О сходимости диффузионной модели Ньюмена для расчета коэффициентов массоотдачи в дисперсных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.061. 5

М. А. Закиров

О СХОДИМОСТИ ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ НЬЮМЕНА

ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ МАССООТДАЧИ В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ

Ключевые слова: нестационарные модели массоотдачи в дисперсных системах; сходимость диффузионной модели массо-

отдачи Ньюмена.

В работе проведен теоретический анализ нестационарной модели массоотдачи Ньюмена с целью определения чисел членов рядов, необходимых для практического расчета степени насыщения и коэффициентов массоотдачи внутри капель и пузырей, движущихся в сплошной среде в массообменных аппаратах при проведении процессов абсорбции и экстракции.

Keywords: Non-stationary models of mass transfer in disperse systems; convergence of diffusion mass transfer model of Newman.

The theoretical analysis of non-stationary mass transfer model of Newman have been discovered in this article to determine the number of rows required for practical calculation of degree of saturation and mass transfer coefficients inside drops and bubbles, moving in continuous medium in mass transfer apparatus in the processes of absorption and extraction.

Цель работы

Данная работа посвящена теоретическому анализу нестационарной диффузионной модели Ньюмена с целью определения числа членов ряда, необходимых и достаточных для практических расчетов коэффициентов массоотдачи внутри капель или пузырей, при их движении в массообменном аппарате.

Основы теории

Процессы абсорбции и экстракции, как правило, проводят при дисперсном режиме движения одной из фаз рабочих сред, с целью обеспечения больших поверхностей контакта в единице объема аппарата и высоких скоростей их относительного движения. Кинетические закономерности процесса массообмена между фазами характеризуются коэффициентами массоотдачи в дисперсной кд и сплошной кс фазах, по которым, с учетом аддитивности фазовых сопротивлений [1, 2], определяются коэффициенты массопередачи Кд и Кс. Последние используются для определения одного из важнейших конструктивных параметров - геометрических размеров контактной и сепарационной зоны проектируемого массообменного аппарата.

При моделировании процесса массопереда-чи в таких аппаратах, для оценки составляющего массообмена, обусловленного капельным или пузырьковым режимом движения дисперсной фазы, при расчете коэффициентов массоотдачи (кд) в дисперсной фазе наиболее часто применяют [3 - 5] нестационарные модели массоотдачи Ньюмена [6] и Кронига и Бринка [7]. Диффузионную модель Ньюмена [6] применяют для случаев массопередачи при движении мелких или загрязненных поверхностно-активными веществами (ПАВ) капель или пузырей. Циркуляционная модель Кронига и Бринка [7] используется для описания массопередачи в дисперсных системах, в которых происходит вихревое циркуляционного движение среды внутри и вокруг движущейся сферической частицы, вследствие воз-

действия сил трения на подвижной поверхности раздела фаз в аппарате.

Диффузионная модель Ньюмена [6] получена в предположении, что массоперенос внутри жидкой капли или газового пузыря осуществляется только за счет молекулярной диффузии, без учета конвективных составляющих переноса, т. е. капля или пузырь представляются как неподвижная твердая сфера без внутренней циркуляции. Такой характер массоотдачи наблюдается в случае движения мелких капель и пузырей в «ползущем» режиме движения в области низких чисел Рейнольдса (Рвс<<1) или в присутствии поверхностно-активных веществ, полностью или частично подавляющих внутреннюю циркуляцию жидкости или газа внутри движущихся частиц. Диффузионная модель Ньюмена ограничивает скорость массообмена в каплях снизу, а циркуляционная модель Кронига и Бринка -сверху.

Для степени насыщения, представляющей собой безразмерную концентрацию распределяемого компонента внутри капли или пузыря C - с

А=~К ЛН , (1)

С*-Сн

решение Ньюмена [6] записывается в виде бесконечного числового ряда:

A

6 \ 1

1 - —г ехР( "п 2n2Fo)

П n = 1 n

(2)

где п - числа натурального ряда от 0 до

Для циркуляционной модели Кронига и Бринка [7], которая используется для случая сферических или слабодеформированных капель и пузырей, степень насыщения также представляется в виде числового ряда 3

A = 1- - XjB 2 exp( -16 Л nFo) •

8 n = 1

(3)

Необходимые для практических расчетов численные значения коэффициентов Bn и Лп для 7 членов указанного ряда представлены авторами [8, 9].

Коэффициенты массоотдачи в капле кд и степень ее насыщения А связаны известным соотношением Геддеса [10]

кд = "6^(1-А). (4)

Умножим правую и левую части уравнения (4) на :

й Д

М

й Д

<Ю д 1

1п(1 - А).

(5)

Тогда, выражая диаметр капли d в правой части уравнения через его радиус Р , т.е. d = 2Р, и обозначая множитель перед натуральным логариф-д2 Р2

мом

4РД1 Ро

■ —, где Ро = —-

ОД 40^

- из-

Р2

вестный критерий Фурье (или безразмерное время).

Поскольку выражение в левой части уравнения (5) представляет собой массообменный крик с1

терий Шервуда для дисперсной фазы: Д = д^ ,

Г) Д

ид

получим критериальное уравнение для расчета коэффициентов массоотдачи в каплях и пузырях в безразмерном виде:

8Ьд ="з!о

1п(1 - А).

(6)

С учетом последнего выражения уравнение Ньюмена (2) для коэффициента массоотдачи в критериальной форме запишется в виде ряда

8И Д = -зРо

1п(-

6

2 ' 2 П2 п=1 п2

^ ^ 1

Тг ехр(-п 2п2Ро)). (7)

Практическое использование критериальных уравнений (2) и (7) для определения степени насыщения (А) или коэффициентов массоотдачи (кд) в инженерных расчетах вызывает определенные трудности, и в первую очередь, в связи с необходимостью использования в расчетах рядов с неограниченными числами членов (2) и (7). В связи с этим представляет интерес анализ сходимости указанных рядов с тем, чтобы установить достаточное для практических расчетов число членов этих рядов, обеспечивающих необходимую точность при минимальном объеме вычислений.

С этой целью нами были вычислены зависимости критериев 8Ид и степеней насыщения А капель от значений критерия Фурье (Ро) при различных числах членов рядов п для модели Ньюмена по уравнениям (2) и (7) во всем практически возможном диапазоне изменения критерия Ро от 110-5 до 110°. Нижний предел критерия Ро при этом ограничен областью минимального времени контактирования (^¡п) от 0,25 c и максимально возможным диаметром частиц ^тах) до 10 мм, при коэффициенте молекулярной диффузии порядка йд ~ 110-9 м2/с. За верхний предел критерия Ро принято так называемое квазистационарное (асимптотическое) значение последнего, когда достигается практически полное насыщение капли или пузыря, т.е. степень насыщения А приближается к единице. По данным [1, 2, 8] состояние полного насыщения капель и пу-

зырей по диффузионной модели Ньюмена наступает при значениях критерия Ро порядка 0,1 - 0,2.

Анализ полученных данных

Результаты расчетов представлены на рис. 1 и рис. 2 в виде зависимости степени насыщения А и критерия 8Ид для капель и пузырей от критерия Ро при различных числах членов рядов Ньюмена (2) и (7) соответственно. Как следует из приведенных данных, рассматриваемые ряды (2) и (7) быстро сходятся только в области больших значений критерия Ро, соответствующих квазистационарным значениям, когда степень насыщения А близка к единице. Так для рассматриваемой модели Ньюмена (рис. 2) первым членом ряда при вычислении 8Ид можно ограничиться при числах Ро > 0,15. С уменьшением Ро для сходимости ряда (7) требуется все большее число членов ряда: при Ро = 110-2 необходимо учитывать не менее пяти членов; при Ро = 110-3 - не менее 20; при Ро = 110-5 - число членов рядов должно быть не менее 160 и т.д. Аналогичная закономерность наблюдается и для зависимости степени насыщения А от критерия Ро (рис. 1). Использование в расчетах меньших чисел членов рядов (2) и (7) дает численные значения степени насыщения и коэффициентов массоотдачи, количественно и качественно отличающиеся от их действительных значений.

Как следует из относительного расположения кривых на рис. 1 и 2, с уменьшением критерия Ро разница в значениях коэффициентов массоотда-чи и степени насыщения, полученных с использованием рядов (2) и (7) с различными числами членов, существенно возрастает, и может достичь от нескольких единиц до десятка и более, особенно в области низких значений Ро. Так при значении критерия Ро = 110-4 степень насыщения А, рассчитанная по уравнению (2) с использованием первого члена числового ряда, дает величину, превышающую степень насыщения почти в 11 раз, чем рассчитанная по числовому ряду (2), состоящую 100 членов. При том же значении критерия Ро = 110-4, величины безразмерных коэффициентов массоотдачи (8Ид), рассчитанные по уравнению (7) с использованием числовых рядов, состоящих из одного и 100 членов соответственно, отличаются друг от друга в 15 раз. Для обоих параметров А и 8Ид, с уменьшением величины критерия Ро, а, следовательно, и времени контактирования (1), расхождение результатов расчета при использовании различных чисел членов в уравнениях (2) и (7), возрастает, а с увеличением величины критерия Ро (и соответствующего времени контактирования 1), наоборот, уменьшается.

Минимальные числа членов рядов п, которые должны быть приняты при вычислении степени насыщения А и критерия 8Ид и соответствующих значений коэффициентов массоотдачи кд в каплях и пузырях по уравнениям (2) и (7) диффузионной модели Ньюмена, следует принимать по таблице в зависимости от диапазона числовых значений критерия Ро.

2

d

Рис. 1 - Зависимость степени насыщения А от критерия Ро для модели Ньюмена (7) при различных числах членов ряда (п)

Рис. 2 - Зависимость БИд — Ро для модели Ньюмена (7) при различных числах членов ряда (п)

Таблица - Рекомендуемые числа членов ряда модели Ньюмена в уравнениях (2), (7)

Критерий Fo 110-1 110-2 110-3 110-4 110-5 410-5

Числа членов ряда, n 2 5 20 70 160 200

Выводы

1. Для известной нестационарной модели Ньюмена проведено исследование сходимости критериальных уравнений для степени насыщения и коэффициентов массоотдачи в практически возможном диапазоне изменения критерия Ро, с целью определения необходимых и достаточных для практических случаев чисел членов рядов, описывающих процесс массоотдачи внутри капель и пузырей в дисперсных системах.

2. Установлено, что ряд Ньюмена быстро сходится только при больших значениях критерия Ро, когда соответствующие значения критерия 8Ид близки к квазистационарным (асимптотическим) значениям, соответствующим практически полному насыщению капель и пузырей. Определены числа членов ряда п, необходимых для обеспечения сходимости решения Ньюмена при практических расчетах степени насыщения и коэффициентов массо-отдачи и в дисперсной фазе в виде функции от безразмерного времени - критерия Ро.

3. Показано, что в области малых значений критерия Ро для сходимости решений Ньюмена требуется значительное число членов рядов (2) и (7), что должно быть учтено при практических расчетах степени насыщения и коэффициентов массоотдачи в дисперсных системах.

Основные обозначения

A = ск - сн

C*-Ch

— степень насыщения (без-

размерная концентрация), где СН, СК, С * - начальная, конечная и равновесная концентрации капли или пузыря соответственно;

п - числа натурального ряда в модели Ньюмена;

кд, кс - коэффициенты массоотдачи в дисперсной и сплошной фазах, м/с;

Кд, Кс - коэффициенты массопередачи в дисперсной и сплошной фазах, м/с;

Вп, Лп - коэффициенты рядов (3) и (8) в модели Кронига и Бринка;

d = 2Р - диаметр и радиус частицы, м; йд - коэффициент молекулярной диффузии в дисперсной фазе, м2/с;

1 - время контакта фаз, с; Безразмерные критерии подобия: к с1

Д - массообменный 0д

Shr

критерии

Шервуда для дисперсной фазы;

DДt 40 Дt

Fo = -R^ = - критерии Фурье (без-

d

размерное время);

wdpc

Rec =

сплошной фазы.

- критерий Рейнольдса для

Литература

1. Б.И. Броунштейн, А.С. Железняк. Физико-химические

основы жидкостной экстракции. Химия, Ленинград, 1966. 320 с.

2. Б.И. Броунштейн, Г.Л. Фишбейн. Гидродинамика, мас-

со- и теплообмен в дисперсных системах. Химия, -Ленинград, 1977. 280 с.

3. А.В. Дмитриев, О.С. Макушева, А.Н. Николаев. Эколо-

гия и промышленность в России, № 10, 15а-17, (2010).

4. И.Р. Калимуллин, М.А. Закиров, А.В. Дмитриев. Вест-

ник Казан. технол. ун-та, № 10, 279-280, (2010).

5. О.С. Дмитриева, А.В. Дмитриев, А.Н. Николаев. Вест-

ник Казан. технол. ун-та, 16, № 3, 63- 65, (2013).

6. A.B. Newman. Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 27, № 10,

203- 220, (1931).

7. R. Kronig, J.C. Brink. Appl. Sci. Res., A2, № 2, 142-154,

(1950).

8. Б.И. Броунштейн, И.Р. Гитман. В сб.: Процессы жидкостной экстракции. Гостоптехиздат, Ленинград, 1963. С. 17- 38.

9. A.J. Johnson, A.E. Hamielec. A.I.Ch.E. Journal, 6, № 1,

145-149, (1960).

10. R. Geddes. Trans. Am. Inst. Chem. Engrs., 46, № 1, 79-10, (1946).

© М. А. Закиров - канд. тех. наук, доцент кафедры МАХП НХТИ (филиала) КНИТУ, [email protected].

© M. A. Zakirov - associate professor of Machinery and Apparatus for Chemical Industry of Nizhnekamsk Institute for Chemical Technology, KNRTU, [email protected].