О специальном сужении конечного рефлексивного, симметричного отношения до отношения эквивалентности Текст научной статьи по специальности «Математика»

26 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №4(44)-

УДК 519.171.2:512.531.2

О СПЕЦИАЛЬНОМ СУЖЕНИИ КОНЕЧНОГО РЕФЛЕКСИВНОГО, СИММЕТРИЧНОГО ОТНОШЕНИЯ ДО ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ1

© 2006 В.П. Цветов2

В работе приводится метод построения отношения эквивалентности, которое включено в рефлексивное, симметричное отношение и имеет максимально возможную мощность. Множества предполагаются конечными.

1. Предварительные сведения

В работе используются следующие обозначения и определения. Обозначения.

1, П, \, и — дополнение, пересечение, разность, объединение множеств (в порядке старшинства); —, Л, Ш, V, —> —отрицание, коньюнкция, сложение по модулю

2, дизъюнкция, импликация (в порядке старшинства).

и := |и1,...,и„) —конечный универсум, при этом \и| := п— мощность и; в частном случае, Б := {0, 1) и т.п := {т, т + 1,...,п \ т, п е N Л т ^ п) —диапазон натуральных чисел от т до п.

(и,2) — модель (алгебра) с основой и и сигнатурой 2 = {01,..., 0т); (иь 21) ~ (и2,22) — изоморфизм моделей (алгебр).

К с и2 — бинарное отношение на и; 2и2 — множество бинарных отношений на и; I — тождественное отношение; К —отношение эквивалентности; К-1 —обратное к К; К1 о К2 — композиция К1 и К2; Кк — к-я степень К.

[г. —бинарная (булева) матрица, гЧ. е Б; Мп —множество квадратных бинарных матриц порядка п; [5^] — единичная бинарная матрица; гащ(г,.) — ранг бинарной матрицы [г. над полем (Б, {■, Ш}).

Определения 1.1—1.8.

1.1. Отношение включения бинарных матриц [г1.], [гМ задается условием: [г1.] С

Ч Ч Ч

[г2]:= уи. г].гЧу

п

1.2. Мощность бинарной матрицы [гЧ .] задается правилом: \гЧ .\ := ^гЧ . в алгеб-

^ =1

ре (К и{0), {+)).

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором В.И.Астафьевым.

2Цветов Виктор Петрович (tsf@ssu.samara.ru), кафедра безопасности информационных систем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

1.3. Инверсия бинарной матрицы [rj задается правилом: _l[rij] := [-rj].

1.4. Транспонированная к бинарной матрице [rj задается правилом: [rij]T : = = [rJi].

1.5. Произведение бинарных матриц [r^], [rj задается правилом: [r1fc ] • [r. : =

= [rl • rkj] := [V^=i 4 A r2j] := ^ Л r2J V-.-V r1„ A j2J]. J

1.6. Степень бинарной матрицы [rj при m ^ 0, задается правилом: [rj]0 : =

= [Sij], [rj]m := [rik]m-1 • [rtj].

1.7. Сумма бинарных матриц [r1.], [r.] задается правилом: [rji]U[rfi] : = [r1 Ur2] : = = [r1ijV t2ij].

1.8. Элементы бинарной матрицы [rij] є M|U|2 отношения R є 2U задаются правилом:

1, (ui, uj) є R

0, (ui, uj) R

Определения 1.9—1.16. Говорят, что

1.9. R — рефлексивно, если I с R;

1.10. R — симметрично, если R = R-1;

1.11. R — транзитивно, если R о R С R;

1.12. R —идемпотентно, если R о R = R;

1.13. R1 —сужение отношения R2, если R1 С R2;

1.14. [rij] —рефлексивная, если [öij] С [rij];

1.15. [rij] —симметрическая, если [rij] = [rij]T;

1.16. [rjj] —идемпотентная, если [r • rij] = [rij].

Определение 1.17. Отношение [R] є 2U называют транзитивным, рефлексивным, симметричным замыканием отношения R є 2U, если

1.17.1. [R] —отношение эквивалентности;

1.17.2. R С [R];

1.17.3. VR R С & -^ [R] с R.

Определение 1.18. Отношение lim є 2U назовем сужением отношения R є 2U до отношения эквивалентности максимальной мощности, если

1.18.1. Rm — отношение эквивалентности;

1.18.2. Rm С R;

1.18.3. VR & С R -^ |R| < |йт|.

Хорошо известны (см. например, [1, 2]) или легко устанавливаются следующие Леммы 1.1—1.6.

1.1. ({2U, N), {о, -1,1, и, С, |-|}) - ({M|U|2, N), {•, T, п, U, С, |-|}).

|U|-1 |U|-1

1.2. [R] = U (R U R-1)k - [г,.] := V ([rj] V [rj]T)k.

k=0 k=0

1.3. I - [öij].

1.4. R — рефлексивно A R— симметрично =^ R С R о R.

1.5. & — отношение эквивалентности I С R a & = R-1 Л & о R = R.

1.6. & — отношение эквивалентности Л & - [r,j] [öij] С [fij] Л [fij] = [j Л

A[r • rij] = [r.].

2. Постановка задачи

Пусть и — конечный универсум. К — рефлексивное, симметричное отношение на и. Требуется построить сужение заданного отношения К до отношения эквивалентности имеющего максимальную мощность.

Так как I е 2и — отношение эквивалентности и I с К, то решение задачи существует.

Решение задачи может быть не единственно.

Пример 1.

R - [rij] : =

1 1 0 1 1 1

0 1 1

1 0 0 1 1 0

Rm - [р j : = 0 1 1 , Rm - [р2j] : = 1 1 0

0 1 1 0 0 1

Из сказанного следует, что поставленная задача всегда имеет непустой класс решений.

В силу ограничений, наложенных на R, имеем R ç R о R.

От решения Rm требуется выполнение следующих условий:

RI. I ç Rm Л Rm = ^m1 Л î^m о Rm = Km;

R2. Rm ç R;

R3. VR & ç R |R| < |Ëm|.

Как следует из леммы 1.4, свойство транзитивности рефлексивного симметричного отношения равносильно свойству идемпотентности.

На основании леммы 1.1 перейдем к эквивалентной формулировке задачи в модели бинарных матриц.

От матрицы решения [р0j] — Rm требуется выполнение следующих условий: р1. [ôij] С [рj Л [рj = [р°]Г Л [р0 • рj = [р0j];

р2. [р0j] С [rij];

р3. V[рij] [рjj] С [rij] Iрij| < |р0j|.

Таким образом, матрица искомого решения должна быть рефлексивной, симметрической и идемпотентной.

Исходная задача эквивалентна построению матрицы, обладающей свойствами

р1-р3.

3. Метод решения

Так как [г. С [г • г., то

] гч. г • гч. = ] —г • гч. — гч..

Это означает, что если гЧ. = 1, то и г • гЧ. = 1, а если г • гЧ. = 0, то и гЧ. = 0, в

силу чего матрица [г • гЧ.] может отличаться от матрицы [г. только появлением

дополнительных единичных элементов на тех местах, на которых в матрице [г. стояли нули.

Предлагаемый метод преобразования матрицы исходного отношения [rij] к рефлексивной, симметрической, идемпотентной матрице состоит в подходящем обнулении тех ее ненулевых элементов, из-за присутствия которых происходит нарушение свойства идемпотентности.

3.1. Построение сужений до отношения эквивалентности

Введем матрицу [р^], положив на начальном этапе: [р^] := [rij].

Если [ру] = [р • р^], то искомое решение найдено и единственно. В противном случае переходим к следующему шагу.

n

Так как р • р^ = \Jрл Л рkj, то для выполнения равенства [р^] = [р • р^] необхо-

k=1

димо обнулить все ненулевые конъюнкции р^ Л рkj = 1 в ненулевых дизъюнкциях р • рij = 1 с теми индексами, для которых р^ = 0.

Иными словами, следует положить (р^ := р^ := 0) V (р^ := рjk := 0) для всех элементов матрицы [рг;], для которых выполняется условие -р^ = р^ = рkj = 1, или, что то же самое, в заданной интерпретации [р^] := [rij] выполняется формула -рij Л рik Л р.

Последнее эквивалентно симметричному удалению из исходного отношения R пар элементов (ui, us), (us, щ) или (us, Uj), (uj, us), нарушающих свойство транзитивности.

Условие

-rij Л rik Л rkj

будем называть условием обнуления элементов р^, рki и рkj, рjk относительно элемента рij = rij, а правила обнуления рik, р^ или рkj, рjk

рik := рki := 0 или р^ := рjk := 0

будем называть атомарными сужениями относительно условия обнуления.

Матрицу, получаемую из матрицы [р^] = [rij] в результате описанных выше

преобразований, обозначим [рг;].

Приведенная схема преобразований матрицы отношения [rij] допускает неоднозначность в выборе атомарных сужений. Тем самым она порождает класс правил сужения, который мы будем обозначать в[п.] := {es)™=1, а также соответствующий ему класс матриц р[п.] := {[р'^]}^.

Класс правил сужения допускает очевидное представление формулой булевой алгебры, содержащей представления для атомарных сужений:

nnn

/ы(рф := Д ДД((-П; Л rik Л rkj) Л (-(рг* V ря0 V -.^j V рjs)) V -.(-rij Л rik Л rkj)).

i=1 j=1 s=1

В дальнейшем будем опускать индекс [rij] в обозначениях классов е, р и f (рг;). Таким образом,

е = е | еs : [rij] ^ [pij] Л f (р^));

Р = {[Р j | [rij] ^ [р j Л Ps € е).

В силу свойств матрицы [rij] (rii = 1) и определения правил сужения, матрица [рij] будет оставаться рефлексивной и симметрической, то есть будет соответствовать рефлексивному, симметричному отношению. При этом [рij] С [rij].

Матрицы, построенные по какому-либо правилу сужения, могут и не обладать свойством идемпотентности [р^] = [р•pij], так как на местах обнуленных элементов рij = 0 в матрице [р • рij] могут вновь оказаться ненулевые элементы. Однако в

семействе правил e обязательно найдутся и такие, которым будут соответствовать идемпотентные матрицы, и более того, матрицы, удовлетворяющие условию р3.

Подкласс рефлексивных, симметрических, идемпотентных матриц из семейства [р] := ([р£]}” i, то есть матриц, которым соответствуют какие-либо отношения эквивалентности, включенные в R, будем обозначать [р] := {[pfj]}^! С [р], а класс соответствующих правил сужения обозначим e := {eSi }mi=i С e .

Заметим, что если R—отношение эквивалентности, а [и]—класс эквивалентности, содержащий и € U, то условие (u¿, uj) € R равносильно uj € [u¿].

Теорема 3.1. Для всякого рефлексивного, симметричного, но не транзитивного, отношения R в классе правил сужения e существует правило eo, после выполнения которого матрица [р0], будет удовлетворять условиям р1—р3.

Доказательство. Пусть Rm — сужение заданного рефлексивного, симметричного отношения R до отношения эквивалентности максимальной мощности, а [р°;], [r¿j] — соответствующие им матрицы.

Обозначим U/Rm — фактор-множество U по Rm, а [и] —класс эквивалентности, содержащий и € U.

В силу того, что отношение эквивалентности Rm имеет максимальную мощность, добавление к нему любых пар (u¿°, uj°), (uj°, u¡°) € R \ Rm будет нарушать свойство транзитивности, поэтому элементы Ui° и uj° будут принадлежать различным классам эквивалентности, то есть [uio] П [uj°] = 0.

В силу свойств отношения эквивалентности:

Ski, кг uki € [ui°] Л щ2 € [u¿°] —> (uki, икг) € Rm С R;

Vli, l2 Uh € [Uj°] Л U¡2 € [Uj°] --> (Uh, Uh) € Rm С R.

и, следовательно,

Vki, кг Uki € [Ui°] Л Uk2 € [u°] --> rkiкг = 1;

Vli, Í2 Uli € [Uj°] Л U¡2 € [Uj°] -> r¡i¡2 = i.

Покажем, что каждый из ненулевых элементов rioj° матрицы отношения [rij], соответствующий паре (uio, uj°) € R \ Rm, удовлетворяет условию обнуления относительно некоторого нулевого элемента r¿»j».

Если отношение R таково, что

(3k° Uk° € [Ui°] Л (Uk°, Uj°) í R) V (3l° Ui° € [Uj°] Л (Ui°, Ui°) í R),

то есть

(3k° Uk° € [Ui°] Л rkojo = rj°k° = 0) V (3l° Ulo € [Uj°] Л ri°i° = r¿°i° = 0),

то в качестве ri»j» достаточно взять элемент rjoko, так как в этом случае выполняется -rjoko Л pkoio Л pi°jo, или элемент rioio, для которого выполняется -ri°l° Л pl°j° Л pjoi° .

Предположим, что для некоторого элемента riojo такого, что (u¿°, Ujo) € R \ Rm, условия обнуления не существует.

Из ранее сказанного следует, что в таком случае

Vk° Uk° € [U¿°] -> (Uk°, Ujo) € R Л Vl° Ulo € [Uj°] -> (u¿°, Ui°) € R.

Это означает, что в отношение R включены еще два отношения эквивалентности: Ri и R2, первое из которых получается из отношения Rm в результате удаления из класса эквивалентности [u¿°] элемента Uio и добавления его в класс [Ujo], а второе — в результате удаления из класса эквивалентности [Ujo] элемента

Uj0 и добавления его в класс [u;0]. При этом остальные классы эквивалентности остаются неизменными.

Обозначим U/Ri, U/R2 — фактор-множества U по Ri, R2, а [u]i, [u]2 — соответствующие классы эквивалентности, содержащие u е U.

В силу того, что

|Rm |= X 1 [и]'2’

[u]eU/Rm

|Ri I = X I [u]il 2

[u]i eU/Ri

R I = X I [u]2l 2

[u]2 eU/R2

то мощности отношений I Rm|, | jRi|, | R2 | отличаются только двумя слагаемыми, которые соответствуют мощностям классов эквивалентности, подвергшихся изменениям.

Обозначим [u]i-0 := [ui0] \{ui0} — класс эквивалентности из U/Ri, полученный в результате удаления из класса [ui0] элемента ui0, а [u]2-j0 := [uj0] \{uj0} —класс эквивалентности из U/R2, полученный в результате удаления из класса [uj0] элемента uj0.

Обозначим ni : = |[u0]|, П2 : = | [uj0] | —мощности классов эквивалентности [ui0] и [uj, тогда

|[u]i-i01 = ni - i;

i[uj0]i| = П2 + i;

|[u]2-j01 = П2 - i;

IKJ2I = ni + i.

Очевидно,

IRiI - IRmI = (ni - i)2 + (П2 + i)2 - n2 - n2 = 2(П2 - ni + i);

IÜ2I - Rm| = (ni + i)2 + (n2 - i)2 - ni - n2 = 2(ni - n2 + i).

Так как

Vni, n2 e N n2 - ni + i > 0 V ni - n2 + i > 0,

то отношение Rm не может иметь максимальную мощность.

Полученное противоречие доказывает, что каждый из ненулевых элементов ri0j0 матрицы отношения [r;j], соответствующий паре (u0, uj0) е R \ Iim, удовлетворяет условию обнуления относительно некоторого нулевого элемента Г;»j».

Остается доказать следующую лемму.

Лемма 3.1. Если (u0, uj0) е R1 , где Ri является сужением R до отношения эквивалентности, и существует условие обнуления элементов pi0j0, Р j0i0, то существу-

ет и атомарное сужение, соответствующее этому условию, которое не изменяет элемент Р;0j0 = Г;0j0 и ни один из элементов piok = pki0 = Гkj0 таких, что uk е [u0]i =

= [uj0]i.

Доказательство. С учетом симметричности матрицы [r;j] условие обнуления элемента р;0j0 = Г;0jQ относительно некоторого элемента Г;0к или Гкj0 может выполняться в следующих случаях:

Г;аs = 0 Л Г;аj0 = i л js = i;

rsj0 = 0 л Г;0j0 = i л Г;0s = i.

Каждому из условий соответствует дизъюнкция атомарных сужений при s ф ^ Л лs Ф j0:

Г;0s = 0 Л Г?0j0 = i Л rj0s = i, p;0j0 := 0 Л pj0г0 := 0 V pj0s := 0 Л psj0 := 0;

rsj0 = 0 Л Гга/0 = i Л Г;0s = i, Рj0;'0 := 0 Л pj0!0 := 0 V p;0s := 0 Л ps;0 := °.

Покажем, что если (ы^, и.0) е К1, то в каждой дизъюнкции атомарных сужений, соответствующей какому-либо из условий обнуления, имеется атомарное сужение, не изменяющее элементы р;0.0 = р.0¡0 = г^0.0 и ни один из элементов р;0к = р£г'0 = гк., для которых Ык е [иг0]1 = [ы.0] 1.

Так как К1 с К и по предположению ^¡0, Ы.0) е К1, то Ы.0 е [ыг-0]1.

Рассмотрим первое условие при некотором 5 := 5*:

Пс5« = 0 Л П0.0 = 1 Л г.05* = 1

и покажем, что ы5* £ [ыг-0]1.

Действительно, если Ы5* е [ыг'0]1, то это влечет

Пе5* = 1 Л гЩ.0 = 1 Л гк5* = 1

что противоречит рассматриваемому условию.

Следовательно, ы5* е К \ К1, и атомарное сужение р.05* := 0 Л р5*.0 := 0 обладает всеми требуемыми свойствами.

Оставшийся случай выполнения условий обнуления рассматривается аналогично.

Так как каждая пара (ыг-0, ы.0) е К\ Кт удовлетворяет некоторому условию обнуления, входящему в формулу /^¡]), то по структуре формулы будет существовать правило е5 одновременного обнуления тех и только тех элементов рг0.0 = г¡0.0, для

•’*' е5 0

которых (ы0, ы.0) е К \ Кт. Так как [г. м [р”.], то это и есть искомое правило

сужения е0.

Замечание. Из теоремы 3.1 следует, что после применения произвольного правила сужения е5 : [г. м [р. к матрице исходного отношения результирующая матрица [р. будет соответствовать отношению К1 с К, для которого всегда найдется отношение эквивалентности такое, что К с К1.

Из теоремы 3.1 также вытекает существование такой последовательности атомарных сужений, соответствующих различным условиям обнуления, после применения которых результирующее отношение будет отношением эквивалентности, то есть таким, для которого найдется К 2 К1. Однако не всякое отношение, полученное в результате применения правила сужения, построенного по произвольной последовательности атомарных сужений, которые соответствуют различным условиям обнуления, будет обладать свойством идемпотентности, то есть являться отношением эквивалентности.

Воспользуемся формулой /^¡]) для нахождения решения поставленной задачи. Понятно, что для явного построения правил сужения по формуле /^¡]), которые приводили бы исходную матрицу [г. к матрице [рг.], удовлетворяющей условиям р1—р3, необходимо перейти от конъюнктивной формы представления /^¡]) к более удобной равносильной, например, дизъюнктивной форме. В дальнейшем будем представлять правила сужения элементов матрицы [р. полиномиальными аналогами ДНФ булевой алгебры или полиномов Жегалкина.

3.2. Полиномиальное представление правил сужения

Рассмотрим свободную алгебру термов, образованных из индексированных переменных

[с. х^ | ], к е 1..и),

парных скобок (,), символов констант [0, 1) и сигнатуры [■, ф) типа (2,2).

Будем обозначать термы индексированными символами ¿к, ¿к, ¿к, 4 и примем следующие обозначения при т € К:

т т

^ ! ¿к •— ¿1 Ф ... Ф ?т> | | ¿к •— ¿1 ' ..." ¿т•

к=1 к=1

Длину терма ¿к будем обозначать | ¿к |.

3.2.1. Представление аналогом ДНФ

1. Рассмотрим терм

п п п

toCc¿jk, й1]к> х1]} •= | | | | | |(Сг]к ' (хг'к Ф х]к) Ф й1]к).

¿=1 у=1 к=1

2. Определим биекцию ф : О м{0, 1} при помощи правила: ф(0) = 0, ф(1) = 1. Определим терм ^(х] при помощи двух последовательных подстановок:

Н(х^) := Ысф, йщ, хф{ф(-(-г^ Л Т1к Л Гк^/М^Ж-П] Л Пк Л Гк])//С1]к}.

3. Определим правила преобразования термов относительно символов констант (правило сокращения констант):

С1 левое умножение на нуль: 0 ■ ¿1 м 0.

С2 левое и правое умножение на единицу: 1 ■ ¿1 м ¿1; ¿1 ■ 1 м ?1.

Сз левое и правое сложение с нулем: 0 Ф ¿1 м ¿1; ¿1 Ф 0 м ¿1.

После применения преобразований С1— сз к терму ^(х] нм ?2(х;Д результирующий терм ¿2(хп) примет вид при то < и3:

= У\(ха* ® ХА)■

5=1

В силу свойств матрицы [Г;]], он не будет содержать аддитивных вхождений (хгкг Ф Х]к) с равными значениями индексов и индексных пар, то есть ф кЕ, Ф кЕ,

Как и ранее, в той же интерпретации терм ?2(хг]) останется равносильным формуле ДргД

4. Определим правило симметризации индексов переменных, входящих в терм: 8 симметризация:

' Хр, I > ]

Симметризованные индексные пары будем обозначать (/5Д5), а соответствующие переменные — х^.

После применения преобразования симметризации к терму ?2(хг]) м ?з(хг]) результирующий терм ?з(хг]) не будет содержать вхождений переменных с симметричными значениями индексов, так как элементы всех индексных пар (гх, кц) и (Л, кц) будут находиться в отношении порядка: первый строго меньше второго.

Если интерпретировать терм ?з(хг]) как формулу булевой алгебры при помощи ранее введенной биекции ф-1 : {0, 1} м О, дополнительно полагая при любых

Ф- 1(хь к,) : = -(Р1,к, V Рк,г,X

Ф- 1(х; к ) = ¡К, / -(р&,], V Р;,к,), (х;,к,X

Ф- 1(х1^ к, Ф х фк,) := ф (х;,к,) V ф

Ф- 1(0 (х;,к, Ф х;,к,)) := 0 Л ф- 1( х; к, Ф хф,к,) = о,

Ф- 1(1 (х;,к, Ф х;,к,)) := 1 Л ф- 1( х; Ф = ф-1(х;,к Ф х;,к,X

Ф- 1(0 (х;,к, Фх;,к,) Ф 1) := ф- 1(0 (х;,к, Ф х; к,)) V 1 = 1,

Ф- 1(1 (х;,к, Ф х;,к,) Ф 0) := ф- 1(1 (х;,к, Ф х; к,)) V о = ф-1(х;,к, Ф х;,к,X

то то

ф-1(П(Хг'Л ® Ф)) : = Дф-1(ха, Ф фX

= 1 5=1

то с учетом условия симметрии на значения, принимаемые переменными Р; = Р;;, он будет равносилен формуле /(Рф

5. Определим правила преобразования термов, содержащих символы сигнатуры {■, Ф), в соответствии с частью правил алгебры (Б, (Л, V}): ё.1 ассоциативность: 11 ■ (¡2 ■ ¡з) ^ (¡1 ■ ¡2) ■ ¡3 ^ 11 ■ ¡2 ■ ¡з. й.2 коммутативность: ¡2 ■ ¡1 ^ ¡1 ■ ¡2; ¡2 Ф ¡1 ^ ¡1 Ф ¡2. йз дистрибутивность: ¡1 ■ (¡2 Ф ¡з) м (¡1 ■ ¡2) Ф (¡1 ■ ¡з). й4 идемпотентность: ¡1 ■ ¡1 м ¡1; ¡1 ф ¡1 м ¡1.

После применения преобразований й1-й4 к терму ?з(хф нм ¡4(х;;) результирующий терм 14(х;;) примет вид при т ^ 2то, т, ^ и2:

т т,

г4(*у) = X П

5=1 ^ = 1

При прежних условиях он будет равносилен формуле /(Р;;).

т,

По смыслу построения каждое мультипликативное слагаемое := ]~опре-

к8=\

деляет один из возможных вариантов обнуления элементов матрицы [Р;] := [Г;;] по правилам сужения е ,: е, сужение:

п \ ^ /(0’0)’ хч вх°дит в = ПГ;=1

\Ри> Рп) 1 / \ •

^ (Р;;, Р;;), —в противном случае

т,

Мультипликативные термы ^х^;ь, которым соответствуют правила сужения

к, = 1

исходного отношения до отношения эквивалентности, будем обозначать ?.

Пример 2. Для отношения из примера 1

1 1 о

К ~ [гф : = 1 1 1

о 1 1

ззз

1. Терм: ¡о = ' (х;& Ф х;&) Ф йф).

;=1 ;=1 к=1

2. Подстановка: h := t0(cijk, dj хф(ф(-<-Гу Л r¡к Л rkj))//dijk} |ф(-г^ Л гік Л rkj)//cijk}.

t1 = (0 ( X11 Ф X11 )Ф 1) (0 (Х12 Ф X12) Ф 1) (0 (X13 3 X1 Ф Ф1

(0 ( X11 Ф X21 )Ф 1) (0 (Х12 Ф X22) Ф 1) (0 (X13 Ф X23 ) Ф1

(0 ( X11 Ф X31 )Ф 1) (1 (Х12 Ф X32) Ф 0) (0 (X13 Ф X33) Ф1

(0 ( X21 Ф X11 )Ф 1) (0 (X22 Ф X12) Ф 1) (0 (X23 Ф X13) Ф1

(0 ( X21 Ф X21 )Ф 1) (0 (X22 Ф X22) Ф 1) (0 (X23 Ф X23 ) Ф1

(0 ( X21 Ф X31 )Ф 1) (0 (X22 Ф X32) Ф 1) (0 (X23 Ф X33) Ф1

(0 ( X31 Ф X11 )Ф 1) (1 (X32 Ф X12) Ф 0) (0 (X33 Ф X13) Ф1

(0 ( X31 Ф X21 )Ф 1) (0 (X32 Ф X22) Ф 1) (0 (X33 Ф X23 ) Ф1

(0 ( X31 Ф X31 )Ф 1) (0 (X32 Ф X32) Ф 1) (0 (X33 Ф X33) Ф1

3. Сокращение констант: t2 = J”[(Xisks Ф Xjsks).

t2 = (Х12 Ф Х32) ■ (Х32 Ф Х12).

4. Симметризация: t3 = (x12 Ф x23) ■ (x23 Ф x12).

5. Преобразования по правилам d2, d4: t4 = X12 Ф X23.

0 г0

Сужение по правилам ës: [pj := [rj нм [p*.].

ën: (P12, P21) := (0,0) и eh (p23, P32) := (0,0):

[Pj] : =

1 0 0 1 1 0

0 1 1 - [p02] : = 1 1 0

0 1 1 0 0 1

3.2.2. Представление аналогом полинома Жегалкина

Хотя представление правил сужения аналогом ДНФ и дает возможность найти сужения исходного отношения до отношения эквивалентности максимальной мощности, оно не исчерпывает всех сужений (не обязательно максимальной мощности), которые можно получить, применяя предложенный метод.

По смыслу построения более полный набор правил получается из семейства {es}m=1 в результате дизъюнкции определяющих их условий.

На основании сказанного определим операцию дизъюнкции правил es1 V es2 из семейства {es}m=1: eS1 V es2 сужение:

(pu pj.) ^ { (°’ 0)’ Xij ВХ0ДИТ B П?= 1 или ПГ2=і %2a2 _

I (p/j, pji), —в противном случае

Пример 3. Для сужений из примера 2 вз : = §о у (р12, Р21) : = (0,0) Л (р2з, рз2) := 0:

10 0 ' 0 10. 0 0 1 _

Пополненный набор правил может быть получен из семейства [вх 1^=1 его замыканием относительно дизъюнкции.

По смыслу операции сложения по модулю два пополненный набор правил сужения также можно получить при помощи полинома Жегалкина _Р(рг'Д равносильного формуле /(ргу) .

n n n

F(Pij) := ДД/\(cijk Л ((1 Ш pik Ш pki Ш Pik Л pki) Ш (1 Ш рк] Ш Pjk Ш Pkj Л pjk) Ш (1 Ш pik Ш

i=1 j=1 k=1

pki Л Pik Л Pki) Л (1 Ш Pkj Ш Pjk Ш Pkj Л pjk)) Ш 1 Ш Cijk){-Tij Л rik Л rkj//cijkk = f(pij).

1. Рассмотрим терм

nnn

to(cijk-> xijj •= J J J J J J(cijk ' (xik ф xjk ф xik ' xjk) ф 1 ф cijk).

i=1 j=1 k=1

2. Определим биекцию Ф : D м{0, 1} при помощи правила: Ф(0) = 0, Ф(1) = 1. Определим терм t1(xij) при помощи подстановки:

t1 (Xij) := to(cijk, Xij)№(-rij Л rik л rkj)//cijk}.

3. Определим правила преобразования термов относительно символов констант (правило сокращения констант):

C левое умножение на нуль: 0 ■ t1 м 0.

C2 левое и правое умножение на единицу: 1 ■ t1 м t1; t1 ■ 1 м t1.

C3 левое и правое сложение с нулем: 0 ф t1 м t1; t1 ф 0 м t1.

C4 сложение единиц: 1 ф 1 м 0.

с

После применения преобразований C1— C4 к терму t1 (xij) м t2(xij) результирующий терм t2(xij) примет вид:

Mo

t2(xij) = Y](xik4 ф xjksk ф xikSk ' xjk4).

k=1

4. Проводя преобразование, аналогичное преобразованию симметризации пункта 4 предыдущего подраздела, получаем терм

Mo

Ыхф = ф xjA ф xiA ' xjjO-

S=1

Если интерпретировать его как полином Жегалкина при помощи ранее введенной биекции Ф-1 : {0, 1}м D, дополнительно полагая при любых

pisks, pjsks, pksis, pksjs e D Л is, js, ks e 1..n:

^4Xisks) := 1 Ш Pisks Ш Pksis Ш Pisks Л Pksis,

Ф (xjksk) := 1 Ш pskjk Ш pjksk Ш pskjk Л pjksk,

ф-1(xisks ф xjsks ) := ф-1(Xisks ) Ш Ф-1С^X ф-1(xisks ■ xjsks ) := ф-1(Xisks ) Л Ф-1С^ X

ф-1(xisks ф xjsks ф xisks ■ xjsks) := ф-1(Xisks ф xjsks) V ^1(xisks ■ xjsks),

Mo Mo

Ф-1(П(^ ф xjsks ф xisks ■ xjsks)) := Дф-1(Xisks ф xjsks ф xisks ■ xjsksX

s= 1 s=1

то он будет равносилен F(pij).

5. Определим правила преобразования термов, содержащих символы сигнатуры {■ , ф}, в соответствии с частью правил алгебры (D, {Л, Ш}):

D1 ассоциативность: t1 ■ (t2 ■ t3) ^ (t1 ■ t2) ■ t3 ^ t1 ■ t2 ■ t3.

D2 коммутативность: t2 ■ h ^ t1 ■ t2; t2 ф t1 ^ t1 ф t2.

D3 дистрибутивность: t1 ■ (t2 ф t3) м (t1 ■ t2) ф (t1 ■ t3).

D4 идемпотентность: t1 t1 м t1 .

D5 взаимообратность: x ф x м o.

После применения преобразований О1-О5 к терму Гз(х^) м Ха^х,^) результирующий терм ?4(х^) примет вид:

м м,

*4(*у) = X П

5=1 ^ = 1

По аналогии с предыдущим подразделом определяем правила сужения Е,:

Е,, сужение:

(р..; р..) ^ / (0’ 0)’ ХЧ ВХ°ДИТ в ^ := _

>}’ }> \ (pij, ру;), в противном случае

Как и ранее, примем обозначения Е : = {Е,)М=1, Е : = {ЕЛМ=1 С Е — подкласс правил сужения отношения К до отношения эквивалентности.

Очевидно, выполняется включение (е,)™=1 С {Е,)М=1.

3.3. Нахождение правил сужения максимальной мощности

По смыслу построений матрица [р*■], удовлетворяющая свойствам р1— р3, буч

дет задаваться правилом сужения е, или Е,, которое соответствует какому-либо мультипликативному терму минимальной длины |?,|, определяющему сужение исходного отношения до отношения эквивалентности.

Все такие правила содержатся в семействе (е,)™^.

Построение семейства {е,)^ опирается на выполнение преобразований, определенных в подразделе 4.1.1, наиболее ресурсоемкими из которых являются преобразования по правилу йз. Для построения всего семейства {е,)^ их потребуется выполнить 2то раз, где то < п3- число аддитивных сомножителей в мультипликативном терме

то

Н(хф = ]~~[<ЛА ®Ха).

5=1

Термы минимальной длины могут быть найдены без предварительного построения семейства {е ,)т=1, если для каждой из переменных х,,^, известно число их

совместных вхождений в аддитивные сомножители, образующие терм ^(хф, который получается из терма Гз(х^) в результате нормализующего преобразования

й.2 ◦ й4.

3.3.1. Построение термов минимальной длины

1. Произведем над симметризованным термом tз(xij) преобразования по правилам йг для операции Ф и для операции ■ :

, , то

йг°й4 і т

й2 о й4 композиция: їз(Хі^ ¿3(Х(^) = \(Хіак3 Ф Xjsks).

5=1

После их выполнения результирующий терм ¿3 (xij) не будет содержать одинаковых аддитивных вхождений (^Ф^іа) и |^(хгу)| < \Ъ(хф\.

Определим число совместных вхождений правилом:

Дг;к. ,= дрік ,= | •> входит в Ґ3(хи),

jlh isks

0, — в противном случае.

В силу свойств матрицы [г^] получаем: N7-^ = 0.

найдено простым суммированием чисел при фиксированных значениях ин-

Понятно, что общее число вхождений переменной Х^ в терм t'з(Хij) может быть

ТТГЧТТ ГПТТТ/'ЛТЛ"Г\ЛС о иш

пк

™0 .

5=1

Tis ks

2. Определим прямым перебором числа т'0 и вычислим

N вычисление вхождений:

1'3(хф ^ т'0,

і к

фф - {А^},

К

% =

1=1

3. Упорядочим числа по убыванию:

8г сортировка:

{^) ~ • • • {N1^}% < < 2 <

ms

Так как длина мультипликативного терма ]~содержащего N вхождений

5=1

одной и той же переменной, уменьшается на N - 1 в результате каждого преобразования, проводимого по правилу й4 для операции ■, то искомые термы минимальной длины і s будут составлены из переменных хіік1, имеющих максимальную сумму чисел вхождений N1^ за вычетом общего числа их совместных вхождений.

4. Выберем из убывающей последовательности чисел N , первые Мо из них, которые удовлетворяют условию:

Мо-1 1 Мо-1 . , Мо 1 Мо . ,

Vі И? ,------<т'0 а'У' И? ,----------------^ т'0.

<2=1 <2,^=1 <?=1 <?,^=1

2 М Г ЛП \Мо

1 9 0 о Мп

Мо максимизация: М1, , N2 ,■ ■ ■ ^ Ш , } .

isks isks isks ° =1

5. Терм, образованный из соответствующих им переменных будет иметь минимальную длину м0.

Г0 - Мо

То построение минимального терма: {№к )М°1 м ¿о : = I 1Л

5=1_

Определяем правило сужения максимальной мощности ео: ео сужение:

(р..; р..) ^ / (0’ °)> вх°дит в {0 ■=

>}’ }> \ (р^, ру;), —в противном случае.

Пример 4. Для отношения из примера 2

К ~ [гу] :=

1 1 0 1 1 1 0 1 1

Симметризованный терм: ¿з(х12, Х23) = (Х12 Ф Х23) ■ (Х23 Ф Х12).

1. йг4 композиция: ¿3(Х12, Х23) = Х12 Ф Х23.

2. Вычисление вхождений: N12 := N;Ц := 0, N22 := N22 := 1, т'0 = 1.

N12:= N12 + N22 = 1;

N23 := N12 + N23 = 1.

3. Сортировка: N12 = 1 ^ N3 = 1.

4. Максимизация: {N12}1=г

5. Минимальный терм: іо := хц.

е0 сужение по правилу: [р, := [rij] н [рі]. -о: (р12,Р21) := (0,0):

[р0]: =

1 о о

0 1 1

0 1 1

В приведенном примере сужение по правилу -о дает решение поставленной задачи. В других случаях правила сужения, построенные по термам минимальной длины, могут приводить к нетранзитивным отношениям.

Пример 5.

Отношение К допускает следующую графическую интерпретацию Рис. 1:

1 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

. 0 1 1 1 .

Рис. 1. Граф отношения И

1. Мультипликативный терм, полученный из терма іо(сі,к, йі,к, хі,) : =

3 5 5

= ППП(с і,к ■ (Хік Ф Х,к) Ф й,к) в результате применения преобразований

і=1 ,=1 к=1

подстановки, сокращения констант, симметризации:

І3(Хі,) = (Х12 Ф Х25) ■ (Х13 Ф Х35) ■ (Х14 Ф Х45).

2. Аддитивный терм ¿4(х^), полученный из терма і3(хі,) в результате применения преобразования по правилам й2-й4 для операции ■ и Ф:

І4(Хі,) = Х12 ■ Х13 ■ Х14 Ф Х12 ■ Х13 ■ Х45 Ф Хц ■ Х14 ■ Х35 Ф Хц ■ Х35 ■ Х45Ф

Х13 ■ Х14 ■ Х25 Ф Х13 ■ Х25 ■ Х45 Ф Х14 ■ Х25 ■ Х35 Ф Х25 ■ Х35 ■ Х45.

Каждый из мультипликативных термов имеет минимальную (максимальную) длину, равную трем. Однако только два из них определяют правила сужения до отношений эквивалентности.

3. Минимальные термы р := Х12 ■ Х13 ■ Х14 и р := Х25 ■ Х35 ■ Х45 определяют суже-

ния [р/ := [г/ правилам:

[р о/]

[Рч/] := [г/

до отношений эквивалентности по

(р12, Р21, р13, р31, р14, р41) := (о, о, о, о, о, о), (р25, р52, р35, р53, р45, р54) := (о, о, о, о, о, о).

К

[ро/] : =

1 о о о о 1 1 1 1 о

о 1 1 1 1 1 1 1 1 о

о 1 1 1 1 , К, ~ [р/ : = 1 1 1 1 о

о 1 1 1 1 1 1 1 1 о

. о 1 1 1 1 . . о о о о 1 .

Сужения К, и К, допускают следующую графическую интерпретацию:

и

1

о-

Рис. 2. Графы отношений К, и К,

5. Все остальные термы определяют сужения до нетранзитивных отношений.

В силу сказанного, после нахождения термов минимальной длины ^ и соответствующего им семейства правил сужения {ёо)^ необходимо произвести выбор тех из них, которые будут задавать сужения К до отношения эквивалентности. То, что такие сужения найдутся в семействе {ёо)^, вытекает из следующего рекурсивного построения.

Рассмотрим ранее полученный симметризованный терм

т'о

ЧХФ = П(х^ ®Х1А)-

5=1

В дальнейшем с целью упрощения записи будем опускать подчеркивания в симметризованных индексах.

Введем вспомогательный терм ^, положив ^ := t3(х/

Введем вспомогательный терм Ро, положив р := 1.

Введем счетчик числа вхождений N, положив N := о.

Введем вспомогательное множество 1, положив 1 := 0.

Введем счетчик итераций т, положив т := 1.

Рекурсивная процедура Pr(t3(xij), t', t0, N, J, т) begin proc

1. Из множества переменных, входящих в терм t', выберем те, которые имеют максимальное общее число вхождений щ.

Если все переменные имеют общее число вхождений, равное 1, то это означает, что каждая переменная xisks входит в термы xisks © xjsks только с одной другой переменной Xjsks, и все такие вхождения могут встречаться не более одного раза. В этом случае все мультипликативные термы (t*)S=1, определяющие правила сужения, имеют равную длину, совпадающую с минимальной длиной.

Положим

so

: *

=1

и завершим преобразования.

Если не все переменные имеют общее число вхождений, равное 1, то выберем из переменных Xijz, имеющих максимальное общее число вхождений n\ := N1 j , ту, которая имеет минимальное число совместных вхождений с переменными xisjs при (is, js) е J в терм t3(xij).

При первом вызове процедуры J = 0 и число подобных совместных вхождений для любой переменной равно нулю.

Для удобства будем считать, что в терме t' все аддитивные термы xi1 j1 ©xjxj* , содержащие эту переменную, стоят на первом месте:

to : = tu ■

f := (Xj © xjzj:i) ■... ■ (xizJz © xjj ) ■... • (ximU j © j ^)

’ T 0 mn

Очевидно, что такого расположения всегда можно добиться при помощи преобразований по правилу d2■

Рассмотрим терм

п\

І і : = (Х,Л 0 Х1 Л, і)' •••'( Хи т 0 і і) = П (Хі^т 0 )

" П " 5=1

После применения к нему преобразований по правилу d2 и dз результирующий терм примет вид:

1 d 2

(і . ^ К . = Хі і • ••• • Хі і Ф • •• Ф Хі л ■ • •• • Хі л •

Іх]т Іх]х Хл Хл л тЛтД Х т пі

Легко понять, что после применения к терму {2л преобразований по правилу d4 результирующий терм ?3л

2 3

?2 і ^ ґ3 і = Хі і Ф ••• Ф Хі л ■ ••• • Хі л

Іх]х Іх]т т‘'т •'т‘'тД х т пі

будет содержать единственный терм минимальной длины 1, а именно:

d4

Положим Пчисло совместных вхождений переменной Хг'т/т с переменными Х1! при (г*, ]ц) € 1 в терм ^3(Хг/).

xi

lxJx

xi j ^ xi j

1tJx 1tJx

При / := 0 число подобных совместных вхождений для переменной Xiт jт равно нулю.

Положим

*0 := ¿0 ' Х1 ];

N := N + п\ - п2;

^ := ^ и {(/Т , )}.

2. Удалим из терма Г терм Г1 ■ .

‘ Т ] т

г'|г;т л

Г' ^ Г" = (*,■,+1 л+1 © Хлт+л ^ ■... ;.© Л Л, ).

3. Разобъем терм Г", на два ТЦ и Т^ в первый из которых входят все аддитивные термы (хгдг © х^) с переменными, которые присутствуют в терме л , а во второй — все оставшиеся.

Понятно, что с точностью до преобразований по правилам ¿2 термы ї" и Г1 ■ ■

'-х]х

■ ТТ1 • ТТ2 совпадают

П1

I' * П(Хг'л © Хлл^) ' П(хм © Л) П^ © х.Ж) > п1 + Ч1 + Ч2 = т0.

5=1 5=1 5=1

По построению в терм ТТ2 могут входить только те переменные, которые не

имеют совместных вхождений в терм Г ни с одной из переменных, входящих в

терм Г1 ■ .

Кроме того все переменные, имеющие общее число вхождений, равное 1, должны входить в терм ТТ2.

Заметим также, что переменная хг-тл не может входить ни в один из термов ТЦ и ТТ2, а число вхождений каждой из переменных х^* , ...,х^* в терм ТЦ должно

Т’ 1 т>пх

быть на единицу меньше, чем соответствующее число вхождений в терм Г. В то

же время числа совместных вхождений переменных хлл* , ...,хлл* в термы ТЦ и

Т>1 т>п|

Г должны быть равны.

Если для обоих термов |Т"| = |Т'21 = 0, то завершаем преобразования.

4. Если |Т111 ф 0, то положим т :=т + 1, Г : = ТЦ и применим к нему описанные выше преобразования пунктов 1, 2 с уже измененными значениями ?о, N /, т.

5. Если |Т12| Ф 0, то положим т :=т+ 1, Г := Т'2 и применим к нему описанные выше преобразования пунктов 1, 2 с уже измененными значениями ?о, N /, т.

6. Выполняем преобразования рекурсивно для всех термов ТЦ, ТГ2, получаемых на каждом шаге.

е^ ргое;

В силу того, что каждое преобразование выводит из терма Г одну переменную, они завершатся за конечное число шагов.

По смыслу правила разбиения терма I" на термы ТЦ, ТГ2 преобразования, производимые над одним из них, не влияют на преобразования, производимые над другим.

-щ

т

т

После выполнения преобразований за То шагов будут получены следующие значения:

Остается показать, что среди термов минимальной длины, которые могут быть получены из терма ?о, найдутся такие, которые будут задавать сужения исходного отношения до отношения эквивалентности.

1. Атомарное правило сужения в11 л, построенное по симметризованной переменной х11 j1, имеет вид р11 j1 := 0 Л рj1i1 := 0 и соответствует одному из условий обнуления при 5 Ф 11 Л 5 Ф j1 Л 1]_ ф j1:

Как уже отмечалось, идемпотентность матрицы, полученной в результате суже-

3&1 рі1к1 — 1 Л рк1j1 — 1,

то есть в одном из двух случаев при 5 ф іі Л 5 ф 7і Л кі ф іі Л кі ф / Л іі ф /:

2. Покажем, что существуют условие обнуления и соответствующее ему атомарное сужение егіл такое, что в результате двух последовательных сужений

еіі Л ов1111 і

[гі/] ^ [ріл] условие идемпотентности матрицы не нарушается за счет обнуле-

ния элемента ріі/1 — 0:

Рассмотрим, например, первый случай. Второй случай рассматривается аналогично.

3 :— {0ь /іХ •••, (іНі, Лі) > О'йі + Ь Уйі + і)> • • •> (іНі+к2, л'йі+й2) > • • •}• Терм ?о с помощью преобразований С2, йг приводится к виду:

?о ^ Х

С2°<^2

Положим

Хікі +і .Мі +і ••• Хі^і+^2 ]кі+1і2

?:= 2І І"

5—і 5—і

гіі 5 — 0 л Пі Лі — і л глі 5 — і;

Г5Лі — о Л Гіі Лі — і Л Гіі 5 — і

или одному из аддитивных термов:

Хіі Лі Ф Х/і5 ;

Хіі Лі ф Хіі 5 •

егіЛ

ния [г/ ^ [р/ может нарушаться в том случае, когда

Зкі ріі Лі — 0 Л ріікі — і Л ркі Лі — і Л Гіі 5 — 0 Л Гіі Лі — і Л г/і 5 — і;

Зк2 ріі Лі — 0 Л ріік2 — і Л рк2 Лі — і Л т 5 Лі — 0 Л Гіі л — і Л Гіі 5 — і

или, что то же самое:

^кі ріі/і — 0 Л ріі кі — і Л ркі/і — і Л ріі 5 — 0 Л р/і 5 — і;

^к2 ріі/і — 0 Л р і і к2 — і Л рк2/і — і Л р5/і — 0 Л ріі 5 — 1

Укі Гіі5:— 0 Л Гіі/1 — і Л т/і5 — і Л ріі/і — 0 -^ ріікі — 0 V ріі/і — 0;

Ук2 Г5/і :— 0 Л Гіі/і — 1 Л Гіі 5 — 1 Л ріі/і — 0 р11 к2 — 0 V р12/1 — 0

Пусть для некоторых 5 и к выполняется:

р11 jl = 0 Л р11 к1 = 1 Л рк1 jl = 1 Л Тк 5 = 0 Л Г11 jl = 1 Л rjl 5 = 1.

2.1. Если элемент матрицы Гк15 = 1, то в таком случае

г^ 5 = 0 Л Гк15 = 1 Л р11 к1 = 1.

Так как р11 к1 = 1 —> г11к1 = 1, то для элемента матрицы р11к1 должно выполняться условие обнуления относительно элемента г115 = 0:

Г115 = 0 Л Гк15 = 1 Л Г11 к1 = 1,

относительно которого также выполяется и условие обнуления элемента р11 j1 . Этому условию соответствует аддитивный терм Хк15 Ф Х11к1 .

Искомое атомарное сужение в11 11 имеет вид р11к1 := 0 Л рк111 := 0.

Понятно, что сужение в11 л о в11 л соответствует терму х11 j1 ■ х11 к1, причем переменная Х11к1 не входит в терм Х11 j1 Ф Хj15.

в11 1 Ов11 1 1 1

В результате сужения [гг ;] м [р1.] для матрицы [р1.] при 11 ф jl Л 5 ф 11 Л 5 ф

Ф .1 Л к ф 11 Л к ф 11 будет выполняться:

Р1к1 = 0 Л Р1111 = 0 Л Р115 = 0 Л Р*11 = 1 Л Р15 = 1

Замечание. Из последнего следует что, если при 11 ф 11 Л 5 ф 11 Л 5 ф 71 Л к1 ф

ф 11 Л к ф 11 Л Ш1 ф 11 Л „1 ф &1, выполняется:

3„ р11 к1 = 0 Л р11 „1 = 1 Л р^1к1 = 1

то (т1 ф 11 V к1 ф 5).

2.2. Если элемент матрицы Гк15 = 0, то в таком случае

Гк15 = 0 Л рк111 = 1 Л Г 11 5 = 1,

и по тем же причинам, что и в предыдущем случае, для элемента матрицы рк111 должно выполняться условие обнуления относительно элемента Гк15 = 0:

Гк15 = 0 Л Гк111 = 1 Л г 115 = 1,

которому соответствует аддитивный терм Хк111 Ф Х115.

Искомое атомарное сужение в1111 имеет вид рк111 := 0 Л р 11к1 := 0.

Понятно, что сужение в1111 о в1111 соответствует терму х11 11 ■ Хк111. Причем пере-

менная Хк111 не входит в терм Х1111 Ф Х115.

в11 л Ов1111 1 1

В результате сужения [гг ;] м [рМ для матрицы [р1;] при 11 ф 11 Л 5 ф 11 Л 5 ф

ф 11 Л к1 ф 11 Л к1 ф 11 будет выполняться:

Р^111 = 0 Л Р1! 11 = 0 Л Р1! 5 = 0 Л Р11к1 = 1 Л Р* 5 = 1

Замечание. Из последнего следует что, если при 11 ф 11 Л 5 ф 11 Л 5 ф ^ Л к1 ф

ф 11 Л к1 ф 11 Л т1 ф 11 Л т1 ф к1 выполняется:

3„1 Р!1 Л = 0 Л р^ = 1 Л Р„111 = 1

то (т1 ф 11 V к1 ф 5).

3. Из проведенных рассуждений следует, что для каждого терма

щ

4 11 := (Х11 11 Ф Х11111) ' ... ' (Х1111 Ф Х1^./1,„1) = П (Х11 11 Ф Х11 11.5 )

5=1

будет существовать терм не меньшей длины

ГЬ; := (х;;Л ® х;/^ • ••• • (х;;л ® х;/;^ = П(х;;л ® X;/•,)

5=1

такой, что сужение, соответствующее терму х;;■ х?/, не будет нарушать условия идемпотентности матрицы [р/ за счет обнуления элемента р^/.

В силу того, что сказанное относится к каждому из термов Г1 А , Г; , и с учетом

_ 111

ранее сделанных замечаний, сужение, построенное по терму г;, не будет нарушать условия идемпотентности матрицы [р;/] за счет всех обнуленных элементов.

Так как в терм г; отбирались переменные, имеющие максимальные общие числа вхождений в терм ¿3 (х;/), что соответствует удалению из исходного отношения к минимально возможного количества пар, которые нарушают свойство транзитивности, то построенное сужение К1 с К будет включать хотя бы одно из сужений К до отношения эквивалентности максимальной мощности К^.

Если длина терма |^| = 0, то К1 = К, и отношение К1 включает все такие

сужения.

ч

По построению все термы, входящие в 1*кз, имеют одинаковую длину.

Як

Согласно теореме 3.1, в каждом терме к найдется мультипликативный терм _ ^

Г*к8о, который определяет сужение К, не изменяющее классы эквивалентности отношения Кт.

Положим

¿0 := Г0 ' t1s0 ' Г2я0 • • •

По построению ему соответствует сужение исходного отношения К до отношения эквивалентности.

4. По построению, последовательность чисел и! ^ П^ , ^ ••• ^ п; или, что то же самое, N А ^ А ^ ••., ^ N ■ удовлетворяет условию максимизации.

Д ;2 ]2 ; Т0 /0

Действительно, на каждом шаге для добавления в терм ?0 выбиралась переменная из числа тех, которые имели наибольшие значения чисел общих вхождений из всех не выбранных на предыдущих итерациях. Более того, переменные выбирались так, что их совместные вхождения со всеми выбранными переменными были минимальны.

Из сделанных замечаний также следует, что переменные, входящие в термы ?0 , г; , ¿2 • ••, не имеют совместных вхождений и, следовательно, полусумма сов-0 0 0 местных вхождений всех переменных, содержащихся в терме ?0, равна ^п2 и име-

=;

0 0

ет минимальное значение. Поэтому равенство

п;

— ^п2 = т0 достигается при =; =;

минимально возможном значении т 0, то есть терм ¿0 имеет минимальную длину.

3.3.2. Поиск сужений до отношения эквивалентности

Из всего сказанного следует, что возможно произвести непустой выбор правила ~к

сужения £0, построенного по терму минимальной длины, применение которого к отношению К приведет к отношению эквивалентности максимальной мощности.

Выберем из сужений е0, построенных по термам минимальной длины, одно из

£0 0 0

сужений, приводящих матрицу [р. := [г. м [р0^] к идемпотентной матрице [р0.].

По смыслу построения сужений, для проверки идемпотентности матрицы [р0;]

ч

достаточно проверить, что в матрице [р0 • р0.] равны нулю все элементы р0 • р0 , для которых р0!= 0 Л гг>. = 1, то есть только те элементы, индексы которых совпадают с индексами переменных х^.^, входящими в термы минимальной длины

ыа ’ ’

io ]~[ x

M0

1. По каждому терму минимальной длины to : — J”[xitjts построим множество

s-1

индексных пар для входящих в него переменных:

I выделение индексов:

Т ^ I : = |(4г,]к))М101.

Обозначим "|І := (1..|^|)2 \ I — множество индексных пар, не входящих в I.

2. Производим отбор минимальных термов на основании правила:

Г фильтрация сужений:

Fto:— А -riksi v^rijks •

(iK, jks) Є I,

(iks, l), (l, jks) ЄЦ

Заключение

Рассмотренная задача является в определенном смысле двойственной к задаче построения транзитивного замыкания рефлексивного, симметричного бинарного отношения на U. Согласно лемме 1.2, решение такой задачи единственно и имеет простое аналитическое представление в алгебре ^2U2, { -1, о, и}^:

|U|-1 |U|-1

[R] — у (R U R-1)k — У Rk

k-0 k-1

или представление:

|U|-1 |U|-1

[rij] —У ([rij] V [rij]T )k —\Z [rij]k

k-0 k—1

в изоморфной алгебре ^M|U|2, { T, •, U}^.

Так как Rm с R с [R], то мощность |[R] \ Rm| — |[R]|-|Rm| есть инвариант рефлексивного, симметричного отношения R, который можно трактовать как меру его подобия отношению эквивалентности.

Приложения

Если интерпретировать отношения R как графы Gr, то рефлексивное симметричное отношение R будет задавать неориентированный граф с вершинными петлями (см. например, [3]).

1. Выделение клик графа. Классы эквивалентности Rm определяют клики графа Gr, а максимальная мощность класса эквивалентности дает нижнюю оценку для хроматического числа графа x(Gr).

2. Раскраска графа. Пусть Gr —неориентированный граф без петель, а R ~ [г. —соответствующее ему рефлексивное симметричное отношение.

Отношение "|R ~п[гг.] определяет множество вершин графа Gr, допускающих раскраску одним цветом. Отношение эквивалентности ]Rm ~пр°. определяет раскраску графа, причем число различных цветов раскраски равно числу классов эквивалентности отношения !Rm, то есть rangC'p9.).

Ч

Литература

[1] Горбатов, В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Инфомаци-онная математика / В.А. Горбатов. М.: Наука, 2000, 544 с.

[2] Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. Москва: Наука, 1970, 392 с.

[3] Diestel, R. Graph theory / R.Diestel Berlin: Springer, xiv, 2000, 313 p.

Поступила в редакцию 3////2005; в окончательном варианте — 3/II/2005.

ON A SPECIAL RESTRICTION OF REFLEXIVE AND SYMMETRIC RELATION TO AN EQUIVALENCE RELATION3

© 2006 V.P. Tsvetov4

This paper presents a technical algorithm for constructing an equivalence relation as a subset of reflexive and symmetric relation on a finite set. The term ’’technical” means that an equivalence relation contains as many elements as possible.

Paper received 3////2005. Paper accepted 3/Д/2005.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. V.I. Astafiev.

4Tsvetov Victor Petrovich (tsfSssu.samara.ru), Dept. of Information Systems Security, Samara State University, Samara, 443011, Russia.