Научная статья на тему 'О системе защиты информации на основе проблемы рюкзака'

О системе защиты информации на основе проблемы рюкзака Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
240
38
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Осипян В. О.

Показана возможность обобщения базовых рюкзачных систем защиты информации. Приводится алгоритм построения инъективного нестандартного рюкзака размерности n-1 с заданными каскадными значениями, исходя из аналогичного рюкзака размерности n. В работе рассмотрена лёгкая задача укладки нестандартного рюкзака.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Осипян В. О.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Information protection system based on knapsack problem

The possibility of generalization of basic knapsack information protection system is shown. Algorithm of injective non-standard knapsack with n-1 dimension, where the cascade value is given, based on similar knapsack with n dimension is demonstrated. A simple task of non-standard knapsack set is considered.

Текст научной работы на тему «О системе защиты информации на основе проблемы рюкзака»

Применение предложенного УОУ изгибом ДК для эндоскопов "КОБРА" и "ГРАДАН" позволило повысить их оперативное использование, поскольку отклонение ДК во время контроля осуществляется без привлечения второй руки оператора. Кроме этого устройство компактно и удобно располагается в руке. Общий вид корпусной конструкции пистолетного типа эндоскопов "КОБРА" и "ГРАДАН" с установленным УОУ показан на рис. 3.

Отдельно общий вид УОУ изгибом ДК показан на рис. 4.

Выводы

Разработанная конструкция устройства оперативного управления позволяет за счет использования промежуточного рычажного элемента при помощи одной руки управлять изгибом дистального конца волоконно-оптических эндоскопов "КОБРА" и "ГРАДАН", тем самым, повысив их оперативное применение.

Авторы выражают искреннюю признательность директору ООО Компания "СМТ" к.т.н. А.Б. Чигорко за активное участие и предоставление технической помощи, во многом способствовавшие выполнению настоящей работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сирота Г.А. Технические эндоскопы - приборы для визуального контроля труднодоступных объектов // В мире НК. - 2000. - № 2(8). - С. 4-7.

2. Волоконно-оптическая интроскопия / Под общ. ред. Д.К. Сат-тарова. - Л.: Машиностроение, 1987. - 285 с.

3. А.с. 1187131 СССР. МКИ3 G02В 23/00. Эндоскоп / В.Н. Бурцев, В.Н. Бурцев, В.И. Крылов, В.Н. Рубцов. Заявлено 14.07.82; Опубл. 23.10.85, Бюл. № 39.

4. А.с. 1012882 СССР, МКИ3А61В 1/00. Устройство для регулирования изгиба дистальной части эндоскопа / М.Е. Немиров-ский. Заявлено 10.04.81; Опубл. 23.04.83, Бюл. № 15.

5. Пат. 2185083 РФ. МПК7 А61В 1/00. Устройство управления изгибом конца эндоскопа / В.Н. Тарасов. Заявлено 22.09.99; Опубл. 20.07.02.

6. Перелыгин А.В., Чигорко А.А. Проблемы расширения функциональных возможностей и повышения эффективности технических эндоскопов // Качество - стратегия XXI века: Матер. VII Междунар. научно-практ. конф. - Томск, 2003. - С. 176.

7. Чигорко А.А., Перелыгин А.В., Понеделко Е.В. и др. Средства НК и ТД. Каталог. Научно-технический бюллетень «Сибирский аршин». Спецвыпуск 18 / Под ред. А.Б. Чигорко. - Томск: Изд-во «М-Принт», 2005. - 88 с.

УДК 519.72

О СИСТЕМЕ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ ПРОБЛЕМЫ РЮКЗАКА

В.О. Осипян

Кубанский госуниверситет, г. Краснодар E-mail: rrwo@mail.ru

Показана возможность обобщения базовых рюкзачных систем защиты информации. Приводится алгоритм построения инъек-тивного нестандартного рюкзака размерности n+1 с заданными каскадными значениями, исходя из аналогичного рюкзака размерности n. В работе рассмотрена лёгкая задача укладки нестандартного рюкзака.

Как известно [1-3], криптостойкость рюкзачных систем защиты информации (РСЗИ) на основе заданного рюкзака зависит от первоначального способа кодирования элементарных сообщений и процедуры последующего шифрования открытого текста.

Рассмотрим класс систем защиты информации с открытым ключом и с рюкзаком, обладающим заранее заданными свойствами. Рюкзачный вектор А назовём с повторениями или без повторений, если его элементы повторяются или нет - соответственно. Для простоты изложения будем считать, что значения компонент рюкзачного вектора расположены в неубывающем порядке своих значений. При этом коэффициенты повторов для компонент рюкзака и входа (А, V) можно взять совершенно различными между собой способами из заданных двух целочисленных положительных массивов.

Пусть А=(а1,а2,_,а„) - рюкзачный вектор размерности п, п>3 из п натуральных компонентов а,, ,'=1...п и (А, V) - вход задачи о рюкзаке, где V - также некоторое натуральное число или нуль. Пусть далее, 1К=[к1,к1,...,к}, к1+к2+...+к=п, I<п, 1Сг=[тътъ...,т,} - множества коэффициентов повторений компонентов рюкзачного вектора А и входа (А, V) соответственно. Здесь элемент к,, к,>1, - количество повторений компонентов ранга натурального числа а! в рюкзаке А (/ - количество его различных компонентов), а элемент т,, 0<т,<р-1, /=1...п, р>2, реИ из множества 1СГ указывает максимальное значение коэффициента повтора при а,, ,=1. п для определения входа (А, V). Множества 1К и 1СГ назовём спектрами коэффициентов рюкзака А и его входа (А, V) соответственно. Значения множества 1С„ иначе назовём каскадными значениями.

Так, например, если г=4, р=3 и А=(1, 2, 5, 5, 13, 13, 13), гС3={1, 1, 1, 2, 2, 2, 1}, то спектр коэффициентов рюкзака имеет вид 2Ж4={1, 1, 2, 3}, ^=1, к2=1, к5=2, к13=3, а спектр входа задан как 1С3, для которого каскадные значения заданы как:

т1<1, т2<1, т3<1, т4<2, т5<2, т6<2, т7<1.

Аналогично определим: решением без повторений компонент для входа (А, V) назовем подмножество элементов А, сумма которых равна V, т.е.

при условии, что а;е{0,1} - как принято считать для стандартных рюкзачных систем. Если же в^Ср={т1,т2,...,т„} и хотя бы один из коэффициентов а;>2, то решением - соответственно с коэффициентами повторений компонент из 2СГ

Все рассматриваемые в данной работе рюкзаки вовсе не обязаны обладать свойствами, присущими стандартным рюкзакам. Наоборот, здесь а, может повторяться и входить в сумму для определения входа (А, V) с коэффициентом а<т, /=1...и, где т;е/СроТакие нестандартные рюкзаки обозначим через А, а входы - соответственно (А, V).

Очевидно, в частности, если для нестандартного рюкзачного вектора А

к1 к2 ... кп 1,

т=т2= ...=т„=1, то мы имеем стандартный рюкзак без повторений [1]. Если же при к1=к2=...=к„=1, соответствующие им коэффициенты входа т=т2= ...=т„=1, то мы имеем обобщённый рюкзак [4] с заданным максимальным числом р-1 повторений всех его компонентов.

~ Множество значений V, для которых входы (А, V;) со спектром 1С1 имеют решения, назовем допустимыми значениями и обозначим через Количество всех допустимых числовых значений VI для нестандартного рюкзачного вектора А обозначим через ¡л(У~) и назовём мощностью входа. Так как для одного и того же VI могут быть разные решения, то обозначим через ¡¡(А) мощность различных между собой решений и назовём его мощностью нестандартного рюкзака А. Вектор А назовём инъективным, если каждый его вход обладает не более чем одним решением - с повторениями илаи без него. Очевидно, для инъек-тивного вектора Аа имеет место равенство:

¡4Ъ)=ЖА)=(т1+1)(щ+1)...(т+1).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Более того, имеет место также соотношение:

т1а1+т2а2+...+тпап =

¡( А)-1

¡(А) ^ 1

2

откуда в частности следует, если:

1. А стандартный рюкзак, то т=т2=...=тп=1,

~ 1 Й ¡¡(А )=2п, следовательно, а1+а2+.+а„= ^-г X V;

2. А - обобщенный рюкзак, то т1=т2=.=тп=р-1, ¡~)=Р и

2 Р--1

а1+а2+...+а„= ---- X V •

Р (Р - 1) . = о

Последние соотношения можно применить для уастановления инъективности нестандартного вектора А, а с помощью следующего рекуррентного алгоритма легко найти множество всех допустимых значений VI со спектром входа ^Ср и определить ап+1, если известны а1,а2,..,ап. Для удобства приведём схему построения такого алгоритма, представленной в виде таблицы (см. табл) значений для коэффициентов компонентов нестандартного рюкзака. Из таблицы видно как найти всевозможные наборы длины п+1 и соответствующие им значения V, если известны наборы длины п.

Таблица. Схема построения алгоритма

3л+1 3„ 3,-1 а0 31 V,

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 31

0 0 0 0 2 2 31

0 0 0 0 т1 та

0 0 0 1 0 3-1

0 0 0 т т т1з1+т2з2

0 т„ т„-1 т т1 т131+...+т„з„

1 0 0 0 0 3+1

1 0 0 0 1 3„+1+3

1 0 0 0 2 3„+1+231

1 0 0 0 т 3„+1+т131

1 0 0 1 0 3„+1 + 32

1 0 0 т т 3„+1+...+ т232+ +т131

т„+1 т„ т„-1 т т т131+...+т„+13„+1

Итак, пусть

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А=(аьа2,...,ап)

- нестандартный рюкзачный вектор размерности п, п>3 из п произвольных натуральных компонентов а, ;=1...п, (А, V) - его вход со спектром входа 1СГ и

п

V = Ха1а1 =А

I=1

- произвольное допустимое значение для входа (А, V). Здесь и ниже будем считать, что к;=1, ;=1...п, т.е. заданный нестандартный рюкзак Аа без повторений.

Пусть, далее, У~А - множество всех допустимых значений VI инъективного рюкзачного вектора А размерности п, со спектром входа 2СР т.е.

Ул ={Vо, ••• ^ )-!>, а Ул+а = } _+а>

- множество всех значений VI со сдвигом на натуральное число а. Тогда

а а. = V

I I

1=1

У Л+1= и (V +иап+1)

- представляет собой множество всех допустимых значений для рюкзачного вектора ~+1 размерности и+1 со спектром входа

1С1={т1,т2,...,тп,тп+1}.

Поэтому для определения компонента аи+1 инъективного рюкзачного вектора А+1 размерности и+1 с каскадным значением т„+1, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1.

а < а

+1 <Е а;

2. УШУ +иап+1) = 0.

Таким образом, на основе указанного рекуррентного алгоритма можно найти все инъективные вектора размерности и+1, исходя из аналогичных векторов размерности и.

Рюкзачный вектор

Л=(а1,а2,...,а„) назовём сверхрастущим, если для любого j=2...и имеет место неравенство

J-1

а >> т,а,.

3 ¿—^ к к

(1)

Очевидно, если рюкзачный вектор А сверхра-стущий, то он инъективный и одновременно возрастающий.

В самом деле, так как мы имеем следующий диапазон значений для V:

0<у<т1а1+т2я2+...+т„я„, то очевидно, если V не принадлежит указанному диапазону, то вход (А, V) не имеет решений. Не имеют решений и те входы (А, V), для которых V не представляется в виде линейной комбинации:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

v= а1а1+а2а2+...+апап, а¡е Юг (2)

Если же V имеет вид (2), и компоненты рюкзака А удовлетворяют (1), то каждый из ¡и(У~) различных входа (АЛ V) имеет одно единственное решение в силу того, что заданный рюкзачный вектор сверхрастущий. Далее, будем говорить, что компонент а,, г=1...и входит в сумму V с кратностью а;е{т1,т2,.,т„}, если а,■ имеет а вхождений в V. Аналогично можно ввести другие известные определения и обозначения для рассматриваемого вектора так, как, например, в работе [4].

В частности, аналогично можно доказать следующие теоремы относительно нестандартного рюкзака А без повторений.

~ Теорема 1. Рюкзачный вектор без повторений А=(а1,а2,...,аи) размерности и, и>3 с каскадными значениями 1С1={т1,т2,...,т,} для входа (А, V) является плотным и инъективным, если а^с, а;=т'-2((т-1)с+1), j=2...и, т=тах{т1,т2,...,т„}, те1, где с - некоторая целая положительная константа.

Доказательство. Так как из указанного рекуррентного соотношения при и>3 непосредственно следует, что

а1=та--1=(т-1)а--1+аи,

то имеем:

а]=т]-2((т-1)с+1)=(т-1)а]-1+а]-1= =(т-1)аи+((т-1)а-2+а-2=

=(т-1)а]-1+(т-1)а]-2+ ... +(т-1)а2+(т-1)а1+1. Или

J-1

аз = (т -ак +1.

к=1

Таким образом, рюкзачный вектор А - сверхра-стущий, следовательно, и инъективен, причём разность между левой и правой частями полученного равенства, как видно, минимальна и равна единице.

Следствие. В частности, при с=1 из теоремы следует, что инъективный рюкзачный вектор

А=(1,т,т2,...,ти-1) является одновременно и плотным.

Заметим, что доказанная теорема справедлива также для более сильного условия, когда вместо т выступают соответствующие значения т, 1=1...и, а на практике можно предложить следующий рекуррентный алгоритм^ построения инъективного (плотного) вектора А+1 размерности и+1 со спектром ^Ср={т1,т1,.,тп,ти+1}, если известен аналогичный вектор Л=(аьа2,...,а„) размерности и (и>2). Для этого необходимо определить очередной компонент а и+1 в виде:

аи+1=т1а1+т2а2+...+тпап+а

так, чтобы выполнялось следующее очевидное равенство относительно мощностей:

¡УА+1) = тп+1^(УА),

где

тп + 1

У% ,= и (У% + ка +,), У% + а = {у0+а, у+а,... ,у + а},

А+1 4 А п+1/' Л 1 о ' 1 ' ' I >'

а е X,

е ХС„

I = 1...п,

Теорема 2. Пусть

А=(аъа2,...,а,) - инъективный рюкзачный вектор размерности и, и>3, а вектор

B=(b1,b2,...,bи), Ь= =е-а(то&т),(т,в)=1

получен из и>3 сильным модульным умножением относительного и е. Тогда решение задачи о рюкзаке для входа ф, V-^совпадает с единственным решением для входа (А, V).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Схема доказательства данной теоремы полностью совпадает со схемой построения алгоритма для стандартной рюкзачной системы. Разница лишь в том, что в качестве функции шифрования применяется функция F(х) =BW/,

т

и = 0

и = 1

т

и = 1

к=1

к = 0

где WХ - шифр сообщения Х. Более того, алгоритм построения системы защиты информации с открытым ключом на основе рюкзака А полностью совпадает с алгоритмом построения систем защиты информации с обобщённым рюкзаком АР [4].

Отметим, что данная теорема допускает все параметры обобщённой рюкзачной системы защиты информации с открытым ключом. При этом необходимо сделать ещё следующее замечание: процедура восстановления открытого текста, в целом, не зависит от самих компонент рюкзачного вектора А, она зависит только от размера самого рюкзака и способа первоначального кодирования элементарных сообщений открытого текста. Данное замечание относится ко всем существующим открытым рюкзачным системам.

Совершенно ясно, если для нестандартного рюкзака А полагать что т=т2=...=тп=р-1, то все рассмотренные выше рассуждения относительно РСЗИ останутся в силе, что, в свою очередь, означает: их мо~жно перенести на случай обобщённых рюкзаков АР с заданным максимальным числом

р-1 повторений всех его компонентов. Если же полагать т1=т2=...=тп=1, то мы соответственно получим РСЗИ со стандартным рюкзаком.

В обоих случаях рюкзаки без повторений, т.е. к1=к2=...=к=1. Очевидно, когда компоненты рюкзачного вектор А с повторениями [5], т.е. хотя бы один элемент из множества 2Ж={к1,к2,..зк(} больше единицы или то же самое, что Кп, то А в данном случае сверхрастущим быть не может, и потому невозможно рассмотреть лёгкую задачу укладки рюкзака и, тем более, задачу построения СЗИ, использующей такой рюкзак.

В заключение подчеркнём, что для больших значений параметров нестандартных рюкзачных векторов, криптостойкость соответствующих систем защиты информации сравнительно выше, чем крип-тостойкость аналогичных стандартных СЗИ. В самом деле, если обозначить через Щ(К) - количество всех вариантов выбора ключей, то для стандартного рюкзака оно равно Щ(К)=2п, для обобщённого рюкзака - Щ(К)=Рп, а для нестандартного рюкзака А -Щ(К)=(т1+1)(т2+1) ... (тп+1), где п - длина рюкзака.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Саломаа А. Криптография с открытым ключом. - М.: Мир, 1995. - 320 с.

2. Алфёров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии. - М.: Гелиос АРВ, 2002. - 480 с.

3. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. - М.: ТВП, 2001. - 260 с.

4. Осипян В.О. Об одном обобщении рюкзачных криптосистем // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. - 2003. -Прилож. № 5. - С. 18-25.

5. Осипян В.О. О криптосистемах с заданным рюкзаком // Информационное противодействие угрозам терроризма. - 2004. - № 3. - С. 53-56.

УДК 681.326

ИСПРАВЛЕНИЕ ОДИНОЧНЫХ ОШИБОК В МНОГОФАЗНЫХ КОДАХ

Л.А. Белицкая

ФГУП «Научно-производственный центр «Полюс», г. Томск E-mail: polus@online.tomsk.net

Предлагается использовать систематический код для исправления одиночных ошибок в многофазных кодах. С использованием теории цифро-векторных множеств строятся многомерные таблицы истинности и на их основе - геометрические образы исправленных сигналов.

Многофазный код является естественным кодом целого ряда устройств, где используются многофазные напряжения [1]. Он применяется в инверторах напряжения электроприводов переменного тока и других устройствах преобразовательной техники, в преобразователях угла в код и пересчетных схемах, в том числе и для выполнения всех арифметических операций [2]. Многофазный код наиболее исследован, и для него решена задача обнаружения и исправления ошибок исходя из его особой физической структуры. Эта особенность основана на контроле и сохранении непрерывности множеств логических нулей и единиц [2]. При этом можно ис-

правлять не только одиночные ошибки, но и двойные, тройные и т.д., а также различные их пачки. Данные возможности возрастают с увеличением числа фаз кода, но наиболее ценно исправление именно одиночных ошибок. Недостаток многофазного кода в том, что ошибки, возникающие на границе единиц и нулей, не исправляются.

Рассмотрим многофазный код в многомерном цифровом пространстве с добавлением контрольных разрядов.

Особенность его заключается в том, что при последовательном прохождении кодовых комбина-