CC BY
19
УДК 517.2/.3 ББК 22.161.1 С 78
Сташ А.Х.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]
О спектрах полных и векторных частот знаков и корней линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка
(Рецензирована)
Аннотация. Исследуются спектры полных и векторных частот знаков и корней линейных дифференциальных уравнений третьего порядка. Показано, что для любого наперед заданного натурального числа p приводится линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с периодическими коэффициентами, множество различных значений полных (векторных) частот знаков и корней нетривиальных решений которого состоит не менее чем из p различных существенных чисел. Доказано существование дифференциального уравнения третьего порядка с ограниченными коэффициентами со счетным спектром полных (векторных) частот знаков и корней. Кроме того, приводится дифференциальное уравнение третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры полных и векторных частот знаков и корней которого заполняют один и тот же отрезок числовой оси.
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, колеблемость решений, число нулей функции, полная частота, векторная частота.
Stash A.Kh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]
On ranges of full and vector frequencies of signs and roots of third order linear homogeneous differential equations
Abstract. Ranges offull and vector frequencies of signs and roots of the third order linear differential equations are investigated. For any beforehand set natural number p, the third order linear differential equation with periodic coefficients is given, the set of various values of full (vector) frequencies of signs and roots, the uncommon .solutions of which consist not less than ofp of various essential numbers. Existence of the third order differential equation with limited coefficients with a calculating range of full (vector) frequencies of signs and roots is proved. Besides, the third order differential equation with unlimited coefficients is given, ranges of full and vector frequencies of signs and roots of which fill one and the same piece of a numerical axis.
Keywords: linear differential equation, variability of solutions, number of function zeros, full frequency, vector frequency.
Введение
Настоящая работа логически продолжает и развивает результаты, анонсированные в докладе [1] и доказанные в работах [2-4], в которых были исследованы полные и векторные частоты нулей решений линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка.
Для заданного натурального n обозначим через En множество линейных однородных уравнений n-го порядка
y(n) + ai (t)y^ +... + an_i (t)y + an (t)y = 0, t e R + = [0, ю), с непрерывными коэффициентами, образующими строку
a = (a1,..., an): R + ^Rn
(каждую такую строку будем отождествлять с соответствующим уравнением). Множе-
ство всех ненулевых решений уравнения a е En обозначим через S*(a).
Определение 1 [5, 6]. Для момента t > 0 и функции y : R+ ^ R под выражением va(y, t) будем понимать при а = —,0, + соответственно:
- число точек ее смены знака на промежутке (0, t];
- число ее нулей на промежутке (0, t];
- число ее корней на промежутке (0, t], т.е. нулей с учетом их кратности.
Далее, для ненулевого вектора m е R* введем обозначение va (y, m, t) = va ((yy, m, t), где цу = (y, y,..., y(n—1)), а (цу('), m) - скалярное произведение.
Определение 2 [5, 6]. Для каждого решения y е S*(a) уравнения a е En зададим скалярную, полную и векторную частоты
va(y) = lim -va(y, t), aa(y) = inflim -va(y, m, t), C(y) = liminf-va(y, m, t)
t^x t meR* t^x t t^x meR t
знаков, нулей или корней при а = —,0, + соответственно.
Замечание 1. Из определений 1 и 2 следует, что для любого ненулевого решения y е S*(a) справедливы цепочки соотношений
с (y) <a (y), С°(y) < a°(y), С (y) (y), r (y) < C( y) < С (y), a (y) < a0(y) < a (y),
а для тривиального решения y = 0 выполнены равенства
а~ (0) = С (0) = 0, a° (0) = С0 (0) = (0) = С (0) = +x.
Определение 3 [7, 8]. Множество всех значений показателя Я : S*(a) ^ R назовем спектром этого показателя уравнения a е En. Значение показателя, принадлежащее
J—Г n
спектру уравнения a е E , назовем:
а) метрически существенным, если оно принимается на решениях y е S*(a), множество наборов
(y(0), y(0),..., y(n—1)(0))е Rn (1)
начальных значений которых содержит множество положительной меры Лебега в Rn;
б) топологически существенным, если оно принимается на решениях y е S* (a), множество наборов (1) начальных значений которых, пересеченное с некоторым открытым подмножеством U ^ Rn, служит дополнением в U к множеству первой категории Бэра.
В работах [2-4] было установлено, что:
- для любого наперед заданного натурального числа p существует линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры полных и векторных частот нулей которого содержат один и тот же набор, состоящий из p различных существенных (и метрически, и топологически) значений;
- существует линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с ограниченными коэффициентами, спектры полных и векторных частот нулей которого содержат одно и то же счетное множество существенных (и метрически, и топологически) значений;
- существует линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры полных и векторных частот нулей которого заполняют один и тот же отрезок числовой оси.
Полные и векторные частоты знаков и корней нестационарных уравнений более второго порядка не были исследованы. В связи с этим возникает вопрос: как меняются сформулированные утверждения для полных и векторных частот знаков и корней? Этому вопросу посвящена настоящая работа.
Формулировка и доказательство результатов
Имеют место следующие
Теорема 1. Для любого натурального р найдется уравнение а е Е3, имеющее решения у1,у2,...,ур е £»(а), удовлетворяющие условиям:
V- (у,) = а- (уг) = С (у,) = И (уг) = а+ (у,) = Г (уг), г = 1, 2,..., р,
а+ (у,) *а+ (у,), г * j,
причем все эти значения частот являются метрически и топологически существенными.
Теорема 2. Существует уравнение а е Е3 с ограниченными коэффициентами, имеющее последовательность решений у1,у2,...,ук,... е £*(а), удовлетворяющее условиям:
V-(у,) = а-(у,) = Г (у,) = И (у,) = а+ (у,) = Г (у,) = 2"', г е N причем все эти значения частот являются метрически и топологически существенными.
Теорема 3. Существует уравнение а е Е3 с неограниченными коэффициентами, спектры полных и векторных частот знаков и корней которого состоят из одного и того же отрезка числовой оси.
Сформулированные теоремы обобщают результаты работ [1-4] на большее число разновидностей частот.
Доказательство теоремы 1. Для заданного натурального р возьмем уравнение а е Е3, построенное при доказательстве теоремы из работы [4]. Заметим, что все нули выбранного набора решений у1,у2,...,ур е £*(а) в этом доказательстве являются точками смены знака, а вектор, на котором реализуется минимум в определениях полных и векторных частот нулей, имеет вид т = (1, 0, 0). Далее, учитывая заключение этой теоремы, т.е.
у0(у,) = а0(у,) = ^0(у<), г = 1,2,..., р, а0 (у,) * а0 (у,), г * j,
получаем:
V (у) = а" (у,) = С (у,) = (у,) = а+ (у,) = С (у,), г = 1, 2,..., р, а+ (у,) *а+ (у,), г * j.
Теорема 1 доказана.
Для доказательства теоремы 2 достаточно повторить все рассуждения, проводимые при доказательстве теоремы из работы [2], и убедиться в том, что все нули выбранной последовательности решений (в этом доказательстве) являются точками смены знака.
Доказательство теоремы 3. По заданному s е (о, l) выберем произвольное иррациональное a, удовлетворяющее условию
1
1 < a < .
V1 -s
Введем в рассмотрение функции: A(t) = e3t 2 ( a)cos t + sc3),
j\(t) = e3t (tcos t + 6sco3t - 6atcos t + (a -a3)sin t),
A2(t) = e3t2((l2c3t2 -la3 + a5 + 6с - 12at2)cost + 12sa3t2 -6sa>3 + sa5 + + (at - 4a3t) sin t)
A3(t) = e3t2((aft3 -14a3t + 2a51 + 12at-8at3)cost- 12sa3t + 8sa3t3 + 2sa5t + + (at2 -4a312 + 3с3 - a5 - 2a)sin t), и рассмотрим уравнение
... 4(t).. 4(t) . A3(t)
у--y +—y--y = 0 ,
A(t) ^(t) A(t)
допускающее общее решение
12 / \ t2 t2 y = C1e (cos t + s) + C2e cos at + C3e sin at.
Однопараметрическое подмножество
yc = (1 - c)e'(cos t + s)-cet cos(p + at), c е[0,1],
множества S*(a) обозначим через Sc(a).
Для любого c е [о, 1] найдется такое (ре R, что выполнены равенства:
v°( Ус ) = yc) = С°(Уе), C\Se (a)) = [1, a],
причем все нули любого решения yc е Sc(a) являются точками смены знака (см. [3]). Поэтому выполняются
V- (Ус ) = а" (УС ) = С (УС ) = V+ (у ) = ^ (у ) = С (у ), С (Sc (a)) = [1, ®]. Теорема 3 полностью доказана.
Замечание 2. Доказанные теоремы остаются в силе и после замены нижнего предела в определении частот на верхний.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
Примечания: References:
1. Сташ А.Х. О спектрах частот некоторых ли- 1. Stash A.Kh. On spectra of frequencies of some нейных однородных дифференциальных урав- linear homogeneous differential tertiary equations нений третьего порядка // Дифференциальные // Differential Equations. 2014. Vol. 50, No. 6. P. уравнения. 2014. Т. 50, № 6. С. 856. 856.
2. Сташ А.Х. О существенных значениях характе- 2. Stash A.Kh. On essential values of variability cha-ристик колеблемостей решений линейных racteristics for the solutions of third order linear дифференциальных уравнений третьего поряд- differential equations // The Bulletin of the Ady-ка // Вестник Адыгейского государственного ghe State University. Ser. Natural-Mathematical университета. Сер. Естественно-математи- and Technical Sciences. 2013. Iss. 2 (119). P. 9-22. ческие и технические науки. 2013. Вып. 2 (119). URL: http://vestnik.adygnet.ru
С. 9-22. URL: http://vestnik.adygnet.ru
3. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 3 (122). С. 9-17.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
4. Сташ А.Х. О существенных значениях частот решений линейного дифференциального периодического уравнения третьего порядка // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 3 (142). С. 3344. URL: http://vestnik.adygnet.ru
5. Сергеев И.Н. Определения и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды Семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.
6. Сергеев И. Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1577.
7. Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1661-1662.
8. Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 11. С. 1567-1568.
3. Stash A.Kh. On existence of third-order linear differential equation with continuous ranges of complete and vector frequencies // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 3 (122). P. 9-17.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
4. Stash A.Kh. On essential values of frequencies of solutions of the third order linear differential periodic equation // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 3 (142). P. 33-44. URL: http://vestnik.adygnet.ru
5. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249294.
6. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of the linear equation // Differential Equations. 2008. Vol. 44, No. 11. P. 1577.
7. Sergeev I.N. Metricaally typical and essential values of indices of linear systems // Differential Equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1661-1662.
8. Sergeev I.N. Topologically typical and essential values of indices of linear systems // Differential Equations. 2012. Vol. 48, No. 11. P. 1567-1568.
