CC BY
13
УДК 621.396.01
О СОСРЕДОТОЧЕННОСТИ ЭНЕРГИИ КОСИНУСНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ABOUT COSINE TRANSFORM ENERGY CONCENTRATION
Е.В. Болгова E.V. Bolgova
Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 308015, Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod State National Research University, 85 Pobeda St, Belgorod, 308015, Russia
e-mail: bolgova_e@bsu.edu.ru
Аннотация
В работе проведено исследование по сравнению значений сосредоточенности энергии изображений в различных частотных областях для некоторых ортогональных преобразований различных изображений. Приведены результаты вычисления сосредоточенности энергии результатов указанных ортогональных преобразований в частотных областях различных размеров, вычисления выполнены с удалением и без удаления среднего значения яркости пикселей изображений. Сравнение значений сосредоточенности энергии на заданном расстоянии результатов различных ортогональных преобразований показывают, что наибольшей сосредоточенностью энергии, в большинстве случаев, обладают результаты дискретного косинусного преобразования. Вычислительные эксперименты также показали, что следующим по величине сосредоточенности энергии результатов преобразования во многих случаях является непрерывное косинусное преобразование и что большей сосредоточенностью энергии на заданном расстоянии обладают результаты ортогональных преобразований изображения, содержащего меньшее количество деталей.
Abstract
In the work, we made the comparing of the images energy concentration in different frequency regions for some orthogonal transformations of various images. The results of calculating the energy concentration of the results of these orthogonal transformations in frequency domains of different sizes are presented, the calculations are performed with removal and without removing the average brightness value of the image pixels. Comparison of the energy concentration values at a given distance of the various orthogonal transformations results shows that the discrete cosine transformation has the most concentrated energy in most cases. Also computational experiments have shown that the continuous cosine transformation is the next one which have the largest energy concentration of the transformation results in many case, and that the results of orthogonal transformations of an image containing a smaller number of details possess greater energy concentration at a given distance than other ones.
Ключевые слова: косинусное преобразование, подобласть пространственных частот, сосредоточенность энергии, ортогональные преобразования.
Keywords: cosine transform, subdomain spatial frequencies, energy concentration, orthogonal transformations.
При решении многих задач обработки изображений применяют различные ортогональные и унитарные преобразования, такие как: дискретное преобразование Фурье, дискретное косинусное преобразование, непрерывное преобразование Фурье, непрерывное косинусное преобразование, преобразование Хаара и др. [Ахмед Н., Рао К., 1980; Ярославский Л.П., 1979; Прэтт У., 1982; Черноморец А.А., Болгова Е.В., 2015; Болгова Е.В., 2017; Черноморец А.А., Волчков В.П., 2012].
Пусть изображение Ф, размерности N х Ы2, представлено в виде матрицы Ф = (/к), I = 1,2,..., N, к = 1,2,..., Ыг, значений яркости его пикселей.
Тогда следующие соотношения определяют указанные преобразования (где и, V -пространственные частоты):
- дискретное преобразование Фурье,
N N2 12л..... 12л., ...
к: (и, V)=1 1 —-1), (1)
п1 = 0,1,...,N -1, п2 = 0,1,...,ы2 -1, ] = (-1)1/2, - дискретное косинусное преобразование,
=«« 1 1 / - т^иг-^ - 1», (2)
¡=1 к=1 N 2 N 2
П = 0,1,...,N -1, п2 = 0,1,...,Ы2 -1,
п1 = 0, п2 = 0,
«п, = 1 ,--«,2 = 1 ,-
[^2/Ы1,п1 = 1,2,...,N -1, [д/2/М2,п2 = 1,2,...,N1 -1.
- непрерывное преобразование Фурье,
(и, V) = 11] 1 /а ехр(-]и(1 -1)) ехр(-^(к -1)), (3)
/¡к '
¡=1 к=1
-п< и, V <п; 1 = (-1)1/2,
- непрерывное косинусное преобразование,
N N2 | |
^ст (и, V) = 11 /к 0С8(и(/ - -)) cos(v(k - -)) , (4)
¡=1 к=1 2 2
и е [0,п), V е [0, п),
Преобразование Хаара основано на базисных функциях Хаара Наг (х), определенных на интервале х е [0,1) и I = 0,1,..., N -1, где N = 2п.
Базисные функции Хаара задаются на основании следующих соотношений:
Наг0 (х) = —^, х е [0,1),
Наг (х) = Н (х) = ^
2р/2, х е[(д -1)/2р ,(д -1/2)/2р ),
- 2р/2, х е[(д -1/2)/2р, д/ 2Р), ¡ = 1,2,..., N -1, (5)
0, для есех остальных х е [0,1],
где р, д - целые положительные числа,
¡ = 2р + д -1, 1 < д < 2р . Преобразование Хаара задается следующим соотношением:
^Ят = Я Ф#т (6)
где ЯвЯт - матрица преобразования Хаара, строки которой составлены из базисных функций Хаара.
В представленных преобразованиях пространственные частоты и, V принадлежат подобласти пространственных частот У0, на которой задано то или иное преобразование с учетом его периодичности,
(и, V) е V,. (7)
Например, для следующих преобразований область У0 имеет вид:
- преобразование Фурье,
V = {(и, V) | - п < и < п, - п < V < п},
- косинусное преобразование,
V = {(и, V) | 0 < и <п, 0 < V <п},
- преобразование Хаара,
¡=1 к=1
У0 = {(и, V) | 0 < и < 1,0 < V < 1}. Одним из критериев выбора конкретного преобразования при решении многих задач обработки изображений является его способность сосредотачивать энергию результата преобразования в области низких пространственных частот.
Под энергией ЕУ (Ф) результата преобразования изображения Ф, соответствующей заданной подобласти пространственных частот V, обычно понимают следующую величину [Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., 2010; Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., 2013]:
- в случае непрерывного преобразования ¥ :
Ег (Ф) = - [Г | ¥(и, V) |2 ёиёу, а
(иУ)еУ
- в случае дискретного преобразования ¥ :
1 ¡2 к2
Еу (Ф) =Т£ £ 1¥к|2 ёиёу,
Ь ¡=¡1 к=к1
где а, Ь - некоторые константы, соответствующие отдельному преобразованию, индексы ¡1, ¡2 и к,, к2 определяются границами области V .
Под сосредоточенностью С0ё энергии на расстоянии ё результата преобразования вблизи нулевых частот в области У0ё предлагается понимать следующее отношение:
С = Е^ (Ф)/ Е(Ф), где Е(Ф) - энергия изображения Ф в области У0 (7), Е^ (Ф) - энергия изображения Ф в области У0ё,
Уё = {(и, V)! |(и, V) |< ёй ё, (и, V) еу,},
| (и, V) | - длина вектора (и, V) в метрике Чебышева,
| (и, V) |= тах(и, V),
ё0 - размер частотной области У0 (7),
ё0 = тах(и, V), при (и, V) е У0, ё - нормированный коэффициент (нормированное расстояние),
0 < ё < 1.
На рисунке 1 приведены примеры областей У0ё при ё = 0,5 (в метрике Чебышева) для некоторых преобразований.
' ! - Ч: ■
НИкЗЬ
Щ wm*
ife - Л
Рис. 1. Примеры областей V0d вычисления сосредоточенности Cdts при ё — 0,5 : а — дискретное преобразование Фурье (логарифмированный спектр), б - дискретное косинусное преобразование (логарифмированный спектр), в - преобразование Хаара (логарифмированный спектр) Fig. 1. Examples of areas V0d for concentration calculations С0ё for ё — 0,5 : a - discrete Fourier transform (logarithmic spectrum), b - discrete cosine transformation (logarithmic spectrum), c - Haar transformation (logarithmic spectrum)
в
Автором проведено исследование по сравнению значений сосредоточенности энергии С^ в различных частотных областях для некоторых ортогональных преобразований различных изображений.
Расчеты сосредоточенности энергии выполнены для изображений (рисунок 2), характеризующихся различным количеством деталей [Гонсалес Р., Вудс Р. 2006].
И1 И2 ИЗ
Рис. 2. Изображения И1, И2 и ИЗ, используемые для расчета сосредоточенности Fig. 2. Images I1, I2 and I3 used for concentration calculation
При вычислении сосредоточенности энергии были выбраны различные размерности для анализируемых изображений: 128*128, 256*256 и 512*512 пикселей.
Также в отдельных вычислительных экспериментах перед вычислением сосредоточенности энергии из анализируемого изображения вычиталось его среднее значение.
Значения нормированного расстояния d были выбраны равными:
d = {0.02; 0.05; 0.1; 0.125; 0.25; 0.5}.
В ходе вычислительных экспериментов были проанализированы значения сосредоточенности энергии на расстоянии d для непрерывного преобразования Фурье (FT), непрерывного косинусного преобразования (CT), дискретного преобразования Фурье (DFT), дискретного косинусного преобразования (DCT) и преобразования Хаара (DHT).
Для изображения И1 (рис. 2а) при его различной размерности в таблице 1, приведены результаты вычисления сосредоточенности энергии результатов указанных ортогональных преобразований в частотных областях различных размеров, а также с удалением и без удаления среднего значения яркости пикселей.
Таблица 1 Table 1
Сосредоточенность энергии изображения И1 на расстоянии d Image I1 energy concentration at a distance d
Параметры расчетов d
0,02 0,05 0,1 0,125 0,25 0,5
без удаления среднего
128*128 CT 0,647333 0,850449 0,93104 0,950409 0,979099 0,99414
FT 0,590553 0,83595 0,920436 0,94269 0,975077 0,992494
DCT 0,769576 0,89011 0,950379 0,965417 0,987009 0,997449
DFT 0,778773 0,873973 0,941816 0,958216 0,982758 0,995612
DHT 0,770447 0,862255 0,912163 0,939544 0,974613 0,991863
256*256 CT 0,794232 0,930548 0,96756 0,97787 0,992219 0,997829
FT 0,766652 0,919914 0,962414 0,973718 0,990257 0,997016
DCT 0,874693 0,950049 0,979397 0,986127 0,996235 0,999529
DFT 0,829075 0,941434 0,972409 0,981722 0,994043 0,998619
DHT 0,848195 0,911774 0,956629 0,973201 0,989481 0,997027
Окончание табл. 1
512x512 СТ 0,89288 0,967187 0,987525 0,991992 0,997526 0,999115
РТ 0,878122 0,962013 0,98483 0,989948 0,996548 0,998711
БСТ 0,936634 0,979084 0,993929 0,996172 0,999577 0,999967
БРТ 0,925845 0,972058 0,990753 0,993887 0,998473 0,999507
БИТ 0,897721 0,956122 0,983281 0,988841 0,996228 0,999006
с удалением среднего
128x128 СТ 0,066517 0,541043 0,786013 0,84723 0,939012 0,986518
РТ 0,057963 0,519486 0,766865 0,832634 0,930037 0,982818
БСТ 0,043228 0,543713 0,793961 0,856406 0,94606 0,98941
БРТ 0,081416 0,476707 0,758408 0,826504 0,928408 0,98178
БИТ 0,046845 0,428054 0,635282 0,748976 0,894587 0,966215
256x256 СТ 0,41496 0,784529 0,901546 0,93506 0,980834 0,996463
РТ 0,356128 0,765357 0,890134 0,925883 0,976521 0,994758
БСТ 0,47985 0,792652 0,914478 0,942414 0,98437 0,998044
БРТ 0,29049 0,756895 0,885469 0,924129 0,975274 0,994269
БИТ 0,369858 0,633776 0,819969 0,888756 0,956337 0,987658
512x512 СТ 0,659688 0,90033 0,96627 0,980452 0,996336 0,999061
РТ 0,61893 0,888882 0,960546 0,975975 0,994286 0,998214
БСТ 0,737375 0,91331 0,974839 0,984133 0,998248 0,999865
БРТ 0,692659 0,884191 0,961675 0,974665 0,993672 0,997957
БИТ 0,576094 0,818143 0,930708 0,953753 0,984367 0,995881
Для визуального анализа данных, приведенных в таблице 1, построены соответствующие графики (рис. 3).
На графиках для различных ортогональных преобразований использованы следующие обозначения:
— - непрерывное косинусное преобразование, ' - непрерывное преобразование Фурье,
- дискретное косинусное преобразование,
- дискретное преобразование Фурье, ----- - преобразование Хаара.
а б
в г
д е
Рис. 3. Зависимость сосредоточенности от расстояния d для изображения И1: а, б -128x128 пикселей; в, г - 256x256 пикселей; д, е - 512x512 пикселей; а, в, д - без удаления среднего; б, г, е - с удалением среднего Fig. 3. Dependence of Image I1 energy concentration at a distance d: a, b - 128 x 128 pixels; c, d - 256 x 256 pixels; e, f - 512 x 512 pixels; a, c, e - without removing the mean; b, d, f - with the removal of the mean
Для изображения И2 (рис. 2б) при его различной размерности в таблице 2 приведены результаты вычисления сосредоточенности энергии результатов ортогональных преобразований FT, CT, DFT, DCT и DHT в частотных областях различных размеров ё, а также с удалением и без удаления среднего значения яркости пикселей.
Таблица 2 Table 2
Сосредоточенность энергии изображения И2 на расстоянии d Image I2 energy concentration at a distance d
Параметры расчетов d
0,02 0,05 0,1 0,125 0,25 0,5
без удаления с] реднего
128x128 CT 0,736254 0,904028 0,934659 0,946443 0,973588 0,990484
FT 0,612244 0,852721 0,912764 0,928319 0,96504 0,986942
DCT 0,835585 0,929867 0,947003 0,956514 0,97835 0,992677
DFT 0,838155 0,925183 0,946331 0,955318 0,97782 0,992379
DHT 0,833345 0,919518 0,942912 0,948188 0,969285 0,987881
256x256 CT 0,863732 0,93003 0,959075 0,968145 0,984358 0,996095
FT 0,781175 0,90811 0,947736 0,959299 0,980116 0,994351
DCT 0,91785 0,9424 0,966708 0,973108 0,986979 0,997144
DFT 0,900913 0,941711 0,96486 0,972536 0,986605 0,996969
DHT 0,896998 0,938148 0,957491 0,963721 0,98089 0,992857
Окончание табл. 2
512x512 СТ 0,908645 0,955124 0,974179 0,981241 0,994933 0,999226
РТ 0,874476 0,943785 0,968345 0,976847 0,99284 0,99836
БСТ 0,934145 0,962771 0,978928 0,983953 0,996195 0,999777
БРТ 0,932862 0,960923 0,97812 0,983572 0,995989 0,999671
БИТ 0,927914 0,953445 0,971858 0,977039 0,989498 0,997092
с удалением среднего
128x128 СТ 0,270711 0,669428 0,751877 0,795419 0,897911 0,964989
РТ 0,237946 0,643674 0,744898 0,787755 0,894373 0,963629
БСТ 0,220227 0,667379 0,748651 0,793757 0,897321 0,965268
БРТ 0,232419 0,645163 0,745466 0,788085 0,894808 0,963857
БИТ 0,209605 0,6183 0,729247 0,754271 0,854326 0,942523
256x256 СТ 0,583667 0,734756 0,839685 0,875188 0,93894 0,986475
РТ 0,543331 0,727889 0,836654 0,87162 0,937351 0,985848
БСТ 0,617285 0,731658 0,844903 0,874716 0,939339 0,986697
БРТ 0,53838 0,728448 0,836293 0,872052 0,937596 0,985881
БИТ 0,520139 0,711846 0,801959 0,830984 0,910973 0,966724
512x512 СТ 0,671279 0,823774 0,896991 0,92589 0,982265 0,998766
РТ 0,662984 0,820809 0,895008 0,924269 0,981528 0,998455
БСТ 0,697422 0,828948 0,903183 0,92627 0,982517 0,998976
БРТ 0,691524 0,820454 0,899469 0,924521 0,981569 0,998488
БИТ 0,668791 0,786099 0,870697 0,894503 0,951747 0,986639
Для визуального анализа данных, приведенных в таблице 2, построены соответствующие графики (рис. 4).
а б
в г
Рис. 4. Зависимость сосредоточенности от расстояния d для изображения И2: а, б -128x128 пикселей; в, г - 256x256 пикселей; д, е - 512x512 пикселей; а, в, д - без удаления среднего; б, г, е - с удалением среднего Fig. 4. Dependence of Image I1 energy concentration at a distance d: a, b - 128x128 pixels; c, d - 256x256 pixels; e, f - 512x512 pixels; a, c, e - without removing the mean; b, d, f - with the removal of the mean
Для изображения ИЗ (рис. 2в) при его различной размерности в таблице 3 приведены результаты вычисления сосредоточенности энергии результатов указанных ортогональных преобразований в частотных областях различных размеров, а также с удалением и без удаления среднего значения яркости пикселей.
Таблица 3 Table 3
Сосредоточенность энергии изображения И3 на расстоянии d Image I3 energy concentration at a distance d
Параметры расчетов d
0,02 0,05 0,1 0,125 0,25 0,5
без удаления среднего
128x128 CT 0,708187 0,774206 0,835515 0,858066 0,924524 0,978019
FT 0,651837 0,749164 0,823368 0,84933 0,92053 0,97621
DCT 0,767365 0,798135 0,841964 0,864804 0,926502 0,979428
DFT 0,76893 0,800268 0,842394 0,864639 0,926169 0,978869
DHT 0,768331 0,788888 0,819379 0,848527 0,901982 0,961573
256x256 CT 0,748541 0,826532 0,886303 0,912908 0,964101 0,992771
FT 0,719677 0,814441 0,881498 0,90879 0,961954 0,991809
DCT 0,781722 0,83301 0,892718 0,915097 0,965836 0,993571
DFT 0,77559 0,833408 0,889301 0,914711 0,965183 0,99323
DHT 0,77848 0,810532 0,863236 0,889912 0,944134 0,979711
512x512 CT 0,779155 0,875483 0,934976 0,956125 0,990277 0,999032
FT 0,761058 0,870721 0,932139 0,95391 0,989134 0,998568
DCT 0,810737 0,88188 0,941735 0,95789 0,991218 0,999469
DFT 0,810926 0,87846 0,939682 0,957224 0,99082 0,999262
DHT 0,791499 0,852395 0,910205 0,933351 0,97012 0,991577
с удалением среднего
128x128 CT 0,007426 0,148186 0,329085 0,417271 0,686987 0,911011
FT 0,010588 0,138753 0,321405 0,411746 0,683341 0,908986
DCT 0,00315 0,134999 0,322808 0,42068 0,685059 0,911846
DFT 0,009855 0,144139 0,324652 0,419973 0,683632 0,909452
DHT 0,007287 0,095377 0,226031 0,35093 0,579989 0,835337
Окончание табл. 3
256x256 СТ 0,076288 0,313992 0,540904 0,649684 0,857251 0,97261
РТ 0,067447 0,306676 0,538815 0,646231 0,855156 0,971712
БСТ 0,095564 0,308079 0,555475 0,648206 0,858443 0,973363
БРТ 0,070156 0,309725 0,541319 0,646604 0,855735 0,97195
БИТ 0,082132 0,214937 0,43332 0,543852 0,768518 0,915932
512x512 СТ 0,190534 0,51507 0,747813 0,831032 0,964161 0,997296
РТ 0,185825 0,513083 0,744956 0,828925 0,963116 0,996866
БСТ 0,245482 0,529102 0,767722 0,832124 0,964988 0,997884
БРТ 0,246238 0,515468 0,759537 0,829467 0,963405 0,99706
БИТ 0,168788 0,411559 0,642022 0,734299 0,880881 0,966419
Для визуального анализа данных, приведенных в таблице 3, построены соответствующие графики (рис. 5).
а б
в г
д е
Рис. 5. Зависимость сосредоточенности от расстояния d для изображения И3: а, б -128*128 пикселей; в, г - 256*256 пикселей; д, е - 512*512 пикселей; а, в, д - без удаления среднего; б, г, е - с удалением среднего Fig. 5. Dependence of Image I1 energy concentration at a distance d: a, b - 128*128 pixels; c, d - 256*256 pixels; e, f - 512*512 pixels; a, c, e - without removing the mean; b, d, f - with the removal of the mean
Таким образом, результаты вычислительных экспериментов показали:
- сосредоточенность энергии на заданном расстоянии возрастает при увеличении размерности изображения;
- при удалении среднего значения яркости пикселей из изображения сосредоточенность энергии на заданном расстоянии результатов его ортогонального преобразования снижается;
- при удалении среднего значения яркости пикселей из изображения снижаются различия в значениях сосредоточенности энергии результатов преобразования одного и того же изображения, полученных с помощью различных ортогональных преобразований.
Сравнение значений сосредоточенности энергии на заданном расстоянии результатов различных ортогональных преобразований показывают, что наибольшей сосредоточенностью энергии, в большинстве случаев, обладают результаты дискретного косинусного преобразования. Вычислительные эксперименты показали, что следующим по величине сосредоточенности энергии результатов преобразования во многих случаях является непрерывное косинусное преобразование.
Также вычислительные эксперименты показали, что большей сосредоточенностью энергии на заданном расстоянии обладают результаты ортогональных преобразований изображения, содержащего меньшее количество деталей.
Полученные результаты позволяют создать эффективные алгоритмы обработки изображений, в том числе скрытного внедрения контрольной информации.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 17-29-03324.
Список литературы References
1. Ахмед Н., Рао К., 1980. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М., Связь, 248.
Ahmed N., Rao K., 1980. The orthogonal transform in digital signal processing. Moscow, Svyaz', 248. (in Russian)
2. Болгова Е.В., 2017. О собственных числах субинтервальных матриц косинусного преобразования. Научные ведомости БелГУ. Сер. Экономика. Информатика. 2(251): 92-101.
Bolgova E.V., 2017. About the eigenvalues of cosine transform subinterval matrices. Nauchnye vedomosti BelGU. Ekonomika. Informatika. [Belgorod State University Scientific Bulletin. Economics Information technologies]. 2(251): 92-101. (in Russian)
3. Гонсалес Р., Вудс Р. 2006. Цифровая обработка изображений. М., Техносфера, 1072. Gonzalez R, Woods R. 2006. Cifrovaja obrabotka izobrazhenij [Digital image processing] Moscow,
Tehnosfera, 1072. (in Russian)
4. Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., 2010. О частотном анализе изображений. Вопросы радиоэлектроники. Сер. ЭВТ. 1: 94-103.
Zhilyakov E.G., Chernomorets A.A., 2010. About the frequency image analysis. Voprosy radiojelektroniki [Problems of Radio Electronics] 1: 94-103. (in Russian)
5. Жиляков Е.Г., Черноморец А. А., 2013. Об оптимальном выделении субполосных компонент изображений. Информационные системы и технологии. 1(75): 5-11.
Zhilyakov E.G., Chernomorets A.A., 2013. Optimal separation of image subband components. Informacionnye sistemy i tehnologii [Information systems and technologies] 1(75): 5-11. (in Russian)
6. Прэтт У., 1982. Цифровая обработка изображений. М., Мир, 312. Pratt W., 1982. Digital image processing. Moscow, Mir, 312. (in Russian)
7. Черноморец А.А., Болгова Е.В., 2015. Об анализе данных на основе косинусного преобразования. Научные ведомости БелГУ. Сер. Экономика. Информатика. 1(198): 68-73.
Chernomorets A.A., Bolgova E.V., 2015. On the analysis of data based on the cosine transformation. Nauchnye vedomosti BelGU. Ekonomika. Informatika. [Belgorod State University Scientific Bulletin. Economics Information technologies]. 1(198): 68-73. (in Russian)
8. Черноморец А.А., Волчков В.П., 2012. О свойствах квазисубполосных и G-субполосных матриц. Научные ведомости БелГУ. Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. 1(120): 126-134.
Chernomorets A.A., Volchkov V.P., 2012. About propertiesof quasisubband and G-subband matrices. Nauchnye vedomosti BelGU. Istoriya. Politologiya. Ekonomika. Informatika. [Belgorod State University Scientific Bulletin. History Political science Economics Information technologies]. 1(120): 126134. (in Russian)
9. Ярославский Л.П., 1979. Введение в цифровую обработку изображений. М., Сов. Радио, 312. Jaroslavskij L.P., 1979. Introduction to digital image processing. Moscow, Sov. Radio, 312.
(in Russian)
