CC BY
51
О СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ п-КРАТНЫХ СВЕРТОК ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ*
А. Ю. Зайцев
С.-Петербургское отделение матем. ин-та (ПОМИ) им. В. А. Стеклова РАН, д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., zaitsev@pdmi.ras.ru
Функция концентрации вероятностного распределения Г определяется формулой Q(F,А) = вирхе^{Г{[х,х + А]}}, А > 0. Через Гп мы будем обозначать п-кратную свертку распределения Г. Обозначение Г будет использоваться для распределения разности X — У двух независимых случайных величин X и У, каждая из которых имеет распределение Г = С(Х).
В статье рассматривается классический вопрос о скорости убывания Q(Fn,А) для фиксированного А > 0 при п ^ж>. Свойства функций концентрации п-кратных сверток рассмотрены в монографиях [2, 15, 25 и 26]. Известно, что при фиксированном А > 0 функция концентрации Q(Fn,А) п-кратной свертки невырожденного распределения Г убывает не медленнее, чем 0(п-1/2). Согласно неравенству Колмогорова—Рогозина (см. [23])
С
д(рт,А) <
где с — некоторая абсолютная положительная постоянная. Эссеен [6] уточнил это неравенство, показав, что
с
д(рт,А) <
\fnDiF, А)’ где
шіп {х2Х-2,1} Г{Зх}, \> 0.
-оо
Дальнейшие уточнения этого неравенства можно найти, например, в работах [3, 16, 17 и 22].
Мы можем переписать О (Г, А) в виде
ОДА) = К (Г, А) + С(Г, А),
где
К (Г, А) = А-2 [ х2 Г {Зх}, С(Г, А) = Г {{х : |х| > А}}.
^ \ x\KX
Эссеен (см. [6]) показал, что Ишп^оо А) = 0 тогда и только тогда, когда
Е X2 = то. Различные конкретные оценки Q(Fn, А), имеющие порядок о(п 1/2), содержатся в работах [1], [4]-[8], [10]-[14], [18]-[21] и [27].
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00242), Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-638.2008.1) и Программы фундаментальных исследований РАН «Современные проблемы теоретической математики».
© А.Ю.Зайцев, 2011
В частности, правильный порядок убывания величины Q(Fп,А) при дополнительном условии регулярности
ОД») „
'и;^ркш<о°
был независимо установлен Холлом [14] и Гриффином, Джейном и Пруиттом [12], которые показали, что
С1(Г, А) < ап Q(Fn, А) < С2Г, А) при п > сз(Г, А),
где аи —решение уравнения О(Г, аи) = 1/п. Здесь и в дальнейшем с^ (Г, А) —положительные величины, зависящие только от Г и А.
В совместных работах Ф. Гётце и автора (см. [10] и [11]) было, в частности, получено количественное уточнение результата Эссеена. Было доказано, что
д(^",л)< с4(^л^) ; ^ > о.
п D(F, 5yfn)
Это неравенство уточняет также более ранний результат Л. Н. Морозовой [18], показавшей, что
А) < ^ 5 > 0
п \Jk{F, 5у/п)
Условия, при которых из степенного убывания хвостов функции распределения случайной величины, принимающей только целые значения, вытекают степенные оценки сверху функций концентрации Q(Fп, А), исследуются в работах [4], [5] и [7]. В последние годы появился интерес к условиям быстрого убывания функций концентрации сверток в связи с изучением распределений собственных чисел случайных матриц (см., например, [9], [24] и [28]).
Эссеен [6] показал также, что если Е IX1Г < то при некотором г из интервала 0 <
r < 2, то
Q{Fn, А)> С(Г)А
A + (n E \Х\r)1/r ’
где c(r) — положительная величина, зависящая только от г.
Естественным образом возникает вопрос: существует ли функция ф(х), стремящаяся к бесконечности при х ^ж медленнее, чем х1, и такая, что из условия E ф(\Х\) = то следует существенно более быстрое убывание функций концентрации (по сравнению с Q(Fn, A) = o(n-1/1)) в том смысле, что существует такая не зависящая от F и стремящаяся к бесконечности при n ^ж последовательность <p(n), что
lim а/п (р(п) Q{Fn, А) = 0.
П—— Ж
Аналогичный вопрос можно также поставить об убывании величины Q(Fn, sn), где sn — некоторая последовательность, стремящаяся к нулю при n ^ж. В качестве возможных кандидатов на роль функции ф(х) можно рассмотреть, например, ха, с 0 < а < 2; logх, log log х и т. д.
Интерес автора к данным вопросам появился в связи с обсуждением с Д. Н. Запорожцем скорости убывания функций концентрации n-кратных сверток. Эти вопросы
имеют прямое отношение к совместным исследованиям Д. Н. Запорожца и И. А. Ибрагимова о распределении корней случайных полиномов. Отрицательный ответ на эти вопросы дает следующая теорема.
Теорема. Пусть ц>(п) — произвольная последовательность, стремящаяся к бесконечности при п ^ ж, а ф(х) — произвольная функция, стремящаяся к бесконечности при х ^ ж. Тогда существует такое вероятностное распределение Г = С(Х), что Е ф(\Х\) = то и 1іт8ирп_>00 у/пір(п) 0) = оо.
Доказательство. Будем обозначать через Еа вероятностное распределение, сосредоточенное в точке а Є И.. Мы построим распределение Г в виде
.. ОО
Р=-^Р^+Е^),
3=1
где рз —положительные числа, а аз —натуральные числа, Ь = 2^2О=і рз. Положим аі = рі = 1. Будем строить числа аз и рз, і = 2, 3,..., рекуррентно, предполагая, что числа аз и рз при 1 < і < к уже построены и теперь нам требуется построить числа аи+1 и Рк+1.
Обозначим
1 к
а.,' +
Ьк з=1
где Ьк = 2^2к=1 рз. Пусть Хк,Хк1 ,Хк2,...—независимые одинаково распределенные случайные величины с общим распределением С(Хк) = Гк, и пусть Бкп = 2п=1 Хкз, п =1, ^....
Обозначим ак = О Хк. По неравенству Чебышёва для всех натуральных п имеем
Р(|5^п| > 2акл/п) < ^
4 7 4 ак п 4
Следовательно,
3
Р(|5ьг| < 2 (7ку/п) > -.
Отрезок [—2сгку/п, 2сг^а/п] содержит не более 4сгк\/п-\- 1 целых точек. Учитывая, что случайная величина Бкп имеет распределение ГП и принимает только целые значения, легко убедиться в выполнении неравенства
Р(|5ьг| < 2аку/п) < (4 акЛ/п+ 1) <3(^, 0).
Значит
<Э(П, 0)> °
4 (4 сг^а/п + 1)
Пользуясь тем, что у>(п) ^ то при п ^ то, можем найти такое достаточно большое натуральное число пк > к, что
<3^,0) > 1
л/пк ч>{пк)
Теперь мы завершаем построение, полагая рь+1 = шш{пк 1 /4,рь/2} и выбирая натуральное число а^+1 таким образом, чтобы ф(а^+1) > р-+1. Поскольку строим числа рз таким образом, чтобы рз-+1 < рз/2, ] = 1, 2,..., мы имеем
О < Ь — Ьк = 2 рз < 4ри+\.
3 = к+1 Кроме того, Ь > 2рх = 2. Следовательно,
Ьь Ь — Ьк
-^ = 1------^>1-2 Рк+1.
Пользуясь тем, что рь+1 < п-х/4, получаем, что при достаточно больших к
{^) > ~2рк+1)Пк > е^1.
Нетрудно видеть, что
F = TFt + LT±Gt
F”* = (4М” ‘ FP + (l-(^Y") Hi,
Ь ) к V \Ь где Ок и Н —некоторые вероятностные распределения. Поэтому
/ Ьь \ Пк 1
<3(^,0) >(-£) скр;;\ о)>^===
УЬ/ еупи р(пк)
при достаточно больших к. Тем самым, Ит у/п^<р(пк)<2(РПк,0) = оо. к— Выполнение равенства Е ф(\Х|) = то обеспечивается тем, что мы определили числа аь+1 так, что ^(аь+1) > р-^.
и
Литература
1. Арак Т. В. О скорости сходимости в равномерной предельной теореме Колмогорова. I // Теория вероятн. и ее примен. 1981. Т. 26. Вып. 2. С. 225-245.
2. Арак Т. В., Зайцев А. Ю. Равномерные предельные теоремы для сумм независимых
случайных величин // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 174. 216 с.
3. Bretagnolle J. Sur l’inegalite de concentration de Doeblin—Levy, Rogozin—Kesten // Parametric and semiparametric models with applications to reliability, survival analysis, and quality of life, Stat. Ind. Technol., Birkhauser Boston, Boston, MA, 2004. P. 533-551.
4. Deshouillers J.-M., Sutanto. On the rate of decay of the concentration function of the sum of independent random variables // Ramanujan J. 2005. Vol. 9. N 1-2. P. 241-250.
5. Deshouillers J.-M., Freiman G. A., Yudin A. A. On bounds for the concentration functions // Asterisque. 1999. Vol. 258. P. 425-436.
6. Esseen C. G. On the concentration function of a sum of independent random variables // Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete. 1968. Vol. 9. P. 290-308.
7. Fainleib A. S. On small values of semi-additive function // J. Theoret. Probab. 1998. Vol. 11. N3. P. 609-619.
8. Fainleib A. S. Multifold sumsets and fast decreasing of concentration functions // Statist. Probab. Lett. 2001. Vol. 51. N4. P. 415—421.
9. Friedland O., Sodin S. Bounds on the concentration function in terms of the Diophantine approximation // C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 2007. Vol. 345. N9. P. 513-518.
10. Gotze F., Zaitsev A. Yu. Estimates for the rapid decay of concentration functions of n-fold convolutions // J. Theoret. Probab. 1998. Vol. 11. N3. P. 715-731.
11. Gotze F., Zaitsev A. Yu. A multiplicative inequality for concentration functions of n-fold convolutions // High dimensional probability, II (Seattle, WA, 1999), In: Progr. Probab. Vol. 47, Boston: Birkhauser Boston, 2000. P. 39-47.
12. Griffin P. S., Jain N. C., Pruitt W. E. Approximate local limit theorems for laws outside domains of attraction // Ann. Probab. 1984. Vol. 12. N 1. P. 45-63.
13. Halasz G. Estimates for the concentration function of combinatorial number theory and probability // Period. Math. Hungar. 1977. Vol. 8. P. 197-211.
14. Hall P. Order of magnitude of the concentration function // Proc. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 89. N1. P. 141-144.
15. Хенгартнер В., Теодореску Р. Функции концентрации / Пер. с англ. В. М. Круглова,
В. М. Золотарева. М.: Наука, 1980. 176 с.
16. Kesten H. A sharper form of the Doeblin—Levy—Kolmogorov—Rogozin inequality for concentration functions // Math. Scand. 1969. Vol. 25. P. 133-144.
17. Мирошников А. Л., Рогозин Б. А. Неравенства для функций концентрации // Теория вероятн. и ее примен. 1980. Т. 25. Вып. 4. С. 178-183.
18. Морозова Л. Н. Некоторые оценки функции концентрации суммы независимых одинаково распределенных случайных величин // Предельные теоремы для случайных процессов. Ташкент: Фан. 1977. С. 85-91.
19. Мухин А. Б. О концентрации распределений суммы независимых случайных величин. I; II; III // Изв. АН Узб. ССР. Сер. физ.-матем. 1973. Вып. 2. С. 25-29; 1973. Вып. 6. С. 18-23; 1976. Вып. 1. С. 15-19.
20. Мухин А. Б. Одна оценка быстрого убывания концентрации распределений суммы независимых случайных величин // Предельные теоремы для случайных процессов. Ташкент: Фан, 1976. С. 117-121.
21. Мухин А. Б. О локальных вероятностях сумм независимых случайных величин //
Теория вероятн. и ее примен. 1989. Т. 25. С. 677-685.
22. Нагаев С. В., Ходжабагян С. С. Об оценке функции концентрации сумм независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 1996. Т. 41. Вып. 3. С. 655-665.
23. Рогозин Б. А. Об одной оценке функций концентраций // Теория вероятн. и ее примен. 1961. Т. 6. Вып. 1. С. 103-105.
24. Rudelson M., Vershynin R. The Littlewood—Offord problem and invertibility of random matrices // Adv. Math. 2008. Vol. 218. N 2. P. 600-633.
25. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972. 416 с.
26. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.:
Наука, 1987. 320 с.
27. Сучков А. П., Ушаков Н. Г. О быстром убывании функций концентрации сумм независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 1989. Т. 34. С. 604-607.
28. Tao T., Vu Van H. Inverse Littlewood—Offord theorems and the condition number of random discrete matrices // Ann. of Math. (2). 2009. Vol. 169. N2. P. 595-632.
Статья поступила в редакцию 21 декабря 2010 г.
