CC BY
55
УДК 517.977.5
О СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА
Г. А. Свиридюк, А. В. Келлер
Южно-Уральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. Ленина, 76.
E-mails: ridyu@mail.ru, alevtinak®inbox.ru
Доказывается сходимость численного решения задачи оптимального управления для. вырожденной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассматривая различные приложения такого рода систем, их относят к системам леонтъевского типа, так как впервые такие системы были исследованы как динамические балансовые модели с необратимым оператором при производной. Использование начальных условий Шоуолтера—Сидорова позволяет 'расширить спектр практического применения модели. В 'работе приведены теорема о существовании и единственности численного решения исследуемой задачи, его вид, а также результаты численного эксперимента для динамической балансовой модели, предложенной В. Леонтьевым.
Ключевые слова: задача Шоуолтера—Сидорова, оптимальное управление, численное решение, сходимость.
Введение. Пусть L и М — квадратные матрицы порядка п. Матрица М L-регулярна, если существует число о; € С такое, что det(<xL — М) ф 0. Матрица М называется (Ь,р)-регулярной, где р € {0} U N, при р, равном нулю, если в точке оо L-резольвента (учЬ — М)~1 матрицы М имеет устранимую особую точку, а в противном случае — при р, равном порядку полюса в точке оо матриц-функции (piL — M)~l. (Здесь и далее терминологию, понятия и результаты см. в [1]).
Рассмотрим линейную неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
Lx = Мх + /, (1)
где / : [0;т] —> Rra — вектор-функция, подлежащая определению в дальнейшем. Если det L ф 0, то система (1) тривиально редуцируется к одной из систем
у = ML~ly + /, x = L~lMx+g. (2)
В случае detL = 0 в [2] предложено систему (1) называть системой леон-тьевского типа, имея в виду её прототип — знаменитую балансовую модель В. Леонтьева с учётом запасов [3].
Вектор-функцию х € С1 ([0, г] , Rra), обращающую (1) в тождество при некоторой вектор-функции / = f(t), назовём решением системы (1). Решение х = x(t) системы (1) назовем:
Георгий Анатольевич Свиридюк (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. уравнений математической физики. Алевтина Викторовна Келлер (к.ф.-м.н., доц.), зав. кафедрой, каф. общеобразовательных дисциплин.
(i) решением задачи Коши, если при некотором xq € Кга
ж(0) = х0; (3)
(ii) решением задачи Шоуолтера—Сидорова
[R^M)]P+1(x(0)-xo) = 0 (4)
при некоторых х0 € Мга, а € рь(М) = {¡л € С : det (pL - М) ф 0}. Здесь RLß{M) = (aL — М)"1 L —правая L-резольвента матрицы М. Заметим, что если det L ф 0, то задачи (3) и (4) эквивалентны; если же det L = 0, то из существования решения задачи (1), (4) следует существование решения задачи (1), (4); а обратное, вообще говоря, неверно.
В [2,4] предложен алгоритм численного решения задачи (1), (3), основанный на следующем результате.
Теорема 1. Пусть матрица М — L-регулярная, р € {0}UN и, кроме того, detM ф 0. Тогда для любой вектор-функции / € P+1 ([0, г] , Мга) и любого вектора Хо € Жп такого, что
lim (ln - (kRj; (M))P+l) хо = lim M"1 f(kL^ (M))P+l - ]Ü /(0), (5)
k—>oo v / k—>oo v /
существует единственное решение x = x(t) задачи (1), (3), которое к тому же имеет вид
v
x{t) = lim (М~1 ((,4L1 (M))p+1 - 1га) ьу х
хМ"1 (ln-{kLLk{M))P+1) f(t) +
// t \-i \Kp+i)
+ L) Xo+
+ / lim (L-—--M) L x
JQ fc^ooLV k(p +1) / J
x (■L~WTT)M)~l lkLk(M)]P+1f(s)ds- (6)
Здесь L^(M) = L(aL — M)~l — левая L-резольвента матрицы M, a In— единичная матрица порядка п.
Прежде всего заметим, что теорема 1 является частным случаем более общих результатов, причём условие / € P+1 ([0, г] ,Rra) можно ослабить (см. [1, гл. 2, 4 и 5]). Условие detM ф 0 не снижает общности, так как в системе (1) после замены x(t) = exty(t) можно получить такую матрицу М' = М — XL, что det М' ф 0. Далее алгоритм приближённого вычисления решения х ~ Xk [2,4] заключается в замене х на fc-тый член последовательности, по которой берётся предел в (6). Отметим, что скорость сходимости х^ —> х не очень высока, порядка к~1. Заметим ещё, что данный алгоритм является обобщением предложенного ранее алгоритма решения систем вида (2) [5-7].
Наибольшую трудность в численных расчётах вызывает проверка условия (5), поэтому в приложениях [8,9] пришлось ограничиться случаями п = 3 (пример Леонтьева) и п = 5 (модель экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска Челябинской области). Чтобы купировать эту трудность, предлагается вместо условия (3) воспользоваться условием (4). Тем более, что очень просто (хотя и в более общей ситуации [10, гл. 2]) доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любых вектор-функций / € Р+1 ([0, г] ,Мга) и вектора Хо € Мга существует единственное решение задачи (1), (4), которое к тому же имеет вид (6).
Алгоритм численного решения задачи (1), (4) предложен в [11].
В [12] впервые поставлена и изучена следующая задача оптимального управления для уравнения (1) с условием (3). Пусть X, У— гильбертовы пространства. Введём в рассмотрение пространства
Я1 (X) = {хеь2 ((0, т),Х):хеЬ2 ((0, т) , X)},
Нр+1 (У) = {уеь2 «0, т),у): /+1 € Ь2 «0, т) ,у)}, ре {0} и N.
Пусть теперь операторы Ь, М € С(Х,У) (т.е. линейны и непрерывны), причём оператор М (£,р)-ограничен, р € {0}1Ж. Вектор-функцию х € Н1 (X) назовем сильным решением задачи (1), (3), если она удовлетворяет уравнению (1) (п. в. на (0, г) ) и условию (3) при некоторой вектор-функции / € НР+1(У). (Поскольку вложение Н1 (X) > С ([0, т],У) непрерывно, то такое определение корректно). Далее пусть Ы — гильбертово пространство и оператор В € С(Ы). Построим пространство управлений
ЯР+1 (и) = {и еь2 ((0, т) ,и) ■■ и(р+1) € Ь2 «О, т),К),
и^Цо) = 0, д = 0,1,... ,р}, ре{0}им
и выделим в нём замкнутое и выпуклое множество Нд+1(Ы) —множество допустимых управлений. Зададим ещё — гильбертово пространство наблюдений и оператор С € С(Х, ОТ), который задаёт наблюдение = Сж(£). Заметим, что если х € Н1 (X), то г е Н1 (*У1). Наконец, зададим самосопряжённые и положительно определенные операторы Л^ € С (Ы), д = 0,1,... + 1 и построим функционал качества
1 /»"7- 2 /»"7-
q=0 ^ д=0 Ы
В [12] (см. также [1, гл. 7]) доказано существование единственной пары (х, у) такой, что
Лу)= тт Ли), У£Нрд+1, (7)
иенрв+1
а х — сильное решение задачи (3) для уравнения
Ьх = Мх + у + Ви (8)
при заданных у € Нр+1 (,У) и xq € Ш, где Ш — специально построенное (по операторам L и M и вектор-функциям у и и) множество допустимых начальных значений. В [13] данные результаты распространены на случай (L,p)-секториального оператора M (терминологию см. в [1, гл. 3]).
В [9] предложен следующий метод численного решения задачи (3), (7) для уравнения (8) в случае, когда пространства X = У = Nra, а операторы L, М, В и С отождествлены с квадратными матрицами порядка п, причём по экономическим соображениям det L = 0. В этом методе пространство управлений Hp+l(U) заменяется на конечномерное пространство вектор-многочле-
нов вида
, i i I
u\t) = coli Y аЬк, Y Y antk> fc=p+1 fc=p+i fc=p+i
Подставив и1 = ul(t) вместо и в (8), найдём точное решение х1 = x(t,ul) задачи (3), (8) согласно теореме 1. Подставив найденное решение х1 = x(t,ul) в функционал J(v), найдём
J{vl) = min J(ul), vl € Hl+l{U) П tff+1.
uleHpg+1(u)nH^+1
Очевидно, (xl,vl) —решение задачи (3) для уравнения (8) при v = vl. Нетрудно показать, что (xl,vl) —> (x,v) при I —>■ оо, где (x,v) — точное решение задачи (3), (7), (8).
Целью работы является доказательство сходимости (xlk,vlk) —> (x,v) при к,1 —> оо, где xlk = xlk(t, vlk) — приближённое решение задачи (3), (7) для уравнения (8). Предложенный алгоритм численного решения реализован на примере Леонтьева [3, гл. 1] (см. также [2,4]). Настоящая статья кроме вводной части содержит список литературы и два пункта; в первом приведена теорема о сходимости, а во втором рассмотрен пример Леонтьева. Список литературы отражает лишь вкусы и пристрастия авторов и не претендует на полноту.
1. Теорема о сходимости. Итак, пусть L и M — квадратные матрицы порядка п, причём матрица M (£,р)-регулярна, р € {0} U N и det M ф 0. Пусть Ып — гильбертово пространство, являющееся прямой суммой Ып =
п
= ф lÂm гильбертовых пространств. Введём в рассмотрение функциональ-
m= 1
ные пространства
Hp+l m = {у G L2 ((0, г) , 2)) : /+1 € L2 ((0, г) , ïï})}, р € {0} U N,
где в дальнейшем либо 2) = Мга, либо 2) = Un, поэтому Hp+l (2)) в любом случае будет гильбертовым пространством. Пусть Nq — симметричные положительно определенные матрицы, q = 0,1,... ,р +1. Скалярное произведение (•, •) в Нр+1 (Un) зададим следующим образом:
р+1 }
(u,v) = Y / (NquM(t)M«Ht)) dt,
i=° о
( • , • )т —скалярное произведение в Ыт. Построим функционал
J(u)= z{q\t)-z+(u,u)
(?)
где г = Сх — наблюдение (С — квадратная матрица порядка п, V — управление из Нд+1(Ып) —замкнутого и выпуклого множества допустимых управлений, ||-||—норма в 1 (Мга). Пусть В — квадратная матрица порядка п. Справедлива
Теорема 3. Пусть матрица М — (L,p)-регулярна, р € {0}UN и det М ф 0. Тогда для любых Хо € Мга, у € P+1 (Rra) существует единственная пара (х, v), где х — сильное решение задачи Шоуолтера—Сидорова (4) для уравнения (8), а v € Яр+1 (Un) — точка минимума функционала J. Причём между х и у имеет место следующее соотношение:
x{t) = (Аг + А2) (у + Ви) (t) + Х*х0,
где А\ и А2 — операторы, определяемые первым и третьим слагаемыми соответственно в формуле (6), Хг, t € R+ —разрешающая группа операторов, порождаемая матрицами L u, М (второе слагаемое в формуле (6)), /(¿) = = y{t)+Bu{t), t € [0,т].
Доказательство. Идея доказательства теоремы 3 заключается в следующем. Подставим в функционал вектор-функцию
x{t) = (Аг + А2){у + Bv){t) +Х1х0. (9)
Пользуясь замкнутостью и выпуклостью множества Hq+1 (1Ап), получим существование единственного v € Hg+1 (Un) такого, что
J(v) = min J(u).
u£Hpg+1(U«)
Подставив теперь в J вектор-функцию
xk(t) = {Alk + A2k) (у + Bu) (t) + X{x0, (Ю)
где A\k, A2k и X\ — соответствующие члены последовательности, предел которой ищется в (6), аналогично предыдущему получим существование единственного Uk € Hg+1 (Un) такого, что
J(vk) = min J(u).
u£HPe+1(U«)
Очевидно, что Vk —> v при к —> oo. Итак, теорема доказана. □
Лемма 1. Пусть матрица М — (Ь,р)-регулярна, р € {0}иМ и detM ф 0. Тогда (хк,Ук) —> (х, у) при к —> оо для любых Хо € Мга, у € Р+1 (Мга).
Пусть —последовательность конечномерных подпространств про-
странства Ып такая, что Цга Э Щ при I ^ к, Цга П Щ+1 (Кп) ф 0 при всех
ОО
I € N и и Ы,га плотно в Нр+ (Ып). (Как показано во введении, такая последо-1=1 1
вательность существует в интересующем нас случае). Опять подставим (10) в функционал 3, и поскольку множество Щ+1 (Ып)ПНр+1 (Цга) (= Щ+1 (Цга)) замкнуто и выпукло, то существует единственный и1к € Нд+1 (Цга) такой, что
Теорема 4. Пусть матрица М — (Ь,р)-регулярна, р € {0}иМ и ёе! М ф 0. Тогда для любых Хо € Мга, у € р+1 (Мга), (х1к, у1к) —> (ж, у) при к, I —> оо.
2. Пример Леонтьева. Возьмём
Если переобозначить Ь = ВъМ = 1 — А, то матрицы В и А «почти» совпадают с матрицами из классического примера [3]. «Почти» означает, что для реализации численного эксперимента в С++ элементы матриц записаны в виде десятичных, а не обыкновенных дробей, с точностью 10_6.
В. В. Леонтьев рассматривал взаимосвязи между тремя отраслями экономики— сельским хозяйством, промышленностью и домашними хозяйствами. Элемент а^ матрицы А означает количество продукции г-той отрасли, необходимой для производства единицы продукции ^'-той отрасли. Элемент матрицы Ьу матрицы В представляет определенный технологический запас особого типа благ — машин, механических инструментов, промышленных зданий и сооружений, рабочих запасов первичных и промежуточных материалов, производимых отраслью, который используется в отрасли ] для производства единицы её продукции. Другими словами, каждый столбец матрицы В описывает потребность некоторой отрасли в физическом капитале (в расчёте на единицу её валового выпуска) таким же образом, как соответствующий столбец матрицы А описывает её затраты. Именно поэтому последняя строка матрицы В содержит только нулевые элементы, так как труд невозможно запасти.
Приведем результаты численного решения задачи оптимального управления (ЗОУ) для примера Леонтьева без комментариев, взяв при этом в качестве / = {21, 2£) и начального значения — жо = (18, 50, 32).
Здесь используется алгоритм, описанный в [11]. Временной промежуток составляет один год и разбит по месяцам, однако за условную единицу может
'Н^к)= ппп Ли) иенре+1(и«)
^ ^(Ук) ПРИ 3 ^ ^ Значит при каждом А; € N (х1к,у1к) —> (хк,Ук)
при I —> оо.
Таким образом, имеют место следующие лемма и теорема. Лемма 2. В условиях леммы 1 (х1к,и1к) —> (ж^г^) при I оо.
быть взят любой (соответствующий экономическому смыслу) период и разбит на произвольное число частей. В качестве плановых наблюдений примем ж0(*) = (18+ ¿,50+ ¿,32 + ^.
Численное решение задачи (1), (4), т.е. задачи Шоуолтера—Сидорова, имеет вид
ад, ¿) = Е (м-1 ((^ (м)Г1 - ь)я х
д=0
хМ"1 (яга-(Ы^(М))р+1) /«(*) +
^ \-1 \ &(р+1)
+/
1-8 ,
ь-—--м ь
Л(р + 1)
(11)
к(р + 1)
при к > К, где X — номер, начиная с которого можно считать приближённые проекторы, определяемый по формуле К = шах {к\] к2}, где £ € [0,1],
Iя Iя
> |—г ^ |аг| + 1, к2 > —— Ы (р + 1)га"г + 1, |*| < 1.
При таких значениях к мы не сможем оказаться даже вблизи точки Ь-спектра оператора М.
Результаты численного решения задачи Шоуолтера—Сидорова (без оптимизации) для примера Леонтьева представлены в табл. 1. Решения х\, убывая, со второго месяца становятся отрицательными, а решения х2, наоборот,
Таблица 1
Сравнение численных решений ж*,(£) задачи Шоуолтера—Сидорова (Ш С) и задачи оптимального управления (ОУ)
Ь Решение задачи III- -С Решение задачи ОУ
(/, 0 ¿2 (/,*) ЖЗ (/,*) х1 (у1к,Ь) х2 хз
0 18,0 50,0 32,0 18,0 50,0 32,0
1/12 11,2168 56,1634 29,1806 6,24456 60,73123 28,65891
1/6 6,11157 61,0596 29,6772 7,504523 62,01312 29,57361
1/4 -0,7464 67,1678 30,1939 9,578925 62,76643 30,56349
1/3 -9,9671 74,8798 30,7239 12,47673 62,97620 31,61249
5/12 -22,3904 84,7344 31,2573 16,17948 62,64696 32,69980
1/2 -39,1817 97,4787 31,7804 20,60162 61,82921 33,79858
7/12 -61,9713 114,157 32,2737 25,50935 60,67328 34,87395
2/3 -93,0603 136,243 32,7091 30,37331 59,52616 35,87988
3/4 -135,726 165,835 33,0466 34,11866 59,09507 36,75443
5/6 -194,685 205,952 33,2282 34,71714 60,71333 37,41281
11/12 -276,788 260,976 33,1691 28,53566 66,76328 37,73698
1 -392,105 337,350 32,7444 28,30751 71,34233 37,56016
значительно возрастают, что свидетельствует об экономическом разрушении первой отрасли и неустойчивости всей системы в целом. Неустойчивость экономических систем является известным свойством. Изучению параметров, обеспечивающих устойчивость такого рода систем, посвящено большое количество исследований.
Численным решением задачи (4), (7), (8) является пара (у1к,хк (/ + Ву1к)), где у1к — точка минимума функционала
■Ми1) = У2 Г С{хки + Ви1)){с1\1)-Сх^\1)
д=0 ^
Р+1 ,-т
+ Е / (щ^Ч^Ч*®)
д=0^ Х /Ы
а %к (/ + Ву1к) определяется по формуле
й*((/ + 4), 0 = Е (М_1 " ЬУ М_1 " (/ + +
9=0
£ „л-М^1)
+ ((£-
к
+
/о
„ Л _1 1к(Р+1)~1 ь~—--М) Ь :
Цр + 1)'
Ь -
¿-в
м) 1дк^ + ву1к)(8)й8, (12)
Цр +1)'
здесь С}к = [кЬ%(М)]р+\
Результаты численного решения оптимального управления Хк (/ + Ву1к, ¿) для примера Леонтьева представлены в табл. 1. Сравнивая численные решения двух задач, приходим к выводу о том, что решение задачи оптимального
Таблица 2
Решение задачи оптимального управления
£ VI "«2 Уз
0 1,125122 —0,9843903 0,9980469
1/12 1,396327043 —1,006002988 0,859570538
1/6 1,633233973 -0,996670176 0,655155876
1/4 1,809867789 -0,936120074 0,391316439
1/3 1,892873677 -0,798977234 0,078212843
5/12 1,840318078 -0,553292295 -0,27001597
1/2 1,6016845 -0,160385159 -0,635253881
7/12 1,120511677 0,422476088 -0,996152851
2/3 0,341590526 1,234569329 -1,330180504
3/4 -0,774894785 2,296925607 -1,617674803
5/6 -2,229427492 3,587320459 -1,848757072
11/12 -3,946097591 5,001651649 -2,03410117
1 -5,718628 6,2978367 -2,2207031
управления х\ (/ + Bvlk,t), в отличие от решения задачи Шоуолтера—Сидорова, не приводит к экономическому разрушению отрасли 1 и все решения %k (/ + Bvlk,t) более близки к плановым показателям. В табл. 1 для краткости вместо Хк (/ + Bvlk,t) записано Хк (vlk,t).
В табл. 2 представлены результаты численного решения vlk. Положительные значения управления свидетельствуют о необходимости дотаций в соответствующую отрасль, а отрицательные — о возможности изъятия излишек. Иначе говоря, при отрицательном значении управления некоторой отраслью последняя становится донором для остальных. При таком управлении наименьшее значение функционала качества составит Jk (vlk) = 5636,09.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Sviridyuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht - Boston - Koln - Tokyo: VSP, 2003. 216 pp.
2. Свиридюк Г. А., Брычев С. В. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа// Изв. вузов. Матем., 2003. №8. С. 46-52; англ. пер. Sviridyuk G.A., Brychev С. V. Numerical solution of systems of equations of Leont'ev type // Russian Math. (Iz. VUZ), 2003. Vol. 47, no. 8. Pp. 44-50.
3. Леонтьев В. В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика, 1997. 315 е.; англ. пер.: Leontief W. W. Input-Output Economics. New York: Oxford University Press, 1986. 436 pp.
4. Свиридюк Г. А., Бурлачко И. В. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, №11. С. 1677-1683; англ. пер.: Burlachko I. V., Sviridyuk С. A. An algorithm for solving the Cauchy problem for degenerate linear systems of ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys., 2003. Vol.43, no. 11. Pp. 1613-1619.
5. Павлов Б. В., Повзнер А. Я. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973. Т. 13, №4. С. 1056-1059; англ. пер.: Pavlov В. V., Povzner A. Ja. A certain method for the numerical integration of systems of ordinary differential equations // U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1973. Vol.13, no. 4. Pp. 292-297.
6. Павлов Б. В., Радионова О. Е. Метод локальной линеаризации при численном решении жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987. Т. 27, №5. С. 688-699; англ. пер.: Pavlov В. V., Rodionova О.Е. Method of local linearization for the numerical solution of stiff systems of ordinary differential equations// U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1987. Vol.27, no. 3. Pp. 3038.
7. Павлов Б. В., Родионова О.Е. Численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994. Т. 34, №4. С. 622-627; англ. пер.: Pavlov V. В., Rodionova О.Е. The numerical solution of systems of linear ordinary differential equations with constant coefficients// Com,put. Math. Math. Phys., 1994. Vol.34, no. 4. Pp. 535-539.
8. Брычев С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: Дис. ...канд. физ.-мат. наук: 05.13.18: защищена 12.02.02: утв. 24.06.02. Челябинск, 2002. 124 с. [Brychev S. V. Investigation of a mathematical model of the economics communal services of small towns: Candidate of physico-mathematical sciences thesis. Chelyabinsk, 2002. 124 pp.]
9. Бурлачко И. В. Исследование оптимального управления системами леонтьевского типа: Дис. ...канд. физ.-мат. наук: 05.13.18: защищена 12.02.02: утв. 24.06.02. Челябинск,
2005. 123 с. [Burlachko I. V. Investigation of optimal control of Leontief type systems: Candidate of physico-mathematical sciences thesis. Chelyabinsk, 2005. 123 pp.]
10. Свиридюк Г. А., Федоров В. E. Линейные уравнения соболевского типа. Челябинск: Че-ляб. гос. ун-т, 2003. 179 с. [Sviridyuk С. A., Fedorov V. Е. Linear equations of Sobolev type. Chelyabinsk: Chelyab. Cos. Un-t, 2003. 179 pp.]
11. Келлер А. В. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера—Сидорова для систем леонтьевского типа/ В сб.: Методы оптимизации и их приложения: Труды XIV Байкальской школы-семинара. Иркутск - Северобайкальск, 2008. С. 343-350. [Keller А. V. Algorithm of numerical solution Showalter-Sidorov problem for Leontief type systems / In: Optimization methods and their applications. Irkutsk - Severobaykalsk, 2008. Pp. 343-350].
12. Свиридюк Г. А., Ефремов А. А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева// Изв. вузов. Матем., 1996. №12. С. 75-83; англ. пер.: Sviridyuk С. A., Efremov A. A. Optimal control problem for a class of linear equations of Sobolev type. // Russian Math. (Iz. VUZ), 1996. Vol. 40, no. 12. Pp. 60-71.
13. Свиридюк Г. А., Ефремов А. А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами// Диференц. уравн., 1995. Т. 31, №11. С. 1912-1919; англ. пер.: Sviridyuk С. A., Efremov A. A. Optimal control of Sobolev-type linear equations with relatively p-spectorial operators // Differ. Equations, 1995. Vol.31, no. 11. Pp. 1882-1890.
Поступила в редакцию 26/11/2011; в окончательном варианте — 05/V/2011.
MSC: 49J27; 93C25, 34A30
ON THE NUMERICAL SOLUTION CONVERGENCE OF OPTIMAL CONTROL PROBLEMS FOR LEONTIEF TYPE SYSTEM
G. A. Sviridyuk, A. V. Keller
Souht Ural State University,
76, pr. Lenina, Chelyabinsk, 454080, Russia.
E-mails: ridyuamail.ru, alevtinak8inbox.ru
This article contains proving the convergence of numerical solving of optimal control problem for degenerate linear systems of ordinary differential equations with constant coefficients. Considering different appendixes of such systems, they belong to Leontief type system, as in the first time such systems were investigated as a dynamic Leontief input-output model with noninvertible operator on derivative. By using the initial condition of Showalter-Sidorov we gain an ability to extend the range of practical applicability for this model. The article includes existence and uniqueness theorem of numerical solution of investigated problem, his kind, and results of numerical experiment for dynamic input-output model, which was offered by W. Leontief.
Key words: Showalter-Sidorov problem, optimal control, numerical solution, convergence.
Original article submitted 26/11/2011; revision submitted 05/V/2011.
Georgiy A. Sviridyuk (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Mathematical Physics Equations. Alevtina V. Keller (Ph. D. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of General Educational Subjects.
