О спектральных задачах с внутренней диссипацией энергии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9:532

О СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ С ВНУТРЕННЕЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ

Андронова О. А.

ГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского»,

Академия строительства и архитектуры (структурное подразделение),

Адрес: г. Симферополь, ул. Киевская, 181.

Аннотация. В статье рассмотрены спектральные задачи, порожденные начально-краевыми задачами с внутренней диссипацией энергии. Приведены простейшие свойства спектра данной задачи. Более тонкие свойства спектра зависят от отношения областей определения главных операторов задачи. При этом подходе возникают три различных случая: малой, средней и сильной интенсивности внутренней диссипации. В статье приведены основные результаты исследования этих проблем, из которых становится понятно, что спектр задач достаточно своеобразен. Это обосновывает рассмотрение модельных спектральных задач, связанных с исходными.

Ключевые слова: гильбертово пространство, компактный самосопряжённый оператор, классы компактности, характеристическое уравнение, динамика изменения собственных значений.

Введение

В работе рассмотрены некоторые вопросы, связанные с исследованием спектральной проблемы, порожденной начально-краевыми задачами с внутренней диссипацией энергии. Приведены простейшие свойства решений спектральных задач, получены утверждения о локализации спектра и утверждение о дискретности спектра задачи. Далее, на модельных примерах выясняется, что спектр рассматриваемой задачи достаточно сложен и своеобразен.

Автор данной работы и его научный руководитель проф. Копачевский Н.Д. познакомились с проблемой исследования эволюции динамических систем с диссипацией энергии на лекции проф. Чуешова И. Д. на 15 Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ 2004, Ласпи-Батилиман). Работы Чуешова И.Д. с соавторами и его монография (см. [1] [3]) посвящены изучению бесконечномерных диссипативных динамических систем, в частности, систем с поверхностной диссипацией энергии.

Следует отметить, что термин диссипация энергии (лат. означает рассеяние. Переход

части энергии упорядоченных процессов (кинетической энергии движущегося тела, энергии электрического тока и т. п.) в энергию неупорядоченных процессов, в конечном счёте в теплоту. Системы, в которых энергия упорядоченного движения с течением времени убывает за счёт диссипации, переходя в другие виды энергии, например в теплоту или излучение, называются диссипативными. Примерами диссипативных систем являются: твёрдое тело, движущееся по поверхности другого при наличии трения, жидкость или газ, между частицами которых при движении действуют силы вязкости и т.п. Исследование спектральной задачи как с поверхностной, так и с внутренней диссипацией энергии представляет собой пока нерешенную

проблему. Поэтому исследование данной задачи осуществляется поэтапно. Так в работе [7] были изучены спектральные задачи, порожденные начально-краевыми задачами только с поверхностной диссипацией энергии.

Постановка задачи

Рассмотрены простейшие свойства спектра, а затем на примерах одномерном, двумерном и в цилиндрических областях обнаружено, что спектр рассматриваемых задач достаточно своеобразен. Выясняется, как этот спектр мигрирует в комплексной плоскости при изменении параметра диссипации от нуля до бесконечности. Приводятся примеры численных расчетов спектра на основе метода итераций. Далее, в общей постановке исследована спектральная задача. На основе одного общего результата, полученного Т. Я. Азизовым, доказано, что в случае общего положения спектр задачи является дискретным с предельной точкой на бесконечности.

Основные результаты

Рассмотрены некоторые вопросы, связанные с исследованием спектральной проблемы с внутренней диссипацией энергии. Рассматривается задача без начальных условий в области О с границей Ш=Ш8:

ем

(ЖЙ^+АгН" (в О), (1)

К=К*>0, ^Ш=Ь2(0). р>0,

и= 0 (на 8), (2)

ди/5п= 0 (на Г). (3)

Здесь функция иО, х) является искомой, функция х) - заданной. Параметр в характеризует изменение внутренней диссипацией энергии.

'ем

Слагаемое РК Й в уравнении (1) при (3 >0 порождает внутреннюю диссипацию полной энергии динамической системы. При отыскании решения однородной задачи (1)-(3) только с

внутренней диссипацией энергии (параметр поверхностной диссипации энергии а= 0) в виде:

и(1, х)=е"%х), хбЕ, (4)

приходим к спектральной задаче

Ьи+Л*и-ХрКи=0(вЕ), (5)

ди= 0 (в G). (6)

Задача (5)-(6) эквивалентна спектральной проблеме:

1

(л1 А—1—ХрС+1)т|= 0, ибЕ, (7) где свойства операторов ^ 1 и С изучены при исследовании абстрактной задачи с поверхностной и внутренней диссипацией энергии и коротко могут быть сформулированы в следующих утверждениях.

Утверждение 1. Оператор ; ? ч-* -ограничен. Если ^ компактно вложено в ^ . то - - является компактным положительным оператором.

Утверждение 2. Оператор

Сп =5* 3 I* =

1 1

с областью определения \ / может быть расширен по непрерывности до ограниченного самосопряженного и неотрицательного оператора

0=^6 ОД. (9)

Пусть параметр внутренней диссипацией в является неотрицательным и может принимать значения в= 0 и р=®. Тогда могут быть сформулированы некоторые свойства решений спектральных задач (5) (6), (7). Число Х= 0 не является собственным значением

сформулированных выше спектральных задач. Спектр изучаемых задач расположен в правой комплексной полуплоскости и симметричен относительно вещественной оси. Операторный

пучок ^'У-'1 = — 1 - ¿у1- -Ь I может быть представлен в виде

(Г-АДО1?+ Ц - {\{))

Тогда справедливо следующее утверждение. Утверждение 3. Пусть

= £ е с: а^"1 е

Л (11)

тогда в области С/Л спектр операторного

пучка дискретен и возможные предельные

точки принадлежат множеству Л и точка Х=®. Если Б компактно вложено в Е, то оператор ^ 1 компактен (см. утверждение 1). Тогда вне области Л

пучок "и является фредгольмовым операторным пучком, т.е. имеет структуру ФЗ =1+ф(Х), где Ф(/.) = Сг — Л.уО"1:!1^"1 аналитическая оператор-функция из C. При этом =1 . Тогда по

теореме И.Ц. Гохберга (см. [8], с. 39) следует, что спектр задачи в этом случае дискретный с предельной точкой на бесконечности. При в=0

спектр задачи расположен на мнимой оси и имеет вид:

л^ = (12)

Сложность и своеобразность спектра исследуемой задачи вынудила рассмотрение модельных спектральных задач. Рассмотрена задача (7) при условии, что оператор внутренней диссипации К имеет вид

К=АГ, (13)

В этом случае спектральная задача существенно упрощается. Выяснена необходимость рассмотрения трех различных случаев: у= 0, 0< у <1, у= 1, поскольку задача на собственные значения для

операторного пучка при условии (13) в каждом из описанных выше случаев имеет решения разного вида. В каждом случае исследовано поведение

(8)

собственных значений I - решений

определенного квадратного уравнения, - при фиксированном параметре внутренней диссипации в, при фиксированном параметре у из выбранного

диапазона и при изменении параметра к. Следует

№

отметить,

что

П-.1

выражаются через

собственные значения оператора С

помощью программы, написанной в пакете Мар1е 9.01, для случая, когда

А = -Д, Ла-ЭД = ^

Ж

гг = 1,2| поведение чисел I с проиллюст-рировано на комплексной плоскости.

В случае у=0 в программе вычисляются собственные значения Х±к по формуле

«1---

íY

: ' " " , (14)

при фиксированном в= 3 и при изменении к от 1 до 30 с шагом равным 1. Результатом применения программы является рис. 1. Рисунок изображает две ветви собственных значений. При малых к собственные значения лежат на действительной оси. Далее, при увеличении к движутся по действительной оси навстречу друг другу, "схлопываются" в двукратной точке и движутся по вертикальной прямой ЯеМесто для формулы„А=в/2 на бесконечность. Положительная ветвь движется от действительной оси вверх, отрицательная вниз.

Случай 0< у <1 вынуждает рассмотрение трех подслучаев 0<у<1/2, у=1/2, 1/2<у<1.4 Результатом рассмотрения случая 0<у<1/2 является рисунок 2, который демонстрирует две ветви собственных значений. При малых значениях параметра к собственные значения и будут лежать на действительной оси. Далее, при увеличении параметра к две ветви будут двигаться навстречу друг другу по действительной оси. Ветвь ^ будет двигаться слева направо, а справа налево до тех пор, пока они не "схлопнутся".

ун-

ип-

ю

ю-

-£0

■ао.

10-

0,5

185

-ю-

-15"

а-

о

V

с

V

с

о

с

о

с-

>

г.

&

- ■ ■■■у -г т 1"1 ■ 1 | | | | 41 Т ' Г Г 1 "Т 1 1 II

) 5 10 20

о

э

■Е-

С

С*

о

о

э

-ь-

-10

Т-1 I I 1°П'1"ТГРМ°,РТ°П'Р1ЧЧ",ЩЧ°1

£0 40 ЗЭ ао 100 12Э

Рис. 1. Ветви собственных значений в случае у= 0 при фиксированном в= 3 и при изменении к от 1 до 30 с шагом равным 1.

При дальнейшем увеличении к ветви комплексно сопряженных собственных значений будут двигаться на бесконечность по кривым близким к параболам.

15

10

Рис. 3. Ветви собственных значений при у= 0,7, в= 0,5 в случае изменения к от 1 до 30 с шагом равным 1.

Случай т=1/2 обязывает рассмотрение случаев, когда 0<в<2, в=2, в >2. Результатом рассмотрения этих случаев является рисунок 4.

5 10 -5 20 >5

Рис. 2. Ветви собственных значений в случае т= 0,3 при фиксированном в= 6 и при изменении к от 1 до 30 с шагом 1.

В случае 1/2< у <1 картина миграции собственных значений при изменении к противоположна случаю 0< у <1/2. Ниже на рис. 3 представлен результат применения программы при у= 0,7, в= 0,5 в случае изменения к от 1 до 30 с шагом равным 1. При малых к спектр будет состоять из конечного числа комплексно сопряженных собственных значений, которые образуют две ветви. Эти собственные значения "схлопываются"на действительной. Дальнейшее увеличение к порождает две ветви действительных собственных значений и . каждая из которых стремиться к бесконечности.

Рис. 4. Ветви собственных значений * для трех случаев 0< в <2, в= 2, в >2 при изменении к от

1 до 30 с шагом равным 1, при у = ^ и фиксированном параметре в из соответствующего диапазона (в=1, в=2, в=4 соответственно расположению рисунков).

На первой комплексной плоскости видны две ветви комплексно сопряженных собственных значений. С ростом к они будут двигаться на бесконечность по траекториям, представляющим собой прямые. На втором рисунке при изменении к имеется ветвь из двукратных точек на действительной оси. Эта ветвь движется слева направо, т. е убегает на бесконечность. Третий рисунок представляют собой две ветви собственных значений, каждая из которых движется по действительной оси на бесконечность.

Рисунок 5 демонстрирует поведение точек спектра с случае у=1. Для малых значений параметра к имеются комплекснозначные

сопряженные собственные значения При

увеличении к их действительная часть увеличивается, а мнимая уменьшается. Далее

образуются две ветви действительных собственных значений ^чс и ^ * с предельными точками равными бесконечности и 1/(3 соответственно.

'("""Г11 ЧЧ" Г IJ "I" Ч Т H m V—ТТТ"РТ^П

50 10Ü "И £С0 £50

Рис. 5. Две ветви собственных значений при у= 1, в= 0,5, к=1, .., 30.

Таким образом, рассмотрены всевозможные случаи положения параметра у. В каждом случае проанализировано поведение собственных значений при фиксированном параметре в и при изменении к.

Ниже представлен рис. 6, изображающий полную миграцию спектра модельной задачи при изменении трех параметров к, (3, у.

IS 2С ¿5 ÏJ

Рис. 6. Миграция спектра модельной задачи при изменении трех параметров к, в, у: к=1,..,30 с шагом равным 1, в=0,..,10 с шагом равным 0,5 и у=0,..,1 с шагом равным 0,5.

Выводы

Таким образом очевидно, что исследование спектра задачи с внутренней диссипации связано с определенными трудностями. Исследование спектральных проблем с поверхностной и внутренней диссипацией продолжается.

Полученные результаты будут отражены в последующих публикациях автора.

Список литературы

1. Chueshov,I., Eller,M., Lasiecka,I. Finite Dimensionality of the Attractor for a Semilinear Wave Equation with Nonlinear Boundary Dissipation // Comunications in Partial Differential Equations, Vol. 29, No 11-12, pp. 1847-1876,2004.

2. Chueshov,I. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems. Kharkov: Acta. In: Russian, English translation: Kharkov: Acta, 2006. See also http://www.emis.de/monographs/Chueshov.

3. Chueshov,I., Lasiecka,I.(2004). Global attractors for von Karman evolutions with a nonlinear boundary dissipations. J. Diff. Equations 198: 196-231.

4. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. 416 с.

5. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств, абстрактные краевые и спектральные задачи//Украинский математ. вестник, Т.1, No1(2004), с.69-97.

6. Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств и ее приложения к задаче Стокса // Таврический вестник информатики и математики(ТВИМ), Симферополь, No2, 2004. с.52- 80.

7. Андронова О.А., Копачевский Н.Д. О линейных задачах с поверхностной диссипацией энергии // Современная математика. Фундаментальные направления. Москва: Рос. инст. Дружбы народов, 2008. Том 29. С. 11-28.

8. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - M.: Наука, 1965. 448 с.

9. Андронова, О.А. Начально-краевые и спектральные задачи с поверхностной и внутренней диссипацией энергии. / /Ученые записки Таврического Национального Университета им. В.И. Вернадского, терм Математика. Механика. Информатика и Кибернетика: 2009, T. 22(61).1, с.1-13.

10. Андронова, О.А. Случай малой интенсивности в задачах с внутренней диссипацией энергии. // Ученые записки Таврического Национального Университета им. В.И. Вернадского, ^рия Математика. Механика. Информатика и Кибернетика: 2009, T. 22(61).1, с.1-13.

11. Андронова О.А. Случай малой интенсивности в задачах с внутренней диссипацией энергии. // Таврический вестник информатики и математики. 2015. № 3 (28). С. 8-23.

12. Андронова О.А. Случай средней интенсивности в задачах с внутренней диссипацией энергии. // Таврический вестник информатики и математики. 2015. № 4 (29).

С. 17-31.

Andronova O.A.

ON SPECTRAL PROBLEMS WITH INTERNAL ENERGY DISSIPATION

Summary. In the article the spectral problems, generated by the initial boundary value problem with the internal dissipation of an energy, are considered. Here is a simple properties of the spectrum of this problem. More subtle properties of the spectrum depends on the ratio of the domains of the main operators of the problem. With this approach, there are three different cases: small, medium and high intensity of the internal dissipation. The article presents the main results of the study of these problems, of which it becomes clear that the range of tasks rather peculiar. This justifies the consideration of model spectral problems associated with the source.

Key words: hilbert space, compact self-adjoint operator, classes of compact operators, characteristic equation, dynamics of the eigen values motion.