CC BY
46
УДК 621.396.96
О СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ, ОТРАЖЕННЫХ ОТ НАВИГАЦИОННЫХ ОРИЕНТИРОВ НА ФОНЕ ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
А.П. СТАДНЮК
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Решается задача построения статистических моделей навигационных характеристик на фоне земной поверхности.
Ключевые слова: навигационные ориентиры, подстилающая поверхность.
Использование методов радиополяриметрии открывает дополнительные возможности для обнаружения навигационных ориентиров, т.е. по сути реперных точек, на фоне подстилающей земной поверхности, которую будем представлять в виде совокупности элементарных отражателей, независимых между собой.
Определим аналитическое выражение для сигнала отдельного элементарного отражателя в точке приема
КеКтрф {t)}= Re
-11Фе
,гф11Ф
R
12ФІ
22ФІ
¿ф 22 Ф
(
E1el
i (wt+a) Л
E el(wt+b) VE2e
(1)
= е1[япфEx cos(a + ф11ф) + К\2фE2 cos(b + Ф12Ф )]cos wt -
- е^ДцфEl sin(a + ji№) + ЯПфE2 sin(b + Ф12Ф )]sin wt +
+ e2 [К21ФE1 c0s(a + Ф21Ф ) + К22ФE2 c0s(b + Ф22Ф )]COs wt -
- e2 R2№E1 sin(a + ф21Ф ) + В-22ФE2 sin(P + ф22Ф )] sin Wt,
где e1, e2 - комплексные единичные векторы произвольного пространственного базиса; w - несущая частота; Епад = (E1eia E2eib ) eiwt - матрица - столбец падающей волны.
Вектор электрического поля суммарного сигнала представляет собой суперпозицию элементарных векторов (1)
N
где
ЕотрФЪ (t) = X ЕотрФ {t) = e1 [xj cos wt + x2 sin wt] + e2 [x3 cos wt + x4 sin wt], (2)
Ф=1
N
x1 = X [R11ФE1 c0s(a + Ф11Ф ) + R12ФE2 cos(b + Ф12Ф )]
Ф =1
N
x2 = X [R11Ф E1sin(a+Фиф )+R12Ф E2 sin{P + Ф12Ф)]
Ф =1
N
x3 = X [R2№E1 c0s(a + Ф21Ф )+ ^2ФE2 cos{P + Ф22Ф )]
Ф =1
N
x4 = X [R2№E1 sin(a + ф21Ф ) + ^2ФE2 sin{P + ф22Ф )] .
Ф =1
*
Коэффициенты х( (/ = 1,4), являясь квадратурными составляющими сигнала, полностью определяются пространственно-временной характеристикой облучающей волны и свойствами объекта наблюдения.
Квадратурные составляющие х{ во время наблюдения непрерывно изменяются вследствие случайных изменений , фjkФ, ®,Р при взаимных перемещениях отдельных отражателей и
летательного аппарата. Кроме того, случайные величины х{ являются суммами большого числа элементарных сигналов с интенсивностями одного порядка и на эти величины может быть распространено действие центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Полагая на основании сказанного распределение вероятностей Ж (хг-) нормальным получим следующие выражения для моментов этих распределений.
Математические ожидания Ху М[(хг)] = М [(х2)] = М[(Х3)] = М[(х4)] = 0 , как средние значения гармонической функции на интервале [0,2л].
Полагая, что при наличии взаимных перемещений элементарных отражателей и летательного аппарата величины а и Ь от посылки к посылке будут изменяться случайно и принимать любые значения в промежутке [- л, л], т.е. Ж (а) = Ж (Ь) = 1/ 2л .
Выражение для определения дисперсии случайной величины будет иметь вид
M
(3)
где Ls = E2 ¿ j j j^пф (cos2 p cos2 jj 1Ф + sin2 p sin2 ф )wR ф )W j ф )W(a)dR1 wdj wdp;
ф=10 0 0
N ¥ 2p2p
*5 = E22 HU R122Ф (cos2 p cos2 j12Ф + sin2 P sin2 j12Ф WС^11Ф )W(j11Ф )W(a)dR1^dj1^dp •
Ф=10 0 0
Учитывая сравнительную простоту, но большую громоздкость выражений для вычисления вторых моментов величины xj, опуская промежуточные действия, напишем окончательные выражения для дисперсий и ковариаций этих величин:
s/
■-M
X1
■-M
x2
s^E2 +sí2 E2;
sjI - M
x
-M
ХЛ
-s2^2 + s22 E2:
(4)
М [х1х4 ] = -М [х2 х3 ] = Е1Е2 эт(а - Ь); М [х1х3 ] = М [х2 х4 ]= Е1Е2 соз(а - Ь);
М [х1 х2 ] = М [х3 х4 ] = 0 .
Эти формулы позволяют получить элементы корреляционной матрицы четырехмерного распределения вероятностей случайных величин х/, определяющего статистические свойства
суммарной волны, отраженной от пространственно-распределенной реперной структуры.
М [х^з ] = М [х2 х4 ] = а^2Е1Е2 cos(a - Ь)
Обозначая п
о
s is ii
s is 11
s^E2 + a?2 E2
-
= M [xjX4 ] = M [x2 X3 ] =
12 E2M S21E12 + s22 E2 s22 E1E2 sin(a-p)
s I s
i ii
a 1 Sl1 V a^E2 + É%y¡ S21E2 + S22 E
можно записать матрицу четырехмерного распределения
(5)
Z
(1 0 r0 s0''
0 1 - s0 r0
r0 - s0 1 0
v s0 - r0 0 1,
(6)
При этом статистические свойства пространственно-временных параметров волны, отраженной от флуктуирующей цели при отсутствии в ее составе отражателей с преобладающим рассеивающим сечением, описываются совместной плотностью распределения вероятностей, имеющей вид [1]
W (X1 , X2, X3, X4 ) -
(1 -к 2)
exp
4
X Xi - 2r0 (X1X3 + X2 X4 )- Is0 (x1x4 - X2 X3 )
І-1
2s I s
I^II
(1 -K 2)
где K
2 2
■■*0 + s0
квадрат модуля обобщенного коэффициента корреляции.
В выражении (7) сделаем замену переменных x1 = Z1 cos Q1; x2 = Z1 sin Q1; x3 = Z2 cos Q2; x4 = Z2 cos Q2; tg Q1 = x2 / x1; tg Q2 = x4 / x
(7)
Модуль Якобиана перехода будет равен
cos Qj - Zj sin Qj 0 0
sin Qj Zj cos Qj 0 0
0 0 cos Q2 - Z2 sin Q2
0 0 sin Q2 Z2cos Q2
В этом случае выражение для экспоненты в (7) будет иметь вид
=1 Z1Z i|sinIQi sinIQi|.
exp(.)- exp^_ _(_!_^
'vI ry2
Z1 + Z 2 2 2 sI sII
2Z1Z 2
а / а п
После замены переменных выражение (7) будет иметь вид
(r0 cos(Q1 - Q2 )- s0 sin(Q1 - QI ))
W (Zj, Z 2, Qj, Q2 )--^
exP
1
2(1 - K2)
s I
+ ^ ^ к cos(Q, - Q2 +a-b)
sII si sii
(8)
где г§(а-р) = ^о / п.
Интегрирование распределения вероятностей (8) по переменным Q1 и в пределах [0,2л] дает распределение вероятностей амплитуд ортогональных составляющих волны [1]
Ip Ip
W(Z1,Z2)- j jW(Zj,Z2,Q1,Q2toQ -
0 0
Z1ZI
Ips2 s^l
K
ZjZi к
^I0 V sIsHd-K2)j expr
1
Z2 Z2
sI
+
sII
(9)
где /о (X) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента X.
При единичной мощности излучения передающего устройства выражение (9) определяет плотность распределения модулей основных элементов матрицы рассеяния фона, т.е.
Z1 - ^11фі
ZI - ^22Ф
При обнаружении малоразмерных навигационных ориентиров на фоне подстилающей поверхности на входе приемного устройства возникает сигнал, в формировании которого участвует не только сам навигационный ориентир, но и в пределах разрешаемой площади окружающая его местность. Отражения от участка местности затрудняют обнаружение названного ориенти-
1
2
ра и приводят к искажениям статистических характеристик параметров волны, отраженной от него. Эти искажения можно учесть, если известны пространственно-временные характеристики участка местности, на котором расположен навигационный ориентир.
Рассмотрим статистические характеристики параметров сигнала с учетом мешающих отражений участка местности, на котором расположен этот ориентир. При этом воспользуемся разложением волны на линейные ортогональные компоненты.
Сигналы от ориентира и участка местности, на котором он находится, статистически независимы. Поэтому поле на входе антенны является суперпозицией сигналов от навигационного ориентира и окружающей его местности
Еотр(Ф+ор)£ () _
еДхьр + х1Ф )сОБ Ш + ^2ор + х2Ф Шг}+
Ьор + хзФ )cOS Wt + (x40р + х4Ф )sin Wt}
+ е ІРіор + х3Ф) с°8 & + 1x4 ор + х Выражение (10) позволяет определить набор числовых характеристик сигнала, отраженного от навигационного ориентира, с учетом мешающих отражений от земли.
2 2 2
Дисперсии компонент сигнала будут а2г- = аорі + Офі , i=x,y.
Модуль обобщенного коэффициента корреляции ортогональных компонент примет следующий вид
I 2 2 2 2 2 2 ( \
Фх ^ФуКФ + S орх S ору^ор + 2s Фх °Фу S орх SорукЪор ГЪФ + ^Ъор s0€>) /і 14
Кф+ор = I 2 2 I 2 2 ’
У^орх + S Фху® ору + S Фу
где N - модуль обобщенного коэффициента корреляции малоразмерного навигационного ориентира.
Искусственные малоразмерные реперные структуры характеризуются наличием "блестящих контуров" и "блестящих точек", вследствие чего ортогональные составляющие отраженных сигналов сильно коррелированы между собой. Если с борта летательного аппарата, совершающего полеты по кругу, вертикально вниз производится облучение такой структуры, обладающей "блестящим контуром", то ортогональные составляющие отраженного сигнала будут связаны между собой по линейному закону
n n n
Ri іор = X ai cos2 j; к22ор = X aisin2 jf = X ai- R іор • (12)
i=1 i=1 i=1 При этом модуль коэффициента корреляции N будет равен единице, а статистические характеристики ф азы j i описываются равномерным законом распределения вероятностей W( jf )=1/2p
Если цель обладает еще и "блестящими точками", то ортогональные составляющие отраженного сигнала также будут связаны линейной зависимостью
n n n n
R11ор = X aicos2 jf+X x; к22ор = X aisin2 jf+X x, (13)
i =1 i =1 i =1 i =1
где Xi - коэффициент отражения от i-й "блестящей" точки.
При этом коэ ф ф ициент корреляции N будет близок или равен единице, поэтому, если орто-
22
гональные составляющие фона некоррелированы между собой и Офх = Офу , то выражение (11) примет вид
K ^ орх^ ору^^__________=_________ahN______ (14)
Ф+ор I 2 2 I 2 2 I 2 2 1 25
і^орх + афхд/^ру + °Фу Л/1 + a Vv1 + a2
2 2 2
где a = сору / Офу > 1 - отношение сигнал/фон по мощности у составляющих отраженных сиг-
2 2 2
налов; h = оорх / оору < 1- степень асимметрии малоразмерного навигационного ориентира или
отношение дисперсий ортогональных составляющих этого ориентира.
При этом, если коэффициент асимметрии фона был равен единице, то с учетом наличия малоразмерного навигационного ориентира
_2 . 2 2 2 y = ОФх + Оорх = 1 +a h (15)
уФ+ор = _2 +_2 = 1 + a 2 , (15)
Офу + Оору 1 + a
2 2
где принято, что Офх = О Фу .
2 2 2 2
Если априорно известны характеристики матрицы рассеяния Оцф , О^ф, , О22Ф местности, на которой расположен малоразмерный навигационный ориентир, то при заданной про-
странственно-временной характеристике облучающей волны известны и числовые характеристики отражений фона офх, офу, г0ф, $0ф, Кф , tg(a-b), определяющих вид плотности распределения модулей основных элементов матрицы рассеяния фона (9).
Рассматривая задачу обнаружения малоразмерного слабо контрастного навигационного ориентира на фоне земной поверхности, можно допустить, что числовые характеристики отражений его не изменяют закон плотности распределения основных элементов матрицы рассеяния фона, а изменяют только числовые характеристики офх, офу, г00ф, Soф, Кф, tg(a - b).
ЛИТЕРАТУРА
1. Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. - М.: Радиотехника, 2005. - Т. 1.
STATISTICAL CHARACTERISTICS OF SPACE-TEMPORARY SIGNAL, REFLECTED FROM NAVIGATIONAL LANDMARK, LOCATED ON TERRESTRIAL SURFACE
Stadnjuk A.P.
Dares the problem of the building of the statistical models of the navigational features on background of the terrestrial surface.
Key words: navigational landmarks, laying under surface.
Сведения об авторе
Стаднюк Алексей Петрович, 1962 г.р., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана (1985), кандидат технических наук, автор 7 научных работ, область научных интересов - организация и управление воздушным движением.
