О состоятельности оценки риска при пороговой обработке вейвлет-коэффициентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

в случае нормальной плотности и нормального ядра теорема 1 из [2] дает следующую верхнюю границу для MISE:

1 /2 2h2 \

MISE < AMISE--- - ——- ,

uno \3 lbozJ

а из теоремы 4 данной работы можно получить неравенство

MISE < AMISE--

Зттпуа2 + h2

В заключение отметим следующее. Главной (и наиболее трудной) проблемой в ядерном оценивании плотности является выбор сглаживающего параметра. Неравенства, полученные в [1] и в данной работе, предоставляют широкие дополнительные возможности для решения этой проблемы. Действительно, при выборе сглаживающего параметра MISE обычно заменяется на AMISE с последующей минимизацией (и оцениванием, поскольку содержит параметры оцениваемой плотности). Однако любая функция, лежащая между одной из обсуждаемых верхних границ и AMISE, является более точной, чем AMISE, аппроксимацией MISE. Следовательно, она является более разумной основой для выбора сглаживающего параметра, чем AMISE. Можно, например, выбрать функцию, чей минимум лежит правее минимума AMISE, так как всегда /iamise < ^mise (AMISE-оптимальное и MISE-оптимальное значания сглаживающего параметра), причем разница может быть очень большой, см. [3]. Этим вопросам будет посвящена отдельная работа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wand M. P., Jones M. С. Kernel smoothing. London: Chapman and Hall, 1995.

2. Glad I. K., Hj ort N. L., Ushako v N. G. Mean-squared error of kernel estimators for finite values of the sample size //J. Math. Sei. 2007. 146. 4. P. 5977-5983.

3. Marron J. S., Wand M. P. Exact mean integrated squared error // Ann. Stat. 1992. 20. P. 712-736.

4. U s hak о v N. G. Selected Topics in Characteristic Functions. Utrecht: VSP, 1999.

Поступила в редакцию 24.06.09

УДК 519.22

A.B. Маркин1, О.В. Шестаков2

О СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ОЦЕНКИ РИСКА ПРИ ПОРОГОВОЙ ОБРАБОТКЕ ВЕЙВЛЕТ-КОЭФФИЦИЕНТОВ

В работе рассматривается задача пороговой обработки коэффициентов разложения функции сигнала по вейвлет-базису. Приводятся оценки близости теоретического риска и его оценки при мягкой и жесткой пороговой обработке с универсальным порогом.

Ключевые слова: вейвлеты, оценка риска, состоятельная оценка, пороговая обработка.

1. Введение. В последние годы вейвлет-обработка сигналов приобрела достаточно большую популярность. Основные задачи, в которых используется вейвлет-преобразование, — это представление сигналов в компактной форме (сжатие) и удаление шума. Для удаления "лишних" коэффициентов используется пороговая обработка, при которой обнуляются коэффициенты, не превышающие заданного порога. Величина порога определяется исходя из параметров шума и предполагаемых характеристик полезного сигнала.

1Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: artem.v.markinQmail.ru

2Факультет ВМК МГУ, ст. преп., к.ф.-м.н., e-mail: oshestakovQcs.msu.su

Дискретное вейвлет-преобразование функции /(¿) € Ь2(Ж) аналогично разложению в ряд Фурье, однако вместо тригонометрических функций используются растяжения и сдвиги одной вейвлет-функции ф(1). При этом у вейвлет-преобразования есть весомое преимущество: функцию ф можно выбрать локализованной по времени. Более того, локализация по частоте и по времени меняется в зависимости от анализируемого масштаба.

Кратко описать получение вейвлет-разложения можно следующим образом. Пусть в Ь2(Ж) существует система вложенных подпространств -е2:

... с У_п с ... с У_1 с Уо с VI... с Уп с ...,

замкнутых относительно смещений, кратных 2~:', так, что при любых у,к € Ж, д(1) € Vj д(Ь — 2€ Vу Кроме того,

lim V,- = П V,- = {0}, lim V,- = I I V,- = L2(M).

j—^ — oo 11 j—юо

jez jez

Пусть существует функция ф(1), называемая отцовским вейвлетом, такая, что семейства {Фз,п}П£% являются ортонормированными базисами пространств Vj. Функции фj,n('t) определяются следующим образом:

Фз,n(t) = 2Н2ф (24 - п) .

Ортогональные дополнения Vj до Vj+i обозначим через Wj. При любом j справедливо VjO)Wj = = Vj+i. Для ортогональных проекций функции / на пространства Vj, Vj+i и Wj справедливо равенство

Pv3f + Pw3f = Pv]+1f- (1)

По функции ф(1) можно построить функцию ф(1), называемую материнским вейвлетом, такую, что {'Фз,п}П£1 будет ортонормированным базисом Wj, а {^j,n}j neZ — ортонормированным базисом L2(M). Функции ipjtn(t) определяются аналогично фjín(t):

i/>jtn(t) = 2?>2ф (24 - п) .

Таким образом, любую функцию f(t) € L2(M) можно представить в виде

j,ne z

На практике сумму (2) необходимо сократить до конечного числа слагаемых. Допустим, сигнал / состоит ич N 21 элементов. Для удобства предположим, что он периодически продолжен на всю прямую, тогда формулу (2), используя (1), можно привести к виду

J-12j-l

f = {/, Фо,о) Фо,о + Y1 Y1 ^з,п)Фз,п• (3)

j=0 п=0

Коэффициенты разложения в (3) вычисляются по алгоритму фильтрации, имеющему сложность порядка O(N). Это еще одно преимущество вейвлет-преобразования перед преобразованием Фурье, так как алгоритм быстрого преобразования Фурье имеет сложность порядка 0(N log2 N). Подробную информацию о теории вейвлетов и построении вейвлет-базисов можно найти в монографиях [1, 2].

2. Пороговая обработка. Рассматриваемая в данной работе задача выглядит следующим образом: имеются наблюдения X, состоящие из полезного сигнала / и аддитивного белого гауссовского шума б с нулевым средним и дисперсией а2:

Х = / + е.

Необходимо оценить / по X. Параметр а практически всегда неизвестен, для него существует лишь некоторый разумный диапазон. После применения вейвлет-преобразования имеем

Хц/ = + 6IV,

где вц/ также будет белым гауссовским шумом с нулевым средним и дисперсией а2, размер дискретного сигнала равен N. Предположим, что сигнал гладкий по Липшицу с параметром а > 1/2 (см. [1]). Будем считать, что существует константа С, такая, что \fw\ < С для любого N. Можно показать, что число коэффициентов, для которых последнее неравенство не выполнено, мало и эти коэффициенты не повлияют на приведенные ниже результаты.

Для построения оценки функции / используется пороговая обработка коэффициентов. Наиболее простой вид пороговой обработки — это жесткая пороговая обработка:

/ т\ I ^ ПОИ ^^ '-Î 'ч

рн{х,Т) = ^

1^0 при \х\ ^ Т.

Однако функция р#(ж,Т) является разрывной, что ведет к некоторым нежелательным последствиям. Поэтому на практике обычно используют мягкую пороговую обработку:

(X — Т при х > Т, х + Т при х < —Т, О при |ж| < Т.

Следуя Стейну (см. [3]), можно представить пороговую функцию в виде р(х) = х — д(х). Имеем для жесткого и мягкого порога соответственно

дн(х) = gs(x) = Тsgna; + (х - Тsgnx)l\x\^T.

Риск мягкой пороговой обработки Т) определяется следующим образом:

N

rsU\T) = Y,V{fw[ï\ - Ps{XwW)}2 • (4)

г= 1

Однако вычислить явно r$(f,T) нельзя, так как в выражении присутствуют неизвестные величины fw[i[L поэтому вместо теоретического риска используют его оценку. Например, можно использовать такую оценку:

N (2 m 2

fs(/,T) = 5>s((Xw M)2), где Ф s(x) = {Xa2^T2 ^l^T2 (5)

Можно показать, что оценка вида (5) является SURE-оценкой (Stein Unbiased Risk Estimator — несмещенная оценка Стейна для риска). Этот факт является следствием того, что функция gs(x) почти дифференцируема (см. [3]).

Теорема 1 [1, 4]. При мягкой пороговой обработке Е{г$(/,Т)} = г$(/,Т).

Однако одной несмещенности мало. Желательно, чтобы оценка риска сходилась (в некотором смысле) к теоретическому риску.

3. Риск мягкой пороговой обработки при известной дисперсии шума. Состоятельность оценки риска при известной дисперсии шума устанавливает следующая Теорема 2. Для любого 8 > 0 и любого а > 0 справедливо

'I rs(/,T)-rs(/,T)| ^

N а+1/2

Доказательство. Пусть У ~ Л/*(/х,с2), оценим БФ^У2):

ЕФ5(Г2) = Е {(У2 — <72)1|у|^г} + (а2 + Т2)Р(|Г| > Т), Е {Ф5(^2)}2 = Е {(У2 — <т2)21|У|^т} + + Т2)2Р(\У\ > Т), БФ5(У2) = Е {(У2 — бг2)21|уКГ} + (а2 + Т2)2Р(\У\ > Т)(1 - Р(|У| > Т))- (Е {(У2 - (т2)1|уКГ})2 - 2(а2 + Т2)Р(|Г| > Т)Е {(У2 - <т2)1|У|$г} . (6) Для первого слагаемого имеем

Е {(У2 - а2)211УКТ} < Е {(У2 — а2)2} //.1 + 2а4 + Аа2р2 = 0( 1). (7)

Третье слагаемое можно отбросить, так как оно неположительно. Для оценки второго и четвертого слагаемых заметим, что если Т = T(N) —> оо при N —> оо, то

Р(|У| >T) = o(eXp(^ClT2)^) (8)

для некоторой константы С\. В (8) мы воспользовались тем фактом, что для функции распределения F(u) стандартного нормального закона и его плотности <р(и) справедливо

тл/ \ f{U)

1 — г (и) ~ - при и ^ оо.

и

В этом случае второе и четвертое слагаемые имеют порядок о(1). Если же порог Т можно ограничить сверху некоторой константой, то все слагаемые в (6) также можно оценить сверху константой. В итоге получаем, что D#s(F2) ^ Сг для некоторой постоянной С2-

Используя неравенство Чебышева, получаем требуемый результат (С3 — константа):

/|rs(/,T)-rs(/,T)| \ Drs(/,T) C3N

l jqa+l/2 > 0J pfl+2aß2 ^ pfl+2a U'

Теорема доказана.

Заметим, что в этой теореме предполагается, что дисперсия шума известна. Однако на практике она оценивается, причем по самой выборке. Поэтому естественно возникает вопрос о сходимости оценки риска в этом случае.

4. Риск мягкой пороговой обработки при неизвестной дисперсии шума. Обозначим оценку дисперсии через а2. Предположим, что Еа2 = о2 + vдг и Dа2 = 9n = О (iV-'3), = о(1), ß > 0. Как известно, такая оценка будет состоятельной оценкой а2. В качестве порога будем использовать универсальный порог Т = ал/2 IniV, обладающий хорошими асимптотическими свойствами (см. [5]). Подставляя вместо о оценку а, получим оценку порога Т = ал/2 In N. Выражение для оценки риска принимает вид

fs(f,T) = ¿Ф5 {{ХщгЩ)2), где Ф s(x) = {X^ff2

г=1 к V

Обозначим для краткости Yj = Х\уЩ и //j = fw[i}- Представим разность г$ — г$ в виде

N N N N

*5-Г5 = £ {Y? (Yi2 - гт>т + Е + f 2) гт>т - ЕЕ {Y2 - а2) +

г=1 г=1 г=1 г=1

N N

+ Е (Y2 - а2) 1Ш>Т - Е (а2 + Т2) 1ш>т- (9)

г= 1 г= 1

Если обозначить в (9) через S\ и S2 соответственно

N N

= Е (¥г2 ~ ~ Е ' - О'" ~ ' S2 = rS^rS^ SU

i= 1 г= 1

то из сходимости Si/Na и S2/Na к нулю по вероятности будет следовать и сходимость (fß — rs) /Na к нулю по вероятности.

Рассмотрим Si: по неравенству Чебышева

/ N ^ 2

■|С, х Е £ {Y2^a2^EY2 + a2)

Р ( М > s) < w

N ^ S2N2

N ч2

V Е (Y2 — о2 — Elf + С72) + 2 £ Е (Y2 - а2 - Elf + а2) (Y2 - а2 - ЕY2 + а2)

L2__. (ю)

Ö2N2 ^

Первая сумма, очевидно, оценивается как O(N), а для оценки второй суммы рассмотрим одно из ее слагаемых (обозначим его Е^):

Eij = Е (Г,1' - <т2 - Elf + a2) (У2 - а2 - ЕУ2 + а2) = Ш2У2 - Еа2У2 - Elf ЕГ/ + а2ЕУ2 - Еа2У2 +

+ Е (а2)2 + Е<т2ЕГ/ - а2Еа2 - Elf Elf + Elf Ест2 + Elf Elf - а2ЕУ2 + а2ЕУ2 - а2Еа2 - а2ЕУ2 + ст4.

После приведения подобных членов получаем

Ец = - cov (а2, У2 + У2) +v2N + eN = о(1), (И)

где ковариация оценена по неравенству Коши-Буняковского через дисперсию а2. Таким образом, вторая сумма в (10) имеет порядок o(N2). В итоге после деления на N2 получаем

Р | Ж > ^ о.

Теперь рассмотрим ¿>2- Воспользуемся следующей версией неравенства Чебышева:

рГЩ>Л <Е|521

N

N

(12)

По формуле полной вероятности

, 2

,i|>f = E{l|Yi|>f}2 = Р(|У!| > Т) = Р (jY^ >f\T> P (f > (1 - +

+ P (jYi| > f | f < (1 - 7)oV21nnJ P (T < (1 - j)aV2 IniV) для некоторого 0 < j < 1. Далее, пользуясь тем, что

Р (jYi| > Т| Т > (1 -7)<7V21nJv) Р (f> (1 -7)<7V21nJv) = Р (jYi| > Т, Т > (1 - j)av/2hiN^ <

< P í|Fi| > (1 - j)aV2 lnN~\ = O (——l-ri=

P (f sC (1 -7)<tV21iiJv) = P (a2 sC (1 ^7)V) sC P {\a2 - a2 - vN\ ^ (2j - J2)a2 + vN) sC

Da2

£

((27 - 72)а2 + им)

для достаточно большого Ж, а также неравенством Коши-Буняковского, получаем, что

= О (N(13)

Е

Е\У2 ^ a2\lm>f < X¡E{Y2 ^а2уР[\Уг\ >Т) О, а2 +Т2

\ул>Т

<: (2iniv + 1)д/Е{&2) Р (|y¿| >Т)-¥ 0.

(14)

(15)

Остальные компоненты сумм из ¿>2 оцениваются аналогично. Значит, Е|5г| = о(1) и вероятность в (12) стремится к нулю. Заметим, что разбиение на 51 и 52 позволяет избежать дополнительных моментных ограничений на а2. Таким образом, доказана

Теорема 3. Пусть а2 — оценка дисперсии, Еа2 = о2 + ь>м и Бст2 = 0(Ж-'3), ь>м = о(1), ¡3 > 0. Пусть выбран порог Т = ал/21пЖ. Тогда для любого 8 > 0 выполнено

?s(f,T)-rs(f,T) Ñ

>5 0.

Замечание. Хотя в формулировке теоремы 3 накладываются ограничения на оценку дисперсии, многие так называемые робастные оценки строятся для стандартного отклонения. Пусть ст является оценкой для <т, Ест = ст + ^дг, ь>и = о(1), а Ост = = 0(ЛГ~'3), /3 > 0. Тогда

Ест2 = Бст + (Ест)2 = вц + (ст + 1УК)2 = ст2 + о(1).

Для выполнения (11) необходимо потребовать Ест4 = ст4 + о(1). Нетрудно убедиться, что оценки (13)-(15) останутся справедливыми. Значит, с такими ограничениями останется справедливой и теорема 3.

5. Оценка риска при использовании жесткого порога. В отличие от мягкого порога жесткая пороговая обработка дает смещенную оценку риска. Аналогично (4) и (5) определяем риск гн(/,Т) и оценку риска гя(/, Т):

N

гя(/, т) = Е {ЬуЩ - рн(Х1¥Щ)}2 ,

г= 1

N (2 гг, 2

гя(/,Т) = £фя((ад])2), где Фя(х) = {^-а ^ Пут2.

— 1 V

г=\

Теорема 4. При жесткой пороговой обработке

N

гя(/,Т) - Е{г#(/,Т)} = 2Та2 £ (^(Т - М[г\) + <р„{Т + Ы*])),

1=1

где <Рст(и) = ср(и/а) /ст.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, его можно найти в [1].

При Т = ал/21пЖ смещение имеет порядок о (VI пМ^. Стало быть, гн(/,Т)/Ма будет асимптотически несмещенной оценкой для гн(/,Т)/№ при любом а > 0. Введем обозначения:

А = 2ст2Т (<ра(Т - ¡1¥Щ) + <р„{Т + /И/Н)), П = ЕФЯ (Сад»])2) + Аг, 6 = Фя {(Х1¥Щ)2) - п,

тогда

N N

Е^ = гя(/,Т), Е& = гя(/,Г)-гя(/,Т)

г= 1 г= 1

и, стало быть,

(М N 2 N г= 1 ' г= 1

Достаточно рассмотреть случай г = 1. Для краткости обозначим Хщ?[ 1] = У■ Далее

Б6 = _Л1 = 0 ,

Е£2 = 2г1ЕФя (У2) + Е {Фя (У2) }2 = 2г\ + 2г1А1 + Е {Фя (У2) }2 = = г! (2А! -п) + Е{Фя (^2)}2.

Учитывая, что

Г! (2А! - П) = - (ЕФя (г2) + АО (ЕФя (г2) - АО = А2 ^ (ЕФЯ (Г2))2 ,

получаем

Е£2 = БФЯ (^2) - А\.

Дисперсию можно оценить сверху вторым моментом, а второй момент оценить аналогично (7), как 0(1):

Е {Фя (Г2)}2 = Е (Y2 — a2)2 llYKT + ст4Р(|Г| > Т) = 0(1). (16)

В итоге после суммирования по г получаем

Е (гя(/,Т) - гя(/,Т))2 = N • 0(1) + N2 ■ О (^Pj = O(N).

Значит, для жесткой пороговой обработки справедлив аналог теоремы 2. Теорема 5. Для любого 8 > 0 и любого а > 0 справедливо

|гя(/,Т)-гя(/,Т)|

ДГа+1/2

> S о,

где Т = ал/2ЫЫ.

Замечание. Если в теореме 2 порог мог быть, вообще говоря, произвольным (но не случайным), то при жестком пороге это не так. Причиной этого является смещение оценки. Рассмотрим, например, порог Т = с Vin IniV. Для смещения оценки получаем следующее соотношение:

N

5> = iV.O

г= 1

VlnlnJV'

VhJf

» О (V+1/2) , 0 < а <

Пользуясь (16), можно показать, что

/

р

N

гя(/,Т)-гя(/,Т) + £ Ai

i= 1

ДГа+1/2

> 5

\

->0,

/

причем при любом Т, т.е. сходимость по вероятности есть при любом Т, но сходимость эта не к теоретическому значению риска, а к теоретическому риску за вычетом смещения.

6. Жесткий порог и неизвестная дисперсия. Теперь рассмотрим жесткую пороговую обработку в случае, когда вместо дисперсии используется ее оценка. В этом случае также можно доказать теорему, аналогичную теореме для мягкого порога. Сначала введем обозначения:

х — о при X ^ Т ,

гя(/,Т) = ^Фя((ЗД])2), где Ф„(х)

г= 1

а

при х > Т2.

Теорема 6. Пусть а2 — оценка дисперсии, Еа2 = а2 + и Т)а2 = 0{М = о(1), /3 > 0.

Пусть выбран порог Т = ал/21пЖ. Тогда для любого 6 > 0 выполнено

гя(/,Т)-гя(/,Т)

N

>5 0.

Доказательство. Структура доказательства такая же, как и в случае мягкой пороговой обработки. Разность оценки риска и самого риска разбивается на две части 51 и 52:

гя — гц = Si + S-

2,

N

i= 1

N

N

N

N

N

= - {Vf - à2) l|Vi|>r + ^2^2l\Yi\>T + ~ V2) MYi\>T - ^2E(j2l\Yi\>T - y~]Aj.

i= 1 i= 1 i= 1 i= 1

i= 1

Рассуждения о 51 полностью повторяют рассуждения для мягкого порога в теореме 3, а в оценках для не будет множителя (21пЖ+ 1) перед Кгт1'!^. г. Как мы уже отмечали в предыдущем разделе,

смещение ^ А^ имеет порядок о (VI п N) и при делении на N становится бесконечно малым. Таким

г= 1 ^ '

образом, теорема доказана.

Замечание. Как и в теореме 3, можно использовать оценку не дисперсии, а стандартного

отклонения с соответствующими изменениями.

7. Примеры оценок дисперсии. В теоремах 3 и 6 наложены некоторые ограничения на оценку дисперсии, и естественно поставить вопрос о том, какие конкретно оценки можно использовать. Итак,

пусть У.\. '/.■>.....У.м — наблюдения, по которым вычисляется оценка, У — выборочное среднее. Для

классической оценки дисперсии Б2

л2 Q2 о1 = о =

1

М

м

г= 1

справедливо

Е Б2^а2, ВБ2 = 0(М~1).

Однако оценка а\ очень чувствительна к выбросам, поэтому часто используют так называемые робастные оценки. Одной из таких оценок является интерквартильный размах. Определим выборочную квантиль У м.р. О ^ р ^ 1:

Zn

Z([Mp] +1) при МР дробном,

Если Z ~ Л/*(0, a2), a Fa(u)

Для оценки

выполнено

JM р — 1

I Z{Mp) при Мр целом.

соответствующая ей функция распределения,

F-H3/4) - F-H1/4) = F-H3/4) = 2F"!(3/4) 3/4)

то

<?2 =

2F-!(3/4)

ЕD (ст2) = 0(М )

(17)

Обоснование соотношений (17) можно найти соответственно в [6] и [7]. Используя результаты [8], можно четвертый момент а2 оценить как а4 + о(1).

В качестве У( принято выбирать вейвлет-коэффициенты на самом мелком масштабе. Можно считать, что на этом масштабе практически не содержится полезный сигнал, а присутствует только шум (см. [1, 5]). Количество таких коэффициентов равно М = N/2. Следовательно, сохранится асимптотическая несмещенность оценок а\ и а порядок дисперсий будет равен 0(Ж-1).

8. Заключение. В работе показана состоятельность оценок риска при мягкой и жесткой пороговых обработках вейвлет-коэффициентов. Причем состоятельность имеет место не только в случае известной дисперсии, но и в случае, когда вместо дисперсии используется ее оценка. При этом на оценку дисперсии накладываются некоторые ограничения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, 1999.

2. Chui C. An Introduction to Wavelets. Academic Press, 1994.

3. Stein C. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Statist. 1981. 9. N 6. P. 1135-1151.

4. Do no ho D., Johnstone I. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage //J. Amer. Stat. Assoc. 1995. 90. P. 1200-1224.

5. Do no ho D., Johnstone I. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage // Biometrika. 1994. 81. N 3. P. 425-455.

6. David H., Nagaraja H. Order Statistics. John Wiley & Sons, 2003.

7. Kendall М., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. Vol. 1: Distribution Theory. Charles Griffin & Company Limited, 1961.

8. Bickel P. Some contributions to the theory of order statistics // Proc. 5th Berkeley Symp. on Math. Statist, and Prob. Vol. 1. Univ. of Calif. Press, 1967. P. 575-591.

Поступила в редакцию 11.06.09

УДК 519.21

А.А. Наумов1

УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для мартингалов с непрерывным параметром доказаны аналоги усиленных законов больших чисел Колмогорова, Зигмунда-Марцинкевича и Брунка-Прохорова. Для мартингалов с дискретным временем дано новое обобщение усиленного закона больших чисел Брунка-Прохорова. Помимо сходимости почти всюду мы доказываем также сходимость в среднем.

Ключевые слова: усиленный закон больших чисел, мартингал, сходимость почти всюду, сходимость в среднем.

Введение. Классические законы больших чисел нашли применение в рамках метода Монте-Карло, например для вычислений интегралов большой размерности. Предложенные аналоги усиленных законов больших чисел могут оказаться полезными для тех же целей, а также для приближенного вычисления континуальных интегралов.

Точные формулировки классических утверждений можно найти в учебниках [1, с. 125, 345; 2, с. 278].

Далее предполагается, что все рассматриваемые случайные величины определены на вероятностном пространстве (fi, Т, Р). Ради краткости речи во всех утверждениях, о которых говорится, что они выполнены Р-почти всюду (п.в.), символ Р будет опускаться.

1. Теорема 1. Пусть даны измеримый сепарабельный мартингал {Yt, £ € К_|_} относительно некоторой фильтрации £ € К+} и неограниченно возрастающая положительная функция /(£), £ > 0. Если

сю

dE\Yt\a

fa(t) 1

для некоторого а ^ 1, то

< ос (1)

sup Yf

s

lim =0 п. в. (2)

Доказательство. Можно считать, что функция f(t), t ^ 1, непрерывна справа. В противном случае ее можно заменить функцией f(t + 0) = lim f(s), t ^ 1, которая, как нетрудно убе-

s4.t

диться, непрерывна справа и почти всюду по мере Лебега совпадает с /. Заметим, что функция g(t) = inf{s : f(s) > t}, t ^ 1, непрерывна справа, неограниченно возрастает и удовлетворяет неравенствам 2n+1 ^ f(g(2n)) ^ 2" для всех п € N = {1, 2,...} начиная с некоторого номера tiq. Далее мы будем считать, что щ = 1. По неравенству Дуба [3, с. 285] для моментов мы получим, что

_ £° Sр LÄ- ш> ■е) * S (з)

Факультет ВМК МГУ, студ., e-mail: naumovneQgmail.com