CC BY
1
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2022. № 2. С. 30-33
УДК 517.967.23
Лопес Перес А.1
О СОХРАНЕНИИ МЕРЫ И ЭРГОДИЧНОСТИ 1-ЛИПШИЦЕВЫХ ФУНКЦИЙ НА КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ 3-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ В ТЕРМИНАХ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ
Даются необходимые и достаточные условия, при которых 1-дапшщева функция / (ж) сохраняет меру Хаара на кольце целых 3-адаческих чисел Ъ3, и сверх того даются необходимые и достаточные условия, при которых /(ж) является эргодической на Ъ3.
1
Хаара, эргодическая функция.
1. Введение. Скажем, что функция /(ж) на кольце целых р-адических чисел Ър, принимающая значения из этого кольца, есть 1-лиишицева функция, когда /(ж) удовлетворяет условию Липшица с коэффициентом 1, т.е. когда /(ж) удовлетворяет неравенству: |/(а) — /(Ь)|р ^ |а — Ь|р для всех а, Ь € Ър, где р — простое число и |-|р — р-адическая абсолютная величина р-адического числа.
По определению 3.37 из [1], функция треугольного вида от п переменных (относительно р-значной логики) является отображением
Ф: (а0, а}, 4,...) — (Ф0(а0), ф1(а0, а}), Ф^, а}, а2),...),
где а]" € В™ является п-мерным вектор-столбцом, Вр = {0,1,...,р — 1} и Ф]: (В™)г+1 — В^ отображает п-мерные векторы а0, а},..., а] в один т-мерный вектор Ф] а},..., € В™ ■ В частности, одномерная треугольная функция /: Ър — Ър является преобразованием
/: (Хо, Хь Х2,...) — (^о(Хо), ^(Хо, X}), ^(Хо, Хь Х2),...),
где Хг € {0,1,... ,р — 1} и каждая ^¿(Хо,Х!,...,Хг) € {0,1,... ,р — 1} является функцией от переменных Хо, X},..., Хг р-значной логики, т.е.
(те \ те
Хдг ■ рч = ^ ^(Хо,Хь... ,Хг) ■ рг, г = 0, 1, 2,... , (1)
г=о ) г=о
где Хг = дг(ж) € {0,1,... ,р—1}, и ^¿(Хо, Хь ..., Хг) = дг (/(ж)) € {0,1,... ,р—1} является функцией рзначной логики от г+1 переменных в {0,1,... ,р—1} = (р) = Ър/рЪр = Ъ/рЪ. Функция дг (Ър)
есть значение г-го разряда в каноническом р-адическом представлении р-адического числа. При/
функций. Если контекст ясен, то просто будем использовать обозначение = ^г(хо,Хъ ..., Хг)-
р
ческой теории, поскольку они нашли применение в криптографии: например, они используются для построения псевдослучайных генераторов с помощью Т-функций. Т-функции — это функции
р = 2
терпя биективности/транзитивности теории булевых функций треугольного вида. Этот результат принадлежит к математическому фольклору. В этой теореме даются необходимые и достаточные
1 Факультет ВМК МГУ, асп., е-таП: alopezpl990Qgmail.com
условия, при которых функция на Z2 в виде (1) является биективной, и кроме того, f (ж) является эргодической на Z2• Целью данной работы является получение аналогичного критерия для p = 3. Также мотивацией для исследования послужил тот факт, что в [2] не говорится о явной форме, которую должна иметь каждая координатная функция, за исключением нескольких конкретных примеров. В целом, это не простой вопрос, и ответ на него зависит от конкретного кольца Zp, в котором осуществляются операции.
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть 1-липшицева, функция, f: Z3 ^ Z3 представлена в терминах координатных функций в виде
(<х \ те
EXi ■ 34 ^¿(Xo,Xi,...,Xi) ■ 3i, i = 0,1, 2,..., (2)
i=o J i=0
где Xi = ^i(ж) € {0,1, 2} и ^(Xo, Xi, • • •, Xi) = ^ (f (ж)) € {0,1, 2} является функцией 3-значной логики от, i + 1 переменных в {0,1, 2} = GF(3). Функция (2) сохраняет, меру Хаара тогда и только тогда, когда каждая i-я координатная функция ^(Xo, Xi, • • •, Xi) имеет следующую форму:
■0i(Xo, Xi, • • •, Xi) = ^i,o(Xo, Xi, • • •, Xi-i) ®3 ^i,i(Xo, Xi, • • •, Xi-i) ©3 Xi (3)
для любого фиксированного Xi-i = (Xo, Xi, • • •, X^i); г<^е ®з — сложение no модулю 3, ©3 — умножение no модулю 3 и ^i>o, — функцuu 3-значной логики, заданные на GF(3)i и принимающие значения в GF(3), причем ^i,i(Xo, Xi, • • •, Xi-i) = 0 для всex Xo, Xi, • • •, Xi-i-
Сверх того, функц ия (2) эргодична тогда и толь ко тогда, когда в (3) ^i,i(Xo,Xi, • • •, Xi-i) = 1
:
1) ^o = Xo Фз 1,^i = Xi ®3 ^i,o(Xo,Xi, • • • ,Xi-i) для вс ex i ^ 1 и (Xo,Xi, • • • ,Xi-i) имеет a = 1;
2) ^o = Xo Фз 2,^i = Xi Фз ^i,o(Xo,Xi, • • • ,Xi-i) для вс ex i ^ 1 и (Xo,Xi, • • • ,Xi-i) имеет a = 2, где a — сумм,a, no модулю 3 всех ненулевых значений функций ^i>o от i переменных во всех точках из GF(3)i.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, мы должны дать некоторые дополнительные определения и напомнить известные результаты.
2. Дополнительные факты и доказательство теоремы.
Определение 1 [3, определение 1.1]. Пусть S и Т — пространства с мерами ^ и т соответственно, f: S ^ Т — измеримая функция (т.е. каждое f-i(U) ^-измеримо при т-измеримом U С Т). Функцию f назовем пропорционадьной, если для любых двух ^-измеримых множеств U, V С T выполняется ^ (f-i(U)) = ^ (f-i(V)) как только т (U) = т (V). Если т — вероятностные меры (например, меры Хаара, нормированные так, что ^(S) = 1, т(T) = 1), то пропорциональная функция называется равновероятной. В случае, когда S = Т и ^ = т, f сохраняет меру, если ^ (f-i(U)) = ^(U) для каждого измеримого подмножества U. Наконец, если f сохраняет меру и f-i(U) = U влечет либо ^(U) = 0, либо ^(U) = 1 для каждого ^-измеримого U, то f
Если в приведенном выше определении мы возьмем S = Т = Z3 и ^ = т = ^3 (нормированная мера Хаара на Z3), тогда по предложению 4.28 из [1] 1-липшицева фун кция f: Z3 ^ Z3, сохраняет меру Хаара ^3 тогда и только тогда, когда она является биективной на Z3, т.е. тогда и только тогда, когда f (ж) (mod 3k) = fk: Z/3kZ ^ Z/3kZ является биективной на каждом кольце вычетов Z/3k Z для всех k = 1, 2,.... Эквивалентно, 1-липшицева функция f : Z3 ^ Z3 сохраняет меру Хаара на Z3 тогда и только тогда, когда fk: Z/3kZ ^ Z/3kZ является перестановкой на каждом кольце вычетов Z/3kZ для всех k = 1, 2,....
Определение 2. Биективная 1-липшицева фун кция f: Zp ^ Zp называется транзитивной по модулю pk, если множество {ж, f (ж), f2(ж),..., fpk-1(ж)}, где fj(ж) = f (f j-i(x)), состоит ровно из pk различных вычетов по модулю pk. Другими словами, fp (ж) = ж (mod pk), но fr(ж) = ж (mod pk) для вс ex r < pk.
32
Лопес Перес А.
В утверждении 4.35 из [1] доказано, что 1-липшицева функция, которая сохраняет меру Хаара, является эргодической тогда и только тогда, когда она транзитивна по модулю рк для каждого положительного целого числа к.
Принимая во внимание все вышесказанное, сначала докажем сохранение меры Хаара функцией /(ж) в форме (2) с фг(хо, Х1,..., Хг) в форме (3). Как уже наблюдалось выше, это эквивалентно доказательству ее биективности. Далее докажем ее эргодичность. Для того, чтобы сделать обозначение проще, в этом случае будем писать вместо Фз знак + и вместо 0э просто его отсутствие.
Доказательство. Чтобы функция (1), где фг представлены в виде (3), сохраняла меру Хаара, то по теореме 3.1 из [2], необходимо и достаточно доказать, что фо биективна (т. е. является перестановкой) в (3) и, что каждая функция фг(Хо,Х1, • • •, Хг) также биективна в (3) для любого г ^ 1 и для любого фиксированного Хг-1 = (Хо, Хъ • • • > Хг-0- Из [2] используем только этот факт, который очевиден из определений 1 и 2.
Поскольку г3 = г для любого г из ОР(3), то для фиксированного Хг-1 = (ХсьХъ • • •, Хг— 1), любая фг(Х0,Х1, • • • ,Хг) из (3)г+1 в (3) может быть переписана единственным образом как
^г(Хг-ЪХг) = ФгД) (Хг-1) + ХгФгД (Хг-1) + Хг%2 (Хг-1),
(4)
где фг,0,фг,1 И фг,2 — фуНКЦИИ ИЗ (3)г В (3), КОТОрые те зависят ОТ Хг-
Предположим, что фг(хо, Х1, • • •, Хг) в (3) является биективной (т. е. перестановкой) в (3) ДЛЯ любого фиксированного Хг-1 = (Х0,ХЪ • • • , Хг—1)5 т-6- если Хг Ф 7г> т0 ^гСХг—15 Хг) Ф Фг(Хг- 1>7г)) и докажем, что в (4) Х^Фг,2(Хг-1) = 0 тождественно для всех Хг-1-
Так как все элементы из С^(3)\{0} можно написать как 2-7 с ] = 1, 2, то фг(Хг-ъ 0) = фг,о(Хг-1) и можно переписать (4) как
Фг(Хг—1) 2"') = Фг;0(Хг-1) + ^ФгЛХг-х) + (^Фг^Хг-х) =
Фг, 0(Хг-1) + Е(2')га^и^"1)
га=1
где ] = 1, 2. Пусть
сЫХг-1) = Т.^ТФгЛЪ-1)=Фг{Хг-1^)~Фг,0{Хг-1)
(5)
га=1
Тогда получим следующую систему:
¿ЫХг-1) = 2фгД (Хг— 1) + ^ФгАХ^г), (1г,2 (Хг— 1) = 22фг,1(Хг-1) + (22)2фг,2(Хг-1)-
Иначе говоря,
Из (6) следует, что
2 22 22 24
фг,1
фг,2
<к,1 йг,2
(6)
фг,1
фг,2
1 2 \ /4,1 -1 -V \йг,2
(7)
где
1
2 22 22 24
-1 -1
Заметим, что фг(Хг-ъХг) является биективной (т. е. перестановкой) в СР{3) тогда и только тогда, когда
{МХг-1),МХг-1)1 = С^(3) \ {0}.
(8)
2
Также ipi является биективной тогда и только тогда, когда из ^¿(Хг-ъ Хг) = ^г(Хг-ъ7г) сле~ дует, что Хг = 7г Для всех Хг-ъ Xi) или, что эквивалентно, когда для j = 1,2 имеет место
ШХг-1,0),^(Хг-1,2^)} = GF( 3). (9)
Для выполнения (9) необходимо и достаточно, чтобы в (8) было справедливо di,i = di,2 = 0, а исходя из (7) так и есть. Заметим, что в (7) все элементы в последней строке тождественно равны —1 а также из (7) получим, что
Фг,2 = ~di,l(Xi-1) - сЫХг-l),
откуда следует, что xfV^ÎXi-1) = 0 Для всех Хг-i-
Теперь посмотрим с другой стороны. Если в условиях теоремы ^i(xo,xi, • • • , Xi) имеет форму (3), значит
Фг(Ъ~ъХг) = tpi,o(Xi-l) + XitpiAXi-l)-Тогда из (5) следует, что для таких функций справедливо
diAxi-1) =4)iAxi-i)-,(h2{xi-i) = -4>i,i{Xi~i)-
Но, поскольку (Хг— i) Ф 0) т0 имеет место неравенство
(k,i{Xi-i) Ф diAXi-i) Ф 0
и из него следует, что ipi(j(i-ъХг) является перестановкой (т. е. биективной) в GF(3). Здесь завершается первая часть доказательства, связанная с биективностью (т.е. с сохранением меры
Теперь рассмотрим вторую часть теоремы, касающуюся эргодичности. Так как f (x) является транзитивной по модулю 3 тогда и только тогда, когда
¿о (f (x)) = ^o(Xo) = Xo Фэ ao, ao G {1,2}, то в (3) ^lCXo^b • • • ,Xi-i) = 1 и
¿i (f (x)) = Xi Фэ Si (f (xo + 3xi + 32X2 + • • • + 3i-iXi-i)) = ^i(xo, Xi, • • •, Xi) =
= Xi Фэ ^i(xo, Xi, • • •, Xi-i), i ^ L
Теперь предположим, что f (x) является транзитивной по модулю 3k+i. Тогда f (x) является транзитивной по модулю 3-7 для всех j = 1, 2, • • • , k и
Si f(xo + 3xi + 32X2 + •••)) = ( Xi' f<k' v J [Xi Фэ а, i = k
Таким образом, транзитивность f (x) означает, что либо а = 1, либо а = 2, если соответственно либо ao = 1, либо ao = 2, где а есть сложение по модулю 3 всех значений функций ■0fc,o(Xo, Xi, • • •, Xfc-0 от k переменных из GF(3)k. Другими словами, а — это вес по модулю 3 функций ^fc,o(Xo,Xi, • • • îXfc^) от k переменных, пробегающих GF(3).
а=0
поскольку из него следует сравнение f3 (x) = x (mod 3k+i).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Anashin V., Khrennikov A. Applied Algebraic Dynamics. De Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 49. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 2009.
2. Khrennikov A., Yuro va E. Criteria of ergodicity for p-adic dynamical systems in terms of coordinate functions // Chaos, Solitons and Fractals. 2014. 60. P. 11-30.
3. АнашинВ.С. Равномерно распределенные последовательности целых p-адических чисел / / Матем. заметки. 1994. 55. № 2. С. 3-46.
Поступила в редакцию 28.01.22 Одобрена после рецензирования 21.03.22 Принята к публикации 21.03.22
