О СЛАБОМ ОБОБЩЕННОМ РЕШЕНИИ ПОЛУНЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

О СЛАБОМ ОБОБЩЕННОМ РЕШЕНИИ ПОЛУНЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО _ТИПА ВТОРОГО РОДА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА_

Б.Б.Халхаджаев* [email protected]

Ключевые слова: уравнения смешанного типа второго рода четвертого порядка, полунелокальная краевая задача, методы Фаэдо-Галеркина, априорных оценок и «Б -регуляризации», однозначная разрешимость слабого обобщенного решения.

1. Введение и постановки задачи

Как нам известно, впервые нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа второго порядка были предложены и изучены в работе Ф.И.Франкля [15]. Как близкие по постановке к изучаемым, задач для уравнения смешанного типа второго рода, второго порядка исследованы в ограниченных областях в работах [4,6,7,10,13]. Нелокальные краевые задачи для уравнения в частных производных высокого порядка без вырождения исследованы многими учеными, полная библиография, которых дана в книге А.Дезина [5], для уравнения смешанного типа высокого порядка с локальными краевыми условиями в разлычных пространствах исследованы в работах [3,9], а с нелокальными краевыми условиями такие задачи исследовны очень мало [8,17].

В данной работе с использованием результатов работ [3,6-9,17] и с применением модифицированного метода Галеркина, методов априорных оценок и «Б -регуляризации» изучается однозначная разрешимость слабого обобщенного решения одной полунелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода четвертого порядка.

В области Q = (0,1) х (0,Т) = {(х, г);0 < х < 1; 0 < г < Т <+<ю} рассмотрим уравнение смешанного типа второго рода четвертого порядка

Ь^и = Ри — Ми = f (х, г). (1)

4

Здесь Ри = ^ К (х, г)Ц\и; Ми = аи + Ьи „+ си ,

/ 1 г V ' у г ' хххх ххгг хх '

1=0

д'и

где К4(х,0 = К4, К4(0) = К4(Т) = 0; Ци = — (г = 0,1,2,3,4), Ци = и,

дг

а, Ь, с — некоторые положительные числа.

Пусть все коэффициенты уравнения (1) - достаточно гладкие функции в Q

К.(Г) ОС3(0,Г) З С[0,Т ];К (х,Г) ОС2) З С(0); а,Ь,с — свтгз >0.

*Халхаджаев Бахтиёр Батирович - PhD докторант Института математики имени В.И.Романовского АН РУз.

«Yosh olimlar axborotnomasi» - «Вестник молодых ученых» - «The bulletin of young scientists» 58

Уравнение (1) относится к уравнениям смешанного типа второго рода, так как на знак функции K4 (t) по переменной t внутри отрезка [0, T] не налагается никаких ограничений [2,7].

Полунелокальная краевая задача: Найти обобщённое решение u( x, t) уравнения (1) из пространства Соболева W ^iQ), удовлетворяющее следующим краевым условиям

rDfulo = D?u\= ; p = 0,1,2 (2)

uL = uL = 0; (3)

u \ = u I = 0 (4)

xx lx=0 xx|x= 1 V !

где r величина отличная от нуля, которая будет уточнена ниже.

В дальнейшем нам необходимы следующие определения и вспомогательные предложения.

Через W2(Q) (1 < l -натуральное число) (при l = 0, W20Q) = L2(Q)) определяется пространство Соболева со скалярным произведением (u ,$)i и нормой

и 2=и W2 (Q)= х Л ^¿хл.

2 H<l Q

Здесь ОС — мультииндекс, Da — обобщённая производная по переменным X и t.

Пусть e = {et = cos(e,t),ex = cos(e,x)) — единичный вектор внутренней нормали к границе 8Q . При получении различных априорных оценок мы часто используем неравенство Коши с ( , т.е

Vu,3> 0; V(> 0; 2 • u•3<au2 +— [11].

Определим следующие билинейные формы:

а(u,S) = P(u,и) = (Kuи)0 -((K - 2K4t)uttи)0 + fxЬДщИ

V i=0 У 0

где b g C2(Q) о C(Q); b2(х,t) = K4tt - K3t + K2; \ = Kx; b, = К ;

m(u,и) = (Mu,3) = (-(auxx + butt\И\ - (uИ.

Определение 1. Функция u(x, t)g W2(Q) называется слабым обобщённым решением задачи (1)-(4), если для любой функции И(x,t)gW2(Q), такой, что гИ-о=И-г ; И _ = i9| = 0; выполняется интегральное тождество

—0 lx—1

а ( u, e~xt3) + m ( u, е~хИ\={ f, в~хИ\. (5)

Теорема 1. Пусть выполнены выше перечисленные условия для коэффициентов уравнения (1), |Kj (x, t)| > 0 - достаточно большая функция; кроме того, пусть выполнены

следующие условия для коэффициентов уравнения (1); (2K3 - 3K4i + 3AK4) > S3 > 0, -2K + K2i - ¿K2 >S2> 0, -AK0 + K0i > Sl > 0, для любых (x, t) g Q, где

2

Х = -1п\г\> 0, ||> 1, к 4 г(0) = к4((т), К 3( х,0) = К3(х,Т); К22 х,0) = К22 х,Т);

К0(х,0) = К(х,Т) для всех х е[0,1]. Тогда если для любого f (х,г) е Ь2(Q), существует

обобщенное решение и(х, г) задачи (1)-(4) из пространства Соболева Ж2@), то оно единственно и для нее справедлива следующая оценка

К?(QС||/|10- <6>

Доказательство. Сначала докажем единственность решения задачи (1)-(4). Единственность решения задачи докажем с помощью метода интеграла энергии. Пусть

существует обобщенное решение задачи (1)-(4) и (х, г) из пространства

Соболева Ж 2{0).

Рассмотрим следующее тождество

Г —Х Г —Х

—2 I Ьи • е • и( dxdг = —2 I f • е • и dxdг. (7)

Q Q

В силу условий теоремы 1 и неравенства Коши с < [11], из краевых условии (2)-(4) интегрированием тождества (7) легко получить следующее неравенство

—21 е—и • utdxdг > |е— {(2К3 — 3К4г + 3ХК4) • иг2 + Хаи2хх + ЯЬи2х{ + Хси] +

Q Q

+(—2К1 + К2г — ХК 2)иг2 + (—ХК0 + К0г) • и2} dxdг — 2< • ||игг|| 2 — 5ХАК<~1 • \|иг||2 +

+1 е~Х {(—2К4иггги г + 2(К4г — ХК4)иггиг + К4и1 — 2К3иггиг— К2^ — К0и2 + ^ + Ьи2 + сих2 }1* +

дQ

+ I е"Хг {2аиххх иг — аиххигх — 2Ьиххг иг — 2сихиг(8)

дQ

где К = тах {|| к4||2с 2[0,г ], | |Кз||2с1( е)}.

Условия теоремы 1 обеспечивают неотрицательность интеграла по области Q и обращение в нуль граничных интегралов. Отсюда из неравенства (8) получим

—2|Ьи • е~Хг• и( dxdt Q

—2<-|\иа\\* — 5Л<~1К •! |и,| £. (9)

Выбираем в неравенстве (9) постоянные числа 83 и 82, такие, что 83 — 3< > 803 > 0, 82 — 5Х< 1К > 802 > 0. Далее, обозначая через

8 = тт{803,Ха,ХЬ,Хс,802,8 } и разделяя (9) на 8> 0, получим первую априорную оценку для решения задачи (1)-(4)

И2 ^ сЛ А 2 Q).

Из этой оценки следует единственность решение задачи (1)-(4) в ).

> I е |83 • + А auxx + ЛЬых( + 8xut + Acux +S1 • u }dxdt -

е

Докажем теорему от противного. Пусть задача (1)-(4) имеет два решения: Щ (х, ?), и2(х,?) . Тогда новая функция <9(х, ?) = щ (х, ?) — и2(х,?) удовлетворяет однородному уравнению (1) с условиями (2)-(4) и для нее справедлива первая оценка

Ц2 < 0. Отсюда следует единственность решения задачи (1)-(4) щ (х, ?) = щ (х, ?) из

пространства W2(Q).

Теперь докажем разрешимость задачи (1)-(4). 2. Уравнение пятого порядка с малым параметром (вспомогательная задача).

Разрешимость задачи (1)-(4) докажем методом " £ -регуляризации", в сочетании с модифицированным методом Галеркина и априорных оценок, а именно, в области Q = (0,1) х (0,Т) рассмотрим семейство уравнений пятого порядка с малым параметром

Ьеие=-£—-£ + Ьи£= /(х, ?) (Ш)

д?

с полунелокальными краевыми условиями

№и\= Ци\ ; д = 0,1,2,3,4 (11)

u = u = 0;

х= 0 х=1 '

и I = и I = 0

£xx =0 £xx lx=1

(12) (13)

где £ — малое положительное число, =-, д = 1,2,3,4; Б ^ =

д

.2 ,д2 д2 ч2 /д4и _ д4и д4и. _

Л и = (—- Ч---) и = (—- + 2—-—- Ч---) — бигармонический оператор.

д 2 дх2 д 4 дх2д 2 дх4

Ниже используем уравнение пятого порядка с малым параметром (10) в качестве «£ -регуляризирующего» уравнения для уравнения смешанного типа второго рода четвертого порядка (1) [2,3,6,7].

Через Vниже будем обозначать класс функций таких, что и£(х,?) еW!^(Q),

дЛ 2и

-£е Ь2(Q), удовлетворяющих соответствующим условиям (11)-(13).

д?

Определение 2. Функция и£ (х, ?) е V(О) называется слабым обобщённым решением задачи (10)-(13), если выполнено следующее интегральное тождество

—£ ил?,(е"|) — 2£(иеш ,(е"| х( ) + £(иеха ,(е"|) + а (и£, + т (ие, е~*Э)=( /, е~1

= D

t=0 1

(14) для любой функции 1(х,?)е , такой, что

д = 0,1; ! = || = 0 выполняется интегральное тождество.

—0 IX—1

t=T

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда для любой функции А(х,г) е Ь2 (Q) существует единственное слабое обобщенное решение и(х, г) задачи (10)-

(13) из пространства V(Q) и для нее справедлива следующая оценка

iiX

iiX

ц2ч

iiX

X

Б • (11 иш\ 12 +1Кгх\\2 +1\иБгхЛ2) +1К!2 ^ с11| А ||0 .

Доказательство. Доказательство неравенства I) проводится так же, как и первой оценки теоремы 1, из которого следует однозначная разрешимость слабого обобщённого решения задачи (10)-(12) [7-9].

Приведем доказательство первой априорной оценки.

Пусть ф- (х,г) е Ж^^) - собственные функции следующей задачи:

—Ахф, = -(

д4ф■ д4ф

L) = ^?Ф/,

д 41 д 4 х

ВРф ^ = ВРф = т; p = 0,1,2,3

Р,

Р

jxx

х=0 Р

= Р

X = 1

х=1

0; = о

(15)

(16)

(17)

(18)

х=0 ' -хх

Из общей теории [1,7,16] линейных самосопряженных эллиптических операторов известно, что все собственные функции задачи (15)-(18) принадлежат ) и образуют

полную ортонормированную систему в Ь2(Q). Теперь с помощью этих последовательностей функций построим решение вспомогательной задачи

At дю р( = exp( — )—L = ф,

(19)

X' дt "' /•0j (x,0) = ю (x,T), (20)

где У — const ^ 0, причем |у|> 1- Очевидно, что задача (19),(20) однозначно разрешима и её решение имеет вид

Ат , т 1 T At,

Аг 1 T

P~XфJ = (j = |ехр(АТ)фdT • | exp(Atфdt. 0 2 у—1 0 2

Ясно, что функции ю (х, г) е Wl(Q) - линейно независимы. Действительно, если

ж

X ^Юу = 0 для какого-нибудь набора последовательностей функций (,(х,-

(, то,

-=1

ж ж

действуя на эту сумму оператором Р, получаем ^ CjPЮj = X = 0, а отсюда следует,

-=1 -=1

что для всех - = 1, ^ коэффициенты с- = 0 . Отметим, что из построения функции ф-(х, г)

J

вытекают следующие условия на функции (Oj (x, t) е

у • Dfa, = Dfa, , q = 0,1,2,3,4

' t J t=0 t J t=т 1

(21)

x=0

x=1

jxx

x=0

jxx

0; = 0

x=1

Теперь приближенное решение задачи (10)-(12) ищем в

(22) (23)

виде

ж

w(x, t) = us (x, t) =X cj®j (x, t), где коэффициенты Cj для любого j от 1 до N

j=1

определяются как решение линейной алгебраической системы

Я Я

-21■ ехР( - Я) Ф^Ж = - 21 / ■ ехР( - Я) ФуУ. (24)

б 2 б 2 Докажем однозначную разрешимость алгебраической системы (24). Умножая каждое уравнение из (24) на Су и суммируя по у от 1 до N, учитывая краевые условия (21)-(23) и алгебраическую систему (24), получим тождество

-21■ ехр(-Я t) = -2 {/ ■ ехр(-Я t) , (25)

б б из которого, в силу условия теоремы 2, интегрированием тождества (25) получим первую оценку для приближенного решения задачи (10)-(13), т.е.

(

u

N sttt

+

u

N ettx

+

u

N

etxx

) +

N

u

< C

(26)

Отсюда вытекает разрешимость алгебраической системы (24) [7,11]. Оценка (26) позволяет, в силу теоремы 2 и о слабой компактности [7], выполнить предельный переход по

N ^ да и заключить, что некоторая подпоследовательность (X, t)| сходится слабо, в

силу единственности решения (теорема 1), в пространстве V(б) к искомому решению и£(х, t) задачи (10)-(13), обладающему свойствами, указанными в теореме 2 [7,11]. Для и£(х,t), в силу (26), справедливо следующее неравенство

£ ■ (11 иЛ2 + |\иеш\2 + |\иехх\2) + |Ы12 ^ С1II / 112 . (27)

Теперь, переходя к пределу по N ^ да в (24), получим единственное слабое обобщённое решение задачи (10)-(13). Тем самым доказана Теорема 2.

3. Существование обобщённого решения задачи (1)-(4). Перейдем к доказательству разрешимости задачи (1)-(4).

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 1,2. Тогда решение задачи 2

(1)-(4) из ^2 (б) существует и оно единственно.

Доказательство. Единственность решения задачи (1)-(4) в пространстве

2

(б) доказана в теореме 1. Теперь докажем существование обобщённого решения задачи

(1)-(4) в W2(б). Для этого рассмотрим в области б уравнение (10) с краевыми условиями (11 )-(13) при £> 0. Так как выполнены все условия теоремы 2, существует единственное обобщённое решение задачи (10)-(13) при £ > 0 из V(Q) и для него справедлива первая оценка.

2

2

2

0

0

2

Отсюда, по известной теореме о слабой компактности [11,16], следует, что из множества функций j us(X,t)j ,S> 0 можно извлечь слабо сходящуюся

подпоследовательность функций в V(Q) , такую, что j Us. (x,t) j ^ U(x,t) при£;- ^0.

Покажем, что предельная функция U (X, t) удовлетворяет уравнению Lu = f (уравнению (1))

почти всюду в Q . В самом деле, так как подпоследовательность j Us. (X, t) j слабо сходится в

W22(Q), а подпоследовательности {Jsiu еш (x, t)}, {Jsiu Six(t (x t)}, {Jsiu Sixxt (x, t)}

равномерно ограничены в L2(Q) и оператор L линейный, то из равенства $ К ,(e~4) + 2$ (u,xa,(e~4t ) + *, (\at, e-%)+fl (us, m(u4, e~*&\=(f, e~\ (28) для

любой функции \(x,t)eW22(Q), такой, что yDq \=о = Dq 3\t=T; \=o = \=i = 0 переходя к пределу при £t ^ 0, получим единственное обобщённые решение задачи (1)-(4), то есть а(u,e~Ät\) + m(u,e~Ät\)Q=(f,e~Ät\)Q [2,7,10,17].

Таким образом, Теорема 3 доказана.

Литература:

1. Березинский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук.думка,1965.

2. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ,1983.

3. Врагов В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа. // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. С 5-13.

4. Глазатов С.Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольнике// Сиб. мат. журн.,1985, Т26, №6,с. 162-164.

5. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач // Москва: Наука. 1980.

6. С.З.Джамалов. О гладкости одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода в пространстве. //Журнал Средневолжского мат общества. -2019г, Т.21,№1,с. 24-33.

7. Джамалов С.З. Нелокальные краевые и обратные задачи для уравнений смешанного типа. Монография. Ташкент. C.173.

8. Джамалов С.З, Пятков С.Г. О некоторых классах краевых задач для многомерных уравнений смешанного типа высокого порядка. // Сиб.мат.журнал,2020, T.61, №4, с.777-795.

9. Егоров И.Е, Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск,1995, с.133.

10. Терехов А.Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений переменного типа. // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР,1985. с.148-158.

11. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.1973.с.407.

12. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва.: «Наука». 1988 г.

13. Каратопраклиева М.Г. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения, 1991, Т.27, №1, с.68-79.

14. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка // Новосибирск: НГУ, 1990.

15. Франкль. Ф.И. Избранные труды по газовой динамике: Москва. 1973. с.711.

16. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, с-494.

17. Халхаджаев Б., Юсупов Ш., Мамбетсапаев К. О слабом обобщённом решении полунелокальной краевой для уравнения смешанного типа второго рода четвертого порядка. Научный вестник Бухарского государственного университета, 2023г., № 8, стр. 9-15.

TORTINCHITARTIBLI IKKINCHITUR ARALASH TIPDAGI TENGLAMA UCHUN YARIMNOLOKAL CHEGARAVIYMASALANING KUCHSIZ UMUMLASHGAN YECHIMIHAQIDA

Maqolada W 2(Q^ Sobolevfazosida to'rtinchi tartibli ikkinchi tur aralash tipdagi tenglama uchun yarim nolokal chegaraviy masalaning kuchsiz umumlashgan yechimining yagonaligi va mavjudligi isbotlangan.

To'rtinchi tartibli ikkinchi tur aralash tipdagi tenglama uchun davriy nolokal chegaraviy ma sala yechimining yagonaligi integral energiya usuli bilan isbotlangan. Masala yechimining mavjudligini isbotlash uchun «s- regularizatsiya», Faedo-Galerkin va aprior baholash usullaridan foydalanilgan.

О СЛАБОМ ОБОБЩЕНОМ РЕШЕНИИ ПОЛУНЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДА ЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

В статье доказана однозначная разрешимость слабого обобщённого решения одной полунелокальной краевой задачи для периодического типа уравнения смешанного типа

второго рода четвертого порядка в пространстве Соболева ^2(б). Единственность решения полунелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода четвертого порядка доказана методом интегралов энергии. Далее для доказательства

л ^ 2(б)

существования решения рассматриваемых задач в пространстве использованы

методы «е-регуляризации», Фаэдо-Галеркина и априорных оценок

ON A WEAK GENERALIZED SOLUTION OF A SEMINONLOCAL BUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED TYPE EQUATION OF THE SECOND KIND OF THE FOURTH

ORDER

The article proves the unique solvability of a weak generalized solution of one seminonlocal boundary value problem for equation of mixed type of the second kind of fourth order in Sobolev

space W 2(Q) . The uniqueness of the solution to a seminonlocal boundary value problem for an equation of mixed type of the second kind of the fourth order is proved by the method of energy integrals. Further, to prove the existence of a solution to the problems under consideration in space

W 2(Q), the methods of «e-regularization», Faedo-Galerkin and a priori estimates are used.

«Yosh olimlar axborotnomasi» - «Вестник молодых ученых» - «The bulletin of young scientists» 65