О совпадении класса бент-функций с классом функций, минимально близких к линейным Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2012 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(17)

УДК 519.719.325

О СОВПАДЕНИИ КЛАССА БЕНТ-ФУНКЦИЙ С КЛАССОМ ФУНКЦИЙ, МИНИМАЛЬНО БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ1

В. И. Солодовников

Академия криптографии Российской Федерации, г. Москва, Россия

E-mail: vis0707@rambler.ru

Продолжается начатое ранее исследование вопросов близости функций из (Z/(p))n в (Z/(p))m (p — простое) к линейным функциям. Найдены новые критерии абсолютно минимальной близости функции к линейным. Доказывается, что такая минимальность функции наследуется её гомоморфными образами. Обобщая хорошо известный для булевых функций факт, доказывается, что для p = 2, 3 класс всех абсолютно минимально близких к линейным функций совпадает с классом бент-функций.

Ключевые слова: близость функций, абсолютно негомоморфные функции, минимальные функции, бент-функции.

Нам потребуются следующие обозначения, терминология и результаты работы [1]:

— X, Y — нетривиальные аддитивные конечные абелевы группы;

— YX — множество всех отображений f : X ^ Y из множества X в множество Y (термины «отображение» и «функция» считаем синонимами);

— — композиция отображений, при которой ^ действует первым;

— Hom(G, H) —множество всех гомоморфизмов группы G в группу H;

— Z — кольцо целых чисел, Z/(k) —кольцо вычетов по модулю k;

— P — равномерное вероятностное распределение на X, то есть

P(A) = |A||X|-1 для любого A С X.

Функция f : X ^ Y называется сбалансированной, если мощности полных прообразов всех элементов Y одинаковы.

В работе [1] близость двух произвольных функций f 1, f2 Е YX измеряется корнем из дисперсии

(|Y|-1 Е (P(fi - f2 = y) — |Y|-1)2)2.

y£Y

В работе [2] предложено нормировать эту величину так, чтобы она достигала 1, то есть в качестве меры близости функций рассматривать

(|Y|(|Y| — 1)-1 Е (P(f1 — f2 = У) — |YI-1)2)1.

y€Y

Это позволило упростить многие формулы. С целью дальнейших упрощений здесь мы откажемся и от корня. А именно, близость 5 функций f1,f2 Е YX определим равенством

5(ff = |Y|(|Y| — 1)-1 Е (P(f — f2 = У) — |YI-1)2, (1)

y€Y

1 Работа выполнена в рамках НИР, проведённой в Академии криптографии Российской Федерации в 2010г., и является расширенным вариантом статьи (добавлены теорема 5 и второй абзац снизу до

списка литературы, изменены некоторые обозначения), опубликованной в журнале «Математические вопросы криптографии», 2011, т. 2, вып. 4, с. 97-108.

а близость классов функций К1, К2 С Ух —равенством

^(к1,к2)= тах ^(/1, /2).

П€к1,

/2€К2

Близость 8 обладает следующими свойствами:

0 ^ 5(f1,f2) ^ 1; (2)

^(f1, f2) = 0 ^ f1 — f2—сбалансированная; (3)

£(fb f2) = 1 ^ f1 — f2 = const; (4)

^ (f 1, f2) = 5(f2,f1); (5)

%1 + g2f1g1 + f '^2 + g2f2g1 + f0 = £(fb f2) (6)

для любых f1,f2 £ YX, сбалансированной g1 : X' М X, изоморфизма g2 : f' : X' М Y', y1,y2 £ Y'. : Y М Y',

Свойства (2)-(4) означают, что минимально близкие функции — это функции, разность которых сбалансирована, а максимально близкие функции — это функции, разность которых есть константа.

Для любого a £ X подстановку x М a + x множества X будем обозначать через a+. Все такие подстановки называют сдвигами группы X. Они образуют изоморфную группе X группу подстановок, называемую группой сдвигов (или группой Кэли) группы X (в теории представлений групп такое представление X называют регулярным).

Гомоморфизмы h £ Hom(X, Y) по определению обладают следующим характерным свойством: ha+ — h = const для всех a £ X \ {0}. Поэтому естественным (в силу свойств (2)-(4)) является следующее определение, обобщающее определение «совершенной нелинейности» в [3].

Функция f : X М Y называется абсолютно негомоморфной, если для любого a £ X\{0} функция fa+ — f является сбалансированной, то есть

■Hfa+.f ) = 0. (7)

Множество всех абсолютно негомоморфных функций из YX обозначается через AN(YX). В частности, AN(YX) = 0 при |X| < |Y|.

К понятию абсолютной негомоморфности можно подойти не только с алгебраической, но и с криптографической стороны. А именно, пусть G — некоторая группа подстановок множества X, fG = {fg : g £ G} — класс функций, порождённых функцией f £ YX и группой G. Пусть в некоторой криптосхеме имеется узел, реализующий функции из f G, где элементы группы G являются ключами. Тогда величины ^(fgi,fg2), gi,g2 £ G, характеризуют степень изменения этого узла ключами из G: чем ближе эти величины к 0, тем сильнее подстановки из G изменяют функцию f. Наоборот, если величина ^(fgi, fg2) близка к 1, то ключи g1 и g2 называют близкими. Поскольку, в силу (6), ^(fg1,fg2) = ^(fg1g-1 ,f), то достаточно рассматривать только величины ^(fg,f), g £ G. В частности, когда G — группа сдвигов группы X, получаем, что абсолютно негомоморфные функции — это функции, которые максимально изменяются сдвигами, то есть соответствующие узлы не имеют различных близких ключей-сдвигов.

В работе [1] доказано, что если группа G транзитивна, то для любой f £ YX f 0) = |Y|(|G|(|Y| — 1))-1 E (P(fg = f) — |Y|-1)

geC

и, в частности, для любого Н £ Нот(Х, У)

■5(М) = |У|(|Х|(|У| - 1))-1 Е (Р(/а+ - / = Н(а)) - |У|-1). (8)

а€Х

Приведём некоторые свойства абсолютно негомоморфных функций.

Если / £ АЖ (УХ), Н £ Нот(Х,У), ^ : X/ ^ X -изоморфизм, #2 : У ^ У/ -эпиморфизм (сюръективный гомоморфизм групп), с £ X', Ь £ У', Н £ Нот(Х',У'), то

£(/,Н) = |Х |-1; (9)

Ь + Н + #2/#1С+ £ АЖ(У/Х). (10)

Из формулы (9) следует, что абсолютно негомоморфные функции одинаково близки к любому гомоморфизму, а также что они не являются сбалансированными, поскольку сбалансированность равносильна условию $(/, 0) = 0. В частности, абсолютно негомоморфные функции не могут быть биективными.

В соответствии с теоретико-автоматной терминологией и с учетом групповой структуры алфавитов, пару (а, в) гомоморфизмов а £ Нот(Х, X/) и в £ Нот(У, У/) назовем гомоморфизмом функции / : X ^ У в функцию // : X/ ^ У/, если в/ = //а. Если а и в — сюръекции, то гомоморфизм (а, в) назовем эпиморфизмом, а функцию // — гомоморфным образом функции /. В этом случае для любых а £ X и у/ £ У/

Р/(//(а(а))+ - // = у/) - И-1 = Е (Р(/а+ - / = у) - |У|-1), (11)

уев-1(у'}

где Р/(А/) = |A/||X/|-1 для любого А/ С X/, и следовательно, справедлива

Теорема 1. Если (а, в) —эпиморфизм функции / £ АЖ (УХ) в функцию

// : X/ ^ У/ и |У/| > 1, то а — изоморфизм и // £ АЖ (У/Х').

Минимальная близость функций из УХ к гомоморфизмам обозначается через

£0(УХ)= тт £(/, Hom(X,У)).

Минимальными называются функции, минимально близкие к гомоморфизмам, то есть функции / £ УХ, для которых

£(/, Нот(^У)) = й(УХ).

Множество всех минимальных функций из УХ обозначим через М (УХ).

Заметим, что минимальные функции существуют всегда, в отличие от абсолютно негомоморфных функций.

Хорошо известно, что любая абелева группа изоморфна прямому произведению аддитивных групп колец вычетов. Поэтому, и в силу формул (6) и (10), без ограничения общности далее считаем, что

п т

X = п 2/№), У = п 2/&),

г=1 7=1

где п, т — произвольные натуральные числа, к1,...,кп, ^1,...,^т — произвольные большие 1 натуральные числа.

В работе [1] для функций из УХ введено понятие бент-функции как функции, обладающей следующим свойством: в разложении композиции её и любого неединичного

неприводимого (комплекснозначного) характера группы У по неприводимым характерам группы X модули всех коэффициентов (они называются коэффициентами Фурье) одинаковы. Множество всех бент-функций из УХ обозначим через В (УХ).

Это определение обобщает определения работы [4] (для булевых функций, то есть т =1, к1 = ... = кп = ^ = 2), работы [5] (для к1 = ... = кп = ^ = ... = Ьт = = р — простое число, т делит п) и может быть сведено к определению работы [6], где бент-функции определяются как комплекснозначные функции на конечной абелевой группе с единичными модулями всех значений и условием равенства модулей всех коэффициентов Фурье. Для случая т =1, к1 = ... = кп = ^ ^ 3 определение из [1] сужает определение бент-функции в [7] (где участвует только один характер группы У), но в [7] доказано, что при простом ^1 эти определения равносильны. В замечательной книге [8] приводится обстоятельный обзор бент-тематики.

В [1] доказано:

АЖ (УХ) = В (УХ),

что распространяет соответствующие результаты работ [4, 5, 7] на случай произвольных конечных абелевых групп X и У.

Для любого Н £ Нот^, У) матрица гомоморфизма Н

АЬ, (аг,7 + (^7 ))пхт

определяется равенствами

Н(ег) (аг,1 + (^1) , . . . , аг,т + (^т)) ,

еА = ((к1), . . . , (кг-1), 1 + (кг), (кг+1), . . . , (кп)), % = 1, . . . , П.

Она обладает следующими свойствами:

(кг,^7)

1 аг,7 (12)

для любых % = 1,..., п, ] = 1,... , т (здесь (кг, ) —наибольший общий делитель чисел

кг и ^7, а а | Ь обозначает, что а делит Ь),

Н((х1 + (к1),... ,Хп + (кп))) = (х1,... ,Жп)АЛ

для любых ж1,...,жп £ Z. Следовательно, матрица А^ однозначно определяет сам гомоморфизм Н. Наоборот, если А = (аг,7- + (£7-))пхт — произвольная матрица со свойством (12), то соответствие На : X ^ У, определяемое равенством

На((х1 + (к1),... ,Хп + (кп))) = (х1,... ,Хп)А,

является гомоморфизмом групп. Таким образом, между Нот^, У) и всеми матрицами со свойством (12) существует взаимно-однозначное соответствие и, следовательно,

|Н°т(^У )| = п (кг,^7).

г=1,...,п,

7=1,...,т

Следующая, доказанная в [1], теорема распространяет известный результат работы [9] для булевых функций на случай абелевых групп.

Теорема 2. Если кг|£7- для любых % = 1,... , п, ] = 1,... , т, то для любой функции / : X ^ У набор чисел

(Р(/ = у + Н): у £ У, Н £ Нот^, У))

однозначно определяет функцию /.

Следующие две теоремы (см. [1, 3]) сводят случай многомерного У к одномерному и обобщают теорему 3 из [5].

Теорема 3. Если кг = £7 = £ для любых % = 1,... , п, ] = 1,... , т, то для любой / : X ^ У следующие свойства равносильны:

1) / — сбалансированная;

2) Н/ — сбалансированная для любого эпиморфизма Н : У ^ Z/(^).

Теорема 4. Если кг = = £ для любых % = 1,... , п, ] = 1,... , т, то для любой

/ : X ^ У следующие свойства равносильны:

1) / £ В (УХ);

2) Н/ £ В^/(*)Х) для любого эпиморфизма Н : У ^ ^/(£).

Лемма 1. Следующие свойства равносильны:

а) для любых х £ X\{0}, у £ У существует Н £ Нот^,У), такой, что Н(х) = у;

б) к1 = ... = кп = £1 = ... £т = р — простое число.

Доказательство. Импликация б ^ а очевидна, так как в случае б гомоморфизмы являются линейными отображениями (функциями) векторных пространств над полем Z/(p). Наоборот, пусть выполнено а. Тогда, в силу (12), | кг для любых

% = 1,..., п, ] = 1,... ,т. Для любого Н £ Нот^,У) в Н(£7-ег) ]-я координата равна 0 и, следовательно, = кг = р = с1с2, где с1 > 1. Тогда с1Н(с2е1) = 0 для любого Н £ Нот^, У) и, следовательно, с2 = 1. ■

Условие а существенно для дальнейших рассуждений. Поэтому далее рассмотрим только случай выполнения условия б леммы 1, р > 1, который назовем примарным (или р-примарным), при этом функции из УХ — примарными (или р-примарными). В этом случае гомоморфизмы из Нот^, У) являются линейными функциями (отображениями векторных пространств) и

|Нот(^У )| = |У |п = рпт.

2-Примарный случай называют двоичным. Двоичный случай для т = 1 называют булевым. С практической точки зрения оба эти случая наиболее интересны.

Теорема 5. Для р-примарного случая следующие утверждения равносильны:

1) В (УХ) = 0;

2) выполняется одно из условий:

р =2, 2 | п и п ^ 2т, р ^ 3 и п ^ т.

Доказательство. В [3, 5] указаны следующие два примера абсолютно негомоморфных функций. Если 2 | п, то операция умножения в поле ОЕ(рп/2) является абсолютно негомоморфной функцией ОЕ(рп/2)2 ^ ОЕ(рп/2). Если р ^ 3, то возведение в квадрат в поле ОЕ(рп) является абсолютно негомоморфной функцией ОЕ(рп) ^ ОЕ(рп). Отсюда и из свойства (10) следует справедливость импликации 2=> 1.

Наоборот, пусть выполнено утверждение 1. Тогда, по определению сбалансированности, п ^ т. Пусть р = 2. В [3] доказано, что если / : X м У — бент-функция, то мощность полного прообраза любого у £ У при отображении / равна 2п/2-тк(/, у), где к(/, у) —нечётное число (в частности, любая двоичная бент-функция сюръективна). ■

В [1] доказана

Лемма 2. Для любой примарной / : X м У

|У 1-п Е *(/,Н) = IX |-1.

^еЫош(Х,У)

Доказательство. Приводимое ниже доказательство проще, чем в [1], и не использует коэффициенты Фурье.

Для любого а £ X\{0} отображение Нот^, У) м У, где Н м Н(а), является гомоморфизмом групп, который сюръективен в силу леммы 1. Тогда, в силу (8),

|У 1-п Е *(/,Н) =

^€Ыош(Х,У)

= |У 1-п|УI(|X|(|УI - 1))-1(|У|п(1 - |У|-1)+ Е Е (Р(/а+-/ = Н(а)) - |У|-1))=

0=а€Х ^€Ыош(Х,У)

= |У|-п|У|(IX|(|У| - 1))-1(|У|п(1 - |УI-1) + (IXI - 1)(|У|п-11 - |У|п|У|-1)) = IXI-1.

Лемма доказана. ■

Из этой леммы получаем оценку минимальной близости функций к линейным функциям.

Теорема 6. Для примарного случая

£о(УХ) ^ IXI-1.

В случае выполнения условия $0(УХ) = IXI-1 минимальные функции назовем абсолютно минимальными (в силу теоремы 9 это определение сужает определение «абсолютной минимальности» в работе [1]). Множество всех абсолютно минимальных функций из УХ обозначим через АМ (УХ), так что

М (УХ) = АМ (УХ), если £о(УХ) = IXI-1,

АМ(УХ) = 0, если £о(УХ) > IXI-1.

Из формулы (9) и теоремы 6 следует

Теорема 7. В примарном случае АЖ (УХ) С АМ (УХ).

В следующей теореме собраны критерии абсолютной минимальности примарных функций.

Теорема 8. Для любой р-примарной / : X м У следующие утверждения равносильны:

1) / £ АМ (УХ);

2) ^(/, Н) = IXI-1 для любого Н £ Нот^, У);

3) $(/, н) = £(/, Н/) для любых Н, Н/ £ Нот^, У);

4) Е (Р(/а+ - / = Н(а)) - |УI-1) = 0 для любого Н £ Нот^,У);

0=а€Х

5) £ (Р(/а+ - / = Н(а)) -|У I-1) = £ (Р(/а+ - / = Н/(а)) - |У I-1) для любых

0=а€Х 0=а€Х

Н, Н/ £ Hom(X, У);

6) Е (Р(/(са)+ - / = су) - |У| 1) = 0 для любых а £ X\{0}, у £ У;

0=с€^/(р)

7) Е (Р(/(са)+ - / = су) -|У|-1)= Е (Р(/(са)+ - / = а/) - |У|-1) для

0=с€^/(р) 0=с€^/(р)

любых а £ X\{0}, у,у/ £ У .

Доказательство. Импликация 1 ^ 2 следует из определения минимальности и леммы 2. Очевидно, что 2 ^ 3. Импликация 3 ^ 1 следует из леммы 2, теоремы 6 и определения минимальности. Из формулы (8) следуют равносильности 2 ^ 4 и 3 ^ 5. Импликации 6 ^ 7 и 7 ^ 5 очевидны.

Осталось доказать 4 ^ 6. При п = 1 импликация очевидна. Пусть п ^ 2 и а1,...,ап — любой базис пространства X. Для любых у1,...,уп £ У определим

пп

НУ1,...,Уп : X м У равенством НУ1,...,Уп (а) = Е сгуг для всех а = Е сгаг £ X,

г=1 г=1

с1,... ,сп £ ^/(р), так что НУ1,...,Уп £ Нот^,У). Тогда

0= |У|п-1 ■ 0= Е Е (Р(/а+ - / = Ну1,...,у„(а)) -|У|-1) =

0=а€Х У2,...,Уп€У

= Е |УI”"1 (Р(/(сЮ1)+ - / = сгуг) -|У|-‘)+

0=С1€й/(р)

п

+ Е Е (Р(/а+ - / = Е Сгуг)) -|У |-1) =

0=(с2,...,сп)е(2/(р))п-1, У2,...,Уп€У г=1

С1е2/(р)

= |У Г1 Е (Р (/(СЮ1)+ - / = С1У1) -|у |-‘)+

0=С1€й/(р)

п

+ Е Е (Р(/а+ - / = с1у1 + Е сгуг)) - |У |-1) =

0 = (с2 ,...,сп)€(^/(р))п — 1, У2,...,Уп^¥ г=2

С1еЪ/(р)

= |УI"'-1 Е (Р(/(сю1)+ - / = С1У1) -|У|-‘)+

0=С1€й/(р)

+ Е |У |п-2Е (Р(/а+ - / = у) -|У |-1 ) =

0=(с2,...,сп)е(2/(Р))п —1, у€У

с1Ё2/(р)

= |У|п-1 Е (Р(/(С1а1)+ - / = С1у1) - |УI-1).

0=С1€й/(р)

Теорема доказана. ■

Теорема 1 означает, что свойство абсолютной негомоморфности (т. е. бентовости) наследуется гомоморфными образами, а также то, что бент-функции не имеют нетривиальных гомоморфных образов с IX/| < IX|. Покажем, что это справедливо и для свойства абсолютной минимальности.

Теорема 9. Если в примарном случае / £ АМ (УХ), // : X/ м У/ — гомоморфный образ функции / и |У/| > 1, то IX /| = IX | и // £ АМ (У/Х).

Доказательство. Для любых а £ X\{0}, у/ £ У/ по формуле (11)

Е (Р/(//(са(а))+-//=су/) -|У/|-1)= Е Е (Р(/(са)+ - / = су) - |У |-1)=0

0=с€й/(р) 0=с€й/(р) у€в—1(у/)

в силу утверждения 6 теоремы 8. Тогда а — изоморфизм, утверждение 6 теоремы 8 выполнено для X/, У/, // и теорема доказана. ■

Заметим, что теорема 9 для У/ = Z/(р) равносильна доказанному В. А. Шишкиным в 2008 г. некоторому свойству коэффициентов Фурье (результат не опубликован).

Следующая теорема обобщает хорошо известный для булевого случая факт (см., например, [4]).

Теорема 10. Для р-примарного случая, р £ {2, 3}, следующие утверждения равносильны:

1) В (УХ) = 0;

2) ^(УХ) = | X |-1;

3) В (УХ) = М (УХ).

Доказательство. Импликация 3 ^ 1 очевидна; 1 ^ 2 следует из теоремы 7. Докажем импликацию 2 ^ 3. При р =2 она следует из утверждения 6 теоремы 8. Пусть р = 3. Для любого р выполняются равенства

Р (/(-са)+-/ = -су)-| У | -1 = Р (/-/(са)+ = -су)- | У | -1 = Р(/(са)+-/ = су)-| У | -1.

Пусть / — минимальная. Тогда из утверждения 6 теоремы 8 получаем, что для любых а £ X\{0}, у £ У имеет место

0= Е (Р(/(са)+ - / = су) -|УI-1) = 2(Р(/(а)+ - / = у) - |УI-1),

се{1,-1>

и, следовательно, / — абсолютно негомоморфная. ■

Отметим, что все приведённые доказательства не используют аппарат характеров абелевых групп и разложения Фурье.

В заключение введём следующие обозначения и терминологию.

Для любой / : X м У обозначим

<5(/) = |АТ‘ Е /+,/), «УХ) = тт. 5(/).

а€Х /6^х

Максимально негомоморфными назовём функции / £ УХ, для которых

*(/) = ^1(УХ).

Множество всех максимально негомоморфных функций из УХ обозначим через Ж (УХ), так что Ж (УХ) = 0 и

Ж (УХ) = АЖ (УХ), если ^1(УХ) = IX |-1,

АЖ(УХ) = 0, если ^1(УХ) > IX|-1.

Представляется справедливой следующая Гипотеза. Для р-примарного случая и любого р

М (УХ) = Ж (УХ); (13)

АМ (УХ) = АЖ (УХ). (14)

Заметим, что равенства (13) и (14) совпадают в том и только в том случае, когда В (УХ) = 0 (см. теорему 5).

Теорема 10 равносильна выполнению равенства (14) для р £ {2, 3}. В силу теорем 7, 9, 4 равенство (14) достаточно доказать для случая т =1.

Заменяя в соответствующих определениях множество всех функций УХ на произвольный класс функций К С УХ, приходим к естественному и актуальному для приложений обобщению понятий минимальности и негомоморфности на случай функций из

класса K: £0(K), ^1(K), M(K), N(K) (например, K — класс всех подстановок, M(K) — минимальные подстановки, N(K) —максимально негомоморфные подстановки).

Наконец, заметим, что, в отличие от приведённого выше общепринятого определения бент-функции (через равномодульность коэффициентов Фурье), в работе [2] для произвольного простого p ив работе [1O] для p = 2 бент-функциями названы абсолютно минимальные функции. При этом, ссылаясь на работу [1], в [2, теорема З.2] фактически утверждается, что теорема lO справедлива для любого простого p (чего не удалось доказать автору ни здесь, ни в [l]). Последствием этого явилась необоснованность распространения некоторых свойств бент-функций на абсолютно минимальные функции. Однако теорема 1O теперь обосновывает такое распространение в работе [2] для случая p = 2. З ив работе [1O]. Заметим, что основные результаты работы [2] относятся к случаю p = 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Солодовников В. И. Бент-функции из конечной абелевой группы в конечную абелеву группу // Дискретная математика. 2002. Т. 14. №1. C. 99-113.

2. Кузьмин А. С., Нечаев А. А., Шишкин В. А. Бент- и гипербент-функции над конечным

полем // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. C. 97-122.

3. Nyberg K. Perfect nonlinear S-boxes // LNCS. 1991. V. 547. P. 378-386.

4. Rothaus O. S. On “bent” functions // J. Comb. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300-305.

5. Амбросимов А. С. Свойства бент-функций q-значной логики над конечными полями // Дискретная математика. 1994. Т. 6. №3. C. 50-60.

6. Логачёв О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Бент-функции на конечной абелевой группе // Дискретная математика. 1997. Т. 9. №4. C.3-20.

7. Kumar P.V., ScholtsR.A., and Welch L. R. Generalized bent functions and their properties // J. Comb. Theory. Ser. A. 1985. V. 40. No. 1. P. 90-107.

8. Токарева Н. Н. Нелинейные булевы функции: бент-функции и их обобщения.

Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011.

9. Golomb S. W. On the classification of Boolean functions // IRE Trans. Circuit Theory. 1959. V. 1. No. 6. P. 10-27.

10. Кузьмин А. С., Нечаев А. А., Шишкин В. А. Параметры (гипер-) бент-функций над полем из 21 элементов // Труды по дискретной математике. 2008. Т. 11/1. C. 47-59.