О сходимости циркуляционной модели Кронига и Бринка для коэффициентов массопереноса в дисперсных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.061. 5 М. А. Закиров

О СХОДИМОСТИ ЦИРКУЛЯЦИОННОЙ МОДЕЛИ КРОНИГА И БРИНКА

ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ МАССОПЕРЕНОСА В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ

Ключевые слова: Нестационарные модели массопереноса в дисперсных системах; циркуляционная модель массоотдачи Кро-нига и Бринка в каплях и пузырях; сходимость решения Кронига и Бринка.

Проведен анализ сходимости известной нестационарной циркуляционной модели массоотдачи Кронига и Бринка с целью определения чисел членов рядов, используемых для практического расчета коэффициентов массоотдачи в каплях и пузырях, движущихся в экстракционных и абсорбционных аппаратах.

Keywords: Non-stationary models of mass transfer in disperse .systems; circulation mass transfer model of Kronig and Brink in drops

and bubbles; convergence of solution of Kronig and Brink.

The analyses of certain non- stationary mass transfer model of Kronig and Brink have been discovered in this article in order to determine the number of rows used to practical calculate mass transfer coefficients in drops and bubbles, moving in the extraction and absorption apparatus.

Основы теории

Для описания кинетических закономерностей процессов абсорбции и экстракции, проводимых при дисперсном режиме движения одной из рабочих сред в аппарате, используют коэффициенты массоотдачи в дисперсной кд и сплошной кс фазах, для расчета которых используют различные физические модели, полученные в предположении существования того или иного механизма тепло- и массопере-дачи во взаимодействующих фазах. По полученным таким образом значениям коэффициентов массоот-дачи, с учетом аддитивности фазовых сопротивлений [1, 2], определяются соответствующие коэффициенты массопередачи в дисперсной (Кд) и сплошной (Кс) фазах. Последние используют для расчета одного из важнейших конструктивных параметров разрабатываемого массообменного аппарата - геометрических размеров контактной и сепарационной зоны экстрактора или абсорбера.

При расчете коэффициентов массоотдачи в дисперсной фазе (кд), в аппаратах, в которых процесс массопередачи осуществляется в капельном или пузырьковом режиме движения одной из фаз [3, 4, 5], широкое применение находят нестационарные модели массоотдачи [6, 7, 8].

Диффузионная модель массоотдачи Ньюмена [6] используется для случаев движения мелких капель и пузырей в системах, в которых присутствуют поверхностно-активные вещества (ПАВ), полностью или частично подавляющие внутреннюю циркуляцию среды в частицах дисперсной фазы.

Циркуляционная модель массоотдачи Кронига и Бринка [7] получена в предположении наличия вихревого циркуляционного движения среды внутри и вокруг капель или пузырей под действием сил трения на подвижной поверхности раздела фаз в аппарате. Данная модель ограничивает скорость массо-переноса в дисперсной фазе сверху и рекомендуется для случая движения сферических или слабодефор-мированных капель и пузырей с подвижной границей раздела фаз в экстракционных и абсорбционных аппаратах.

Решение Ньюмена [6] получено в предположении, что перенос массы или энергии внутри капли или пузыря осуществляется преимущественно за счет молекулярной диффузии, т.е. жидкая капля или газовый пузырь представляются как твердая сфера с полностью подавленной внутренней циркуляцией. Диффузионная модель Ньюмена [6] не учитывает конвективную составляющую переноса в дисперсной фазе, поэтому ограничивает скорость массо- или теплоотдачи в дисперсных системах снизу [1, 2, 8].

Как известно [1, 2, 6 - 8], при расчете процесса массопереноса в дисперсных системах концентрацию распределяемого компонента внутри движущейся в сплошной среде капли или пузыря принято выражать через безразмерную степень насыщения

(1)

А = -

Ск - ^Н

С'-Сн

Согласно диффузионной модели Ньюмена [6], степень насыщения капель или пузырей, движущихся в сплошной жидкой среде, описывается в виде бесконечного числового ряда от известного критерия Фурье (Ро), представляющего собой безразмерное время контакта фаз (1) в аппарате:

то

= 1--6тЕе . (2)

А--

2 I ■ 2

Циркуляционная модель Кронига и Бринка [7], учитывающая конвективный перенос в дисперсной фазе, дает критериальную зависимость для степени насыщения от критерия Ро также в виде бесконечного числового ряда:

(3)

А = 1-31>„2ехр (162„Fo >

Авторы [7] приближенным методом вычислили первые 2 члена ряда (3), в дальнейшем численным методом [8] были получены 7 членов указанного ряда, которые приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Коэффициенты рядов (3) и (10) циркуляционной модели Кронига и Бринка [7]

n 1 2 3 4 5 6 7

Bn 1,29 0,596 0,386 0,350 0,280 0,220 0,160

An 1,656 9,08 22,2 38,5 63,0 89,8 123,8

Я=1

Эти же значения коэффициентов Вп и Лп опубликованы в работе [9].

Для определения коэффициентов массоотдачи в капле (кД) по известной степени насыщения (А), используем известное уравнение Геддеса [10]:

*д = > 1-й ). (4)

Преобразуем уравнение (4) к безразмерному виду, умножив правую и левую части (4) на множи-с1 :

тель

О Д

йд

во д

1п 1-Й}

(5)

Выразим диаметр капли (С) в правой части последнего уравнения через ее радиус (Р), т.е.

С = 2К (в)

и обозначим множитель перед 1п(1 -А) в виде

(7)

/?2 йд(

1 ,

где

Од/

известный крите-

/?2 с/2

рий Фурье, представляющий собой безразмерное время контактирования (1), а безразмерный член в левой части уравнения (5) является определяемым

к с1

массообменным критерием Шервуда: Д =31-! , то

для расчета коэффициентов массоотдачи в дисперсной фазе по известной степени насыщения (А) получим критериальное уравнение в безразмерном виде:

щд =-^1 1-л;. (8)

3Ро

С учетом уравнения (8), известное решение Ньюмена (2) для коэффициентов массоотдачи в дисперсной фазе можно записать в критериальной форме:

5/7д

■ —1п -

в

&

ехр

-ж2п2Ро )

(9)

а решение Кронига и Бринка (3) преобразуется к безразмерному числовому ряду:

2 з ^

вИд = -3!20|п(- 8 ;В2 ехр(-1влпРс)). (10)

8

Анализ сходимости критериальных уравнений (2) и (9) для диффузионной модели Ньюмена был проведен в работе [11]. Были установлены рекомендуемые числа членов рядов, необходимых и достаточных для определения степени насыщения (А) и коэффициентов массоотдачи (кд) в каплях и пузырях с подавленной внутренней циркуляцией, во всем практически возможном диапазоне значений определяющего критерия Ро.

В данной работе предпринята попытка теоретического анализа сходимости числовых рядов (3) и (10) для циркуляционной модели Кронига и Бринка, полученных для описания степени насыщения (А) и коэффициентов массоотдачи (кд) в каплях и пузырях, с целью определения достаточного для практических расчетов чисел членов этих рядов, обеспечивающих необходимую точность вычислений.

С этой целью, по критериальным уравнениям (3) и (8) были вычислены степени насыщения (А) и

критерии вИд в виде зависимости от критерия Ро, полученные при всех семи известных значениях коэффициентов Вп и Лп модели Кронига и Бринка, представленных выше в таблице. В расчетах был охвачен практически весь возможный диапазон изменения критерия Ро. Нижний предел критерия Ро = 110-5 здесь ограничен возможным минимальным временем контактирования 1т|п ~ 0,25 сек, при максимальном диаметре частиц Стах до 10 мм, при среднем значении коэффициентов молекулярной диффузии йд ~ 110-9 м2/с. В качестве верхнего предела критерия Ро = 110° принято квазистационарное значение последнего, когда достигается практически полное насыщение капли или пузыря, т.е. степень насыщения А асимптотически приближается к 1. По данным [1, 2, 8] полное насыщение капель и пузырей наступает в экстракционных и абсорбционных аппаратах при значениях Ро ~ 0,1 - 0,2.

Анализ результатов исследования

Результаты расчетов представлены на рис. 1 и 2 в виде семейства кривых зависимости степени насыщения А и массообменного критерия вИд от критерия Ро для модели Кронига и Бринка при всех 7 известных значениях коэффициентов Вп и Лп числовых рядов (3) и (10). Как следует из приведенных данных, числовые ряды для степени насыщения (3) и критерия вИд (10) быстро сходятся только в области высоких (квазистационарных) значений критерия Ро, когда степень насыщения приближается к 1. Использование в расчетах малого числа членов в обоих случаях дает степени насыщения и коэффициенты массоотдачи, значительно превышающие их действительные значения. Так при значении Ро = 110-4 величина критерия вИд (рис. 2), рассчитанная с использованием всех 7 членах числового ряда (10), дает пятикратное уменьшение значений вИд по сравнению с тем же уравнением, состоящим из первого члена ряда (10). При определении степени насыщения А по уравнению (2) при Ро = 110-4 (рис. 1), результат расчета при 7 членах ряда (2) почти в 4 раза превышает величину степени насыщения, полученную при использовании первого члена указанного ряда Кронига и Бринка.

Как следует из рис. 1 и 2, при практических расчетах критерия вИд или степени насыщения А, первым членом ряда (3) и (10) можно пользоваться только в области высоких чисел Ро > 0,025, близких к квазистационарному значению вИд. Аналогично модели Ньюмена, с уменьшением значений критерия Ро, необходимое для сходимости число членов рядов (3) и (10) увеличивается. Пять членов ряда (10) следует учитывать при расчете коэффициентов массоотдачи и степени насыщения в области более низких значений Ро < 810-3. Известные в литературе 7 членов ряда (8) обеспечивают хорошую сходимость уравнений (3) и (10) только в области высоких значений критерия Ро > 410-4.

Наличие качественно отличающихся участков на обоих графиках зависимостей А - Ро (рис. 1) и вИд — Ро (рис. 2), с точкой перегиба вблизи значения Ро = 410-4, на наш взгляд, обусловлено недостаточным числом членов рядов (3) и (10) в модели Кронига и

п=1

Рис. 1 - Влияние числа членов (п) ряда (3) на зависимость степени насыщения (А) от критерия Фурье (Ро)

для модели Кронига и Бринка

Рис. 2 - Влияние числа членов (п) ряда (10) на критериальную зависимость БИд — Ро для диффузионной

модели Кронига и Бринка

Бринка в области низких значений критерия Ро < 410-4. Поскольку на практике могут встречаться подобные случаи, когда критерии Ро могут иметь и более низкие значения, обусловленные, например, малым временем контактирования фаз (1) в массо-обменных аппаратах, или большим диаметром частиц (С), представляет интерес определение и после-

дующих членов рядов (3) и (10) Кронига и Бринка при п > 7.

Выводы

1. для известной циркуляционной модели Кро-нига Бринка проведен анализ сходимости критериальных уравнений для расчета степени насыщения (3) и коэффициентов массоотдачи (10) в практически возможном диапазоне изменения критерия Ро

для определения необходимых и достаточных для практического использования членов числовых рядов, описывающих процесс массопереноса в дисперсных системах.

2. Установлено, что циркуляционная модель Кронига и Бринка, аналогично диффузионной модели Ньюмена, достаточно быстро сходится только в области больших значений критерия Ро, когда соответствующие значения критерия 8Ид и степени насыщения (А) асимптотически приближаются к квазистационарным значениям, соответствующим практически полному насыщению капель и пузырей. В области малых значений критерия Ро для хорошей сходимости рядов (3) и (10) требуется большее число членов, что должно быть учтено при практических расчетах коэффициентов массоотдачи и степени насыщения в дисперсных системах при проведении процессов экстракции и абсорбции

3. С целью обеспечения корректности расчетов и хорошей сходимости рядов в области малых значений критерия Ро < 410-4, для циркуляционной модели Кронига и Бринка, дополнительно к известным в литературе семи членам, необходимо определить и последующие коэффициенты Вп и Лп рядов (3) и (10).

Основные обозначения

кд, Кд - коэффициенты массоотдачи и мас-сопередачи в дисперсной фазе, м/с;

А-Ск ~С 11 - степень насыщения (безраз-С*-Сн

мерная концентрация), где СН, СК, С * - начальная, конечная и равновесная концентрации распределяемого компонента в капле или пузыре, соответственно;

Вп, Лп - коэффициенты рядов (3) и (10) в модели Кронига и Бринка;

d - диаметр, R - радиус частицы дисперсной фазы, м;

йд - коэффициент молекулярной диффузии

в дисперсной фазе, м2/с;

t - время контакта фаз, с; Безразмерные критерии подобия:

Sh -k- массообменный критерий Шервуда Д Г!

Д

(Нуссельта) в дисперсной фазе;

Fo - 4D Д - критерий Фурье (безразмерное R2 d2

время).

Литература

1. Б.И. Броунштейн, Г.Л. Фишбейн. Гидродинамика, мас-со- и теплообмен в дисперсных системах. Химия, - Ленинград, 1977. 280 с.

2. Б.И. Броунштейн, А.С. Железняк. Физико-химические основы жидкостной экстракции. Химия, Ленинград, 1966. 320 с.

3. И.Р. Калимуллин, М.А. Закиров, А.В. Дмитриев. Вестник Казан. технол. ун-та, № 10, 279-280, (2010).

4. А.В. Дмитриев, О.С. Макушева, А.Н. Николаев. Экология и промышленность в России, № 10, 15а-17, (2010).

5. О.С. Дмитриева, А.В. Дмитриев, А.Н. Николаев. Вестник Казан. технол. ун-та, 16, № 3, 63- 65, (2013).

6. A.B. Newman. Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 27, № 10, 203- 220, (1931).

7. R. Kronig, J.C. Brink. Appl. Sci. Res., A2, № 2, 142-154, (1950).

8. Б.И. Броунштейн, И.Р. Гитман. В сб.: Процессы жидкостной экстракции. Гостоптехиздат, Ленинград, 1963. С. 17- 38.

9. A.J. Johnson, A.E. Hamielec. A.I.Ch.E. Journal, 6, № 1, 145-149, (1960).

10. R. Geddes. Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 46, № 1, 79105, (1946).

11. М.А. Закиров. Вестник технол. ун-та, 18, № 8, 203 -206, (2015).

© М. А. Закиров - канд. тех. наук, доцент кафедры МАХП НХТИ (филиала) КНИТУ, [email protected].

© M. A. Zakirov - associate professor of Machinery and Apparatus for Chemical Industry of Nizhnekamsk Institute for Chemical Technology, [email protected].