О сложности вычисления некоторых систем одночленов схемами композиции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

О СЛОЖНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ОДНОЧЛЕНОВ СХЕМАМИ КОМПОЗИЦИИ

Е. Н. Трусевич1

Исследуется задача о сложности вычисления системы одночленов схемами композиции. Под сложностью в такой модели понимается минимальное число операций композиции, достаточное для вычисления системы по переменным. Установлено, что рассматриваемая мера сложности может быть значительно меньше известных мер сложности, соответствующих моделям, допускающим, например, либо только операцию умножения, либо операции умножения и деления, либо операцию умножения с возможностью использования величин, обратных к переменным. Однако это свидетельство значительной "вычислительной силы" изучаемой модели не носит универсальный характер, что подтверждено соответствующим примером. Кроме того, для системы, состоящей из двух одночленов от двух переменных, получено точное значение сложности. Также установлено, что при вычислениях с использованием операции композиции не работают (или работают в недостаточной мере) соображения двойственности.

Ключевые слова: система мономов, схема композиции, схема из функциональных элементов, сложность схемы.

In this paper we study the circuit complexity of monomials set computation. In the model considered here the complexity means the minimal number of composition operations sufficient for calculation of the system by its variables. It is established that the considered complexity-measure can be much less than known complexity measures corresponding to models admitting, for example, either multiplication operation only, or multiplication and division operations, or multiplication operation with possibility to use inverse variables. However, this feature of a significant "computation strength" is not universal, which is confimed by an appropatiate example. Furthermore, for a system containing two monomials of two variables we obtained an exact complexity value. We also established that duality reasons do not work (or work poorly) in calculations with the use of composition operation.

Key words: set of monomials, composition circuit, circuit of functional elements, circuit complexity.

Под мономом (одночленом) над множеством переменных X = {x\,Х2, ■ ■ ■ ,xq}, q ^ 1, будем понимать выражение вида x}1 x}2 ■ ■ ■ xXaq , где ai — целые неотрицательные числа, ^q=i ai > 0.

Следуя А. И. Ширшову [1], введем понятие композиции мономов. Пусть U = x}11 ■ ■ ■ x^1q, V = x}21 ■ ■ ■ Ху24 — произвольные мономы над множеством переменных X и задан моном R = xl1 ■ ■ ■ xrq , где 0 ^ ri ^ min(aii,a2i), 1 ^ i ^ q (отметим, что, в отличие от остальных мономов, для выражения R может быть выполнено условие Ylq=i ri = 0, однако и в этом случае такое выражение будем называть мономом). Композицией мономов U и V относительно монома R называется моном x}11 +a21-r1 ■ ■ ■ xX}1q+a2q Tq, который будем обозначать через (U, V)r.

Последовательность S мономов X-]_,■■■, Xq,Xq+1, ■■■, Xq+n называется схемой композиции для монома Xq+n, если она удовлетворяет условиям:

1) для i = q выполняется равенство Xi = xf,

2) для i = q + + n найдутся s = s(i) и t = t(i), не превосходящие i — 1, а также моном Ri, такие, что Xi = (Xs,Xt)r

Под сложностью lsh(S) схемы композиции S понимается число n.

Схемой композиции для системы мономов A = {xХ11 ■ ■ ■ x^ ,■■■, х"^1 ■ ■ ■ хХХр"1} назовем схему композиции S для некоторого монома из системы A, которая содержит в качестве элементов остальные мономы A

Положим lsh(A) = min lsh(S), где минимум берется по всем схемам композиции для системы A. Величину lsh(A) назовем сложност,ью системы мономов A Система A полностью определяется матрицей A показателей степеней переменных, поэтому можно говорить не только о сложности lsh(A) вычисления системы A, то и о сложност,и lsh(A) матрицы A, задающей эту систему. В дальнейшем не будем различать эти понятия и будем считать, что lsh(A) = lsh(A)■

Трусевич Елена Николаевна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: trusevich.lnQgmail.com.

Величину 13н(А) можно также интерпретировать как минимально возможную сложность (число элементов) схемы из функциональных элементов [2], на входы которой подаются переменные Х1,Х2,... ,Хд, на выходах вычисляются мономы системы Л, а сама схема состоит из двухвходовых элементов, реализующих композицию мономов, подаваемых на входы элемента, относительно произвольного (для каждого элемента схемы своего), удовлетворяющего условиям из определения операции монома К.

Схемы композиции для мономов будем в некоторых случаях представлять как схемы из элементов композиции. Особенно удобна такая интерпретация при доказательстве нижних оценок.

Для матриц размера 1 х я в [3] найдено точное значение сложности

ик1 ...Хадч) = Г1оёа! + Я - 1,

где a = max(ai, ...,aq), a log a здесь и далее озн ачает log2 a.

Сложность системы из двух мономов от двух переменных устанавливает следующая теорема (в несколько более слабой форме это утверждение представлено в [4]).

Для произвольной матрицы A = (aj) размера 2 х 2 положим y(A) = 1, если выполнены одновременно

условия: a2i = 0, ац = 1, 0 < а\2 < Й22 и [log а 12] + log ^ = [log 022] +1, а в остальных случаях положим

y(a) = 0

Теорема 1. Пусть в целочисленной матрице A = (aj) размера, 2 х 2 с неотрицательными элемен-

A a2i

Тогда

lsh(A) = [log a221 +

log max

aii

ai2

(max(a2i, 1)' a22

+ sgn(ai2) + y (A).

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.

Лемма 1. Пусть схема Б0 является схемой композиции для монома ха° уЬо, где а0 Ь0 = 0. Тогда для вычисления монома хауЬ,

где % > То > 1>

Б

тельности Sq не более

log;

а ао

членов, т. е. lsh(S) - lsh(So) ^ log ; S

моном xayb, где a ^ 1 и b ^ 1, в некоторой вершине v0 вычисляется моном xa0ybo, причем a0 ^ a. Тогда для, подсхемы, S0, содержащей только те вершины, от котлрых есть ориентированный путь к вершине

Vq, справедливо неравенет,во lsh(S) — lsh(So) ^ log

тах(аоД)

aii ai2 0 a22

нулевых cm,рок и столбцов. Тогда, справедливо неравенство

+ 1 — sgn(ao bo).

A=

с неотрицательным,и элементами пет,

lsh(A) = [log a22l +

log max aii

«12 «22

+ sgn(ai2) + y(A).

Доказательство теоремы 1. Если а21 = 0, то утверждение теоремы следует из леммы 3. Пусть а21 ^ 1. В этом случае нужно доказать равенство

lsh(A) = [log a221 +

aii ai2 log max ( —, —

a2i a22

+ 1.

Верхняя оценка. Случай 1. Пусть ai2 ^ a2^. Тогда lsh(xa21 ya22) = [log a221 +1 и применима лемма 1. Случай 1.1. Пусть ^ ^ Тогда моном xailyai2 можно получить из монома ха21уа22, используя не

более чем

W «11 ь a2i

операции композиции.

Случай 1.2. Пусть — ^ —. Аналогично получаем, что моном ха11уа12 можно вычислить не более а21 а22 " ' у

чем за

log

«12 «22

операции.

Следовательно, в случае 1 получаем оценку

lsh(A) < [log a221 +

aii ai2 max ( log —, log —

a2i a22

+ 1.

a

Случай 2. Пусть ai2 < a22■ Если ац = a2i, то возьмем за минимум матрицы элемент ац и применим рассуждения из случая 1. Пусть ац > a2i- Найдем такие к, ¿и п, что 2к-1 < a2i ^ 2k, 21-1 < ai2 ^ 21 и 2n-1 < a22 ^ 2n. Очевидно, что к ^ l ^ п. Построим схему композиции, вычисляющую моном xa21 ya22:

x,y,xy, (xy,xy)x0 y0 = X y ,...,(x y ,x y )x0y0 = X y ,

2k-1 2k-1 2k-1 2k-1\ a21 2k

(x y ,x y )x2k-a21 y0 = x y ,

(xa21 y2k ,xa21 y2k )xa21 y0 = xa21 y2k+1,. . . , (xa21 y2-1 ,xa21 y2-1 )xa21 y0 = xa21 y21,

(xa21 y21 ,xa21 y2 )xa21 y0 = xa21 y2l+1,. . . , (xa21 y2"-2 ,xa21 y2"-2 )xa21 y0 = xa21 y2"-1, (xa21 y2"-1 xa21 y2"-1) „„ = xa21 ya22

(x У ,x У ) xa21 y2" a22 = x У .

Количество операций в этой схеме композиции равно п + 1 = [log a221 + 1- Далее для вычисления монома xa11 ya12 будем использовать моном xa21 y2 -.

Случай 2.1. Пусть ^ ^ Тогда применяем лемму 1 и получаем, что моном xailyai2 можно

получить не более чем за [log операций.

Случай 2.2. Пусть ^ < Тогда применяем лемму 1 и получаем, что моном xailyai2 можно

получить не более чем за [log операций.

Легко заметить, что [log ^т] = 1, так как 21~1 < а\2 ^ 2\ а поскольку ац > а2\, то [log ^ 1.

Поэтому max ( [log ■§12т~\, [log J = [log . Следовательно, в случае 2 получаем оценку

lsj a11 < [log а,22~] + \а21 0,22 '

, ац

log-

021

+ 1.

Нижняя оценка. Пусть S — минимальная схема из элементов композиции, вычисляющая мономы xa11 ya12 и xa21 ya22. Выберем подсхему So так, чтобы в нее входили только все вершины, имеющие ориентированный путь до вершины, в которой вычисляется моном xa21 ya22. Тогдa lsh(So) ^ lsh(xa21 ya22) = [log a22l + 1, так как a22 ^ a2i ^ 1. Поскольку aii ^ a2i, то применима лемма 2. Соответственно

lsh(S) — lsh(So) ^

Поэтому

, а12 аИ

log max

а22 а21

lsj ац 012j = ^ [log 022~\ + 21 22

12 11

log max

22 21

+ 1.

Объединяя эту оценку с утверждением леммы 3, получаем требуемую нижнюю оценку. Теорема 1 доказана.

Пусть D(A) — максимум абсолютных величин миноров матрицы A (максимум берется по всем мино-

lsh

вычисления систем одночленов, в частности мер, соответствующих моделям, допускающим либо только

l

l2

зования элементов, обратных к переменным (см., например, [7], где мера сложности lp), не выполняется ограничение снизу величиной log D(A). Действительно, теорему 1 можно переформулировать следующим образом.

Теорема 2. Пусть A = (а^) — целочисленная ненулевая матрица размера 2x2 с неотрицательными

элементами um = max (min (а11, а12, а21, а22), 1). Тогда, при D(A) ^ ж справедливо соотношение

ish(A)=log m+iog d (а ^mmz 'mm)+

Для иллюстрации возьмем, например, матрицу An = ^ • Очевидно, что величина lsh(An) не превосходит log n + 2, в то время как log D(An) = 2 logn.

Теперь приведем пример, показывающий, что мера сложности lsh может быть существенно меньше величины log D(A). Пусть B(p, n) — квадратная матрица порядка p, в которой на главной диагонали стоят числа 2n, а остальные элементы равны n (подробнее см. [8]). Положим Bn = B([logn]/2,n). Теорема 3. При п —> оо справедливы, соотношения lsh{Bn) ~ 2л/2 log D(Bn) ~ 2y/2l2(Bn). Доказательство. Действительно, с одной стороны, lsh(B (p,n)) = [log n] + 2p — 1, ас другой — в соответствии с основным результатом из [6] при p + n ^ ж верно l2(B(p,n)) ~ logD(B(p,n)) ~ plogn.

Следовательно, при p = Г'0^"! получаем, что lsh(Bn) = 2[logn] — 1, тогда как ¿г(Дг) ~ . Теорема 3

доказана.

lsh Bn

оценка через величину log D (Bn). Более того, вели чина lsh(Bn) растет по порядку, как квадратный корень из сложности l2 (Bn). Для других рассматриваемых моделей вычисления сохраняется порядок оценки сверху, так как в силу очевидных неравенств l(A) ^ h(A), If (A) ^ l2(A) + q + 1, где q — число столбцов в матрице А, величина lsh(Bn) растет по порядку не быстрее чем \/1(Вп) и \/1р(Вп).

Из этого можно сделать вывод, что операция композиции обладает значительной "вычислительной силой". Однако оказывается, что эта "сила" не носит абсолютного характера.

Следуя [9], обозначим через A(t, n) матрицу размера 2t х 2t, определяемую следующим образом. Первой строкой матрицы A(t, n) является табор длины 2t, первая половина разрядов которого равна n, а вторая половина — нулю. О стальные 2t — 1 строки матр ицы A(t, n) получаются из первой строки последовательным цикличным сдвигом на один разряд вправо. Теорема 4. Пусть t ^ lo'°. Тогда при п —> оо

lsh{A{t,n)) ~ JL\0gD((A(t,n)) ~ JLfe(A(i,n)).

Эту теорему можно доказать, например, изменив соответствующим образом доказательство, приведенное в работе [9].

Из теоремы 4 следует, что возможностей операции композиции при вычислении системы мономов, задаваемой матрицей A(t,n), недостаточно даже для того, чтобы понизить сложность асимптотически хотя бы до величины log D((A(t,n)).

Еще одним важным отличительным свойством вычислений с использованием операции композиции является тот факт, что для операции композиции не работают (или работают в недостаточной мере) соображения двойственности. Пусть A — произвольная целочисленная матрица размера p х q. В отличие от вычислений в моделях, допускающих только операцию умножения или операцию умножения и деления, для которых справедливы соотношения l(A)+p = l(AT)+q и —q ^ ¡2(AT) —12(A) ^ p (см., например, [10]), для сложности в исследуемой модели соотношения такого рода, вообще говоря, не выполняются.

Сначала рассмотрим совсем простой пример. Определим матрицы Ci(p) и C2(p) размер a p х 1 как

p

вой до p—1. С одной стороны, сложности реализации матриц Ci(p) и C2(p) схемами композиции одинаковы и равны p — 1, а с другой стороны, lsh(C[(p)) = p — 1 + [log2p], lsh(C2T(p)) =2p — 2.

Таким образом, приведен пример двух матриц, имеющих одинаковую сложность, при этом сложность транспонированных к ним матриц отличается асимптотически вдвое. Этот результат естественным образом приводит к вопросу о том, насколько сильно может отличаться сложность реализации матриц Arn AT.

Для произвольных s и t введем матрицу размера t х st равенством

C (s,t,n) =

/ ns ns 1 ...ns 1 ns 1 ns 2 ...ns 2......n2 n ... n n 1 ... 1\

1

ns 1 ns 1 ns 1 ...ns 2 .

22

.n2 n2 ... n nn.

ns ns

ns ns 1 ns 1 ...ns 1

9 9 9

.n2 n2 . ..n2 nn...nj

Положим Cn = C ([log n], [log n],n).

3

Теорема 5. При n —У оо справедливо соотношение lsh(Cп) ^ ( sh 3 " )

Прежде чем перейти к доказательству, обобщим леммы 1 и 2 на случай мономов от произвольного числа переменных.

Лемма 1'. Пусть схем,a, So есть схема композиции для монома x^11 x... хЩ™, где аца\2 ... a\n = 0.

Тогда для вычисления монома ж"21^22 • • • жга2п; ) ^ можно построить схему композиции

S, добавив к последовательности S0 не более

членов.

log max

Лемма 2'. Пусть в схеме S из элементов композиции, вычисляющей систему мономов, содержащую моном xa21 xa22 ...xf2n, где a21,a22,...,a2n ^ 1, в некоторой вершине v0 вычисляется моном x^11 xa12 .. . xaf-n, причем, aii ^ a2i для некоторого 1 ^ i ^ п. Тогда, для, подсхемы, So, содержащей только те вершины, в которых вычисляются мономы, имеющие при перемени ой xi степени, не превосходящие

(1ц, справедливо неравенство lsh{S) — lsh{So) ^ log тахц. ^ .

Доказательство теоремы 5. Действительно, для вычисления монома, соответствующего первой строке матрицы, нам понадобится не более чем ts — 1 + [s logп] операций композиции. Каждая поп

лемму 1', получаем, что все оставшиеся мономы системы, задаваемой матрицей C(s,t, п), можно вычислить последовательно за (t — 1)[logп] операций. Таким образом, справедливо неравенство lsh(C(s,t,n)) ^ ts — 1 + [s log n] + (t — 1) [log n]. S

ваемую матрицей C T (s , t, n). Определим последовательное!ь подсхем S1,S2,..., Sst схемы S следующим

S1

рованные пути до выхода, вычисляющего моном x^x2 ... xf, в подсхему S2 — вершины, имеющие ориентированные пути до выходов, вычисляющих мономы x1 x2 .. .xf и x 1 x2 ... xf_ -xf. Аналогичным образом определяем все подсхемы последовательности S 1,S2,...,Sst■ Таким образом, в подсхеме Sst содержатся все вершины, от которых есть ориентированные пути до всех выходов схемы S, т.е. Sst = S.

Поскольку в матрице CT(s, t, п) для любого i, i = 1,... ,st — 1, найдется разряд, в котором значение i-й строки меньше значения (i + 1)-й строк и в п раз, то по ле мме 2' будем им еть lsh(Si+1) — lsh(Si) ^ [log и]. Суммируя полученные неравенства, заключаем, что lsh(Sts) — lsh(S1) ^ (ts — 1)[log п]. Далее, очевидно, что lsh(S1) ^ lsh(x1 x2 ... xf) = [log п] + t — 1, а также, что lsh(S) = lsh(Sts)• Отсюда получаем нижнюю оценку lsh(CT(s,t^)) ^ ts [logп] +1 — 1.

Поэтому при t = s = [log п] имеем lsh(Cn) ^ 3log2 п, тогда как lsh(C^) ^ log3 п. Следовательно,

¿"fe(с") ~ ^¿р- Из соотношения logn > ^Jlsh(cn\ ПОЛуЧаем утверждение теоремы 5.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект №11-01-00508, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ширшов А.И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. матем. жури. 1962. 3. 292-296.

2. Лупанов О.Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем // Проблемы кибернетики. Вып. 10. М.: Физматлит, 1963. 63-97.

3. Мерекин Ю.В. О порождении слов с использованием операции композиции // Дискретн. анализ и исслед.

1

4. Трусевич E.H. О сложности реализации схемами композиции систем из двух мономов от двух переменных // Мат-лы VIII молодежной научной школы по дискретн. матем. и ее прил. (Москва, 24-29 октября 2011 г.). Часть 2. М., 2011. 40-44.

5. Кочергин В.В. О сложности вычисления пары одночленов от двух переменных // Дискретн. матем. 2005. 17, вып. 4. 116-142.

6. Кочергин В.В. Об асимптотике сложности аддитивных вычислений систем целочисленных линейных форм // Дискретн. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2006. 13, № 2. 38-58.

7. Кочергин В. В. О сложности совместного вычисления трех элементов свободной абелевой группы с двумя образующими // Дискретн. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2008. 15, № 2. 23-64.

8. Трусевич E.H. Об особенностях одной меры сложности целочисленных матриц // Мат-лы XI Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения", поев. 80-летию со дня рождения О. Б. Лупанова. (Москва, 18-23 июня 2012 г.). М., 2012. 171-173.

9. Кочергин В.В. Об одном соотношении двух мер сложности вычисления систем одночленов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 8-13.

10. Сидоренко А.Ф. Сложность аддитивных вычислений семейств целочисленных линейных форм // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. 105. 53-61

Поступила в редакцию 05.04.2013