О сколь угодно больших скачках функции Головача для деревьев Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.977,519.173

О СКОЛЬ УГОДНО БОЛЬШИХ

СКАЧКАХ ФУНКЦИИ ГОЛОВАЧА ДЛЯ ДЕРЕВЬЕВ*

Т. В. Абрамовская1, Н. Н. Петров2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, tanya.abramovskaya@gmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, nikolai.petrov@pobox.spbu.ru

Введение. Рассматривается задача е-поиска на графах, основное внимание уделяется изучению скачков функции Головача для деревьев. Исследования в этом направлении были предприняты в работах [1] и [2]. В первой статье приводится достаточное условие единичности скачка функции Головача для деревьев и доказывается важная лемма «о трёх ветвях». В работе [2] построены примеры деревьев, в которых указанное достаточное условие нарушается, и функция Головача для этих деревьев имеет скачок высоты 2. Приведённые примеры не только подтвердили существенность условий теоремы о единичных скачках, но и оказались минимальными по числу рёбер деревьями с «вырожденной» (имеющей неединичные скачки) функцией Головача. Авторы настоящей статьи некоторое время полагали, что, помимо перечисленного, на этих примерах достигается наибольший скачок функции Головача, возможный для деревьев. В настоящей статье это предположение опровергается, и утверждается, что скачок функции Головача для деревьев может быть сколь угодно большим.

В работе [2] на упомянутых выше примерах с двойным скачком было показано, что сколь угодно малым шевелением длин рёбер дерева с вырожденной функцией Головача может быть получено дерево, функция Головача для которого имеет только единичные скачки. В настоящей работе теорема о малых шевелениях длин рёбер доказана в общем виде.

Проблема е-поиска формулируется следующим образом. В трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается связный топологический граф с рёбрами, представляющими собой конечнозвенные ломанные, которые могут пересекаться только в верши-

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (грант №2010-1.1-111-128-033).

© Т.В.Абрамовская, Н.Н.Петров, 2011

нах. На графе находятся преследователи Р1,... ,Ри и убегающий Е. Предполагается, что игроки обладают простыми движениями:

(Д) : ±г = щ, ||м*|| < 1, г € 1,п, ,

(Е): у = ио, (1)

причём граф является для всех участников фазовым ограничением. Допустимыми управлениями игроков являются кусочно-постоянные функции, заданные на произвольных замкнутых временных отрезках [0, т]. Траектории преследователей и убегающего— кусочно-аффинные вектор-функции со значениями в графе. На графе введена метрика р — длина кратчайшего по евклидовой норме пути, соединяющего две точки и целиком лежащего в графе. Команда преследователей пытается поймать невидимого убегающего, который, в свою очередь, стремится избежать поимки. Считается, что убегающий пойман преследователем, если оба участника находятся на расстоянии, не превосходящем заданного неотрицательного числа е. Задача е-поиска состоит в том, чтобы для каждого топологического графа найти е-поисковое число, т. е. наименьшее

число преследователей, необходимое для успешного завершения е-поиска. Функция,

которая каждому е сопоставляет е-поисковое число, называется функцией Головача.

Программой команды преследователей Р = {Р1,..., Ри} называется совокупность П траекторий {х1 (£),... , хи(£),£ € [0, т]}. Программа называется выигрывающей с радиусом поимки е, если для любой траектории убегающего у, заданной на [0, т], существуют £ £ [0, г] и г £ 1, к такие, что р(ж*(£),г/(£)) < е.

Множество С С О называется очищенным при использовании программы П в момент £ € [0, т], если оно представляет собой множество всех точек а € О, для каждой из которых верно следующее: не существует траектории убегающего у, заданной на [0, т], такой, что г/(£) = а и Ш' < Ь справедливо равенство р(жг(^/), > £ для всех г £ 1, к.

Наименьшее число преследователей, осуществляющих поимку с нулевым радиусом на графе О, обозначается в (О), е-поисковое число графа О обозначается ва(е), так что (0) = в(О).

Для натурального к < в (О) обозначим через еа(к) минимальный радиус поимки, с которым группа к преследователей ловит убегающего на О (в силу полунепрерывности справа функции Головача (см. [3]) минимальный радиус поимки существует).

1. Ранее полученные результаты. Приведённые здесь утверждения опубликованы в [1], в дальнейшем они будут использованы для доказательства основных результатов статьи.

Лемма 1. Для любого поддерева Т' произвольного дерева Т имеет место неравенство ет>(к) < ет(к).

Ветвью дерева Т, отходящей от вершины а, назовём замыкание компоненты связности множества Т\{а}.

Будем говорить, что преследователь Р*, движущийся по траектории х*(•), е-близок (е-неблизок) к точке дерева а в некоторый момент £, если р(а, х(£)) < е (р(а, х(£)) > е). Вершину степени три или более будем называть существенной. Существенную вершину будем называть е-критической, если она находится на расстоянии 2е от некоторой другой существенной вершины.

Сформулируем следующую лемму о трёх ветвях.

Лемма 2. Пусть на дереве Т существует вершина а, от которой отходят три ветви: В і, В 2, Вз. И пусть для каждой ветви Ві, і = 1, 2, 3, выполнено следующее: в любой программе команды V, выигрывающей в задаче є-поимки на Ві, найдется момент времени, в который каждый из преследователей є-неблизок к а. Тогда команда V не может успешно завершить є-поиск на Т.

Верна следующая теорема о единичных скачках.

Теорема 1. Рассмотрим дерево Т и є > 0, пусть Т не содержит є-критических вершин, а к преследователей ловят убегающего с радиусом поимки є. Тогда группа из к +1 преследователей осуществляет 5-поимку на Т, где 6 < є.

2. Скачки функции Головача для деревьев. В этом пункте будут изучены свойства функции Головача для последовательности деревьев, строящейся следующим образом.

Через Т обозначим дерево, от одной вершины которого отходят одно ребро длины три и два ребра единичной длины (см. рис. 1).

Через То обозначим дерево, составленное из трёх деревьев вида Т, соединённых в вершине со по рёбрам длины 3. Пусть Тп_і, п > 1, уже построено, тогда дерево

Тп строится следующим образом: возьмём три экземпляра дерева вида ТП_______і, новую

вершину сп и соединим сп ребром длины 1 с каждой из вершин сп_і.

Рис. 1.

Теорема 2. Для всех п > 0 и 0 < е < 0.5 верно равенство в(Тп) = зтп (е) = п + 3.

Доказательство. Рассмотрим произвольное 0 < е < 0.5. Докажем утверждение теоремы с помощью индукции по п. Поточечная поимка на То тремя преследователями осуществляется очевидным образом: один из преследователей занимает вершину со и стоит там в течение всего поиска, два других преследователя очищают ветви, отходящие от со. Далее, отходящие от со ветви имеют вид Т. Для поимки на каждой ветви вида Т с радиусом е необходимы два е-неблизких к со преследователя, тогда по лемме 2 два преследователя не могут поймать убегающего на То с радиусом поимки е.

Дерево Ті четыре преследователя с нулевым радиусом поимки очищают аналогичным образом: Рі занимает вершину сі, три других выбирают одну из отходящих от сі ветвей, переходят по инцидентному Сі ребру в вершину со и очищают дерево вида То, при этом понятно, что одному из трёх преследователей допустимо в течение всего очищения ветви стоять в вершине со. Затем Р2, Рз, Р4 переходят на другую ветвь, отходящую от сі, очищают её и завершают поимку очищением третьей ветви. Так как для очищения каждой ветви вида То, отходящей от вершины сі, необходимы три є-не-близких преследователя, то по лемме 2 три преследователя поймать убегающего на Ті с радиусом є не могут.

Предположим, что для п — 1 > 1 уже доказано, что п + 2 преследователя осуществляют поточечную поимку на Тп_і, при этом для одного из преследователей допустимо стояние в вершине сп_і в течение всего поиска. Кроме того, пусть уже доказано, что команда п +1 преследователей не может поймать убегающего на Тп_і с радиусом поимки є.

На дереве Тп выигрывающая программа п+3 преследователей выглядит следующим образом: Рі занимает вершину сп, остальные преследователи Р2,..., Рп+з выбирают одну из отходящих от сп ветвей, переходят по инцидентному сп ребру в вершину сп_і этой ветви, Рз,..., Рп+з очищают подветви, отходящие от сп_і.

Покажем, что группа из п + 2 преследователей не может обеспечить поимку на Тп с радиусом поимки є. По построению Тп от вершины сп отходят три ветви вида Тп_і, соединённые с сп ребром длины 1. По индукционному предположению для очищения Тп_і с радиусом поимки є необходимы п + 2 преследователя, а так как ребро, по которому указанные ветви отходят от сп, длиннее, чем 2є, все п + 2 преследователя во время очищения каждой из ветвей окажутся є-неблизкими к сп, и требуемое следует из леммы 2. □

Теорема 3. Для каждого п > 1 функция Головача для дерева Тп имеет скачок высоты [п/2] +1.

Доказательство. По теореме 2 группа из п + 2 преследователей не может поймать убегающего на Тп с радиусом поимки, меньшим 0.5. Покажем, что с радиусом 0.5 убегающий будет пойман на Тп группой из п + 2 — [п/2] преследователей.

Пусть п = 21 + 1, таким образом, рассматривается группа из 1 + 2 преследователей. Выберем произвольный путь, ведущий из вершины сп в вершину, инцидентную ребру длины три. Обозначим вершины этого пути: смежная с сп вершина обозначается сп_і, и, далее, номер вершины последовательно уменьшается с удалением от сп. Последняя вершина будет иметь номер со, так как длина такого пути (по числу рёбер) равна п (см. рис. 2).

Разместим Рі,Р2,...,р+і в вершине сп, затем преследователь Рі переходит в середину ребра (сп,сп_і), Р2 —в середину ребра (сп_2,сп_з) и т.д., Р+і переходит в середину ребра (сі, со). При радиусе поимки 0.5, такая позиция преследователей контролирует все вершины выбранного пути сп,. .., со. Отходящие от со ветви имеют вид Т и могут быть очищены преследователем р+2 с радиусом поимки 0.5. Далее, Р+і через сі переходит в середину ещё неочищенного ребра, смежного с ребром длины 3, и снова контролирует две вершины, давая возможность р+2 очистить подветви вида Т. Когда все подветви, отходящие от сі, будут очищены, р+і и р+2 через вершину с2 переходят к очищению ветвей вида Ті и т.д., пока не будет очищена выбранная ветвь. Аналогично очищаются две оставшиеся ветви.

Рис. 2.

Если п чётное, п = 21, также рассматривается группа из 1 + 2 преследователей, но, в отличие от программы преследователей для нечётного п, преследователь Рі в течение всего поиска стоит в вершине сп, Р2 переходит из сп в середину ребра (сп_і,сп_2) и т.д., Р;+і занимает середину ребра (сі,со). Дальнейшие действия преследователей совпадают с описанными выше для нечётного п.

Последнее, что необходимо показать, это невозможность поимки п +1 — [п/2] преследователями убегающего на Тп с радиусом поимки 0.5.

Докажем это с помощью индукции по п. На деревьях То и Ті один преследователь, очевидно, с радиусом 0.5 осуществить поимку не может. Предположим, что для п—1 > 1 доказано, что на Т^-і команда (п—1)+1 — [(п — 1)/2] преследователей не может поймать убегающего с радиусом поимки 0.5, т. е. необходимы, как минимум, п + 1 — [(п — 1)/2] преследователей.

Пусть п = 21, тогда преследователей, необходимых для поимки на Тп_і с радиусом 0.5, должно быть не менее 21 +1 — [(21 — 1)/2] = 1 + 1. Рассмотрим Тп, в силу чётности п, верно п. + 1 — [^] = 1 + 1. По построению Тп от вершины сп отходят три ветви, для очищения которых, по индукционному предположению, необходимы 1 + 1 преследователей. Если для очищения каждой из этих ветвей необходимы 1 + 1 преследователей

0.5-неблизких к сп, тогда, по лемме 2 очищение Тп командой 1 + 1 преследователей с радиусом 0.5 невозможно, что и требуется. Предположим, что для очищения хотя бы одной ветви, отходящей от сп, для определённости, по ребру (сп, сп_і), достаточно, чтобы в некоторый момент один из преследователей, пусть Рі, не отдалялся от сп дальше, чем 0.5. Но для поимки с радиусом 0.5 на Т^-і необходимы 1 + 1 преследователей, значит, Рі должен занять середину единичного ребра (сп,сп_і), лишь таким образом обеспечивается одновременно контроль над вершиной сп и участие в поимке на под-ветви вида Тп_і. От вершины сп_і отходят три ветви, содержащие деревья вида Тп_2. По индукционному предположению для поимки с радиусом 0.5 на Тп_2 необходима команда из п — [(п — 2)/2] = 1 + 1 преследователей, значит, преследователи Р2,... ,Р;+і очистить отходящие от сп_і ветви не могут. Таким образом, 1 + 1 = п +1 — [п/2] преследователей для поимки на Тп с радиусом поимки 0. 5 недостаточно.

Если теперь п нечётное, п = 21 +1, имеем п +1 — [п/2] = 1 + 1. Необходимых для поимки с радиусом 0.5 на Т^-і преследователей должно быть не менее (п — 1) + 2 — [(п — 1)/2] = 1 + 2. Значит, по лемме 1, для поимки на 7^ с радиусом поимки 0.5 необходимо не менее 1 + 2 преследователей.

Таким образом,

0, к = п + 3,

£т„ (к) ^ = 0.5, к = п + 2 — [^] ,..., п + 2,

>0.5, А- < /7 + 1 — [§] ,

и высота скачка достигает [п/2] + 1. □

Утверждения, доказанные в этом пункте, позволяют точно определить е-поисковое число для построенной нами последовательности деревьев при достаточно малых радиусах поимки — меньше половины кратчайшего ребра дерева. Оценки поисковых чисел для таких малых радиусов на графах были получены П. А. Головачом в [3]. А именно, для произвольного графа С, длина кратчайшего ребра которого равна I, выполнены следующие соотношения:

1) если 0 < е < 1/4, то вс(е) = «(С);

2) если 0 < е < 1/2, то в(С) — 1 < (е).

(3)

Точность этих оценок на множестве всех графов была показана в работе [3]. А именно, для полного графа Кп с п вершинами и рёбрами единичной длины функция Головача выглядит следующим образом.

(е)

п, 0 < е < 0.25,

п — 1, 0.25 < е < 0.5,

[п/2] , 0.5 < е < 1,

2, 1 < е < 1.5,

1, 1.5 < е.

На самом деле, оценки (3) точны уже для деревьев. Действительно, как видно из формулы (2), любое из деревьев ТП, п > 0, доказывает точность второй оценки. Соотношение для четверти кратчайшего ребра точно на дереве Т, представленном на рис. 3: от «центральной» вершины дерева Т отходят три ребра единичной длины, а от каждой вершины, смежной с «центральной», отходят по два ребра длины 3.

Рис. 3.

Нетрудно видеть, что функция Головача для дерева Т выглядит следующим образом:

{3, 0 < е < 0.25,

2, 0.25 < е < 2,

1, 2 < е.

3. Малые шевеления длин рёбер деревьев с вырожденной функцией Головача. Предварительно докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 3. Пусть Т' получается из дерева Т уменьшением длины ребра е Є ЕТ на величину а > 0, меньшую длины е. Тогда ет'(к) < ет(к) для любого к.

Доказательство. Пусть е = (а, 6), е' = (а', 6') —соответствующее ему ребро Т': р(а, 6) = р(а', 6') + а. Покажем, что на Т' возможна поимка к преследователями с радиусом ет(к). Поместим, для удобства обозначений, вершину с степени 2 на ребро е так, что р(с, 6) = а.

Рассмотрим произвольную программу П на Т для к преследователей, выигрывающую с радиусом поимки ет(к). Определим программу П', которая отличается от П в те моменты времени, когда один или несколько преследователей находятся на ребре (с, 6): любые перемещения по (с, 6) заменяются в программе П' стоянием в вершине 6'.

Программа П' — выигрывающая на Т' для к преследователей с радиусом поимки ет(к). □

Важным результатом является следующая

Теорема 4. Рассмотрим дерево Т, зафиксируем число преследователей к, выберем произвольное ребро е Є ЕО. Тогда ет (к) непрерывно зависит от длины ребра е при её малых изменениях в меньшую сторону.

Доказательство. Пусть е = (а, 6). Для достаточно малых 6 > 0 через Тй будем обозначать дерево, полученное из Т уменьшением ребра (а, 6) на 6. Соответствующие а и 6 вершины в дереве Тй обозначим через ай и 6й, єй = (ай, 6й), р(ай, 6й) = р(а, 6) — 6.

По лемме 3 етг (к) < ет (к) и етг (к) < етг (к) для любых достаточно малых 61 > 62 > 0.

При 6 ^ 0 деревья Тй сходятся к дереву Т в том смысле, что Т и Тй имеют одинаковую комбинаторную схему, р(ай, 6й) й-^-° р(а, 6), а остальные рёбра совпадают, поэтому величина етг (к) при 6 ^ 0 (к фиксировано) не убывает и ограничена сверху. Тогда

обозначим предел Ііт етг (к) через е°. Понятно, что етг (к) < е° < ет (к). Первое нера-

й^°

венство указывает на возможность поимки к преследователями на дереве Тй с радиусом поимки е°.

Предположим, что второе неравенство выполняется как строгое: е° < ет (к), т. е. радиуса поимки е° недостаточно для поимки к преследователями на дереве Т. Рассмотрим такое малое 6 (6 < р(а, 6)), что е° + 6 < ет (к). Поместим вершину с степени 2 на ребро е на расстоянии 6 от вершины 6. Для дерева Тй существует выигрывающая программа Пй для к преследователей с радиусом поимки е°. Построим программу П, «расширив» программу Пй на Т следующим образом:

1) если Xй(0) = 6й в программе Пй, тогда ж*(0) := 6 в программе П;

2) если преследователь Р* «входит» в вершину 6й в момент і по ребру єй, т. е. Xй (і) = 6й, Xй(£) Є єй для £ Є [і — а,і), где а > 0 достаточно мало, тогда в программе П і-й

преследователь в момент, соответствующий £, переходит в вершину с, затем, в то время как остальные преследователи стоят на месте, в вершину Ь с максимальной скоростью;

3) если преследователь Р* «выходит» из вершины Ьг в момент £ на ребро ег, т. е.

(£) = Ьг, (£) € ег для £ € (£, £ — а], где а > 0 достаточно мало, тогда в программе П

г-й преследователь в момент, соответствующий £, переходит в вершину Ь и продолжает движение в вершину с с максимальной скоростью, в то время как остальные преследователи стоят на месте.

Если в вершине Ь^ находятся одновременно несколько преследователей, то необходимые дополнительные перемещения они выполняют последовательно.

Пусть в программу П таким образом добавлены интервалы [£ 1,£ 1 + 6], [£2,^2 + 6], . . . , [£п, £п + 6], и во все эти моменты один из преследователей перемещается по (с, Ь) в ту или иную сторону, а остальные преследователи стоят на своих местах, вся программа П определена на [0, т], она «длиннее» программы Пг на п6.

Пусть преследователи, двигаясь по программе П, обладают радиусом поимки £о + 6. По определению £т(к) и построению 6 поимка к преследователями на Т с радиусом £о+6 невозможна, значит, существует уклонение убегающего у, что € [0, т] выполнено

р(ж*(£), у(£)) > £о + 6. Пусть шш р(ж*(£), у(£)) > £о + 6 + 0, т. е. убегающий гарантирует

*е[0,г ]

«зазор» между своей позицией и областью достижимости преследователей не менее 0.

Выберем 0 < Л < 0. Используем уклонение убегающего у для построения траектории убегающего уг на Тг.

1. Все движения убегающего по ребру (с, Ь) в траектории у заменяются в уг на стояние в точке Ьг.

2. Все движения, совершаемые убегающим в интервале [£ 1, £ 1 + 6 + Л] в траектории у, убегающий реализует в траектории уг с возросшей скоростью за время Л.

Теперь покажем, что построенная траектория убегающего уг позволяет уклониться от поимки на Тг при использовании преследователями программы Пг и радиуса поимки

£о.

Действительно, дерево Т отличается от Тг длиной одного ребра, но траектория убегающего у строилась на Т для уклонения от поимки преследователями, обладающими радиусом поимки £о + 6, при этом убегающий гарантировал себе «зазор» не меньше 0, а на дереве Тг расстояние между убегающим и преследователем сокращается на 6 лишь тогда, когда они находятся «по разные стороны» от ребра (с, Ь) на дереве Т.

В те периоды времени, когда уг строится как «ускоренная» часть траектории у, убегающий также не будет пойман, так как преследователи за время Л могут приблизиться к убегающему не более, чем на Л < 0. □

Докажем ещё одно утверждение для деревьев, отличающихся лишь одним ребром.

Лемма 4. Пусть функция Головача для дерева Т имеет неединичный скачок в точке £ для к преследователей, дерево Т' получено из дерева Т уменьшением длины ребра е € ЕТ на величину а > 0, меньшую длины е. Тогда £т'(к) = £т(к).

Доказательство. Предположим противное, £Т/(к) = £ < £Т(к). Пусть е = (а, Ь), е' = (а7, Ь'), е' короче ребра е на а. Тогда рассмотрим следующую программу группы к + 1 преследователей на Т. Преследователь Рк+1 становится в вершину а, преследователи Р1,..., Рк очищают ветви, отходящие от а не по ребру (а, Ь) с радиусом £'. Это возможно, так как рассмотренные ветви в дереве Т не отличаются от ветвей, отходящих от а' в дереве Т'. Затем Рк+1 переходит из а по ребру е в вершину Ь, преследователи Р1,..., Рк очищают ветви, отходящие от Ь. Указанная программа — выигрывающая для

к + 1 преследователей на Т с радиусом поимки е', что противоречит нетривиальности скачка функции Головача для дерева Т в точке е. □

Теперь мы можем доказать основной результат этого пункта.

Теорема 5. Для произвольного дерева Т можно построить дерево Т ' с той же комбинаторной схемой, длины рёбер которого отличаются от длин соответствующих рёбер Т на сколь угодно малую величину, и функция Головача Т' имеет только единичные скачки.

Доказательство. Пусть дерево Т имеет неединичные скачки. Выберем «самый правый» скачок: пусть

ет(1 + в) < ет(1 + в — 1) = ... = ет(1 + 1) = ет(1) < ет(1 — 1),

а для всех е > ет(1) скачки функции Головача для дерева Т единичные. Выберем 0 < а < ві(Т), где ві(Т) = тіп{ет(к — 1) — ет(к) : к = 2,..., в(Т), ет(к) < ет(к — 1)} — наименьшая длина «ступеньки» функции Головача. Рассмотрим «плохой» путь длины 2ет(1) на Т, построим дерево Т', укоротив произвольное ребро (а, 6) этого пути на такое 6 > 0, 6 < р(а, 6), чтобы:

1) для полученного Т ' и дерева Т выполнялось соотношение ет (к) — ет' (к) < а, к = 1,. .., 1 — 1 —выбор 6, удовлетворяющий этому условию, возможен по теореме 4;

2) для всех путей (^1,..., £„), содержащих (а, 6), длины которых не равны 2ет(1), длины соответствующих им путей в Т ' так же не равны 2ет (1) — это условие гарантирует, что новые «плохие» пути длины 2ет(1) в построенном дереве не появятся.

При этом по лемме 4

ет' (1) = ет(1).

Далее,

ет(1 — 1) — ет'(1 — 1) < а < ет(1 — 1) — ет(1).

Значит,

ет' (1) < ет' (1 — 1).

Рассмотрим к Є {1,...,1 — 1}; выбор а гарантирует, что а < ет (к) — ет (к + 1), значит,

ет' (к +1) < ет(к + 1) < ет(к) — а < ет' (к)

(первое неравенство вытекает из леммы 3, второе — из первого условия выбора 6). Значит, ет'(к +1) < ет' (к), к Є {1,..., 1 — 1} — новые скачки для е > ет(1) не возникнут.

Таким образом, либо ет'(1 + 1) < ет'(1), в этом случае скачки функции Головача для всех е > ет'(1 + 1) единичные, либо ет'(1 + 1) = ет'(1), в точке ет'(1) происходит нетривиальный скачок, но при всех е > ет' (1) скачки функции Головача для дерева Т ' единичные.

Число «плохих» путей длины 2ет (1) на дереве Т' конечно (и хотя бы на один «плохой» путь меньше, чем в Т). Повторим процедуру для Т , на некотором шаге либо будет выполнено строгое неравенство между минимальными радиусами поимки для 1 и 1 +1 преследователей, либо все «плохие» пути будут исправлены, что в силу теоремы 1 гарантирует единичный скачок функции Головача в точке 2ет(1).

Тогда следует перейти к рассмотрению неединичных скачков уменьшенного дерева для меньших е < ет' (1 + 1). □

Литература

1. Абрамовская Т. В., Петров Н. Н. О некоторых задачах гарантированного поиска на графах // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 2. С. 63-70.

2. Абрамовская Т. В. Нетривиальные разрывы функции Головача для деревьев // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 3. С. 3-13.

3. Головач П. А. Об одной экстремальной задаче поиска на графах // Вестн. ЛГУ. Сер. 1. 1990. Вып. 3. С. 16-21.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.