О сложности надструктуры классов монотонных k-значных функций специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 1. С. 70-79

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 519.7

О сложности надструктуры классов монотонных ^-значных функций специального вида *

В. Б. Ларионов

ООО «Атес Медика Софт»

В. С. Федорова

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Аннотация. В статье доказано, что класс монотонных функций многозначной логики, сохраняющих частично упорядоченное множество с одним минимальным элементом и двумя максимальными или частично упорядоченное множество с одним максимальным элементом и двумя минимальными, либо является предпредполным, либо обладает бесконечной надструктурой, состоящей из не предикатно-описуемых классов.

Ключевые слова: многозначная логика; монотонная функция; надструктура; предикат; не предикатно-описуемый класс.

Хорошо известно [9], что решетка замкнутых относительно операции суперпозиции классов функций k-значной логики для любого k ^ 3 содержит континуальное число классов. В силу невозможности ее исчерпывающего описания представляется интересным изучение различных подмножеств этой решетки.

Принципиальная возможность существования замкнутых классов монотонных функций многозначной логики с бесконечной надструктурой (то есть множеством содержащих их классов) была доказана В. Б. Ларионовым в статье [4]. Как было показано в работе того же автора [3], минимальной логикой с такими классами функций является четырехзначная логика P4. В [2] был получен критерий наличия бесконечной надструктуры классов монотонных функций, сохраняющих частично упорядоченные множества с одним минимальным и двумя максимальными, двумя минимальными и одним максимальным, двумя минимальными и двумя максимальными элементами. В данной рабо-

* Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

те продолжено изучение надструктуры некоторых из перечисленных классов монотонных функций и показано, что она может содержать бесконечное число классов, не являющихся предикатно-описуемыми.

Введем необходимые определения. Обозначим через Ek множество {0,- 1}.

Определение 1. Функция f (x1,... ,xn) называется функцией k-значной логики (k ^ 2), если она определена на Е'П и все ее значения принадлежат Ek.

Будем использовать следующие стандартные обозначения. Множество всех функций k-значной логики обозначим Pk. Для любого подмножества A из Pk через [A] будем обозначать замыкание относительно операции суперпозиции (для функций далее везде будет идти речь именно об этом типе замыкания).

Пусть на Ek задано некоторое отношение частичного порядка г. Возьмем два произвольных набора а = (а1,..., ап) и b = (b1,..., bn) из Е'П. Будем говорить, что а не превосходит b относительно частичного порядка r и записывать а ^r b, если для любого 1 ^ i ^ n справедливо неравенство аі ^r bi.

Определение 2. Функция f (xi,..., xn) называется монотонной относительно частичного порядка г, если для любых двух наборов ц,Ь Є Е'П таких, что а ^r b, выполнено f (а) ^r f (b). Множество всех функций из Pk, монотонных относительно г, называется классом монотонных функций Mr.

Для наглядности везде далее будем задавать частичный порядок r частично упорядоченным множеством (ЧУМ) H из элементов Ek и соответствующий класс обозначать Мн.

Определение 3. Пусть p(x1,...,xm) - некоторый предикат, определенный на Em, f(y1 ,...,yn) - функция из Pk. Говорят, что функция f (y1,..., yn) сохраняет предикат p(x1,..., xm), если для любых n наборов аі = (аі1,..., аіт), i Є {1,...,n}, удовлетворяющих предикату p, набор f (а11,..., агі1),..., f (а1т,..., апт,)^ также удовлетворяет предикату p. По определению будем считать, что тождественно ложный предикат сохраняет любая функция.

Будем обозначать через Pol(p) множество всех функций, сохраняющих предикат р. Класс Мн является замкнутым классом функций, сохраняющих предикат R(x,y) = TRUE x ^r y [8]. Везде далее в

выражении „монотонный класс задается предикатом R“ подразумевается именно описанный предикат R(x, y).

Одним из семейств предполных классов функций k-значной логики при k ^ 3 (везде далее рассматриваются только такие k) является некоторое подмножество всех классов монотонных функций [10]. Класс Мн

является предполным тогда и только тогда, когда ЧУМ H обладает в точности одним максимальным и одним минимальным элементом [5].

На множестве предикатов вводятся следующие операции: отождествление переменных, конъюнкция и добавление квантора существования по какой-либо переменной (проекция). Для произвольного множества предикатов P через [P] будем обозначать его замыкание относительно указанных операций. Подробное определение этих операций можно найти в [1] и [6].

Лемма 1 ([1]). Если p1 Є [p2], то Pol(p2) Q Pol(pi).

Лемма 2 ([8]). Для произвольного предиката p из представления p = p1&p2& • • • &pt, где предикаты p1,...,pt не имеют общих переменных и не являются тождественно ложными, следует

Pol p = Pol p1 П Pol p2 П ... П Pol pt.

Пусть предикат p задается формулой F над системой {Л}, где R — предикат, задающий класс монотонных функций. Везде далее рассматриваются только формулы с вынесенными вперед кванторами существования. Сопоставим F ориентированный граф Gf по следующему правилу: между множеством вершин Gf и множеством переменных F (учитываем и свободные, и связанные) существует взаимно однозначное соответствие. Вершину, соответствующую переменной х, пометим символом ”х”, если переменная х свободная, и ”3х”, если связанная. Данную вершину обозначим vx. В графе Gf есть ориентированное ребро (vx,vy) тогда и только тогда, когда в формуле F содержится запись

R(y,x).

Далее нам потребуются некоторые свойства предикатов, доказательства которых содержатся в [2]. Обозначим через F множество формул над {R}, графы которых не имеют ориентированных циклов.

Лемма 3 ([2]). Пусть R — предикат, задающий класс монотонных функций, p1,p2 Є [R], Polp1 Q Polp2, предикат p2 реализуется над {R} формулой из F. Тогда p2 Є [p1].

Лемма 4 ([2]). Пусть R — предикат, задающий класс монотонных функций; P1,P2 Q [R] — некоторые множества предикатов, такие что Pol P1 = Pol P2. Тогда для любого предиката p Є P1, задаваемого над системой {R} формулой из множества F, справедливо p Є [P2].

Определение 4. Предикат p(x1,...,xn), где n ^ 2, назовем невырожденным, если существует набор а Є Е'П такой, что p(a) = FALSE, но для любого номера і Є {1,...,n} существует элемент bi Є Ek такой, что p(a1,..., ai-1, bi, ai+1,..., an) = TRUE. Одноместный предикат невырожден тогда и только тогда, когда он отличен от тождественно истинного и ложного предикатов. В противном случае назовем предикат вырожденным.

О 3

Рис. 1. Частично упорядоченное множество H5.

Лемма 5 ([2]). Любой класс A = Pol p, где p e [R], A = Pol R, A = Pk, представим конечным пересечением A = Пi Pol pi, где все pi — невырожденные предикаты.

Лемма 6 ([2]). Пусть ЧУМ H имеет единственный минимальный элемент, R — предикат, задающий класс монотонных функций Мн. Пусть p1(x1,... ,xni),... ,pi(x\,... ,xni) e [R] — невырожденные предикаты местностей соответственно n1, ...,ni, задаваемые формулами из F, n = max(ni,... ,ni), Polpi = PolR. Тогда любой невырожденный предикат p из множества [p1,... ,pi] имеет местность r ^ n.

Пусть H5 — ЧУМ из пяти элементов, изображенное на рисунке 1.

Теорема 1 ([4, 2]). В Р5 в решетке замкнутых классов над классом монотонных функций Мн5 находится бесконечная цепочка замкнутых классов.

H5 является минимальным ЧУМ, имеющим один минимальный и два максимальных элемента, таким, что надструктура класса Мн5 бесконечна. Далее мы покажем, что в этом самом простом случае надструктура Мн5 весьма сложна.

Определение 5. Замкнутый класс A называется предикатно-опи-суемым, если существует предикат p такой, что справедливо представление A = Pol p.

Если класс A не является предикатно-описуемым, это свидетельствует о сложности его надструктуры [7]: либо существует бесконечная цепочка классов, содержащих A, с пределом, равным A, либо бесконечное число минимальных надклассов A.

Теорема 2. В Р5 в решетке замкнутых классов над классом монотонных функций Мн5 находится бесконечное число классов, не являющихся предикатно-описуемыми.

XI Х2 Хз Х4 Х5 Хб Х7 Х2І Х2І+1 Х2І+2

Рис. 2. Граф формулы Fi, задающей предикат pi.

Доказательство. Пусть R5 — предикат, задающий класс монотонных функций Mh5. Определим (21 + 2)-местный предикат pi (l ^ 1), задаваемый формулой над {R5}, граф которой изображен на рисунке 2. Для упрощения каждый элемент графа помечен символом соответствующей переменной, опущены кванторы существования и стрелки (предполагается, что идут сверху вниз). Все переменные Xi (находящиеся на нижнем уровне) являются свободными, а yi — связанными. Указанную формулу обозначим через Fi, а соответствующий граф — . Отметим, что

именно классы Pol pi образуют бесконечную цепочку из теоремы 1.

Рассмотрим произвольный набор а Є E2h+2, где h ^ 1. Разрежем его на h + 2 куска: первая компонента {ai}, h кусков {a2(s+i),ai+2(s+i)} размера 2, где s G{0,...,h — 1}, последняя компонента {a2h+2}. Составим множество Th из таких наборов а, для которых выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) в одном куске набора а содержатся оба элемента 0 и 3;

2) два соседних куска набора а содержат оба элемента 0 и 3;

3) между двумя кусками набора а, один из которых содержит элемент 0, а другой — элемент 3, находятся только куски, в каждом из которых содержатся оба элемента 1 и 2, то есть все такие куски имеют вид {1, 2} или {2,1}.

Лемма 7 ([2]). Для произвольного набора b Є E|h+27 h ^ 1, выполнено Ph(b) = TRUE тогда и только тогда, когда b Є Th.

Для предиката pi обозначим через Xi множество переменных X2, X4, ..., X2i, а через Х2 — множество переменных X3,X5,...,X2i+i (то есть из каждой пары переменных {x2,x3}, ..., {x2i, X2i+i} мы поместили одну переменную в множество Xi, а другую — в множество Х2). Обозначим через Peq множество предикатов, которые можно получить из pi произвольными независимыми отождествлениями (возможно, пустыми) переменных внутри множеств Xi и Х2. Для произвольного p Є Peq

пусть Xi(p), i = 1, 2, — множество переменных предиката p, которые получились в результате описанного отождествления из переменных множества Xi предиката pi. Через si(p) обозначим мощность множества Xi(p).

Лемма 8. Любой предикат p Є Peq является невырожденным.

Доказательство. Предикат p получен из некоторого pi отождествлением переменных внутри множеств Xi и X2. Отметим, что сам предикат pi является невырожденным, поскольку с учетом леммы 7 достаточно в определении 4 рассмотреть набор a = (0,1, 2,1, 2,...,1, 2, 3). Получим из а новый набор b, отождествив компоненты с номерами, соответствующими номерам отождествляемых переменных при получении предиката p. Это всегда можно сделать, поскольку на a все переменные из множества Xi, i = 1, 2, приняли равные значения. Применением определения 4 к предикату p и набору b получаем, что p — невырожденный предикат. □

Рассмотрим множества предикатов

Pm = {p Є Peq : min(si(p),s2(p)) ^ m},

где m ^ 1. Обозначим через Cm классы функций Pol Pm.

Лемма 9. Все замкнутые классы функций Cm, m ^ 1, не являются предикатно-описуемыми.

Доказательство. Предположим, что некоторый класс Cm предикатно-описуем, и Cm = Polp для некоторого предиката p. По лемме 5 класс Cm представим конечным пересечением классов Pol ti, i є{1,..., s}, где предикаты ti являются невырожденными. Обозначим через t предикат, равный ti& ... &ts, где конъюнкции осуществляются без отождествления переменных. По лемме 2 получаем Cm = Pol t.

С другой стороны, Cm = Pol Pm. Возьмем произвольный предикат p Є Pm. Справедливо Cm С Polp', то есть Pol t С Polp'. Заметим, что Fi Є F. По лемме 3 выполняется p Є [t]. Поскольку предикат t выражается конъюнкцией над системой {ti,..., ts}, то p Є [{ti,..., ts}]. Обозначим через N максимальную местность невырожденных предикатов ti,... ,ts. Согласно лемме 6 мы не можем реализовать невырожденный предикат p местности больше, чем N, формулой над {t}. Но поскольку местность невырожденных предикатов p Є Pm (см. лемму 8) не ограничена сверху, получаем противоречие. □

Лемма 10. Все классы Cm различны.

Доказательство. Предположим, что Cmi = Cm2 для некоторых ш\ > ш2 ^ 1. Напомним, что Cmi = Pol Pmi, Cm2 = Pol Pm2. По определению множества предикатов Pm справедливо Pmi, Pm2 С [R5]. Поскольку для произвольного pmi Е Pmi выполняется FPmi Е F, то по лемме 4 получаем, что pmi Е [Pm2 ]. Поскольку формула, реализующая предикат pmi над Pm2, не может быть бесконечной, то существуют предикаты

tl,-~- ,tm Е Pm2 что pmi Е • • • ,tm}] — Q.

Рассмотрим формулу, реализующую pmi над Q:

Pmi (x) = 3yi,...,ys Pi&• ••&Pr, (0.1)

где Pi, i = 1,...,r, — некоторый предикат из множества Q. Каждый Pi зависит от переменных x1 ,•••, x2mi+2,y1, •••,ys. В работе [2] было показано, что в случае, когда H имеет единственный минимальный элемент, формулу вида (0.1) можно преобразовать так, чтобы каждая связанная переменная yi встречалась только в одном сомножителе Pj. То есть

Pmi (X) = Pi & •••&P'r, где Pjj получен из Pj, j = 1, — ,r, некоторой проекцией. В этой формуле для каждого j в Pj были внесены связанные переменные из множества {y1, •••,ys}, от которых зависит Pj.

Рассмотрим набор а = (0,1, 2,1, 2,„, 1, 2, 3) Е Elmi+2. По лемме 7 справедливо pmi (а) = FALSE, поэтому среди предикатов P1, •••,P,¡. найдется предикат, ложный на а. Пусть это P[ (переобозначим его для удобства через p). Предикат p получен некоторыми проекциями и отождествлениями переменных из предиката tq Е Pm2, который, в свою очередь, получен из некоторого pi отождествлением переменных внутри множеств X1 и X2, при этом min(s1(tq),s2(tq)) ^ ш2. Таким образом, p получен из pi некоторыми отождествлениями и проекциями. Для произвольной переменной Xi предиката pmi обозначим через U(xi) множество переменных предиката pi, которые при получении p были отождествлены в xi (оба предиката pmi и p зависят от набора переменных x ).

2mi+2

Обозначим U = U U(xi). По переменным предиката pi, которые не

i=1

попали в U, была взята проекция.

Поскольку при рассмотрении набора а получаем, что предикат pmi невырожден, то любая проекция pmi по одной переменной истинна на соответствующем наборе а1 (набор а без той компоненты, по которой берется проекция). Те же самые рассуждения справедливы и для p, откуда следует, что предикат p также невырожден. Следовательно, все переменные p существенны, и все множества U(xi) непустые.

Для произвольного набора с Е E5mi+2 обозначим через Ф(с) множество тех наборов из E|l+2, у которых все компоненты из U(xi) равны Ci, а остальные принимают произвольные значения.

Рассмотрим множество Ф(а). По построению для любого d Є Ф(а) справедливо pi (d) = FALSE. Все такие наборы d имеют общую компоненту из номеров, соответствующих множеству U, и предикат p ложен на таких наборах независимо от того, какие значения приняли переменные, не принадлежащие множеству U. По лемме 7 получаем, что указанная общая компонента имеет вид C = [0,1, 2,1, 2,..., 1, 2, 3]. Итак, в указанном куске C все переменные принадлежат множеству U. Пусть найдется переменная Xi такая, что ни один элемент множества U(Xi) не входит в кусок U. Но тогда проекция предиката p по переменной Xi, а значит и pmi, ложна на наборе (ai,..., ai-i, ai+i,..., a2mi+2). Получаем противоречие. Итак, в куске C содержится по крайней мере по одному элементу из каждого U(Xi). Отметим также, что первая (последняя) переменная куска C принадлежит множеству U(xi) (соответственно U(x2mi+2)), поскольку в наборе а только xi (x2mi+2) принимает значение 0 (соответственно 3).

Рассмотрим (2mi + 2)-компонентный набор b = (0, 0, 0,..., 0,1,1, 3, 3,..., 3), где (1,1) стоит в i-м куске (то есть 2i и (2i + 1)-я компоненты набора bi равны 1). По лемме 7 справедливо pmi(bi) = TRUE, откуда p(bi) = TRUE. Следовательно, должен существовать набор 6 Є Ф(Ьі) такой, что pi(6і) = TRUE. Рассмотрим кусок C на наборе 6. Первая и последняя его компоненты опять будут равны 0 и 3 соответственно. По лемме 7 между ними должна встретиться пара (1,1), то есть C = [0,..., 1,1,..., 3]. Это означает, что переменные из указанной пары входят в множество U(X2i) U U(X2i+i). Но в одно множество эти переменные входить не могут, поскольку на наборах Ф(а) они принимали разные значения.

Итак, получаем, что для любой пары компонент (x2i,x2i+i) из X Є E2mi+2 для pmi должны найтись такие элементы в множествах U(X2i), U(x2i+i), которые попадут в одну пару в наборе у Є E|i+2 для pi. Таким образом, каждая пара из X Є E^mi+'2 для pmi требует одной переменной из Xi(tq) и одной из X2(tq), то есть число пар не может быть больше, чем min(si(tq),s2(tq)) ^ m2. Но нам требуется mi > m2 пар. Полученное противоречие показывает, что классы Cmi и Cm2 различны. □

Итак, мы построили требуемое множество классов Cm, где m ^ 1. Теорема доказана. □

Таким образом, доказанная теорема говорит о том, что надструктура класса Мн5 является весьма сложной. Это делает очень трудной задачу ее полного описания и невозможным ее изображение в виде ЧУМ.

В работе [2] доказан критерий наличия бесконечной надструктуры у классов монотонных функций, сохраняющих ЧУМ T с единственным минимальным и двумя максимальными элементами: по сути, это нали-

чие в Т подмножества Н5. Теорема 2 остается справедливой для всех таких классов Мт с бесконечной надструктурой, при этом ее доказательство не меняется. С учетом изученных в [2] конечных надструктур классов Мт, получаем следующий основной результат:

Теорема 3. Если ЧУМ Т имеет один минимальный элемент и два максимальных, то либо класс Мт является предпредполным, либо существует бесконечное число различных классов, не являющихся пре-дикатно-описуемыми и содержащих Мт.

Поскольку класс монотонных функций не меняется при инвертировании порождающего его ЧУМ [5], то все доказанные результаты справедливы и для случая, когда ЧУМ имеет два минимальных элемента и единственный максимальный.

Отметим, что открытым остается вопрос о мощности бесконечной надструктуры классов Мт для описанных видов ЧУМ Т.

Список литературы

1. Теория Галуа для алгебр Поста / В. Г. Боднарчук, В. А. Калужнин, В. Н. Котов, Б. А. Ромов // Кибернетика. - 1969. - № 3. - С. 1-10; № 5. - С. 1-9.

2. Ларионов В. Б. Замкнутые классы fc-значной логики, содержащие классы монотонных или самодвойственных функций : дис. ... канд. физ.-мат. наук /

B. Б. Ларионов. - М., 2009. - 157 с.

3. Ларионов В. Б. О монотонных замкнутых классах функций многозначной логики с бесконечной надструктурой / В. Б. Ларионов // Материалы VII молодежной научной школы по дискретной математике и ее приложениям, 18-23 мая 2009 г. - М. : ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2009. - С. 7-12.

4. Ларионов В. Б. О положении некоторых классов монотонных k-значных функций в решетке замкнутых классов / В. Б. Ларионов // Дискрет. математика. -2009. - Т. 21, № 5. - С. 111-116.

5. Мартынюк В. В. Исследование некоторых классов функций в многозначных логиках / В. В. Мартынюк // Проблемы кибернетики, вып. 3. - М. : Наука, 1960. - С. 49-61.

6. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций / С. С. Марченков. - М. : Физматлит, 2000. - 128 с.

7. Яблонский С. В. О строении верхней окрестности для предикатно-описуемых классов в Pk / С. В. Яблонский // Докл. АН СССР. - 1974. - Т. 218, № 2. -

C. 304-307.

8. Яблонский С. В. Предполные классы в многозначных логиках / С. В. Яблонский, Г. П. Гаврилов, А. А. Набебин. - М. : Изд. дом МЭИ, 1997. -144 с.

9. Янов Ю. И. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса / Ю. И. Янов, А. А. Мучник // ДАН СССР. - 1959. - Т. 127, № 1. - С. 44-46.

10. Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusiers variables sur un ensemble fini / I. G. Rosenberg // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. - 1965. - Vol. 260. -P. 3817-3819.

V. B. Larionov, V. S. Fedorova

On the structure complexity of closed classes containing some specific classes of monotone fc-valued functions

Abstract. We consider closed classes of monotone functions in multivalued logic with respect to partially ordered sets that have a unique minimal element and two maximal elements or a unique maximal element and two minimal elements. We prove that any such class is either pre-precomplete or contained in an infinite number of closed classes, which have no predicate description.

Keywords: multivalued logic; monotone function; structure; predicate.

Ларионов Виталий Борисович, кандидат физико-математических наук, ООО «Атес Медика Софт» (vitalyblarionov@yandex.ru)

Федорова Валентина Сегеевна, кандидат физико-математических наук, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, факультет ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, тел.: (495) 939-53-92 (fedorovavs@cs.msu.ru)

Larionov Vitaly, Ates Medica Soft (vitalyblarionov@yandex.ru)

Fedorova Valentina, Moscow State University, faculty of computational mathematics and cybernetics, 119899, Moscow, Vorobyevy Gory, Moscow state university, faculty of computational mathematics and cybernetics, Phone: (495) 939-53-92 (fedorovavs@cs.msu.ru)