от 0 до N формула верна. Докажем ее справедливость для N + 1. Пусть N четное, тогда
|д4(лг + 1)| = Зз" х |0||(лг) = з3^^"1) = з^1"1).
Случаи нечетного N и множества (-/V + 1) рассматриваются точно так же. Перейдем к рассмотрению преобразования /х2.
3.2. Стационарные относительно ¿¿2 классы.
Утверждение 3. В Р3 матрица преобразования /¿2 строится следуют,им образом:
т1 =
1 О О
2 0 1 0 2 0
Т2 = (Т^п\ п^ 2.
Доказательство. Из выражения для вида матрицы Тп (теорема 3) и свойства 4 кронекеровой степени матрицы следует, что Т2 = (Т^из чего получаем утверждение теоремы. Теорема 8. В трехзначной логике для любого натурального числа п
= \Qtin - 1)1 х \Я\{п - 1)|.
Доказательство. Докажем, что вектор значений функции / € ЯЦп) должен иметь вид
(/о,2/Лу-/о),у-/о), (9)
где у € ЯИп — 1), а /о е ЯКп — 1). Пусть он имеет вид (/о, /1, /2)- Умножим матрицу Т2 на этот вектор и сравним результаты. Получаем систему
/о = М2(/о), л = 2М2(/о) + м2(/з),
¡2 = 2^и\).
Подставим в третье уравнение выражение для /1 из второго:
/о = М2(/о), /2 = м4(/о) + 2м4(/2),
¡2 = 2^и\).
Заметим теперь, что если /0 = /¿2(/о), то, по теореме 6, /о = /¿4(/о). Прибавим теперь к полученному уравнению это равенство:
/о = М2(/о), /о + /2 = 2//(/0 + /2),
¡2 = 2^и\).
Видно, что для того, чтобы тройка (/о, /1, /2) была решением системы, необходимо выбрать /0 из 0;\(п — 1), а сумма /о + /2 должна удовлетворять соотношению
/о + /2 = 2//(/о + /2),
т.е. принадлежать <3|(п — 1). Из этого следует, что
1<?1(«)1 < \Qtin - 1)1 х \Я\{п - 1)|.
Выбрав произвольным образом /0 € Я\ {п ~ 1) и /о + /2 = У € — 1), легко найти выражения для /1 и /2:
/2 = У + 2/о, /1 = 2М-2(/2) = 2М6(/2) = 2/Лу + 2/о).
Далее, рассмотрим любую функцию, вектор значений которой имеет указанный вид (9). Легко проверить, что такая функция принадлежит классу (3|(п).
Теорема 9. В трехзначной логике для любого натурального числа п
\Я22(п)\ = \Я\{п - 1)| х \ЯЦп - 1)|.
Доказательство. Докажем, что вектор значений функции / € Я2,^) должен иметь вид
(/о,2/Лу-/о),у-/о), (Ю)
где у € ~ 1); а /о ^ С}\{п — 1). Пусть он имеет вид (/о, /1, /2)- Умножим матрицу Т2 на этот
вектор и сравним с 2/. Получаем систему
2/о = ^2(/о), 2/1 = 2/х2(/0) + /х2(/г),
2/2 = 2^и\).
Умножим третье уравнение на 2. Подставим во второе уравнение выражение для /2 из полученного с учетом линейности рь и того, что все сложения и умножения в системе происходят по модулю 3:
2/о = ^2(/о), 2/1 = 2/х2(/0) + /Х4(/1),
Применим теперь к обеим частям первого уравнения преобразование /х2 и прибавим к обеим частям второго равенства 2/х2(/0):
2м2(/о) = М4(/о), 2/х + 2М2(/0) = м2(/0) + М4(Л),
Заменим теперь в левой части второго уравнения слагаемое /х2(/о) на 2/0 в соответствии с первым уравнением исходной системы, а в правой — на 2/х4(/0) в соответствии с "модифицированным" первым уравнением:
2м2(/о) = М4(/о), 2Д +/о = 2//(/0)+//(/!),
Видно, что для того, чтобы тройка (/о, /1, /2) была решением системы, необходимо выбрать /0 из (п — 1), а сумма 2/1 + /0 должна удовлетворять равенству
2/! + /о = 2/^(2/! + /о), т.е. принадлежать С}\(п — 1). Из этого следует, что
Шп)\ < |<г!(п-1)| х |д|(п-1)|.
Выбрав произвольным образом /0 из С?2(п — 1) и 2/1 + /о = у € — 1); легко найти выражения для
/1 и /2:
/1 = 2у + /о,
/2 = ^2(/1)=^2(2у + /о).
Далее, легко проверить, что любая функция, имеющая вектор значений указанного вида (10), принадлежит • Отсюда следует утверждение теоремы.
Теперь с помощью рекурсивных формул, полученных в теоремах 8 и 9, получим точное количество функций в классах и
Следствие 2. В трехзначной логике
м Г3"т;'т' ' если п нечетное, 13 4 если п четное,
3^(зп-з) если п нечетное,
, „2 , Ч| ГЗ; Л' 3), если п нечетш
№ (п =1,1(3--!)
^ 3 4 ^ если п четное.
Доказательство. Известно, что
= \Qtin - 1)1 х \Я\{п - 1)|,
Шп)\ = \Q\in - 1)| х \Qlin -1)| Уп б N.
Подставляя п — 1 раз эти выражения сами в себя, получим
п—1 п—1
1<2?(п)1 = П 102(01 х Ю2(*)1 = ПЮ2(01 х 1^(0)1-
г=0 г=0
Заметим, что |£??(0)| = 3, |<Эг(0)1 = поскольку все константы совпадают с любой степенью преобразования Мёбиуса для них самих, а константа 0 с любым множителем совпадает с любой степенью любого линейного преобразования.
п — 1 1
Осталось найти Л В соответствии со следствием из теоремы 7 = З^3 +(-1) ),
г=0
п—1
поэтому Л | = З5, где
г=0
п— 1 п— 1 п — 1
г=0 г=0 г=0
5i(n) = 3n_1 1 + - + . .. + __ = -З»-1 H _ = . (3" - 1).
51 (п) 52 (п)
Найдем 51 (п) как сумму геометрической прогрессии:
1 = 1
}п-1) 2 V Зп Найдем ^(п):
52(П) = -1 + 1 - 1 + ... + (-1)" = ^(-1 + (-1Г).
4-V-' 2
П
Подставляя найденные величины, получаем утверждение теоремы.
3.3. Стационарные относительно //. классы. Аналогичные результаты получены и для классов, стационарных относительно /х. Вместе с тем попутно были установлены некоторые другие факты, связанные с этими преобразованиями, поэтому было решено вынести их в отдельную статью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Pieprzyk J., Zhang Х.-М. Computing môbius transforms of boolean functions and characterising coincident boolean functions // Boolean Functions: Cryptography and Applications. Rouen, Prance: Publications des Universités de Rouen et du Havre, 2007. P. 135-151.
2. Pieprzyk J., Wang H., Zhang X.-M. M5bius-a commutative functions and partially coincident functions // Boolean Functions: Cryptography and Applications. Rouen, Prance: Publications des Universités de Rouen et du Havre, 2008. P. 135-150.
3. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. M.: Наука, 1986.
4. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В.В. Булевы функции в кодировании и криптологии. М.: МЦНМО, 2004.
5. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
6. Маркелов Н. К., Селезнева С. Н. Быстрый алгоритм построения векторов коэффициентов поляризованных полиномов k-значных функций // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Сер. Физико-математические науки. Кн. 2. Т. 151. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2009. С. 147-153.
7. Post Е. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43. N3. P. 163-185.
Поступила в редакцию 27.09.11
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2012. № 2
53
ON STATIONARY CLASSES OF THREE-VALUED FUNCTIONS Mazurov A. A.
In this paper the properties of a transform of three-valued functions are examined. This is the transform between two representations of multi-valued function: from vector of values to vector of polynomial coefficients of the function. A similar transform of boolean functions has been studied in details, and its properties are well-known in cryptology. The stationary classes of functions for this transform are introduced in the article, their hierarchy is achieved and exact numbers of functions in these classes are given.
Keywords: multivalued functions, polynomials, Mobius transform.
