CC BY
40
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2008. № 4
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ О СООТНОШЕНИИ МАТЕМАТИКИ И РЕАЛЬНОСТИ
Анна Паю га. Математика: наш компас в реальном мире? Три
альтернативы. — Афины: Изд-во «Ниссон академик», 2007. — 132 с.
Как видно из заглавия, книга посвящена соотношению математики и реальности. Можно было бы ожидать, что речь в ней пойдет о соотношении чистой и прикладной математики, роли математики в физике и вообще в естествознании. Автор, однако, идет по иному пути, который можно охарактеризовать как путь истории философии науки. В книге рассматриваются три программы обоснования математики, сложившиеся в начале XX в., — логицизм, формализм и интуиционизм. Автор рассматривает философские идеи, высказанные великими создателями этих программ — Г. Фреге, Б. Расселом, Д. Гильбертом и Л.Е. Брауэром, а также их учениками и последователями. Автор приводит эти идеи к общему знаменателю, т.е. путем компаративистского анализа определяет общие понятия и проблемы, касающиеся соотношения математики и реальности, которые выявляют эти идеи.
Такой подход также оправдан. Поскольку вопрос об обосновании математики не может не затронуть такие факторы, как продуктивность, надежность и истинность математических теорий, он логично приводит к вопросу о том образе реальности, который несут эти теории, о роли этого образа в человеческом общении и познании.
Три программы обоснования математики многократно обсуждались как в западной литературе по философии науки, так и в российской1. Однако компаративистский подход, принятый автором рецензируемой книги, позволяет избежать неоправданных повторений и описать те пласты философии математики, которые не были в достаточной степени выяснены ранее.
Что же объединяет все три программы обоснования математики? Прежде всего это трактовка математики как универсального понятийного средства, обеспечивающего общение в мире науки. При этом все три программы так или иначе высказывают недоверие к текущему языку работающей математики и ратуют за его усовершенствование. Правда, пути этого усовершенствования они определяют по-разному. Логицизм, естественно, возлагает надежды на логику, формализм — на построение аксиоматических знаковых систем, а интуиционизм в его аутентичной форме (у Брауэра) вообще выносит математику за пределы языковой деятельности. Но и здесь заметна «положительная динамика». Уже А. Гей-тинг, ученик Брауэра, занят построением формальных аксиоматических систем, основанных на интуиционистских принципах. В дополнение к тому, что говорится в рецензируемой книге, сошлемся на интуиционистскую теорию доказательства А. Г. Драгалина2.
Логицизм, формализм и интуиционизм по-разному трактуют соотношение математики и логики. Но все три предусматривают развитие логики на пути построения символического языка.
Примечательно, что все три школы обоснования математики предполагают, что математика несет свою онтологию. «Логицизм, — как сказано в рецензируемой книге, — рассматривает математику как область вечных мыслей, которые человеческий ум стремится уловить и актуализировать при помощи математического языка и таким образом реконструировать реальность в ее аутентичной форме, раскрывая скрытые соотношения, обладающие вневременным онтологическим статусом» (с. 22).
Гильберт в свою очередь исходил из предустановленной гармонии мышления и бытия. При этом мышление, если оно дисциплинировано стандартами формализма, и природа, поскольку она познается человеком, сходятся в «финитном арпоп». В основе математики лежат финитные обозримые конструкции. Природа также конструируется в человеческой деятельности путем конечного числа обозримых операций.
Математика, согласно программе формализма, раскрывает символическую структуру бытия. Как пишет ученик и соавтор Д. Гильберта Пауль Бернайс (в рецензируемой книге это цитируется на с. 124), «целый класс вопросов, которые могут быть помещены в сферу чистой математики, относились ранее к дисциплине, называвшейся "натуральной философией"».
Интуиционизм в его аутентичной брауэровской форме видит в математике «внутреннюю структуру мышления, интеллектуальную жизнь творческого субъекта, его автономную конструктивную ментальную деятельность, возникающую вместе с изначальной интуицией времени» (с. 125). Математика относится к реальности как интуиция творческого субъекта, проектирующего не только свою жизнь, но и мир, где он живет. Математические структуры открыты для их воплощения в реальности.
Онтология — это еще не реальность. Это путь к постижению реальности. Поэтому вопрос, вынесенный в заглавие рецензируемой книги, а именно вопрос о том, служит ли математика компасом в реальном мире, автор, подводя итоги исследования, переформулирует в вопрос: а не является ли математика лишь компасом, подчиняющимся своим собственным законам?
Рецензируемая книга вносит свой вклад также в обсуждение отдельных программ обоснования математики. Рассматривая, например, программу Д. Гильберта, автор уделяет внимание соотношению в ней идеальных и реальных объектов математики. Эта тема уже поднималась в литературе3 в противовес упрощенной трактовки программы Гильберта как программы формализации математики. Однако здесь требуются дальнейшие разъяснения. Дело в том, что Гильберт, выделяя идеальные объекты, относил к ним как конструкции типа комплексных чисел, возникающие в связи с требованием замкнутости математических операций, так и понятия, несущие в себе абстракцию актуальной бесконечности (например, дедекиндовы сечения, определяющие действительные числа через рациональные числа).
В рецензируемой книге подчеркнут контекстуальный характер деления объектов на идеальные и реальные. Автор книги отмечает, что Гильберт предполагал наличие постоянного обмена между представлениями его двух «математик» — формальной и метаматематики. Этот обмен позволяет моделировать в математике многогранную реальность и обеспечивает применимость математики в развивающейся науке.
Комплексные числа, которые исторически возникли при экстраполяции действительных чисел с целью сохранения логической замкнутости операции извлечения корня, формализуются путем расширения аксиоматики действительного числа.
Дедекиндовы сечения, предполагающие абстракцию актуальной бесконечности, — не единственный путь определения действительного числа. Существуют определения действительного числа в рамках формальных аксиоматических систем.
Что такое реальный объект по Гильберту? Это знак и знаковая система, построенная на финитных принципах (т.е. путем фиксированных операций, исключающих абстракцию актуальной бесконечности). В рецензируемой книге неоднократно цитируются крылатые слова Гильберта: «В начале был знак». Знак постигается чувственной интуицией, т.е. непосредственно и сразу, не оставляя места колебанию и сомнению. Обоснование математики состоит в построении знаковых систем, точнее — формальных аксиоматических систем. Гильберт связывал обоснование математики с доказательством непротиворечивости таких систем, причем с формальным доказательством, осуществляемым за конечное число шагов.
Рецензируемая книга по своей тематике соответствует программе раздела «Философия математики», читаемого на философском факультете МГУ в рамках курса философских проблем конкретных наук, и могла бы служить пособием для преподавателей.
Недостатком данной работы является то, что в книге, посвященной обоснованию математики, слишком мало самой математики. Рецензенту приходилось самому домысливать примеры, надлежащим образом иллюстрирующие ее теоретические положения.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 См., например: Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966; Philosophy of mathematics / Ed. by P. Benacerraf, H. Putnam. Cambridge, 1977; Б&гяев F..А.. Перминов В.Я. Философские проблемы математики. М., 1982.
2 См.: Драгалин А.Г. Математический интуиционизм: введение в теорию доказательства. М., 1979.
3 См., например: Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986.
A.A. Печенкин
