CC BY
39
Н.В. Нагул
О СОХРАНЕНИИ СВОЙСТВ МНОГООСНОВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Работа выполнена при поддержке проектами № 2 Программы № 19 Президиума РАН, № 2005-ИТ-12.1.002 ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям науки и техники», Программой фундаментальных исследований № 22 Президиума РАН и грантом Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации НШ-9508.2006.1.
Ставится задача алгоритмизации синтеза критериев переносимости свойств многоосновных алгебраических систем. Используется подход в рамках так называемого метода редукции, разработанного С.Н. Васильевым и основанного на решении логических уравнений. Применение разработанных алгоритмов показано в анализе свойства устойчивости движения общей динамической системы.
Введение
В классической теории моделей большое значение имеют теоремы о сохранении свойств, связывающие семантические и синтаксические свойства формул. Как известно [14], помимо прочих, существуют три классические теоремы о сохранении свойств: теорема Лося-Тарского, говорящая о сохранении свойств экзистенциальных формул при расширениях, теорема Линдона, связывающая монотонность формулы с ее позитивностью, и, наконец, теорема Лося-Тарского-Линдона о сохранении свойств экзистенциальных позитивных формул при гомоморфизмах. Эти результаты породили целую серию исследований в области сохранения свойств алгебраических систем и в частности многоосновных алгебраических систем (МАС). Отметим известную характеристическую теорему С. Фефермана [12], которая связывает сохранение свойств при расширениях с экзистенциальностью формул, и более новый результат М. Отто [13], который объединяет как классические характеристические теоремы о расширениях (подструктурах) и теоремы, касающиеся монотонности, так и многосортную интерполяционную теорему Фефермана.
Следует подчеркнуть тот факт, что МАС привлекаются к исследованию проблемы сохранения свойств различных систем. Так, С.Н. Васильевым в [5] была показана приложимость некоторых логико-алгебраических результатов в абстрактной динамике систем путем использования так называемого метода представимости. Он позволяет редуцировать исходную задачу к некоторой более простой по замыслу вспомогательной задаче при условии представимости определения изучаемого свойства в некотором специальном языке МАС, к которым должны быть предварительно сведены рассматриваемые системы. Например, общую динамическую систему В.В. Немыцкого оказалось возможным записать в виде двухосновной алгебраической системы. Предикаты и функции МАС при этом определялись на некоторых произвольных ступенях над ее основными множествами. Переносимость динамических свойств (например, типа устойчивости и инвариантности) обеспечивалась в терминах морфизмов.
Однако существовавшие до сих пор синтаксические критерии являлись очень жесткими, хотя и гарантирующими переносимость целых классов свойств. В настоящей работе предлагается алгоритм построения условий сохранения свойств многоосновных алгебраических систем, основанный на решении логических
уравнений и представляющий собой метод теории редукции [3]. Предложенный метод открывает новые возможности гибкого формирования условий сохранения свойств алгебраических систем с учетом специфики конкретного изучаемого свойства. Действие алгоритма продемонстрировано на примере свойства устойчивости движения общей динамической системы.
Заметим, что МАС представляют значительный интерес в связи с все возрастающим их практическим применением. Одной из важных областей применения выступает программирование. При алгебраическом подходе к спецификации языков программирования язык рассматривается как алгебра, а предложение, программа или выражение в языке - как объект в его алгебре. МАС используются и для описания так называемых абстрактных типов данных, на которых основана объектно-ориентированная парадигма программирования. Известно также о попытках использования многоосновных алгебраических систем в криптографии. Так, в [1] основной элемент системы выработки общего ключа в системах открытого шифрования представляется пятиосновной алгебраической системой. В [10] отмечается, что в последнее время модель многоосновной универсальной алгебры становится все более популярной также и при решении ряда прикладных задач в области исследования математических моделей электронных устройств обработки информации. Такая модель наиболее естественна в исследованиях программных алгоритмов, предназначенных для реализации на различных ЭВМ.
Понятие многоосновной алгебраической системы
Пусть А = {Ах | X = 1,к } - конечное семейство множеств Ах. Теоретико-множественные операции образования декартова произведения и булеана порождают множества, называемые ступенями (над семейством А). Точнее [2],
1) любое множество Ах есть ступень;
2) если множества М1 и М2 - ступени, то каждое из
Мл
множеств М] хМ2 и 2 1 есть ступень;
3) множество является ступенью только в том случае, когда это следует из правил 1 и 2.
Для строгой формализации языка, предназначенного для работы с многоосновными алгебраическими системами, введем метаязык, который назовем «языком
ступеней». В качестве букв языка выступают специальные символы S1, S2, ..., S(_,_), S(_), соответствующие операциям построения ступеней. Так, пусть всякая функциональная буква Sx интерпретируется как операция выделения множества Лх из семейства Л. Буквы
S(_,_) и S(_) соответствуют операциям образования декартова произведения и булеана соответственно. Словами языка ступеней назовем выражения Sx, S(S, Sj), S(S,), где S„ Sj - слова. Если дана последовательность Si, S2, ., Sm слов языка ступеней, такая, что для каждого i = i,m - i Si+i является либо словом Sx, либо образовано некоторыми из слов S1, S2, ..., Si, то Sm называется схемой образования ступени. Результатом применения схемы S образования ступени к некоторому семейству множеств Л является ступень над этим семейством, которую мы будем обозначать S[A].
Общей многоосновной алгебраической системой конечного типа (ОМАСК) назовем объект A = (Л, QF, QP, QE), состоящий из семейства базисных множеств Л = {Лх | Я = i,k }, множества функций QF = (Fp | Fp : : S1p[A] ^ S2p[Л], p = i,kF }, множества отношений QP = = (PY | PY с 7’У[Л], у = 1,kp } и множества выделенных элементов Qe = (E8 | E8 e U8 [Л], 8 = i,kE }. Заметим, что в отличие от известных определений многоосновных алгебр [10] и моделей [6], здесь элементы множества Qf u QP u Qe определены на некоторых произвольных ступенях над Л .
Пусть даны отображения у1: B1 ^ Bi и у2: B2 ^ В2'. Их каноническим распространением на декартово произведение называется [2] отображение у1 *у2: В1 х В2 ^ Bi х В2 ' , определяемое условием
Vi*^2 (bi, b2) = <Vi(bi), У2 (b2)) (V bi e Bi, b2 e B2 ).
Каноническим распространением отображения yi
B B '
на булеан называется [2] отображение ^ :2 i ^ 2 i , такое, что
<\il (B) = {b' e B/|3b e B: yi (b) = b'} (VB с Bi).
Пусть Л' = (Л'x ^ = i,k }. Согласно определению, для всякой ступени М[Л] через М[Л'] обозначается ступень над Л', образованная из множеств Л' x по той же схеме М, что и М[Л] из Лх. Введем также семейство отображений ф = (фх | Лх ^ Л'x, Х = i,k }, которому однозначно соответствует отображение ступеней (ф) М[Л] : М[Л] ^ М[Л' ], индуктивно определяемое следующим образом:
1) если М[Л] = Лх , то (ф) М[Л] = фх;
2) если М[Л] = М1[Л] хМ2[Л], то
(ф)М[Л]= (ф)Mi[Л] *(ф)М2[Л] ;
3) если М[Л] = 2М'[Л], то (ф)М[Л] = (ф)Mi[Л].
Для исследования сохранения (устойчивости) свойств ОМАСК будем использовать расширенный язык исчисления предикатов первого порядка. Для обозначения произвольных объектов в этом языке
используются индивидные переменные 2Ь х2, а для
построения новых объектов - функциональные символы ¥/, ¥^, ..., ¥рп, ..., где верхний индекс указывает на арность, а нижний индекс позволяет различать символы одной арности. Предикатные символы Р°, Р1, ..., Р", ... будут обозначать те или иные отношения на объектах. Дополнительный предикатный символ « = » обозначает отношение равенства. Тождественно истинный и тождественно ложный предикаты (нульарные предикаты Р10, Р20) будем обозначать Р( и Ру соответственно. Для нульарных функций (выделенных элементов) введем символы Е°, Е°, ..., Е°,
Также будут использоваться логические связки (
—', ——,
& и др.), которым придается обычный смысл, и вспомогательные символы (скобки, запятые).
Зафиксируем ОМАСК А = (А, 0.¥, 0.Р, 0.Е) и выделим в указанном алфавите соответствующую сигнатуру ст =ст¥ и стР и стЕ. Отметим, что « = » не входит в ст.
Определим множество термов языка и одновременно введем для термов понятие сорта:
1) всякая индивидная переменная 2^ есть терм; сортом этого терма будем называть множество ЗДЛ] допустимых значений переменной 2, что будем обозначать 2 = ЭДЛ];
2) всякий символ Е5° выделенного элемента есть
терм, | Е° | = и [А];
3) если /ь /2 - термы сортов |?1|, |/2| соответственно, то (/ъ /2) является термом сорта |/1 х |/2|;
.. МЛ А] ^М 0[ А]
4) если /ь /2 - термы сортов 2 1 , 2 2 соответ-
-М1 [ А]хМ 0[ А]
ственно, то /1х/2 является термом сорта 2 1 2 , а
-1*1 л 2М1[ А]
терм 2 1 - термом сорта 2 ;
5) если / - терм сорта ^рА], то выражение ¥” (/)
является термом сорта £2р[А] (р = 1,к¥ );
6) выражение является термом только в том случае, когда это следует из правил 1-5.
Используем также специальные выражения, называемые типовыми кванторами (ТК): со а = 'у2а : 2а = V 2а (2а —_) (ТК всеобщности), юа = 32а : 2а = 3 2а (2а &_) (ТК существования).
Для обозначения утверждений об объектах определим правильно построенные выражения, называемые формулами:
1) если /ь /2 - термы и |/1|=|/2|, то выражение /1 = /2 является формулой;
2) если /ь ..., /п - термы и ^ = М\[А], ..., = Мп[А]
и Р" обозначает отношение, определенное на ступени
М1А] х ... х Мп[А], то Ру” (/1, ..., /п) - формула (называемая также атомарной);
3) если ¥ь ¥2 - формулы, то выражения — (¥1), (¥1&¥2), (¥^¥2), (¥1—¥2) являются формулами;
4) если ¥ и 2а - формулы, то соа ¥ = V 2а (2а —¥),
оа ¥ = 3 2а (2а & ¥) - формул^1;
5) выражение является формулой только в том случае, когда это следует из правил 1-4.
Через Ь обозначим язык термов и формул, построенных в соответствии с указанными правилами и содержащих в качестве функциональных и предикатных символов элементы ст, а также внесигнатурный символ « = ». Исчисление предикатов с равенством, построенное на базе ст, обозначим ТЬ .
Алгоритм синтеза критериев устойчивости свойств
Пусть Ж(х) = Дхь ..., хр) - произвольная формула сигнатуры ст в языке Ь, хц - все ее свободные переменные, ц = 1,р, р > 0. Не ограничивая общности, будем считать, что Ж является формулой, образованной из литер (заключительных формул, или з-формул) Ж", т.е. из атомарных формул ¥+* или их отрицаний ¥- , с помощью связок &, V и ТК со а, юа, а = 1,п, V = 1,^. Такие формулы назовем обобщенными позитивными формулами. Не ограничительно считать, что все их кванторные переменные 2а попарно различны. Не теряя общности, будем также считать, что свободные переменные хц формулы Ж тоже попарно различны и отличны от 2а. Кроме того, пусть в Ж не содержится несущественных кванторов, т.е. таких, в области действия которых отсутствует переменная квантора.
Пусть А, А' - однотипные ОМАСК сигнатуры ст с семействами основных множеств А ={Ах | Х= 1,к } и
А' = {А X | X = 1,к } соответственно. Наша цель - найти способ синтеза условий Я устойчивости относительно отображений ф = {фх | Ах — А 'х, X = 1, к } р-арного предиката, определяемого на системе А формулой Ж( х). Иначе говоря, требуется алгоритмизировать получение нетривиальных условий Я, при которых из выполнимости для системы А формулы Ж на каких-либо элементах х1, ..., хр вытекает выполнимость Ж для А' на элементах (ф)|х1|(х1), ..., (ф)р(хр) соответственно.
Удобно искать Я тоже как формулу языка первого порядка. Для этого дополним сигнатуру ст множеством символов ст ' = ст¥ ист Р и стЕ (ст п ст ' = 0), дублирующим в новых обозначениях сигнатуру ст. Введем формулу Р = Ж(¥ '/¥, Р '/Р, Е '/Е, хц' /хц 2а' /2а) сигнатуры ст ', где замена символов на соответствующие новые ¥' ест’¥ , Р' е стР, Е' е стЕ, ... выполняется для каждого
¥ ест¥, Р естР, Е е стЕ, ..., ц = 1,р, а = 1,п . Предполагается, что новые переменные хц ', 2а' попарно различны и не совпадают с переменными из Ж.
Пусть уХ - новые функциональные символы, для каждого X, X = 1, к , всегда далее интерпретируемые на множестве однозначных и всюду определенных на основном множестве Aх функций фх : Aх — А X. Обозначим ст = ст и ст ' и {X}. Пусть язык Ь и исчисление предикатов с равенством Т^ построены на базе ст , как
Ь и ТЬ на базе ст.
Условия Я будем строить в сигнатуре ст , обеспечивая выводимость в Т^ формулы Я —Ж, где
Ж* = Ж( х) — Ж (/ (х)), Г (/ (х)) =
= Ж(/|х11(х1)/х1', ..., /р1(хр)/хр').
Если ст¥ ^0 , то сначала преобразуем формулу Ж в формулу ¥ так, чтобы ее заключительные формулы Т не содержали вхождений символов из ст¥. Структура полученной формулы будет более удобна для построения условий переносимости свойств, поскольку функциональные и предикатные символы не будут одновременно фигурировать ни в одной заключительной формуле.
Преобразование определим следующим образом: сначала в Ж", V = 1,Ы, отыскивается терм /1 вида
¥1(и1^,и1^, ..., и1п1), где ¥1 ест¥ , м1г- - переменные хц
или 2а, I = 1, п1, п1 >0. Из числа переменных 2а, входящих в /1, если таковые найдутся, выделим переменную иа1, у которой квантор ю ^ имеет наименьшую область
действия Б1, и полагаем
|>(<В— А(уЛ))/Юа, АХ если юа = юа, Ф1 = •! 1 1 11
|¥(Юа1 3У1 (У1 = *1 & А (УЛ ))/Юа1 А X если ^ = Юа1 .
Здесь А1(у1//1) - результат замены в А1 всех вхождений терма /1 на ранее нигде не встречавшуюся в Ж переменную у1. Если же среди переменных и1г- отсутствуют переменные 2а, то
Ф: = 3у1(У! = /1 & ¥(уа//а)).
Те выражения, в которые переходят литеры Ж в процессе последовательного преобразования формулы Ж, называем следами этих литер (в отличие от добавляемых литер, например у1 = /1).
Продолжая при необходимости этот процесс, приходим к формуле Т( х) = Т(х1, ..., хр), не содержащей символов ¥ ест¥ в следах литер Т*, V = \,Ы. Если же изначально ст¥ = 0, считаем Ж = ¥.
Пусть у * - последняя из введенных переменных у8,
8
т.е. 8 = 1,8* . Через у8 (соответственно у8) обозначим кванторы V у8 (у8 = /8 —_) (соответственно 3 у8 (у8 = = /8 &_)). Введем также обозначения
Е =&{(В81 .(»8т(8) ^ .'Уу8п(8) 3у8 (у8 =/8 ): 8 = 1 8* &% е ^ Е = &{«&•„. - - •<Ю-8т(8) VУ81 ...уу^ 3у8 (у =/8 ):8 = 1,8* &У8 еГ},
где
Т ' (х) = Т ' (х/, ..., хр') =
= Т (Р ЧР, ¥ ’/¥, Е ’/Е, 2а '/2а, хЦ /хц, у8'/ у8),
через /8 обозначено выражение
*8 (¥'¥, 2а /2а, уТ /у, /ц1( хц)/ хц)
(подстановки по всем а = 1,п,т = 1,є*,т^є,ц = 1,р), и
для любого є = 1, є* универсальными ТК представлены все кванторы юа (соотв. ю 'а), а обычными универсальными кванторами связаны все переменные уа (соотв. уа), входящие в терм ґє (соотв. ґ'). Пусть также
Т'(/(х)) = Г(.Л(х,)^', ..., /р\хр)/х'р).
Лемма 1. Если в исчислении предикатов первого порядка Т * выполнены условия Е и Б', то
т х) Лх))) ^ ж*.
Доказательство. Нетрудно показать, что если в Т^
выполнено условие Е, то справедлива импликация Ж ^ Т, а из выполнимости Е' следует Т'(/(х))^-Р(/(х)). Из этих двух утверждений вытекает требуемое.
Условимся о следующих обозначениях. Через Т” обозначается след литеры Ж в Т, V = 1, N, а через V (соотв. V) - ТК 1а (соответственно Ма), если V - переменная ха. Если же V - переменная ує, то под V (соотв. V) понимается квантор ує (соотв. ує). Аналогично
используются обозначения Т+, Т-, а также V, V для кванторов по переменным V формулы Т' (х').
Пусть также Уі =(/1у(.)='),і = 1,п (п = п + є*),
Г3v(1 а & V, & ), если V, - переменная ,
(V,. : Vi) = \ . . ~ .
І3ує (ує = & Vі & _), если V. - переменная ує.
Аналогично понимаются выражения (V' : V.). Через Н+ (соотв. Н-) обозначается импликация Т+ ^ (Т' )’ (соотв. (Т')+ ^ Т+), где (Т')+ - литера из Т, отвечающая литере Т+ из Т.
Преобразуем формулу Т по следующим правилам:
1) рассматриваем максимальные цепочки одноименных соседних кванторов V ... \>т или V к уш , не разделенные в структуре формулы Т кванторами V и 3 соответственно, а также логическими связками &, V; заменим их на цепочки соответственно
V; ...*т (*1 : К)---(їт : ^т), V)!.. Л (у;: ^)...(?т : Vm);
2) все связки V заменим на &;
3) все литеры Т+, V = 1^ , заменим на формулы Н+, а все литеры Т- - на формулы Н-;
4) после выполнения преобразований из п. 1-3 все переменные хц' заменим на / ц1(хц) и результат обозначим Я].
Лемма 2. Если в исчислении предикатов первого порядка Т^„ выполнены формулы Е и Ето справедлива импликация Ях ^ Ж .
Доказательство леммы проводится индукцией по длине формулы Ях и приведено в [8]. Предложенный способ построения условий Я1 по заданной формуле Ж определяет алгоритм синтеза так называемых лемм сравнения [4] об устойчивости формульных предикатов относительно отображений многоосновных алгебраических систем друг в друга. Лемма 2 определяет его корректность.
Построение условий в терминах морфизмов ОМАСК
Полученные с помощью описанного алгоритма условия устойчивости Я1 отличаются от условий морфизмов, традиционно используемых в теории универсальных алгебр и теории моделей: изоморфизмов, гомоморфизмов, сильных гомоморфизмов и т.д. Сильная перемежаемость в условии Я1 кванторов одного смысла кванторами другого смысла ухудшает его проверяемость по сравнению с условиями, накладываемыми на стандартные морфизмы. Поэтому в качестве Я будем искать условия, достаточные для выводимости Я1, и представляющие собой более привычные условия -типа морфизмов или очевидным образом вытекающие из них. Для этого воспользуемся алгоритмом получения теорем сравнения из лемм сравнения [4, 15]. Он, как и алгоритм из [7], заключается в разбиении Я і на более простые формулы, содержащие минимальное число кванторов существования, но сформулирован и обоснован в более общей, в частности логической, а не теоретико-множественной форме.
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения. Пусть Ж - некоторое подмножество з-формул формулы Ж. Через [Ж, Ж*] обозначается результат исключения из Ж всех з-формул Ж'’, таких, что Ж г Ж, а также ставших при этом несущественными кванторов и логических связок, утративших хотя бы одну из связываемых ими в Ж формул. Пусть (Ж, Ж) обозначает результат замены в Ж всех з-формул Ж’, таких, что Ж’ є Ж , на тождественно истинные предикаты Р. Через А {Ж : Д} обозначим результат инвертирования в Ж смысла всех кванторов 1а, удовлетворяющих условию
Д. Через |Ж, е| обозначим слово, составленное из всех кванторов, управляющих в формуле Ж элементом е, а через ||Ж, е|| - это же слово, в котором все кванторы существования заменены на соответствующие кванторы всеобщности. Пусть М(Ж) обозначает множество всех экземпляров несущественных кванторов формулы Ж. Через НЖ обозначается результат вычеркивания из Ж всех несущественных кванторов.
Первым преобразованием является расщепление формулы Я1 на части относительно ее заключительных формул. Пусть М - множество всех з-формул из Яь и задан набор попарно не пересекающихся непустых множеств Еь Е2, ..., Ер, Е5 с М, 5 = 1,р, где р > 0. И пусть для каждого 5 задано некоторое условие ДА .
Преобразование определяется рекурсивно:
По = Яь и = А{[и^, ад ДА },
V = А{( ІІ5-1, Е5 ) : 1аєи5}
(и5 - результат замены в С?5-1 з-формул (Яі)’ є Е5 на тождественно истинные предикаты Рі и затем применения операции А для кванторов существования, уже встретившихся в и5),
V = Н^5 (С/С&Р, )
(в формуле и5 все подформулы вида С&Р( заменяются на С, где через С обозначена любая формула, отличная от Р, а затем из получившейся формулы вычеркиваются все несущественные кванторы),
І5 = &{Н || О5 , мЛ 3 Га 1а : < Є М( б, )}
(І5 есть конъюнкция подформул, отвечающих кванторам существования, вычеркнутым при формировании
условия и5 из 05).
Справедлива импликация [4, 15]:
ир & еАи5 &І, ^Я,.
5=1
Сформируем множество Ф = {и0, и1, ..., ир, Пр}.
Входящие в него формулы в общем случае допускают расщепление на конъюнкции более простых условий с помощью применения следующего преобразования к некоторым входящим в них типовым кванторам существования.
Пусть в формуле и є Ф выделены некоторые кванторы существования 1 = 31 : 1т, и для каждого из них задано свое условие Дт, т = 1,п . Положим V0 = V:
V = Vт (V) = А{Н 11?т-1,1т 13м" 1т : Дт},
I7, = І7, (V) = А{Ух_1 :1 1 V1 є Vт},
V = !(и) = &{!т : т = 1~п}&V,.
Для всех V є Ф справедливо V(V) ^ V [4, 15], а потому принимаем
я = V V )& ді5 & V (V 5).
5=1
Искомая формула Я, обеспечивающая устойчивость р-арного предиката Ж( х) относительно отображений
Ф = {фх | Ах ^ А х, X = 1,к }, построена.
Устойчивость движения общей динамической системы
Общая динамическая система типа В.В. Немыцкого р определяется на топологическом пространстве X и группе Т [9] и может рассматриваться как двухосновная алгебраическая система А = (А, ОР, ОР, ОЕ), у которой А = (X, Т), Ор = (р,+) , ОР = (т), ОЕ = 0 , где + - групповая операция на множестве моментов времени Т, т - топология пространства состояний X, р удов-
летворяет известным аксиомам [9] общей динамической системы. В зависимости от вида объектов, входящих в формулировки изучаемых свойств, множества О¥, ОР, ОЕ могут меняться. Например, в качестве X будем рассматривать равномерное пространство с топологией т, порождаемой равномерной структурой пространства X. При этом будет целесообразно положить ОЕ = (В), где В с 2ххХ - фильтр окружений для равномерной структуры пространства X.
Рассмотрим свойство устойчивости некоторого движения ¥(р0, /) общей динамической системы ¥ в равномерном пространстве X:
¥=УУеВ 3у еВ УреX
(< р0, р >еУ0 —V/ еТ < ¥(р,,0, ¥(р,/)>еУ),
представляющее собой формульный предикат ¥(р0), определенный на ОМАСК А = (А, О¥, ОР, ОЕ), где
О¥ = (¥) , ОР = (е) , ОЕ = (B, р0 ) .
Пусть ¥ - другая общая динамическая система,
представляющая собой однотипную А ОМАСК А сигнатуры ст с основными множествами X' и группой Т'. Зададимся целью найти условия Я устойчивости определенного на ОМАСК А формульного предиката ¥( р0 ) относительно отображений
ф1 : X — X', ф2 : Т — Т'.
Формула Ж содержит знак импликации, что недопустимо в языке обобщенных позитивных формул. Поэтому перепишем Ж в эквивалентной форме, применив правила
А — В » (—А V В) и А]2а [V1$аВ » м>а (А V В):
¥ = ^ е В3У0 е BVp е XV/ е Т(—(< р0,р >е У0)v
V < ¥(р0, /), ¥(р, /) >е У).
Формула Ж содержит две заключительные формулы: ¥1 = —(< рй,р >е У,) и ¥2 =< ¥(р0,/),¥(р,/) >е У , причем в первой из них функциональных символов нет, а во вторую дважды входит функциональный символ ¥ из ст¥. Согласно алгоритму, вводя новые переменные у1, у2, строим формулу
Т(р0) = ^ е В 3У0 е В Vp е X V/ е Т Vy2 = ¥(р,/) Vy1 =
= ¥(Po,/)(—(< Po,р >еУ0) v<у^у2 >еУ)
и вспомогательные формулы
Т'(р0) = еВ 3У еВ1 V/ еX' V/' еТ Vy2 = ¥'(р',/') Vy; =
=¥ (р0,/') (—(< p0, р >е y0')v < Уl', у2 >е y'),
Т'(/1(р0)) = еВ1 3У0'еВ Vp’ еX' V/' еТ Vy\= ¥’(р’,/) Vy1 = ¥'(/(р0),/)
(—(< У^Хр' >е yo')v < у^у2 >е У'Х
При этом формируется дополнительное условие
Е = (Г е Т 3у1 = ¥' у(р)' ))&
&^р ' е X' V/' е Т' 3у2 = ¥' (р ', / ')).
Преобразуем теперь Т в формулу Я1:
Я = VеВ 3УеВ-./ъ^У^ь еВ3У0еВ-./*/у = У
Ур ^^2 = ¥(р,^ ¥ (f1(Po),t")3pеX:/1(р)=р'
3/ еТ :./;(/)=/' 3у =Щр,/)-./1(уг)=уг3у1 =¥(р0,/)-./(;)=№_ &2+) где
=< р' >е У' —< Po,р >е У0,
Н+ =< у1, у2 >е У —< у1, у2>е У '.
Формируем множество М = {2-, 2 + } всех з-фор-мул из Я1, определяющее возможные варианты разбиения Я1. Пусть, например, Е1 = 2- , ДА = Р/ (последнее
означает, что при построении и1 3-кванторы не инвертируются):
и = ^0 е В3У е В*: /1 */(У0) = yVp' еX'3р еX: /1(р) = = р' < У^Хр' >е У' —< Po,р >е У0
(и1 есть подформула, состоящая из з-формулы 2- и
всех кванторов, управляющих ею в Я1; все кванторы сохраняют свои значения; несущественные кванторы исключаются),
и1 = ^ ' е В'3У е В: /1 £/1(У)У =
= у vУo е В^0'е в1: /1 £ /1(у) = у'
Vp' е X' V/ ' е Т Vy2 = ¥'(р',/ ')
Уу1 = ¥'(/1(Po), г1') ^ е х : /1(р) = р'
3/ е Т : /2(/) = /' ^у2 = ¥(р,): /(у2) = у2
3у1 = ¥ (Po, /): /1( у1) = у1 (Р/ &(< Уl, у2 >е У —< Уl, у2 >е У'))
(2- и все кванторы существования, вошедшие в и1,
заменяем соответственно на тождественно истинный предикат Р/ и кванторы всеобщности; первое приводит к возникновению несущественных кванторов: VУ0 и
^0),
и1 = ^ ' е В' 3У е В: /1*/1(У) = У'
Vp' е X ' V/ ' е Т' Vy2 = ¥' (р', / ')
= ¥'(/1(р0 ), г1') VP е х : /1(р) = р'
3/ е Т : /2(/) = /' ^У2 = ¥(р,/): /1(у2) = у2 3У1 = ¥ (Po, г1): /1( У1) = У1 (< У1, У2>е У —< у1, у2>е У').
При переходе от и 1 к и 1 были вычеркнуты символы Р/ и &, а также кванторы VУ0 и VV0'. Однако
М( и 1) не содержит кванторов существования, а следовательно, условие 11 не формируется.
Применим следующие шаги алгоритма. Для каждой формулы из множества Ф = { и1, и1 } выделим подформулы, отвечающие всем входящим в нее кванторам существования, принимая при этом ДТ = Р/ для всех м/х. Рассмотрим случай У0 = и1. Формула и1 содержит два 3 -квантора, и, следовательно, в силу выбора условий ДТ, будут получены две формулы Уп(и1) (п=1, 2), отвечающие этим кванторам, и формула У2 (и1) , не содержащая кванторов существования. Для первого 3-квантора получаем
У1(и1) = ^0 е В 3У0 е В': /1 */1(У0) = У0, после чего инвертируем его смысл в исходной формуле
Уи) = ^0 е В ^0'е В': /1*/1(У,) = У'
Vp' е X’ 3р е X: /1(р) = р'
< /1(р0 ), р' >е У' —< Po, р >е У0 .
Теперь выделяем подформулу, отвечающую 3-квантору по переменной р:
У2(и1) = Vp' е X' 3р е X : /1(р) = р',
Уги) = ^0 еВ ^0'еВ':/1*/1(У) = У'
Vp' е X ' Vp е X : /1(р) = р'
< У^Хр' >е У' —< Po,р >е У0,
У (и1) = уи^ У2(и1)& У?2(и1>.
Аналогично для случая У0 = и1 получаем формулы
У1 (и~1) = е В' 3У е В: /1*/1 (У) = У',
У2 (и~1) = V/' е Т' 3/ е Т : /2(/) = /',
У3(и71) = Vp' е X' V/ ' е Т Vy2 = ¥'(р', / ')
Vp е X : /(р) = р' V/ е Т : /,(/) = /'
3У2 = ¥ (P, /): /1(У2) = У2,
У (Ц) = V/ ' е Т' Vy; = ¥ '(/1(р0), / ')
^еТ:/,(/) =^ 3У1 = ¥:-/Ъ^-У1) = y^,
У?4(С^1) = ^ ' е В Ж е В: /1 £ /1(У) = У '
Vp' е X' V/' е Т Vy2 = ¥'(р',/ ')
Уу1 = ¥'(/1(Po), /') VP е х: /1(р) = р'
^ е Т: и(/) =/ ' УУ2 = ¥(p, /): /(у2) = у2 Уу = ¥ (Po, г1): /1( У1) = у'
(< У1, У2>еу —< у~, у2 >е У'),
У (С~1) = У (и )& У2(С~1)& Уз (С~1 )& У4 (и~1) & (и~1).
Итак, принимая во внимание, что в данном случае условия 15 пустые, Я = У (и 1)& У (и 1). Что означают полученные условия? Прежде всего заметим, что все они содержательны. Условия У1 (и1) и У2 (и1) означа-
; 2хх X 2 X' х X'
ют сюръективность функций ф1 £ ф1 : 2 — 2 и
ф1 : X — X', причем второе, как не трудно показать, влечет первое. Формула У2(и1) означает сюръективность функций ф2 : Т — Т'. Условие У1 (и1) может быть
записано в виде / £ /1 (В) с В’ и заведомо обеспечено, если /1 £ /1 (В) = В'. Однотипные условия Уз(и1) и У401) выполнены, если /1 (¥(р,/)) = ¥'(/1 (р),/2(/)),
т.е. если ф сохраняет оператор системы (однопараметрическое семейство преобразований пространства X в себя с параметризацией по /) и ф - сюръекция.
Следуя [5], введем следующее определение. Семейство отображений ф = {фх | Ах — А X, X = 1,к } назовем гомоморфизмом ОМАСК А и А', если
1) (ф)Х2р[Л](¥р (г)) = ¥ ((фУ^^ОО) (Р = 1, к„, г е ЗДЛ]);
т [А] ____
2) (ф)^ \Ру) с Ру'(у = 1, кр);
3) (ф)и5[А](Е5 ) = е'ъ (5=Т7кЕ).
Таким образом, условия У1 (и1), У4 (и 1) обеспечиваются требованием того, чтобы ф являлось гомоморфизмом систем ¥ и ¥ ' . Итак, может быть сформулирована:
Теорема 1. Если р'0 = ф1(р0) и ф1: X —X, ф2: Т —Т -сюръекции, обеспечивающие условие У2 (и 1), то при гомоморфизме ф = (ф1, ф2) системы ¥ в систему ¥' из
устойчивости движения р(р0, Ґ) системы р следует устойчивость движения р' (р0, Ґ') системы р.
Эта теорема является аналогом в части достаточности теоремы, полученной в [5] для данного свойства общей динамической системы с помощью так называемого метода представимости.
Те же самые условия можно получить и при других параметрах разбиения формулы Я1. Например, при том же выборе Е5, но, положив ДА = Р, в качестве
V1 получим приведенное выше условие V2 (V1), при этом V1(V1) сформируется как условие І1, а V2(V1) получится как одно из условий типа V(V1). Однако в зависимости от выбора кванторов 1т и параметров Е5, Дт, ДА (последние могут изменяться от Рі до Р/) возможно и значительное варьирование получаемых условий. Например, отказавшись от инвертирования смысла кванторов по переменным у1 и у2 и сохранив
условие / * /1 (В) с В', получим ослабленное условие типа гомоморфизма, т.е. обобщение указанной теоремы.
Формирование для рассматриваемого свойства различных условий открывает возможность получения разнообразных теорем о переносимости. Интересным представляется вопрос о выделении классов свойств, для которых могут быть получены однотипные теоремы. Очевидно, что такие классы будут значительно разнообразнее, чем упомянутые выше классы позитивных формул или формул метода представимости.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю академику РАН С.Н. Васильеву за постановку задачи и внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Артамонов В.А., Ященко В.В. Многоосновные алгебры в системах открытого шифрования // Успехи математических наук. 1994. T. 49, № 4.
C. 149-150.
2. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. 455 с.
3. Васильев С.Н. Метод редукции и качественный анализ динамических систем. I-II // Изв. РАН, ТиСУ. 2006. № 1; 2.
4. Васильев С.Н. Синтез теорем с ВФЛ в математической теории систем: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Иркутск: СО РАН СССР, 1985.
5. Васильев С.Н. Сохранение некоторых динамических свойств при морфизмах / Проблемы устойчивости движения, аналитической механики
и управления движением. Новосибирск: Наука, 1979.
6. Мальцев А.И. Модельные соответствия // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23, № 3. С. 313-336.
7. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем. I-II // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, № 9; 1975. T. 11, № 3.
8. Нагул Н.В. Алгоритмизация получения критериев устойчивости свойств многоосновных алгебраических систем при отображениях типа
морфизмов. I // Оптимизация, управление, интеллект. 2005. № 11.
9. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев: РИО АН МССР, 1970. 221 с.
10. Шапошников И.Г. О конгруэнциях конечных многоосновных универсальных алгебр // Дискретная математика. 1999. Т. 11, № 3. C. 48-62.
11. Higgins P.J. Algebras with a sheme of operators // Math. Nachrichten. 1963. № 27. P. 115-132.
12. Feferman S. Applications of many-sorted interpolation theorems. Proceedings of the Tarski symposium (L. Henkin et al., editors), AMS Proceedings
of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, 1974. Vol. XXV. Р. 205-223.
13. Otto M. An interpolation theorem // The Bulletin of Symbolic Logic. 2000. Vol. 6, № 4. Dec. P. 447-462.
14. RossmanBenjamin. Existential Positive Types and Preservation Homomorphisms. IEEE Symp. Logic // Comput. Sci. 2005. P. 467^76.
15. Vassilyev S.N. Machine Synthesis of Mathematical Theorems // J. of Logic Programming. 1990. Vol. 9, № 2, 3. P. 235-266.
Статья представлена кафедрой теоретической информатики факультета информатики, поступила в научную редакцию «Информатика» 6 июня 2006 г.
