CC BY
8
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 157-168
Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 157-168
mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-157-168, EDN: QSUBAS
Научная статья УДК 517.538.5
О скорости интерполяции наипростейшими дробями аналитических функций с регулярно убывающими
коэффициентами
М. А. Комаров
Владимирский государственный университет, Россия, 600000, г. Владимир, ул. Горького, д. 87
Комаров Михаил Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа и его приложений, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4831-081X, ЛиШогШ: 169871
Аннотация. Рассматриваются задачи кратной интерполяции по узлу г = 0 аналитических в единичном круге функций f (z) = fo + f1z + ... посредством наипростейших рациональных дробей (логарифмических производных алгебраических многочленов) со свободными полюсами и с полюсами, лежащими на окружности | = 1. Получены оценки остатков интерполяции при условии вида |/m-1 | < С/у/т, т = 1, 2,----Точнее, мы предполагаем, что модули коэффициентов Маклорена fm функции f не превосходят соответствующих коэффициентов ат в разложении a/y/1—x (-1 < х < 1, 0 < а < а* « 0.34) по степеням х. Для доказательства оценок используются конструкции наипростейших дробей Паде со свободными полюсами, разработанные В. И. и Д. Я. Данченко (2001), О. Н. Косухиным (2005), В. И. Данченко и П. В. Чунаевым (2011), и развитая автором статьи (2020) конструкция интерполирующих наипростейших дробей с полюсами на окружности. Наши теоремы дополняют и усиливают ряд результатов перечисленных работ. Используя свойства последовательности {ат}, удается доказать, в частности, что при ограничении |fm | ^ ат все полюсы наипростейшей дроби Паде функции f расположены во внешности единичной окружности.
Ключевые слова: наипростейшая дробь, рациональная аппроксимация, кратная интерполяция, аналитическая функция, степенная сумма
Для цитирования: Комаров М. А. О скорости интерполяции наипростейшими дробями аналитических функций с регулярно убывающими коэффициентами // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 157-168. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-157-168, EDN: QSUBAS Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Article
Rate of interpolation of analytic functions with regularly decreasing coefficients by simple partial fractions
M. A. Komarov
Vladimir State University, 87 Gorky St., Vladimir 600000, Russia
Mikhail A. Komarov, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4831-081X, AuthorlD: 169871
Abstract. We consider the problems of multiple interpolation of analytic functions f (z) = f0 + + fiz + ... in the unit disk with node г = 0 by means of simple partial fractions (logarithmic derivatives of algebraic polynomials) with free poles and with all poles on the circle | = 1. We obtain estimates of the interpolation errors under a condition of the form | fm-i | < C/y/m, m = 1, 2,.... More precisely, we assume that the moduli of the Maclaurin coefficients fm of a function f do not exceed the corresponding coefficients am in the expansion of а/у/1 — x (—1 < x < 1, 0 < a < a* « 0.34) in powers of x. To prove the estimates, the constructions of Pade simple partial fractions with free poles developed by V. I. and D. Ya. Danchenko (2001),
0. N. Kosukhin (2005), V. I. Danchenko and P. V. Chunaev (2011) and the construction of interpolating simple partial fractions with poles on the circle developed by the author (2020) are used. Our theorems complement and improve a number of results of the listed works. Using properties of the sequence {am} it is possible to prove, in particular, that under the condition | fm | ^ all the poles of the Pade simple partial fraction of a function f lie in the exterior of the unit circle.
Keywords: simple partial fraction, rational approximation, multiple interpolation, analytic function, power sum
For citation: Komarov M. A. Rate of interpolation of analytic functions with regularly decreasing coefficients by simple partial fractions. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 2, pp. 157-168 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-157-168, EDN: QSUBAS
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
1. Введение. Конструкции кратной интерполяции
В теории рациональных приближений хорошо известны наипростейшие дроби (н.д.) — рациональные функции вида
п i
Рп(z) = Y, , Ъ е C.
к=1
Начало активному исследованию аппроксимационных и интерполяционных свойств н.д. со свободными полюсами положила работа В. И. и Д. Я. Данченко [1]; подробный обзор результатов можно найти в [2].
1.1. Один из важных способов аппроксимации этими аппаратами заключается в построении так называемых наипростейших дробей Паде кратной интерполяции. Напомним, что н.д. ри порядка у ^ п является н.д. Паде п-кратной интерполяции (с узлом = 0) аналитической вблизи г = 0 функции
/(*) = /о + Д* + f2Z2 + ..., (1)
если
й„(/; г) := /(г) - р„(г) = 0(гп), г ^ 0. (2)
Задача (2) всегда однозначно разрешима [1], причем, как показал О. Н. Косухин [3], н.д. ри совпадает с логарифмической производной п-го полинома Маклорена
рп(:= 1+ 01* + ... + дпхп (3)
функции
9(г) :=ехр(0/(¿М) =1+ 9И + ... + + .... (4)
С помощью этой конструкции в [3] получена оценка остаточного члена интерполяции (2) в единичном круге Б = {г : < 1} в случае, когда / аналитична в Б и принадлежит классу Харди Н1 = Н1 (Б):
Iй-< м-е-1^ -■■ [%,,. ^е d (5)
(при любом п, для которого знаменатель положителен). Здесь
I ГЖ
ll-ZHi := Н/Ня.(D) = sup — \f(re*)|<Ю.
0<г<1 2к J -к
Следует подчеркнуть, что, в отличие от задачи (2), для н.д. задача интерполяции по нескольким узлам может не иметь решений либо иметь более одного решения; некоторые признаки однозначной разрешимости см. в работах [4,5].
1.2. В [1] разработан следующий метод построения н.д. Паде. Для заданной функции (1) и натурального п обозначим через
АП, 1 5 •••5 АП,П (6)
решение системы
Sm :=\? + • • • + А™ = - fm-1, m = 1п,
где Sm — степенные суммы неизвестных комплексных чисел Ak. Как известно, такая система моментов имеет решение при любых правых частях, притом единственное, и это решение совпадает с корнями многочлена
Р (А) = Ап + diAn-1 + ... + dn,
коэффициенты которого выражаются через значения степенных сумм Sm по рекуррентным формулам Ньютона
di = -Si, dk = -7 S* + , k = 2,... ,п. (7)
Обозначив через V (V ^ п) количество отличных от нуля чисел (6), можем, не нарушая общности, полагать, что
= • • • 5 = 0, ХП,и+1 = • • • = АП,П = 0.
Тогда искомая дробь п-кратной интерполяции функции / представится в виде
^ 1
РV( ¿0 = У. - " 5 := А-к 5
к = 1 Х -
ибо р„(г) = -3 -----+ 0(гп) = Д + Дг + • • • + Д-^п-1 + 0(гп) по
выбору чисел .
Опираясь на эту конструкцию, В. И. Данченко и П. В. Чунаев [6] доказали и возможность представления н.д. Паде в интегральной форме:
— / ^ ^^ - о = «,). (8)
где 7 — спрямляемый жорданов контур, охватывающий точку z0 = 0, G — внутренность контура (предполагается, что f аналитична в замыкании области G), а Q — полином степени v с корнями в определенных выше точках znj1,...,zn^v. Выражение (8) дает удобную для оценок форму остатка интерполяции (2):
Й(Ь) = 1 .il. Г ЩЩ dr Z&G (9)
НnU'Z) 2mQ(z)J1 (С -z) С Z£G- (9)
Соответствующая оценка дана в [6] для интерполяции функций, коэффициенты которых подчиняются условию | fm-i | ^ am, m = 1,2,..., с некоторым а > 0. В частности, в основном случае а = 1 получается следующее:
если | fm-1 | ^ 1 для всех m, то
1 Ып /1 — Т + г\n 3г \Rn(J;z)\ ^ 1-LL 1-^ ln-R, \z\ <r < 1 -rn, (10)
1 - r rn - Tn — rj r — \z\
где rn G (0,1) удовлетворяет соотношениям тП = (1 - Tn)n+1, rn x n-1 Inn.
Скорость приближения нельзя существенно повысить, что видно из примера функции (1 - *)-1 [7]. Доказательство неравенства (10) опирается на интересный сам по себе результат [7, лемма 3], [8, лемма 3]:
если степенные суммы Sm чисел \1,... ,Xn допускают оценку
|Sm| < 1, m = 1,...,n, (11)
то
|Afc| < (1 - rn)-1, k = 1,...,n;
при этом, для любого достаточно большого нечетного n существуют наборы чисел \1,... ,Xn с тем же свойством (11) такие, что
maxfc\Xk| > 1 + (10n)-1. (12)
В оценке (10) при каждом n радиус г отделен от 1 (и (12) показывает, что это ограничение нельзя вовсе убрать), тогда как функция f ввиду |fm-11 ^ 1 аналитична во всем открытом единичном круге. В теореме 1 настоящей работы при небольшом усилении ограничения на коэффициенты (|fm-11 = 0(m-1/2)) мы установим оценку, применимую при любом г G (0,1) и демонстрирующую лучшую, чем оценки (5) и (10), аппроксимацию вблизи границы круга.
1.3. Задача аппроксимации посредством н.д. допускает естественное толкование как задача о размещении n единичных зарядов, создающих поле, близкое к заданному. Поэтому особый интерес представляют приближения наипростейшими дробями при тех или иных ограничениях на расположение их полюсов.
Принципиальная возможность аппроксимаций посредством н.д. с полюсами на предписанных множествах исследовалась начиная с 1960-х гг. в работах Я. Кореваара, М. Томпсона, Ч. Чуи и др. (недавние результаты по этой тематике см. в статье П. А. Бородина [9]). В то же время скорость таких аппроксимаций исследовалась мало. В случае равномерной метрики наиболее общим результатом является, по-видимому, следующая оценка [10] n-кратной интерполяции функций из класса Харди Н1 в круге D посредством н.д. порядка 2n + 1 с полюсами на окружности |z| = 1:
для любой функции / € Я1 и достаточно больших п ^ п0 (/) существуют попарно различные числа г1.... .х2п+1 (все | хк | = 1) такие, что
2п+1 1
/м
к=1- *
п + 1
< (Я(1 — Дп+1 )2 . И < 1 (13)
где С(/) = 2е*"?(1 + ||/||1 )(1 + ^НЛКе^И1).
Напомним схему построения интерполирующих н.д. (13). Для заданной аналитической вблизи X = 0 функции / снова строим функцию (4) и полином (3):
п те
ф) = Рп(*)+^п(*). Рп&) = 1 + ^2дкгк, 9к*к. (14)
к=1 к=п+1
Хорошо известно (см., например, [10, лемма 1]), что если при данном п полином рп не имеет корней в открытом единичном круге, то все 2п + 1 корней полинома
О*(*):= Рп(г) + г2п+' рп(1/г) (15)
попарно различны и принадлежат окружности = 1. Эти корни и выбираются в качестве г1..... х2п+1. Нетрудно проверить, что для н.д. р*(г) = (О*^))'/О* (х) (ее порядок равен 2п + 1) действительно /(х) — р*(х) = 0(^п), г ^ 0.
Ниже в теореме 2 при сохранении конструкции полюсов гк результат (13) будет усилен и дополнен на том же классе функций, что в теореме 1.
2. Основные результаты
Для формулировки результатов положим
- = !• - = |2|—1. * = 2.3..........(.6)
Ввиду известного разложения
^ = 1 — I, — V (2к—1)!!~к 2 к (2*)!!
имеем при , € [—1.1] и , € (—1.1) соответственно
,
-.те -.те
V!—, = 1 — 2Е Т,к и ^-Е Ск,к-К (17)
к=1 к=1 Числа ск убывают, причем для к = 1. 2.... имеем по формуле Стирлинга
^ - к§ = < ^ (1 < < <^)-Положим также
гг/ Л Л 2Т1 — оЛ, — (1 + а)Т1 — ^ п п , /1ПЧ
и (I .о) = 2о—----2о. 0 ^о< 1. (18)
1 о
4а
v(a) = . - 2а (v(a) = U(1, а)), V1 — а
и обозначим через а* лежащий в интервале (0,1) корень уравнения v(a) = 1. Функция U возрастает по первому аргументу, поэтому
0 < U(t, а) < v(a) < 1 при 0 ^а < а* = 0.3414...
для каждого 0 ^ t ^ 1.
Теорема 1. Пусть f(z) = f0 + fiz + ... и при некотором а е (0, а*]
| fm-i | ^ аст, т = 1, 2,...,
где сш — числа, определяемые равенствами (16). Тогда при любых п = 1,2,... и г е (0,1) погрешность интерполяции Паде (2) допускает оценку
г* м / а 1+и (г,а) л ,11 г2 ^ I.
^ —--;---' \ 1 + -1п —-ПТ7 , Ы < г,
1 nyj ' л ^ гп ^ 1 _ и(|^|,а) \ ^ г2 - |*|2У 11
а полюсы гП}1,..., н.д. Паде ри удовлетворяют неравенству
|zщk| > Ма))"1/п ^ 1, к = 1,...,п.
Для сравнения напомним, что в предположении |/т-11 < 1 оценка шт^ |zn^| ^ 1, вообще говоря, невозможна (см. (12)). Мы фактически доказываем, что если (11) заменить условием |5ТО| < аст (а < а*; т = 1,... ,п), то шах^ Л| < (у(а))1/п < 1.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 при любом п = 1,2,... найдутся попарно различные числа г1,..., z2n+1 (все | Zk | = 1) такие, что в круге |z| < 1
1 < 2к|" (1 + а)(1 -а)-1 (п +1+ а \ (1д)
/(г)-^^ < 1 -|,|«+1 1 -и(и,а) Vя+2+тт-т^;• (19)
Заметим, что теорема 2 дополняет и усиливает оценку (13) в двух направлениях. Во-первых, при |*| ^ 1 и фиксированном п оценка (19) имеет порядок 0((1 — |*|)-3/2), тогда как оценка (13) — лишь порядок 0((1 — |*|)-2). Во-вторых, функции, удовлетворяющие условиям теоремы 2, не обязаны принадлежать классу Харди Н1. Так, ввиду свойств чисел (16) имеем
^с^ ^ 1 (к ^ то), с\ + с2 + ... = то, следовательно, почти для любого выбора знаков ек = ±1 функция
те
Л (¿0 =а^2 €кСкгк-1, а > 0,
по теореме Литтлвуда [11, стр. 228] не имеет радиальных пределов почти нигде на единичной окружности (т.е. множество тех р е [-ж, ж], для которых существует lim fe(rег{р), имеет меру нуль). Следовательно, при таком выборе множителей ек
функция fe не может принадлежать Н1. В то же время теорема 2 применима к функции f€ при любом а ^ а*.
Между теоремой 1 и оценками (5), (10) справедливо аналогичное сравнение.
3. Вспомогательные результаты
3.1. Нам потребуется решение рекуррентного уравнения
к-1
•1 = о. Гк = (к > 2); о > 0. (20)
2о
1
г Л
=1
Воспользуемся методом производящих функций. Если обозначить
тете
Ро(,) = £ Тк,к. Р(х) = £ Г-к,к. А = -. к=1 к=1 к 2о
то в силу определения последовательности {гк} формально будем иметь
АР(,)Р0(ж) = А (ух + у ж2 + ...) (пх + Г2,2 + ...) = = АуГ1,2 + А (у Г2 + уп) х3 + ... = Г2,2 + г3х3 + ... = Ро(х) — 7*1 ж.
а также Р0(ж) = хР'(ж). Видим, что Р(ж) удовлетворяет задаче Коши
(1 — А г/ У = п. 2/(0) = 0. имеющей интеграл — А у2/2 = г1х. Отсюда, учитывая Р (0) = 0, находим
Р (ж) = А-1 (1 — л/ 1 — 2А г 1ж). Но А = (2о)-1, г1 = о, так что (см. (17))
те
Р(ж) = 2о(1 — л/1—ж) = о V ^хк.
к=1
Из сравнения этого разложения с разложением Р(ж) = ^ ^кхк/к вытекает Лемма 1. Решение уравнения (20) при любом о > 0 дается формулой
Г к = о Ск.
где ск — числа, определяемые равенствами (16).
3.2. С помощью леммы 1 докажем следующие оценки.
Лемма 2. Пусть элементы числовых последовательностей {дки {Ьк}те=1 связаны рекуррентными соотношениями
1 ^Ьк + ькч9^ .
Р1 = Ь. 9к = 1( Ьк + >; Ьк-№ I. к = 2. 3..... (21)
Пусть п = 1.2...., аск — числа (16). Тогда при условии
|Ьк| ^ оск. к = 1.....п. о € (0.1).
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2 выполняется оценка
I I ^ aCk 1 1 1 +а — 2ак /00ч
|дк| ^ —г£к, к = 1,..., п, ек :=---, (22)
к 1 — Qi
а следовательно, и оценка
ж
\gi\t + ... + |дп |tn < ^ ±ektk = U(t, a), (23)
k=i
где t — любое число из промежутка (0,1].
Доказательство. При к = 1 и к = 2 оценка (22) верна, ибо сЛ = ei = 1, с2 = 1/2, £2 = 1 + 2а,
I | | а(1 + 2д) \gi\ = \6i\ < а, \02\ < -2- ^ -4-'
Положим гj := aCj и допустим, что неравенство \gj\ ^ rj£jЦ выполнено при всех j ^ к — 1, где к — целое, большее двух. Тогда в силу (21) и \ bj \ ^ a Cj имеем
k-i к-i k-i к \ gk \ < \ bk \ + ^ \ \\\ < rk + ^ = rk + n г k-i + ^ .
3=1 3=1 3 3=2 3
Учитывая монотонное возрастание множителей £j и тот факт, что последовательность {rj} доставляет решение уравнения (20) (см. лемму 1), получаем
к-i к-1 к\дк \ ^ Гк + Пrk-i + £k-i J k-J = rk + Пrk-i (1 — £k-i) + £k-i 3 k-J =
3=2 3 j=i 3
= rk + ark-i(1 — £k-i) + £k-i • 2ark.
Но 1 — £k-i ^ 0, а rk-i > rk, следовательно,
к1| ^ rk + ark(1 — £k-i) + 2ark£k-i = rk(1 + a + a£fc_i) = rk£k.
Оценка (22) доказана по индукции.
Докажем неравенство (23). При любом t е (0,1] имеем
Еаск л V^ Л + а 2ак \ cfcr
t х=tt M Г—^ — —a)—,■
к—i к—i
причем в силу первого из тождеств (17)
Ск к
ж
S(t) := ^ = 2 — t.
к=1
Следовательно,
те 1 + 2
|й+ ... + |5п|Г < V ^ек1к = а 5(Г) —(,И) = и(I, а).
к 1 — а 1 — а
к=1
Лемма полностью доказана. □
Отметим, что из совпадения и(I,а) с суммой ряда ^аск£к1к/к, 0 < I < 1, сразу видно возрастание функции и по первому аргументу.
3.3. Наконец, нам будет нужно следующее утверждение, фактически установленное в [7]. Для полноты изложения мы приводим здесь и его доказательство.
Лемма 3. Коэффициенты дт функции (4) выражаются через коэффициенты /т функции (1) по формулам (21), в которых Ьк := /к-1, к = 1. 2. —
Доказательство. Напомним, что
те
д{г) = е*(г) = £ Зкг*.
к=0
где
г* те ъ
Р(*)= / = £ к. Ьк = /к-1.
^ к=1 к
Ясно, что до = д(0) = 1. Покажем, что
1 к-1
9к = Ьк-з9з. к = 1. 2..... =0
При к = 1 равенство верно, ибо ^ = д'(0) = д(0)Р'(0) = 61. Предположив, что оно верно при всех 1 < к < т — 1, докажем его справедливость при к = т (т ^ 2). С помощью формулы Лейбница находим
т- 1
т! дт = 3(т) (0) = (9/)<т-1)(0) = ЕС™-13(Л (0)/(т-1-л (0)
3=0
т-1 т-1
Е ст-и'!Ф(т — 1 — ])!Ьт-3 = (т — 1)! Е
3=0
т-1 т-1
т т- т-
3=0 3=0
Отсюда и следует искомое. □
4. Доказательство теоремы 1
В условиях теоремы функция / аналитична во всем круге < 1, поэтому в качестве контура 7 в (9) можно взять окружность | = г с любым г € (0.1). Полагая Мг(/) = йир|^|=г |/(С)| и оценивая интеграл в (9), получим при любом натуральном п
< М (ДМ- (О) Г | < | ,,
Из отмеченных в п. 1 результатов ясно, что с точностью до постоянного множителя (не влияющего на значения логарифмической производной О'/О) полином О совпадает с п-ым полиномом Маклорена функции д, определенной в (4). Таким образом, можем положить
О(*) = Рп (*) = 1 + 01* + • • • + .
Но согласно лемме 3 величины .д2.... выражаются через величины 61.62.... (:= Л'-1) по рекуррентным формулам (21), тогда как в условиях теоремы 1Ь^1 < о о,-при всех Д Следовательно, в силу (23) и о < о* имеем
Мг(О) < 1 + и(г.о). |О(*)| ^ 1 — и(|*|.о) > 0. <г < 1.
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2 Кроме того, из условия |/т-11 < аст следует (см. (17))
а
г < 1.
Мг(/) < ^ | ¡т Г < а£ скгк-1 = -=
т=0 к=1 7
Тем самым
К(/;*)| <
а 1 + и (г, а)
№ |
2хг»у/Г=Т 1 - и(1г1,а)]10=г |С - г|
, |z| < Г.
Последний интеграл может быть выражен [12, с. 416] через значение полного эллиптического интеграла 1-го рода К(к):
1
I <К I
\С\=г
6Л,
К-*1 к \/Г—
= 2К(5),
где
К(«) =
ж/2
д/1 — к2 БШ2 ф
5= ^ < 1.
Но [13, с. 26]
поэтому
2К(к) < к — 1п(1 — к2), 0 <к< 1,
1
2К
г _Ж_
'к^г |С —*|
1 г2 к Г2 — р|2
N <г,
и мы приходим к искомой оценке остатка интерполяции.
Положим V = г;(а). Для оценки полюсов н.д. Паде ри(*) = О'(z)/Q(z) (корней полинома О) достаточно заметить, что при |*| < р := у~1/п (р ^ 1 в силу а < а*) имеем |*|к < рк < рп = у-1 при всех к = 1,..., п, а значит,
|О(*)| > 1 — (1911 + ... + Iдп|)> 1 — глт1 = 0 (применили оценку (23) при I = 1). Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2
Рассуждая как при доказательстве теоремы 1, придем к оценкам (22), (23) коэффициентов дк функции д (см. (4)). С помощью (23) при любом п = 1,2,... установим, что п-ый полином Маклорена этой функции не имеет корней в круге |*| < 1:
\Рп ( *)| = |1+ 91* + ... + 9^п | ^ 1 — и (|*|, а) > 0 (а < а*).
Следовательно, все 2п + 1 корней ,..., z2n+1 полинома О* (см. (15)) попарно различны и лежат на окружности |*| = 1. При этом верна оценка [10, лемма 2]
2п+1
/м — £ тз
к=1
— к
< к ( *)| + ^ тм 1 - (1 — |*|п+1 ж(*)| ' | | < '
где
|Лп(*)| < ^Г(2п + 1)М + |<(*)|, М = 1 + |дк|,
к=1
и, как отмечено выше, |рп( *)| ^ 1 — и(|*|,а) (обозначение кп(*) см. в (14)).
п
ж
2
о
Оценим числитель дроби. В круге |*| < 1 ввиду (22) и свойств чисел имеем
1 + a
К.( < Е %kN*|k-1 < Е a^ekk|t-1 < Е l^lfc-n-1 <
k=n+1
' 1 -a k=i k" yT—]z|1 -a
k=n+1
Ж
k=n+1
a 1 + a
С учетом M < 1 +v(a) < (1 + a)/(1 — a) мы получаем
(*)| + |*n+V(*)|M < 2n + 1 +
откуда и следует искомое. Теорема 2 доказана.
(1 + |*|)a \ 1 + a Й
11
a
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
11. 12.
13.
Список литературы
Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Математические заметки. 2001. Т. 70, вып. 4. С. 553-559. https://doi.org/10.4213/mzm767 Данченко В. И., Комаров М. А., Чунаев П. В. Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей // Известия вузов. Математика. 2018. № 12. С. 9-49. Косухин О. Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами : дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2005. 80 с. Кондакова Е. Н. Интерполяция наипростейшими дробями // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 2. С. 30-37. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-2-30-37 Комаров М. А. Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2015. Т. 79, вып. 3. С. 3-22. https://doi.org/10.4213/im8266 Danchenko V. I., Chunaev P. V. Approximation by simple partial fractions and their generalizations // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 176, iss. 6. P. 844-859. https://dx.doi.org/10.1007/s10958-011-0440-5
Чунаев П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2010. Т. 270. С. 281-287. EDN: MVSMGZ Chunaev P. V. Interpolation by generalized exponential sums with equal weights // Journal of Approximation Theory. 2020. Vol. 254. Art. 105397. https://doi.org/10.1016/j-.jat.2020. 105397
Бородин П. А. Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II // Математический сборник. 2016. Т. 207, вып. 3. С. 19-30. https://doi.org/10.4213/sm8500 Комаров М. А. О скорости аппроксимации в единичном круге функций класса Н1 логарифмическими производными полиномов с корнями на границе круга // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020. Т. 84, вып. 3. С. 3-14. https://doi.org/10.4213/im8901
Duren P. L. Theory of Hp spaces. New York ; London : Academic Press, 1970. 258 p. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды : в 3 т. Т. 1 : Элементарные функции. Москва : Наука, 1981. 800 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции : в 3 т. Т. 3 : Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. Москва : Наука, 1967. 300 с.
References
1. Danchenko V. I., Danchenko D. Ya. Approximation by simplest fractions. Mathematical Notes, 2001, vol. 70, iss. 4, pp. 502-507. https://doi.org/10.1023/A:1012328819487
2. Danchenko V. I., Komarov M. A., Chunaev P. V. Extremal and approximative properties of simple partial fractions. Russian Mathematics, 2018, vol. 62, iss. 12, pp. 6-41. https: //doi.org/10.3103/S1066369X18120022
3. Kosukhin O. N. On some non-traditional methods of approximation, related to complex polynomials. Diss. Cand. Sci. (Phiz. and Math.). Mos^w, 2005. 80 p. (in Russian).
4. Kondakova E. N. Interpolation by simple partial fractions. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2009, vol. 9, iss. 2, pp. 30-37 (in Russian). https: //doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-2-30-37
5. Komarov M. A. A criterion for the best uniform approximation by simple partial fractions in terms of alternance. Izvestiya: Mathematics, 2015, vol. 79, iss. 3, pp. 431-448. https: //doi.org/10.1070/IM2015v079n03ABEH002749
6. Danchenko V. I., Chunaev P. V. Approximation by simple partial fractions and their generalizations. Journal of Mathematical Sciences, 2011, vol. 176, iss. 6, pp. 844-859. https://dx.doi.org/10.1007/s10958-011-0440-5
7. Chunaev P. V. On a nontraditional method of approximation. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2010, vol. 270, iss. 1, pp. 278-284. https://doi.org/10.1134/S0081 543810030223, EDN: OHNDBB
8. Chunaev P. V. Interpolation by generalized exponential sums with equal weights. Journal of Approximation Theory, 2020, vol. 254, Art. 105397. https://doi.org/10.1016/j-.Jat.2020. 105397
9. Borodin P. A. Approximation by simple partial fractions with constraints on the poles. II. Sbornik: Mathematics, 2016, vol. 207, iss. 3, pp. 331-341. https://doi.org/10.1070/SM8500
10. Komarov M. A. On the rate of approximation in the unit disc of H1 -functions by logarithmic derivatives of polynomials with zeros on the boundary. Izvestiya: Mathematics, 2020, vol. 84, iss. 3, pp. 437-448. https://doi.org/10.1070/IM8901
11. Duren P. L. Theory of Hp spaces. New York, London, Academic Press, 1970. 258 p.
12. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. Integraly i ryady. T. 1: Elementarnye funktsii [Integrals and Series. Vol. 1: Elementary Functions]. Moscow, Nauka, 1981. 800 p. (in Russian).
13. Bateman H., Erdelyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii. T. 3: Ellipticheskie i avtomorfnye funktsii. Funktsii Lame i Mat'e [Higher Transcendental Functions. Vol. 3: Elliptic and Automorphic Functions, Lame and Mathieu functions]. Moscow, Nauka, 1967. 300 p. (in Russian).
Поступила в редакцию / Received 23.03.2022 Принята к публикации / Accepted 16.11.2022 Опубликована / Published 31.05.2023
