О случайных нечетких отношениях эквивалентности и толерантности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.765

М.А. Львова

О случайных нечетких отношениях

эквивалентности и толерантности

М.A. Lvova

About Equivalence and Tolerance Stochastic Fuzzy Relations

В статье рассматриваются нечеткие отношения толерантности, их транзитивное замыкание, вероятностные свойства транзитивного замыкания.

Ключевые слова: нечеткие отношения, толерантность, эквивалентность.

При социологических или экономических исследованиях часто возникает задача классификации объектов. В настоящее время в подобных задачах успешно используются методы и понятия нечеткой теории множеств [1, 2]. Одно из ключевых понятий теории нечетких множеств

- нечеткое отношение толерантности. В данной работе обсуждаются проблемы, связанные с транзитивным замыканием нечеткого отношения толерантности, и возникающих статистических закономерностей.

Определение 1. Нечетким толерантным отношением на X называется функция 6 : X х X ^ [0,1], обладающая свойствами:

1. 6(х,у) = 6(у,х)]

2. х = у 6(х, у) = 1.

6 х, у

сходства объектов х,у € X, величина г(х,у) = 1 — 6(х, у) - соответственно как мера несходства объектов.

Определение 2. Нечеткое толерантное отношение на X называется нечетким отношением эквивалентности, если дополнительно выполняется аксиома транзитивности:

3. 6(х, у) > шш {6(х, у), 6(у, г)} Ух, у, г € X.

Определение 3. Транзитивным замыка-

6

множестве X называется наименьшее нечеткое отношение эквивалентности 6 такое, что 6 Э 6, т.е.

The paper considers fuzzy tolerance relations, their transitive closure and probability properties of transitive closure.

Key words: fuzzy relations, tolerance, equivalence.

2. 6 - нечеткое отношение эквивалентности;

3. если 61 (х, у) обладает свойствами 1 и 2, то 6г(х,у) > 0(х,у) Ух, у € X.

Для произвольного множества X имеется стандартная процедура построения транзитивного замыкания, именно:

6 = 6 и 62 и 63 и . . . ,

где отношение 6к = 6 о ... о 6 получено из отношения 6 ^-кратной тахтш композицией. Композиция тахтш определяется формулой:

61 о 62 (х, у) = тахтш {61 (х, г), 62 (г, у)} .

г

6

отношение на конечном множестве X, содержащем N элементов, то 1. в = 6М-1;

2. функция 6 : X х X ^ [0,1] принимает не более N — 1 различных значений, отличных от 1, это число обозначается ц (6),

Я И6Т < N — 1.

Доказательство. Первое утверждение хорошо известно. Докажем второе.

Покажем, что для любых х,у, г € X хотя бы

6

6 6 х, у

6 у, г 6 г, х

Пусть, для определенности

1. 6(х,у) > 6(х,у) Ух, у € X; 6(х,у) > 6 (у, г) > 6(г,х).

*Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-98001), а также ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. №02.740.11.0457).

6

эквивалентности, то оно удовлетворяет свойствам симметричности и транзитивности, и поэтому имеем:

6 г, х 6 х, г

6 х, г > 6 х, у , 6 у, г

Согласно допущению 6 (у, г) < 6(х,у). По-6 х, у , 6 у, г 6 у, г 6 г, х > 6 у, г

6 г, х < 6 у, г .

6 г, х 6 у, г

Следовательно, при N = 3 утверждение теоремы верно. Пусть теорема верна для всех N < К. Покажем, что тогда она верна и для N = K+^.

Выберем произвольный элемент х0 € X и рассмотрим сужение К нечеткой эквивалентности К с областью определения (X\{хо}) х (X\{хо}). Число различных, отличных от 1, значений функции принадлежности не больше К — 1 (по предположению индукции). Пусть существует щ € (X\{хо}) такой, что 6(х0,х1)

К—

гда, по лемме, для любого у € (X\{хо}) или 6 х, у) = 6 х, х1), или 6 х, у) = 6 (у, хг). Следовательно, число различных, отличных от 1,

6

К

Пусть 6 (тг, т- нечеткое отношение эквивалентности, заданное на 3-элементном множестве М = {т, т2,тз}. При этом 6 (т, т-2) = т, 6(т1, т3) = щ, 6(т2, т3) = щ - случайные величины с совместной функцией распределения От,П2,Пг (х,у,г), принимающие значения ,

Обозначим через От,П2 (х,у) совместную функцию распределения случайных величин щ, п-2', @т,пз (х,г) - совместную функ-

цию распределения случайных величин щ, пз! 0п2,пг (у, г) - совместную функцию распределения случайных величин П2, Пз! (х) - функция

распределения случайной величины П1! &п2 (у)

- функция распределения случайной величины П2; (г) - функция распределения случайной

п

Теорема 2. Справедливо соотношение:

^гп,п2,пз (х, у, г) =

,П2 (х, у) пз (х, г) (х), х < у, г,

Ст,П2 (х,у) + Оп2,ш (у,г) — Оп2 (у^ у < г,x, °т,пз (х,г) + °п2,т (у,г) — г < У, х.

Доказательство. В силу транзитивности справедливы неравенства; щ (пьПз)> Пз >

шш (т,т)- Рассмотрим три случая.

I. При x < y, x < z. Событие (щ < x) С (тш(п2,пз) < x), так как по определению нечеткого отношения щ ^in П, щ) (транзитивность). В свою очередь

(min П, щ) <x) = П <x) U П < x). x < y, x < z

п <x)U (пз <x) С (т < у) U (пз < z).

Таким образом,

п <x) С П <y) U П < z),

следовательно, события

((щ <x) U п <y) U п < z))

и П < y) U П < z) совпадают, и их вероятности равны:

Him <x) u п <y) u П < z)) =

= Him <y) и п < z)).

С другой стороны, вероятность объединения

п < x U п < y U п < z

Him <x) и п <y) и п < z)) =

= Hm < x) + Hm <y) + Hm < z) -

- Him < x) n п < у)) -Him < x) n п < z))-

- Him <y) n п < z))+

+ Him <x) n п <y) n п < z))

п < y U

п < z

Him <y) и п < z)) = Hm < y)+

+ Hm < z) - Him <y) n п < z)).

Приравняв правые части двух предыдущих выражений и произведя простейшие преобразования, получим:

Нт <x) - Him <x) n п < у))-- Him <x) n п < z))+

+ Him <x) n п < y) n п < z)) = о

ИЛИ

(x,y,z)

= Gn n ix,y) + Gn n (x, z) - Gm (x). y < z, y < x

(x,y, z) =

= G4ln (x,y) + Gri2,ri3 (y, z) - Gm (y).

III. При г < у, г < х.

0т,п2,пз (х,у, г) =

= ОШ,Пз ^, г) + ОП2,Пз (у г) — ОПз (г)'

Собрав все три случая в одно соотношение, получим искомое утверждение. Теорема 2 доказана.

Введем обозначения, которые будут использоваться во всех последующих теоремах: 6(тг,т^) - нечеткое отношение толерант-

ности, заданное на 3-элементном множестве М = {т1,т2,т3}. Пусть 6(т1,т2) = &,

6 (т, тз) = &> 6 (т2, т3) = йз - случайные величины с совместной функцией распределения ^1,£2,£з (х,у,г), принимающие значения на от,

Соответственно Р^,^ (х,у), Р^,ь (х,г),

Рь,ь (у, г) — совместные функции распределения пар случайных величин ^,^, £ь£з, $2,£з-66 д{тг,т2) = щ, 6(т1,т3) = щ, 0(т2,т3) = Щ-Обозначим через ОП1,П2,Пз (х, у, г) совместную функцию распределения щ, щ, пз-

Соответственно От,П2 (х,у), От,Па (х,г),

ОП2,Па (у, г) - совместные функции распределения пар случайных величин щ, щ, Щ,Щ, П2, Пз; Функции Ощ (х), Сп2 (у), Спг (г) - функции рас-

ппп

Теорема 3. Справедливо равенство:

ОГП ,П2,Пз (х, у, г) =

’ Р€1,Ь,Ь (х x, г) + Р£г,Ь,Ь х y, х) —

—Щ\,£2,£з (х, х, х), х < у, х < г,

_ < Р>1, £з (х, у, у) Р>1, £2, £з (у, у, г) —

—^, y, у),у < г,у < х

Р>\ Л2Л3 г, г Р>\,>2,>3 ^, y, г)—

, (г,г,г), г < У, г < х-

Доказательство. По теореме 1;

щ = тах(£ьтт(£2,£з)),

щ = тах(£2,ттй,йз)),

щ = тах^тшй,^)).

Рассмотрим события:

А = (т < х) = (тахй, тт(£2, £3)) < х) =

= (й < х) Л й < х V £3 < х)),

В = (т < у = (тах(£2, ттй,£3)) < у) =

= аь <у) л (й <уv ь < у)^

С = (пз < г) = (тах(£з, тт(£ь£2)) < г) =

= (й < г) Л й < г V £2 < г)).

Найдем вероятность произведения событий Р(А П В П С) = Ош,п2,пз (х, у, г)-

х < у < г

0т,п2,пз (х, у, г) =

= Рй < х, Ь <у, Ь < г, й <х V £3 <х)) =

= Рй < х, $2 <х, йз < х)+

+ Рй < x, 6 <х^ х <Ь < г) +

Р й < х, х < й < у, й < х

_ Р%1, ?2, ?3 (х, х, х) + Р>1,>2,>3 (х, х, г) —

— Р€иЬ,Ь х х х) + Р>1,Ь,Ь (х y, х) —

— Р^иЬАз (х x, х) = Р^1,Ь,Ь (х x, г)+

Р?1 > ?2, £з (х, у, х) — Р>1, ?2, £з (х, х, х).

Аналогичными выкладками получим:

При у < г < х: От,п2,пз (х,у,г) =

= Рй < х, $2 <у, Ь < г, й <у V $3 < у)) = ~ (х, у, у) Р>1,£2,£з (у, у, г) —

— (у, у, у).

При г < х < у От,п2,пз (х,у,г) =

= Р(^ < х, $2 <у, Ь < г, й < г V ^ < г)) = _ ^, г, г) ^, y, г —

— (г, г, г).

При г < у < х От,п2,пз (х,у,г) =

= Р(^ < х, £2 <у, Ь < г, (^ < г V ^ < г)) =

_ (x, г, г) “I- Р^.,^,^ ^, ^, г)—

— Р>1,£2,£з (г, г, г).

При у < х < г От,п2,пз (х,у,г) =

= Р(^ < х, £2 <у, Ь < г, й <у V £3 < у)) = ~ Рй1,й2,йз(х, у, у) ^, у, г—

— Р>1,>2,£з (y, у, у).

При х < г < у От,п2,пз (х,у,г) =

= Р(^ < х, £2 <у, Ь < г, й <х V ^ <х)) = ~ Р?11 й (х, х, г) Р?11 й (х, у, х)—

— Р>1,>2,>3 (х, х, х).

Таким образом: ОП1,П2,Пз (х, у, г) =

Р?11 й (х, х, г) Р?11 й (х, у, х)— —Р^,Ь,Ь (х, х, х), х < у, х < г,

_ < Р>1,>2,>3 у, у) Р?1,&,^ ^, у, г) —

—Р^,Ь,Ь (у,у,у,у < г, у < х

Р>1,£2,£з (х, г, г) “I" Р5ъ£2,£з (г, у, г)—

, Р>1,^,^ (г,г,г), г < У, г < х.

Теорема 3 доказана.

Для функций распределения От,П2 (х,у), Ощ,Пз (х,г), Отпз (у, г) пар случайных величин п , п п , п п ,п

Теорема 4. Справедливы равенства:

Следовательно, в силу симметрии получаем:

От,П2 (х,у)

От ,пз (х, г)

ОП2,Пз (у, г)

Р?1>г,>з (х,у, х) Р?1,& (х, х)

—Р£иЬ,Ь при х < у,

Р?1 >2>?3 (х, у, у) Р>1>2 (у,у) —

.—Р>иЬ>з (у,у>^^иу < х.

Р>1 >2,>3 (х,х, г) + Р>1,>3 (х,х) —

—Р>1,Ь,Ь (х,х,х), при х < г,

Р>1 >2,>з (x, г, г) Р>1>з г) —

.—Р>у>2>г при г < х.

Р£1!>2>3 (у, у, г) Р>2>3 (У, у) —

—Р>и>2,Ь(у>у,^^и у < г,

Р>!>2>3 (г, у, г) Р>2>3 (г, г) —

- —Р«ъ«2,«з(г,г,г), при г < у.

-Р>

?Ъ>2

>3 (а

_ Р>1 >2,>3 (х, у, х) Р>1,>2 (х, х)

- Р> ,> ,> х, х, х .

Аналогично находим:

При у < х, имеем: ОП1,П2 (х,у)

Р> ,> ,> х, у, у Р> ,> у, у -

- Р> ,> ,> у, у, у .

От,П2 (х, у)

От ,пз (х, г)

Оп

у, г

Р> ,> ,> х, у, х Р> ,> х, х -

-Р> ,> ,> х, х, х , х < у Р> ,> ,> х, у, у Р> ,> у, у -

.—Р>иЬ>з (у^у^ при у < х.

Р> ,> ,> х, х, г Р> ,> х, х -

-Р> ,> ,> х, х, х , х < г,

Р> ,> ,> х, г, г Р> ,> г, г -

-Р> ,> ,> г, г, г , г < х.

Р> ,> ,> у, у, г Р> ,> у, у -

-Р> ,> ,> у, у, у , у < г,

Р> ,> ,> г, у, г Р> ,> г, г -

-Р> ,> ,> г, г, г , г < у.

Доказательство. По теореме 1;

п й , й , й ,

п й , й , й .

Рассмотрим события:

А = (п < х) = (тахй, тшй, £з)) < х) =

= (й < х) Л й < х V $з < х)),

В п < у й , й , й < у

= аь <у)лй <уvь <у)).

Найдем вероятность произведения событий Р(А П В) = От,п2 (х, у)-

х < у Оп ,п х, у

= Рй < х, £2 < у, й < х V йз <х)) =

= Рй < х, & < х, а < х)+

+ Р(й1 <х,х <С2 < у, Ь < х)+

+ Р(й1 < х, & < х,х < йз) =

_ Р>1 >2,>3 (х, х, х) Р>1>2>3 (х, у,х) —

— Р>!>2>3 (х, х, х) + Р>1 >2 (х, х) —

Теорема 4 доказана.

Теорема 5. Справедливы равенства:

Оп х Р> ,> х, х Р> ,> х, х - Р> ,> ,> х, х, х ,

ОП2 (у) ~ Р>2>з (у, у) + Р>1,& (у,у) — Р>1,>2,>з (у, у, у, ОПЗ (г) _ Р>1,Й (г, г) Р>2>3 (г, г) — Р>1,>2,>3 (г, г, г).

Доказательство. По теореме 1;

п й , й , й .

Рассмотрим событие:

А п < х й , й , й < х

= (й < х) Л й < х V & <х)).

Найдем функцию распределения, т.е. веро-Р А Оп х

Оп х Р й , й , й < х

= Рй < x, (Ь <х v $з <х)) =

Р й < х, й < х, й < х Р й < х, х < й , й < х Р й < х, й < х, х < й Р> ,> ,> х, х, х Р> ,> х, х -

— Р>1>2>з (х,х,х) + Р>1,& (х,х)—

- Р> ,> ,> х, х, х

Р> ,> х, х Р> ,> х, х - Р> ,> ,> х, х, х .

Аналогично найдем две другие функции распределения

ОП2 (у) ~ Р>2>3 (у,у) Р>1,>2 (у,у) — Р>1 >2,>3 (у,у,у). ОПЗ (^) _ Р£1!>3 (г, г) Р>2>3 (г, г) — Р>1,>2,>3 (г, г, г).

Теорема 5 доказана.

Библиографический список

1. Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control. - 1965. - Vol. 8.

2. Batyrshin I.Z., Rudas T., Klimova A. On general scheme of invariant clustering procedures based on fuzzy similarity relation. International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in

Economics and Finance FSSCEF 2004 Proceedings Volume I. - Saint-Petersburg, 2004.

3. Berestovskii V.N. Ultrametric spaces. Proceedings on analysis and geometry. International conference in honor of the 70th birthday of Professor Yu.G. Reshetnyak. - Novosibirsk, 2000.