О собственных колебаниях круглой плиты с утонченной центральной областью Текст научной статьи по специальности «Физика»

О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ С УТОНЧЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТЬЮ

А.Г. ХАКИМОВ, канд.физ.-мат. наук, вед. научный сотрудник Институт механики Уфимского научного центра РАН 450054, Россия, г. Уфа, пр. Октября, 71, hakimov@anrb.ru

По двум собственным частотам изгибных колебаний определяются радиус и толщина утонченной центральной области пластины.

Ключевые слова: пластина, собственные частоты, изгибные колебания, утонченная центральная область, радиус, толщина

Введение. Устройства, содержащие круглые пластины, широко применяются в технике. Диагностика пластины по собственным частотам изгибных колебаний является актуальной задачей. Наиболее распространенным элементом строительных конструкций является плита, защемленная по контуру, поэтому здесь рассматривается задача определения параметров плиты с утонченной центральной областью по собственным частотам свободных изгибных колебаний. Колебания круглых пластин переменной толщины рассматриваются в [1]. Распознавание закрепления кольцевой круговой пластины по собственным частотам ее колебаний рассматривается в [2]. По трем собственным частотам изгибных колебаний балки на шарнирных опорах [3] определяются координата надреза, его глубина и длина.

Постановка задачи. Рассматриваются изгибные колебания круглой плиты с жестким защемлением по контуру. Предполагается, что в плите имеется центральный круговой участок с меньшей толщиной (рис. 1). Этот центральный круговой участок моделирует ее повреждение. Задача состоит в определении радиуса и толщины утонченной центральной области плиты по двум низшим частотам ее изгибных колебаний.

2R

Я*

2л

Рис. 1

Обозначим через R, Н радиус и толщину плиты, л, h - радиус и толщину центрального кругового участка плиты, D, р - цилиндрическая жесткость плиты толщиной Н, плотность, через м> - прогиб плиты.

Уравнение, определяющее форму осесимметричных изгибных колебаний пластины постоянной толщины, имеет вид [4]

д4м 2 дъw 1 д2м 1 дм . *4 „ . *4 рНш2 , ч —т +---3---т'—т + т---^ м = 0, ^ =-, (1)

дг4 г дгъ г2 дг2 г3 дг D

где ю - частота. Отсчитывая координату г от центра пластины, запишем граничные условия для защемленной пластины

м = 0, = 0 (г = Я). (2)

дг

Обозначая функции в областях 0<г<л, л<г<Я индексами «1», «2», соответственно, запишем условия стыкования решений при г=л (условия равенства перемещений, углов поворота, изгибающих моментов М, перерезывающих сил О)

к

Wl = ^

^ ф,М,= М2,а= Q2 (г = в).

дг дг

(3)

Пользуясь в дальнейшем обозначениями

г а w

с =—, сс =—, w = —, я я я

представим (2), (3) в виде

дw,

w2 = 0,—^ = 0 (£ = 1),w1 = w2,

дж , 3 д2^^

2 1 - 2

= Н3

д2 w,

^ = Н' ^ (5 = 5с).

(4)

Прогиб пластины на двух участках представляется в виде [5]

Wl = ОД (тХС) + С2/0 (тХС), W2 = С3^ (ХС) + С4/0 (ХС) + С570 (ХС) + С6К0 (ХС),

рЯ4 Ню2 D

Х—ЯХ , Х =

, т = , —

/Н'

где использованы стандартные обозначения цилиндрических функций. Условия (4) в развернутом виде записываются

Сз Jo (Х) + С410 (Х) + С570 (Х) + СбК0 (Х) = 0,

Сз Jl (Х) - С41 (Х) + С5УХ (Х) + СбК1 (Х) = 0,

С1J0 (тХ^с ) + С210 ( тХ^с ) =

= Сз Jo (Х£, с) + С410 (Х£, с) + С5 70 (Х£, с) + Сб К0 (Х£, с),

-ClmJ1 (тЦс ) + С2т11 (тХ^с ) =

= -Сз Jl (Х£, с) + С411 (Х£, с) - С511 (Х£, с) - Сб К (Х£, с),

-С1

0 ( тХ^с )-

= т \ -С,

+т4 < -С.

Л (ХС с )-70 ( ХС с )-

Jl ( тХ^с)

тХ4 .

Jl (ХС с )

+ С

10 ( тХ^с )-

ХС с

( Х£, с)'

ХС с

+ С

+ С

10 (ХС с )-

К0 ( Ц с ) +

11 ( тХ^ с)

тХ^с . 11 ( Х^ с )"

Х^с _ К1 (Цс)

ХС с

• +

-С

- Jl ( тХСс) +

J (тХС )-Jl (тХ^с) Jl ( тХСс) Л ( ^с) --

тХ^ с

222 т Х с2

тХ^ с

+

+С

11 ( тХ^ с) +

I (тХС )-11 (тЦс) 11 ( тХС с) 1 ( ^с) тХС с

222 т Х с,

тХ^ с

2

2

с

= -т С

- Jl (тХ,с) +

J (ткЪ )-^ (тЦс) J1 (тХ, с) -0 (тЧс) тХ,с

т2Х2, 2

тЦ с

+

+т Сл

¡1 ( тХ, с) +

I (т\Ъ )-¡1 (тЦс) ¡1 ( тХ, с) 1 ( с) тХ, с

'1 у"/>л-:>с,, 2л 2^2 т Х .2

тЦ с

-т3С

-11 (тХ, с) +

Y (тХ, ) 7 (тХ,с)

(тЦс) 70(тХ,с)-

т2Х2, 2

тХ. с

+

-т С

К ( тХ, с) +

К

(с), К» (тХ.с) + ^

2л 2у2 т Х .2

тХ. с

Таким образом, в приведенной простейшей модели повреждения фигурируют радиус и параметр т для утонченной центральной области пластины.

Для того, чтобы С1, С2, С3, С4, С5, С6 не были равны нулю одновременно, необходимо, чтобы определитель основной матрицы был равен нулю. Это условие дает частотное уравнение, которое здесь не приводится из-за его громоздкости. Из частотного уравнения видно, что по двум собственным частотам можно определить радиус и параметр т для утонченной центральной области пластины. Расчеты проведены для следующих параметров плиты: Е=3.0-1010 Н/м2, р=2500 кг/м3, R=3 м, Н=15 см, й=12.4 см, а=1.5 м. При этом вычисленные значения первой и второй собственных частот плиты без утончения /1=27.8448

Рис. 2.

Прямая задача. Решение прямой задачи для плиты с вышеприведенными параметрами дает, что / = 26.6905 Гц, = 100.4403 Гц. На рис. 2 даются зависимости первой (фрагмент а) и второй (фрагмент б) собственных частот из-гибных колебаний плиты от параметра т и £,с=0.3, 0.5, 0.7 (кривые 1-3, соответственно). Из рис. 2 видно, что с увеличением параметра т происходит уменьшение собственных частот изгибных колебаний плиты.

а б

Рис. 3.

Обратная задача. Решение обратной задачи для плиты с вышеприведенными параметрами для /¡=26 Гц, /2=100 Гц дает, что параметр m= 1.1378, радиус £с= 0.4532. На рис. 3 приводятся зависимости от первой частоты изгибных колебаний /1 радиуса ^ (фрагмент а) и параметра m (фрагмент б) для различных частот изгибных колебаний /2: 100 Гц - кривая 1; 101 Гц - кривая 2; 102 Гц -кривая 3. Проведенные исследования показывают, что по двум низшим частотам изгибных осесимметричных колебаний плиты можно определить ^ и параметр m для утонченной центральной ее области.

Результаты работы могут быть применены для диагностики круглых пластин, в частности, круглых плит.

Л и т е р а т у р а

1. Коренева Е.Б. Колебания круглых пластин переменной толщины // Сб. «Вопросы прикладной математики и вычислительной механики», 2005, №8, М.: МГСУ. - С. 168171.

2. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. - М.: Физ-матлит, 2009. - 272 с.

3. Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений балки на шарнирных опорах // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2010. - № 2. - С. 42-48.

4. Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. - М.; Л.: Гостехиздат, 1940.

5. Гонткевич В.С. Собственные колебания пластин и оболочек. - Киев: Наукова думка, 1964. - 288 с.

ON THE NATURAL VIBRATIONS OF THE PLATE THINNED CENTRAL PART

Khakimov A.G.

Using two natural lateral axisymmetric flexural vibration frequencies, we can determine both radius and thickness of the plate thinned central part.

Keywords: plate, natural frequencies, flexural vibrations, thinned central part, radius, thickness