О старшем показателе линейной дифференциальной системы с возмущениями, суммируемыми со степенью и весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Так как (М)р действует неприводимо на Р, то в Р нет такой собственной подгруппы Рь что (М)рс Ыа (РО. Значит, так как (М,)р = Р П М, а М, то Р П М, = Р, т. е. М, = [Р] (М)^ Понятно, что индексы |М,-:М1-.1| для любого , = 1, ..., к на р не делятся. Для любого , = к + 2, ..., t индексы

I 1М1 т(М')И IР11(М)/I |Рп(М-1)/I 1(М)/!

М : М-, = J—— =-р— =-р---— =-р—

г г-1 |М-1| |[Р](М-1)р,| |рП(М)р,| IРI|(М-1)р,| |(М-1)р,|

также не делятся на р. Так как

|М^+1 I |[Р](М,+1)р,| IРI|(ММ)р,| I РI|(Мм)р,|

I Mk+1: Мк | = '

I Mk | | М^ | | Рn(Mt+i)J|MJ |

то в рассмотренной выше максимальной (G - ,2)-цепи только один индекс делится на p.

Таким образом, любая минимальная подгруппа группы G, не входящая в подгруппу P, также является p-эквидистантной. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть G - р-разрешимая группа. Тогда в том и только в том случае любая минимальная подгруппа P группы G является p-эквидистантной в G, когда либо группа G является р-сверхразрешимой, либо G - такая не р-сверхразрешимая группа, что G = [P] M, где P - нециклическая минимальная нормальная подгруппа группы G, являющаяся ее силовской р-подгруппой, причем P = CG (P) = Op (G) = F (G), M - р-сверхразрешимая подгруппа нечётного порядка, каждая нетривиальная подгруппа которой действует неприводимо на P.

Доказательство вытекает из леммы 2 и теоремы 2.

Литература

1. Doerk, К Finite Soluble Groups / K. Doerk, T. Hawkes - Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992. - 892 p.

2. Schmidt, R. Subgroup lattices of groups / R. Schmidt - Berlin-New York: de Gruyter, 1994. - 572 p.

3. Шеметков Л. А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба - М.: Наука, 1989. - 256 с.

4. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков - М.: Наука, 1978. - 272 с.

5. Gorenstein, D. Finite Groups / D. Gorenstein - New York: Harper and Row (reprinted by Chelsea), 1980. - 527 p.

Summary

The main object of this paper is described the structure of a p-soluble group in which every minimal subgroup is p-equidistant in this group.

Поступила в редакцию 22.02.06.

УДК 517.925.51

Н.В. Кожуренко

О СТАРШЕМ ПОКАЗАТЕЛЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ, СУММИРУЕМЫМИ СО СТЕПЕНЬЮ И ВЕСОМ

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

x = A(t)x, x e Rn, t > 0, (1)

с кусочно-непрерывной ограниченной матрицей коэффициентов A такой, что ||A(t )| < М < при всех t > 0. Наряду с системой (1) рассмотрим возмущенную систему

y = A(t)y + Q(t)y, y e Rn, t > 0 (2)

с кусочно-непрерывной ограниченной матрицей возмущений Q, удовлетворяющей условию

t+1

интегральной ограниченности [1, 252], т. е. неравенству J|Q(t)|g?t < Се < +» при всех t > 0,

где Cq - некоторая константа, зависящая от Q. Обозначим через X(t, г) матрицу Коши системы (1), а через Än (A + Q) - старший показатель системы (2).

Пусть М - произвольный класс возмущений. Величина л(м): = sup{ÄH(A + q) : Q е м}

называется точной верхней границей подвижности старшего показателя системы (2) с возмущениями из класса М.

Получение точных верхних границ (достижимых оценок) для старшего показателя линейных дифференциальных систем с возмущениями из различных классов является одной из основных задач теории характеристических показателей. Так, в [2] была построена оценка сверху для старшего показателя системы (2) с малыми возмущениями (центральный показатель q(a) ). Достижимость этой оценки была доказана В.М. Миллионщиковым в [3] с помощью его, ставшего уже классическим, метода поворотов [3, 4, см. также 5, 90]. Старший сигма-показатель Va(A), являющийся достижимой оценкой сверху для старшего показателя системы (2) с а -возмущениями, т. е. возмущениями, удовлетворяющими при всех t > 0 неравенству ||Q(t)|| ^ Nge а с фиксированным а > 0 и с некоторой постоянной Nq , зависящей от Q, вычислен в [6]. В [7] рассмотрен класс

всех экспоненциально убывающих возмущений и вычислен экспоненциальный показатель V (а) .

Промежуточные случаи, когда возмущение затухает на бесконечности, но скорость его убывания медленнее, чем экспоненциальная, рассмотрены в [8, 9]. В работе [10] получены достижимые оценки сверху для старшего показателя системы (2) с интегрируемыми на полуоси возмущениями. Точные границы подвижности показателей Ляпунова при малых в среднем возмущениях найдены в [11]. В [12] доказана достижимость верхнего центрального показателя для систем с возмущениями, стремящимися к нулю на бесконечности. В работе [13] вычислены точные верхние границы подвижности старшего показателя линейных систем с возмущениями, интегрируемыми со степенью и интегрируемыми с монотонным положительным весом. В [14, 15] получены достаточные условия для того, чтобы граница подвижности вверх для старшего показателя систем с возмущениями, интегрируемыми с немонотонным весом, вычислялась по алгоритму, аналогичного алгоритму вычисления сигма-показателя Н.А. Изобова.

Из результатов работ [6, 8-10, 13-15] вытекает, что полученные там оценки могут быть вычислены с помощью общего алгоритма (алгоритма Н.А. Изобова), согласно которому точная верхняя граница для старшего показателя линейной дифференциальной системы с возмущением Q из некоторого класса возмущений М вычисляется по формуле

л(м) = lim m lnrm,

где последовательность 77 , m > 0 удовлетворяет рекуррентному соотношению r)m = max (IX (m, к)||ß(к)r), к,m е N с произвольным начальным условием 7 > 0, а функция

ß(k) зависит от класса М .

В данной работе рассмотрены классы возмущений суммируемых со степенью и весом и бесконечно малых в среднем со степенью и весом. При этом вычислены достижимые верхние границы для возмущений из указанных классов в случае монотонного веса и получены достаточные условия для вычисления таких границ по алгоритму Н.А. Изобова в случае немонотонной функции р.

Пусть р - положительная функция, определенная на промежутке [0; + да [. Обозначим

через Lp [р] и Ip [р], p > 1 множества кусочно -непрерывных и интегрально ограниченных

матриц Q , удовлетворяющих условиям lim t 1 jp(r)|Q||P dr = 0 и jp(r)|Q||P dr <

t 0 0

соответственно. При p = 1 будем употреблять обозначения L[р] = L:[p], I[р] = 11[р].

Теорема 1. Если функция р кусочно-непрерывна и возрастает к на промежутке

[0, + да [, то при всех p > 1 справедливо равенство

Л(Lp \ р])= lim m ln rm , где

последовательность rm, m > 0 удовлетворяет рекуррентному соотношению r)m = max (|| X (m, k )||ф 1 p (k )щ), k, m e N с произвольным начальным условием щ > 0.

Теорема 2. Если функция ф кусочно-непрерывна и возрастает к +да на промежутке [0, + да [, то при всех p > 1 справедливо равенство ЛI Ip [ф]) = lim m 1 ln щт, где последовательность

^ ' ш^да

щ, m > 0 удовлетворяет рекуррентному соотношению rm= max(||X(m, k)||k 11 рф 11 p (k)щ),

k, m e N с произвольным начальным условием щ> 0.

В теоремах 1 и 2 функция ф предполагается монотонной и возрастающей к бесконечности. Однако и в случае немонотонного веса при выполнении некоторых дополнительных условий на ф

граница подвижности вверх старшего показателя линейных систем из классов Lp [ф] и Ip [ф] может быть вычислена по алгоритму Н.А. Изобова.

Обозначим фк = essinf |ф(/): k < t < k +1} - существенный минимум функции ф на единичном отрезке [k, k +1], k e N.

Теорема 3. Пусть функция ф кусочно-непрерывна и ф^) > 2р при всех te [0, да [. Если при некотором положительном е0 < 1 для каждого s e ]0, s 0[ выполняется равенство

k

Ишт Z ф j ф (У) dz — 0 , то для всех p > 1 справедлива формула

m г k—i ¿-1

Л(Lp [ф]) — lim m 1 ln щ, где последовательность щ, т > 0 удовлетворяет рекуррентному

\ ' т^-да

соотношению Щ — max(||х(т,1, k,т еN с произвольным начальным условием Щ > 0 •

Введем в рассмотрение величину v(k), k е N0, определяемую равенствами v(0) — 0, v( k) — Г ф1.

Теорема 4. Пусть функция ф кусочно-непрерывна на промежутке [0; да [ и при всех k е N справедлива оценка v(k) < 1/2p. Если при некотором положительном sQ < 1 для каждого

да i\+s} k /\

s е ]0, s 0[ выполнено неравенство Z v(k) Е' j фи)dt <+да, то при всех p > 1 справедлива

_ k—1 k-1

формула Л (Ip [ф]) — lim т 1 ln щ , где последовательность щ, т > 0 определяется рекуррентным

^ ' т^-да

соотношением щ — max (||х (т, k)|| v(k)1/Р щЩ), k, т eN с произвольным начальным условием щ > 0 .

В теоремах 1-4 оценки сверху для старшего показателя системы (2) с указанными возмущениями получаются с помощью метода, описанного в работе [13]. Для доказательства достижимости этих оценок в теоремах 3 и 4 используется та же схема, что и в [14]. Заметим, что построенные таким образом возмущения Q, как и возмущения, построенные в [14], ограниченны, что является достаточно жестким условием. Если же в доказательстве достижимости допустить использование неограниченных возмущений из классов L^] и I [ф] (что вполне соответствует их определению), то можно получить значительно менее жесткие условия на функцию ф.

Теорема 5. Пусть функция ф такова, что при всех t > 0 справедлива оценка ф(() > 4 • Если при некотором положительном s0 < 1 для каждого s е ]0, s 0[ выполняется равенство

lim m 1 Еф = 0 , то справедлива формула Л(L |ф|)= lim m ln r , где последовательность

m^-да k=1 k V L J/ m^-да m

Гт, m > 0 определяется рекуррентным соотношением rm= max (|| X (m, k Щ), k, m e N с произвольным начальным условием щ > 0 .

Теорема 6. Пусть функция p такова, что при всех k e N справедлива оценка v(k) < 1/4. Если при некотором положительном е0 < 1 для каждого se ]G, s G[ выполняется условие

Z k 1v(k) s < +œ, то справедлива формула Л( I [pl) = lim m 1 lnrm, где последовательность rm,

k=1 ^ ' m^œ

m > О определяется рекуррентным соотношением rm= max (||X (m, k)|| v(k)r), k, m e N с произвольным начальным условием r > О .

Введем обозначения. Пусть t0 > О, T > О - произвольные числа и a = essinf {p(t ) : t0 < t < t0 + T} - существенный минимум функции ф на отрезке [t0, t0 + T J.

Под матрицей поворота О на угол а в пространстве Rn будем понимать матрицу линейного

оператора, действующего поворотом на угол а в некоторой заданной плоскости и совпадающего с тождественным преобразованием на ортогональном дополнении к этой плоскости. Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Для любой матрицы О существует такое семейство возмущений Q , h e(О, T J, где T < T, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) каждое возмущение Q определено всюду на полуоси [G, + œ [, но отлично от нуля лишь на некотором отрезке длины h , содержащемся в отрезке [ t0, t0 + T J ;

2) для матрицы Коши Yh возмущенной системы имеет место представление Y h (to + T,, ) = X (t0 + T, t0 ) (О + ЛА ), в котором Лй - некоторая матрица, зависящая от h таким образом, что Лл ^ О при h ^ О ;

3) справедлива оценка lim J p(r)|QÄ (r)||dr < ae2MT |а| .

Лемма 2. Пусть T > 1. Для любого медленного на отрезке [t0, t0 + T J решения X ( t )

Г

невозмущенной системы и любого числа sel О, — существует возмущение Q, сосредоточенное

I 4J

на единичном отрезке [t0, t0 + 1J, такое, что решение соответствующей возмущенной системы с тем же начальным вектором x ( t0 ) является быстрым на отрезке [t0, t0 + T J и выполняется

tО +1

оценка J p(r)|Q (r)|| dr < 4a (t0 )se2M , где a (t0 ) = essinf {p(t) : t0 < t < ^ +1}.

/о

Доказательство достижимости полученных в теоремах 5 и 6 оценок, основано на леммах 1, 2. В случае p > 1 оказывается невозможным произвольно уменьшать длину h того

промежутка, на котором Q ф 0, так как при этом сильно возрастает норма возмущения,

и условие его принадлежности требуемому классу перестает выполняться. Это обстоятельство, в свою очередь, приводит к необходимости наложения существенно более жестких условий на свойства функции p , чем те, что были использованы в теоремах 3, 4. Ввиду этого всюду далее

будем считать, что функция p непрерывна и, более того, ее логарифм lnp равномерно

непрерывен на полуоси t e [G, + œ [. Обозначим a (i) = min {p (t) : t e [i, i + 1J} и q - показатель,

сопряженный показателю p, т. е. удовлетворяющий соотношению 1/ p +1/ q = 1.

Теорема 7. Пусть функция p удовлетворяет сделанным предположениям и такова,

что при всех t > 0 справедлива оценка p(t) > 4p . Если при некотором положительном s0 < 1 для

m

каждого se ]G, s G[ выполняется равенство lim m 1 Z a1'q^ (k) = 0 , то при всех p > 1

m^œ k=1

справедлива формула ЛI Lp [pi I = lim m 1 ln r)m, где последовательность щт, m > 0 определяется рекуррентным соотношением rm = max (||X (m, k)|| a 1p , k, m e N с произвольным

начальным условием щ > 0.

Теорема 8. Пусть функция p удовлетворяет сделанным предположениям и такова, что

—1—1 p

при всех k e N справедлива оценка v(k) = k a (k) < 1/4 . Если при некотором положительном

s0 < 1 для каждого s e ]0, s 0[ выполнено неравенство 2 k \ 11 q s (k) <+w, то при всех p > 1

k=1

справедлива формула Л1 Ip [pll = lim m 11пщ, где последовательность щт, m > 0 определяется рекуррентным соотношением щт= max(||х(m,k)||v(k)1/рщ|, k,m eN с произвольным начальным условием щ > 0 .

Доказательство достижимости оценок, полученных в теоремах 7 и 8, основано на леммах, аналогичных леммам 1, 2.

Литература

1. Былов, Б.Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б.Ф. Былов [и др.]. - М., 1966.

2. Виноград, Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений / Р.Э. Виноград // Матем. сборник. - 1957. - Т. 42. - № 2. - С. 207-222.

3. Миллионщиков, В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем / В.М. Миллионщиков // Сиб. матем. журнал. - 1969. - Т. 10. - № 1. - С. 99-104.

4. Миллионщиков, В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов систем // Матем. заметки / В.М. Миллионщиков // Матем. заметки. - 1968. - Т. 4. - Вып. 2. - С. 173-180.

5. Изобов, Н.А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.А. Изобов // Итоги науки и техн. Мат. анализ. - М., 1974. - Т. 12. - С. 71-146.

6. Изобов, Н.А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями / Н.А. Изобов // Дифференц. уравнения. - 1969. - Т. 5. - № 7. - С. 1186-1192.

7. Изобов, Н.А. Верхняя граница показателей Ляпунова дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка / Н.А. Изобов // Докл. АН БССР. - 1982. - Т. 26. - № 1. - С. 5-8.

8. Барабанов, Е.А. О крайних показателях Ляпунова линейных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях / Е.А. Барабанов // Дифференц. уравнения. - 1984. - Т. 20. - № 2. - С. 357.

9. Барабанов, Е.А. Точные границы крайних показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Е.А. Барабанов. - Минск, 1984.

10. Барабанов, Е.А. Точные границы показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы с интегрально ограниченными на полуоси возмущениями / Е.А. Барабанов, О.Г. Вишневская / Докл. АН Беларуси. - 1997. - Т. 41. - № 5. - С. 29-34.

11. Сергеев, И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях / И.Н. Сергеев // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - 1986. - Вып. 11. - С. 32-73.

12. Сергеев, И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности / И.Н. Сергеев // Дифференц. уравнения. - 1980. - Т. 16. - № 3. - С. 438-448.

13. Макаров, Е.К. Об оценке сверху для старшего показателя линейной дифференциальной системы с интегрируемыми на полуоси возмущениями / Е.К. Макаров, И.В. Марченко, Н.В. Семерикова // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41. - № 2. - С. 215-224.

14. Макаров, Е.К. Об алгоритме построения достижимых верхних границ для старшего показателя возмущенных систем / Е.К. Макаров, И.В. Марченко // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41. -№ 12. - С. 1621-1634.

15. Марченко, И.В. О старшем показателе линейной дифференциальной системы с возмущениями из классов, определяемых немонотонными функциями / И.В. Марченко // Вестник Мог. гос. ун-та им. А.А. Кулешова. - 2004. - № 4. - С. 146-151.

Summary

We consider perturbed linear systems with perturbation which are power integrable on the semiaxis with positive weight and with perturbation which are vanishing in the power mean with positive weight. A sufficient condition for the upper bound of Lyapunov exponent of such systems to be evaluable by means of the algorithm by N.A. Izobov is established.

Поступила в редакцию 05.04.06.

УДК 519.21

М.Д. Юдин

К ВОПРОСУ ОБ АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ

В данной статье устанавливается корректность найденных нами ранее [1] условий аппроксимации распределений сумм зависимых случайных величин безгранично делимыми распределениями.

Пусть }"=1 , п = 1, да - система серий случайных величин, имеющих нулевые

п

математические ожидания (м. о.), и конечные дисперсии, £ = , фп (0 - характеристическая

5

функция (х. ф.) суммы , Оп (х) - функция распределения (ф. р.) суммы ,

кп (х) = е м(«ги2,; ^ ^ 4

5 = 1

а = Е $ ,

п ~т~пд 7

5 ^д

2

(Г) =\(г"х -1- Их)— ОКп (х)- п

х2 n 2 , (1)

Fn (x) - ф. р. с х. ф. expyn (x).

Заметим, что функция Kn (x) ограниченная и неубывающая. Положим,

Kn l-f + o\-K„ \°-o\= b2n, c > 0, (2)

4Vn j V \n

¿ Ml ; >;CJ = gn2. (3)

■Tn

В [1] доказываются теорема и лемма, содержание которых мы сформулируем в виде одного предложения.

Теорема. Пусть системы серий mn = m0np - зависимая, где 0 < р < 1/4, m0 - любое

постоянное число, кроме того, существуют постоянные Н1, Н2, n0 и с такие, что при п > по, 0 < |p - < m0np, 0 < \q - < mQnp выполняются условия:

2 H

max М^ (4)

s n

max MU#n,#nJ < 4/2, (5)

s p, q 1 1 n

inf an > 0 , (6)

CO