О сравнении недоопределённых алфавитов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Имеет место следующее утверждение, которое представляет в некотором роде обратный результат.

Утверждение 2. Пусть е Е {-1,1} и весовая структура функции Г для некоторого с Е Р описывается значениями

Уа Е Р\{с} (ЛГ0(Г) = дп-1 + едп/2-1) ,

^С(Г) = дп-1 - е(д - 1)дп/2-1.

Тогда значение периода функции Г делится на величину дп/2 — е.

Представленные утверждения позволяют в ряде случаев указать точные значения весовой структуры д-ичных бент-функций. Однако, как показывает следующее утверждение, область действия данных результатов существенно ограничена.

Утверждение 3. Пусть Н — множество всех гомоморфизмов из группы ^, +) в группу (Р, +). Множество функций {Г + к : к Е Н} содержит не более одной функции, период которой строго меньше дп — 1.

Таким образом, среди бент-функций вида Г + к (где к — гомоморфизм соответствующих групп) не более одной функции может иметь период, значение которого удовлетворяет условиям теоремы 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьмин А. С., Марков В. Т., Нечаев А. А., Шишкин В. А., Шишков А. Б. Бент-функции и гипербент-функции над полем из 21 элементов // Проблемы передачи информации. 2008. Т. 44. Вып. 1. С. 15-37.

2. Токарева Н. Н. Обобщения бент-функций. Обзор работ // Дискретн. анализ и исслед. операций. 2010. Т. 17. Вып. 1. С. 34-64.

3. Солодовников В. И. Бент-функции из конечной абелевой группы // Дискретная математика. 2002. Т. 14. Вып. 1. С. 99-113.

4. Кузьмин А. С., Нечаев А. А., Шишкин В. А. Бент- и гипербент-функции над конечным полем // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. С. 86-111.

УДК 621.391: 519.728

О СРАВНЕНИИ НЕДООПРЕДЁЛЕННЫХ АЛФАВИТОВ1

Л. А. Шоломов

Представлены несколько подходов к сравнению недоопределённых алфавитов по силе и доказана их эквивалентность. Установлено, что введённые соотношения по силе полиномиально проверяемы.

Ключевые слова: недоопределённый алфавит, равносильные алфавиты, энтропия недоопределённых данных, сложность по Колмогорову.

Задан конечный алфавит А0 = {аг : г Е М} основных символов. Каждому непустому Т С М соответствует недоопределённый символ ат, доопределением которого считается всякий основной символ аг, г Е Т. Выделена система Т С 2м некоторых подмножеств Т С М и с ней связан недоопредёленный алфавит А = {ат : Т Е Т}.

Пусть помимо А0 и А заданы основной алфавит В0 = {Ь^ : ] Е Ь}, недоопределённый алфавит В = {Ьи : и ЕЫ С 2Ь} и соответствие Клв С А х В, указывающее,

1 Работа поддержана ОНИТ РАН по программе фундаментальных исследований.

каким образом символы алфавитов A и B взаимно сопоставлены друг другу (символам одного алфавита могут соответствовать несколько символов другого). Назовём алфавиты A и B с заданным для них соответствием Rab соответственными алфавитами; последовательности a = aTl ... aTn и b = bU1 ...bun, для которых (aTi ,bUt) G RaB ,

i = 1,..., n, соответственными последовательностями.

В работе представлено несколько подходов к сравнению соответственных недоопре-деленных алфавитов по силе. Первый из них — функциональный — основан на функциональной выразимости символов одного алфавита через символы другого. Следующие три подхода терминологически связаны с подходами к введению меры информации, представленными в работе А. Н. Колмогорова [1]. Это комбинаторный, вероятностный (статистический) и алгоритмический подходы. Доказано, что все подходы приводят к одному и тому же соотношению алфавитов по силе.

Функциональный подход. Скажем, что алфавит B функционально выразим через A, если существует функция F : A0 ^ B0, такая, что для всех пар (aT,bu) G RaB выполнено F(aT) С bu, где F(aT) = {F(a*) : i G T}, bu = {bj : j G U}. Будем говорить, что алфавит A функционально сильнее B, и записывать A ^ f B, если B функционально выразим через A. Соотношение A ^ f B может быть эквивалентно представлено в терминах соответственных последовательностей, а именно: A ^ f B тогда и только тогда, когда существует такая функция F : A0 ^ B0, что для всякой пары а = ay1 ... ayn, b = bu1 ... bun соответственных последовательностей и любого доопределения а0 = ail ... ain последовательности а последовательность F(а0) = F(ail)... F(ain) доопределяет b. В терминах соответственных последовательностей будут даны и последующие определения.

Комбинаторный подход. Для последовательности а в алфавите A введём класс К(а) всех последовательностей в алфавите A, в которых каждый символ ay G A встречается такое же, как в а число раз. Обозначим через N (а) минимальную мощность множества последовательностей в основном алфавите A0, среди которых имеются доопределения всех последовательностей из К(а). Аналогично, паре последовательностей а = ay1... ayn и b = bu1... bun сопоставим класс К(а, b) всех пар последовательностей с теми же кратностями появления пар (ay, bu) G A x B, что ив (а, b), и минимальную мощность N (а, b) доопределяющего К(а, b) множества пар. Будем считать, что алфавит A комбинаторно сильнее алфавита B, и записывать A ^c B, если для любых соответственных последовательностей а и b выполнено N (а, b) = N (а).

Статистический подход. Будем рассматривать недоопределённые источники X в алфавите A, порождающие независимо символы ay G A с некоторыми вероятностями pt. Определим энтропию H(X) источника X, положив

где минимум берётся по наборам Q = (дг, г Е M) вероятностей символов аг основного алфавита А0. О свойствах и роли этой энтропии см. в [2]. Источники X и У в алфавитах А и В, заданные совместным распределением р(ат, Ьи), ат Е А, Ьи Е В, назовём соответственными, если р(ат, Ьи) > 0 лишь в случае (ат, Ьи) Е ЯлВ. Будем говорить, что алфавит А статистически сильнее алфавита В, и записывать А ^8 В, если для любых пар соответственных источников X и У выполнено Н(ХУ) = Н(Х).

Алгоритмический подход. Модифицируя применительно к недоопределён-ным данным систему понятий из [1], назовём колмогоровской сложностью К(х) недо-определённого слова х минимальную длину двоичной программы для произвольно

фиксированного оптимального алгоритма, порождающей какое-либо доопределение слова х. Эта величина задана с точностью до аддитивной константы: сложности K (х) и K;(х) по различным оптимальным алгоритмам удовлетворяют соотношению K(х) « K;(х), где f ~ g означает, что разность f — g ограничена [1]. Будем говорить, что алфавит A алгоритмически сильнее алфавита B, и записывать A £а B, если для любых соответственных последовательностей а и b выполнено K^b) ^ K(а).

Теорема 1. Введенные соотношения недоопределенных алфавитов по силе эквивалентны, т. е.

A £ f B ^ A £ c B ^ A £ s B ^ A £ а B.

r--J f f'sj c s rsj а

С учётом теоремы будем применять запись A £ B без уточнения смысла, в каком она понимается. Будем алфавиты A и B называть равносильными и записывать A ~ B, если A £ B и B £ A.

Теорема 2. Для соответственных алфавитов A и B существуют полиномиальные алгоритмы проверки соотношений A £ B и A ~ B.

Задача сжатия недоопределённых последовательностей ставится как задача такого их кодирования, которое обеспечивает для каждой из них возможность восстановления какого-либо доопределения [2]. Если а и b — соответственные последовательности в равносильных алфавитах A и B, то кодирование для а может рассматриваться и как кодирование для b, поскольку доопределение а0, найденное по коду для а, позволяет получить доопределение для b в виде F(а0) (см. функциональный подход). Если кодирование для а оптимально, оно оптимально и для b. За счёт перехода к равносильному алфавиту иногда удаётся упростить процедуру оптимального кодирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. 1965. Т. 1. №1. С. 3-11.

2. Шоломов Л. А. Элементы теории недоопределенной информации // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2009. №2. С. 18-42.

УДК 519.7

ВЕКТОРНЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ НА РАССТОЯНИИ ОДИН

ОТ APN-ФУНКЦИЙ

Г. И. Шушуев

Доказано, что на расстоянии один от произвольной APN-функции все функции являются дифференциально 4-равномерными.

Ключевые слова: векторная булева функция, дифференциально 8-равномерная функция, APN-функция.

В работе исследуются метрические свойства класса векторных булевых функций, а именно APN-функций. Знание метрических свойств позволяет получать конструкции таких функций, а также сокращать перебор при поиске функций, обладающих определённым свойством. Например, метрические свойства класса бент-функций исследовались в работах [1, 2].

В 1994 г. K. Nyberg [3] было введено понятие дифференциально ^-равномерных векторных булевых функций (differentially ^-uniform). Векторная булева функция