Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоуолтера-Сидорова и численные решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2010. Т. 3, № 2. С. 30—43

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 519.7

Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоуолтера-Сидорова и численные решения

А. В. Келлер

Южно-Уральский государственный университет

Аннотация. В статье дан обзор результатов, полученных автором в последние годы в области численных методов решения задач оптимального управления системами леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера-Сидорова. Базовым стал алгоритм численного решения задачи Шоуолтера-Сидорова. В статье приводятся численные решения прикладных задач.

Ключевые слова: системы леоньевского типа; численные решения; начальное условие Шоуолтера-Сидорова; оптимальное управление.

Численный алгоритм решения задачи Коши

х(0) = х0 (0.1)

для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

X = Бх + д, (0.2)

основанный на идеях теории полугрупп операторов предложен в [11], [12]. (Здесь Б — квадратная матрица порядка п). Этот подход в [13], [14] был распространен на задачу (0.1) для вырожденной системы уравнений

ЬХ = Мх + / (0.3)

с использованием идей теории вырожденных полугрупп операторов [16]. (Здесь Ь и М - квадратные матрицы, порядка п, причем с!еЬЬ = 0). Одним из важных случаев системы (0.3) является система межотраслевого

баланса В.В. Леонтьева (см. в [10]), поэтому в [13] было предложено

системы уравнений (0.3) называть «системами леонтьевского типа». В [13], [14] предложены алгоритмы, обеспечивающие высокое качество получаемого программного продукта, что выгодно отличает их от использовавшихся ранее методов Эйлера, Рунге-Кутта, итерационных и других методов (см. библиографию в [2], [3], [18]).

Для условий согласования и для построения фазового пространства (терминология соответствует [16]) необходимы проекторы, которые либо выражаются через контурные интегралы от матриц-функций, либо являются пределами матричных последовательностей. Ввиду неустойчивости любого проектора относительно малых возмущений такое вычисление матрицы проектора очень затруднительно. Поэтому, например в [4], при построении системы (0.3), моделирующей экономику коммунального хозяйства, пришлось ограничиться малыми городами, т.е. такими, где матрицы Ь и М имеют порядок не больше 10. Именно малость порядка матриц Ь и М сделало возможным вычисление проекторов «вручную».

Между тем в современной математической литературе существуют попытки теоретического осмысления так называемых «неклассических» задач для системы (0.3) ([6], [7]), основным достоинством некоторых является однозначная разрешимость при любых начальных данных х° € К”. Разработка численных алгоритмов решения таких задач с использованием начального условия Шоуолтера-Сидоррова

-> 1Р+1

(аЬ - М)-1 Ь (х(0) - хо) = 0 (0.4)

позволит избавиться как от трудоемкого построения фазового пространства (и не менее трудоемкой редукции системы (0.3) к системе (0.2), заданной на нем), так и от трудоемкой проверки условий согласования.

Все это в полной мере относится к задачам оптимального управления системами леонтьевского типа

3(V) = шш 3(и) (0.5)

о

м€Яр+1

с начальными условиями (0.4) для системы уравнений

ЬХ(^ = Mx(t) + у(£) + Би({), (0.6)

где функционал качества 3 = 3(и) имеет вид

1 Т 2 р+1 Т

3(и) = ^ / со - 49)|Ь^ + ^ / (^ди(%),и(д)со)т^ (°.7)

9=° 0 9=° 0

О

Вектор-функция и €Нр+1 такая, что выполняется условие (0.5), называется оптимальным управлением. В (0.7) ||-||^ и (-)^ — евклидова норма и скалярное произведение в пространстве М” соответственно. Матрицы Б и С — невырожденные квадратные порядка п, N — самосопряженные и положительно определенные матрицы порядка п, д = 0,1,...,р + 1. Вектор-функция Би = Би(^ задает управление, а

вектор-функция г(Ь) = Сх(Ь) - наблюдение, причем г°(Ь) — наблюдение, которое необходимо получить. В экономическом смысле ^0(^ — плановые значения показателя, например, выпуска продукции. В [15] впервые рассмотрены задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа вида (0.3). В [17] рассмотрена задача оптимального управления (0.5) с обобщенным условием Шоуолтера-Сидорова Рх(0) = Р(х°) для уравнения (0.3). В [14] предложен алгоритм численного решения задачи оптимального управления системой леонтьевского типа с начальным условием Коши.

Следует подчеркнуть, что обсуждаемые задачи имеют не только экономические приложения но и технические, например, при моделировании динамически искаженных систем [19].

Основная цель данной статьи — обзор результатов численного решения различных задач для уравнений леонтьевского типа с начальным условием Шоуолтера-Сидорова. Статья кроме введения и Списка литературы содержит три части. В первой дается теоретическое обоснование алгоритма и основные этапы вычислений задачи (0.3), (0.4). Во второй части приводятся теоретическое обоснование алгоритма и основные этапы вычислений задачи (0.4)-(0.7). В третьей представлены примеры численного решения прикладных задач.

1. Задача ШЪуолтера-Сидорова

Пусть Ь и М — квадратные матрицы порядка п, причем detЬ = 0. Следуя [5], гл. XII, п.2, пучок матриц рЬ — М назовем регулярным, если существует число Л € С такое, что det(\Ь — М) = 0. Заметим, что условие регулярности пучка матриц эквивалентно условию Ь-регулярности матрицы М [13], [14]. Поэтому, как показано в [16], гл. 4, при условии регулярности пучка существуют единственным образом определяемые матрицы порядка п, такие, что Ь-резольвента (рЬ — М)-1

матрицы М разлагается в ряд Лорана

р те

(рЬ - М )-1 = £ р И1М° (I - д) + £ р-1б1-1ь& (1.1)

1=0 1=1

в окрестности бесконечно удаленной точки, причем И — нильпотентная матрица со степенью нильпотентности р, Q — идемпотентная матрица, ММ0, М0М, Ь1Ь и ЬЬ1 - диагональные матрицы с нулями и единицами на главной диагонали. Поскольку det(ЛЬ - М) = 0, то многочлен

с!е^ЛЬ - М) = 0 имеет не более п различных нулей, которые располо-

жены в круге радиуса а, а значит, при |р| > а разложение (1.1) имеет место. Точка то называется устранимой особой точкой Ь-резольвенты матрицы М , если р = 0 в (1.1); и полюсом порядка р € N в противном

случае. В дальнейшем, немного отходя от классического стандарта, будем называть устранимую особую точку полюсом порядка нуль. Итак, пусть пучок цЬ — М регулярен, и то - полюс порядка р € {0}и N; тогда можно выбрать число а и рассмотреть задачу Шоуолтера-Сидорова (0.4) для системы уравнений леонтьевского типа (0.3), где (М) =

(аЬ — М)-1 Ь — правая Ь-резольвента матрицы М , в отличие от ее левой Ь -резольвенты Ь^ (М) = Ь (аЬ — М)-1 , а f : [0, Т] —► —

некоторая вектор-функция.

Определение 1. Решением системы (0.3) называется вектор-функция х € С1 ((0; Т); Кга) П С ([0; Т] ; Кга) , удовлетворяющая уравнениям системы. Решение системы (0.3) называется решением задачи (0.3), (0.4), если оно вдобавок удовлетворяет уравнениям (0.4).

Имеет место [5, гл.4]

Теорема 1. Пусть пучок цЬ — М регулярен, р € {0} и N — порядок полюса Ь-резольвенты матрицы М , вектор-функция f : [0, Т] —► такова, что ^Ь^ (М)^ f € С ([0; Т]; Кга) , а I — ^Ь^ (М)^ f €

СР+1 ((0; Т); Кга) ПСр ([0; Т]; Кга). Тогда при любом и0 € существует единственное решение задачи (5), (6), которое к тому же имеет вид

р гг

и (г) = — V Н9М-1 (I — О) f (9) (г) + иЧ + Rt-sQf (в) йв.

9=0 ]о

Здесь и1 = Г Я/; (М) е^йц, Rt = Г (цЬ — М)-1 е^йц, О =

1 2пг 1 ^ 2пг 1

-—: Ь£ (М) йц, контур 7 = {ц € С : |ц| = г > а} . Контурные инте-

2пг 1 м

гралы не очень удобны в численных расчетах, поэтому в [13], [14] предложен другой подход, основанный на аппроксимациях типа Уиддера-Поста [[16], гл. 2]. Именно справедлива

Теорема 2. Пусть пучок цЬ — М регулярен,р € {0} и N — порядок полюса Ь-резольвенты матрицы М. Тогда

Нш

к^-ж

г ^-1

Ь — —---------- М) Ь

к(р + 1)

к(р+1)

= и , Нш кЬк (М) = О

к^ж

р+1

Нш

к^ж

Ь

к(р + 1)

М

-1

Ь

к(р+1)-1

Ь

к(р + 1)'

-1

М) = Rt

Теперь пусть пучок цЬ — М регулярен, р € {0} и N — порядок полюса Ь-резольвенты матрицы М в точке то . Фиксируем Т € К+, г €

г

г

(0, Т) ,к Є N и положим

ик =

Ь -

і

к(р + 1)

-1 М ) ь

к(р+1)

Як = кьк (М)

р+1

як

ь

і

к(р + 1)

М

-1

ь

к(р+1)-1

ь

і

к(р + 1)

М

-1

Выберем вектор ио Є , вектор-функцию f Є Ср+1 ((0; Т); Кга) П Ср ([0; Т] ; Кга) и построим вектор-функцию

р гг

ик (і) = — Е ИМо-1 (I — Як) f(9) (і) + икио + К\-3Як f (в) йв.

д=0 ]о

Теорема 3. Пусть пучок цЬ — М регулярен, р Є {0} и N — порядок полюса Ь -резольвенты матрицы М в точке ж. Тогда существует константа С = С (Ь,М,Т) Є К+ такая, что ||и(і) — ик(і) У < ^ при всех і Є [0; Т], ио Є и f Є Ср+1 ((0; Т); ) П Ср ([0; Т] ; Кга).

Доказательство. В основе используются оценки

кЬк (М) — Я

р+1

р+1

< Е

КСр+1

иі и *

<

к=2 (р + 1)цк-1вр+1-к

(р + 1)К3і2

Ккк(М)

2вр-1к

взятые из [[16], гл. 2], где в Є К+.

((£ь — м )-1 м)2

□

Алгоритм 1. Построение алгоритма начнем с допущения, что йеіМ = 0. Это допущение не ограничивает общности предыдущих рассуждений. Действительно, при условии регулярности пучка цЬ—М можно сделать замену и = вХіу в уравнении (0.3) и перейти к уравнению

Ы) = (М — ХЬ)у + в-Хі(у + Ви)

(1.2)

того же вида, что и (0.3), но йеі(М — ХЬ) = 0. Обратный переход от решений системы (1.2) к решениям системы (0.3) очевиден.

На первом этапе алгоритма нужно найти числа а Є Я и р Є {0} и N. Можно разумеется, разложить Ь-резольвенту матрицы М в ряд (1.1) и тем самым сразу же найти эти числа. Однако, существует другой менее трудоемкий путь. Рассмотрим многочлен

йеі(цЬ — М) — апцп + яп—1цп + ... + а1Ц + ао

Поскольку ап = (1еЬЬ, то ап = 0. Коэффициент а, есть сумма слагаемых, каждое их которых есть произведение одного из миноров порядка I матрицы Ь на число, I = — 1 ао = йеЬ(—М). Поэтому степень

многочлена (1еЬ(^Ь — М) не выше гапкЬ, т.е. ранга матрицы Ь. Итак,

(1е1(р,Ь — М) = ад + ад-1^д-1 + ... + а\ц. + а0,

где д = (1ед<1е1(^Ь — М) < гапкЬ. Поэтому, если взять число а € К таким, что

|а| > шаж |1, |ад|

-1 Й

то йе1(аЬ — М) = 0, и, значит, существует матрица (аЬ — М)-1. Далее, считая, что матрица М обратима, представим

6,е1(^Ь — М) = йеЛМйеЛ^М -1Ь — I).

Зная, что порядок полюса в точке то резольвенты (/л1 — М-1 Ь)-1 равен нулю, легко найти, что порядок полюса Ь-резольвенты матрицы М в точке то равен п — д. Итак, числа а и р = п — д найдены.

Тогда находя значение к, с которого можно начинать считать приближенные проекторы, получим, что при

1 4

к>-ам + 1

|а| ,=о

мы не сможем оказаться даже вблизи точки Ь-спектра оператора М. Рассмотрим многочлен

6,е1(ц.(р + 1)Ь — 1М) = ад(р + 1)9 + ... + а1Ьп-1^ + ^а0,

где ад = 0, д < гапкЬ. Тогда, учитывая р = п — д при

1 ^ 1

к > К| (п — д)п-» ,=0|к1 (” _ д + 1)П- + 1 |!| < 1

1 ^ 11

к> К1№ (п — д)п-« ,=0|к1 (п — д + 1) |(| +1, |г| > 1

мы не сможем не сможем оказаться даже вблизи точки Ь-спектра оператора М.

Найдя значения, необходимые для приближенного вычисления проекторов, группы и др. операторов, вычисляется решение.

2. Задача оптимального управления системами леонтьевского типа с начальным условием ШЪуолтера-Сидорова

В основу решения задачи (0.3)—(0.7) положены методы фазового пространства и разрешающих групп операторов, разработанные в [16]. В результате указанные выше проблемы удается разрешить: предложенный функционал (0.7) позволяет всегда выбрать неотрицательный план Zо(t), а включение в него производных потребления п(Ь) не допускает скачкообразного его изменения. Следует отметить, что задача (0.4)— (0.7) для более общего случая решена в [15]. В указанной статье сформулирована и доказана теорема о существовании и единственности оп-

О

тимального управления V €Нр+1, минимизирующего функционал (0.7).

Воспользуемся результатом, изложенным в [15]. При любых у таких, что у € НР+1(^), х0 € ЗДу (!ЗДУ - фазовое пространство уравнения

О

(0.6)) и и €НР+1 (и) существует единственное решение х € Н 1(Х) задачи Коши для уравнения (0.6), имеющего вид

х^) = (А + А2)(у + Би)^) + Х*хо. (2.1)

Зафиксируем в последнем уравнении у = у^) и хо и рассмотрим его как отображение

Б : и ^ х(и). (2.2)

Лемма 1. Пусть матрица М Ь-регулярна, у € НР+1(^), и х0 € Шу

О

фиксированы. Тогда отображение Б :НР+1 (и) ^ Н 1(Х), определенное в (2.2), непрерывно.

Рассмотрим множество вектор-функций, зависящее от п х т + 1 параметров

и^) = Ф^,ап,а12,..., а,Пт) (2.3)

и такое, что при всех значениях параметров вектор-функции множества

ОО

принадлежат Ндр+1. Пусть множество (2.3) всюду плотно в Ндр+1. Ограничив множество допустимых управлений фектор-функциями множества (2.3), найдем среди них ту, которая минимизмрует функционал качества (0.7). Подставив в него (2.3) вместо и, выполнив необходимые преобразования, получим зависимость функционала от п х т переменных 3 = 3(а11, а12,..., апт). После этого получаем значения параметров аТТ,аТ2,...,а;т, дающие минимум функции 3(а11 ,а12,...,апт). Выбрав из множества (2.3) вектор-функцию, отвечающую именно этим значениям параметров, мы получим требуемое приближенное решение

и(^ = Ф(t, a11,a12, ..., апт).

Введем в рассмотрение ряд множеств функций

ит{г) = фт^, 0>11, а12, ■■■, апт) у т = 1у 2у

каждое из которых шире предыдущего в результате добавления дополнительных параметров. Через ит(£) обозначим т-ое приближение — вектор-функцию, дающую из всех фектор-функций т-го множества наименьшее значение функционала ■].

О

Теорема 4. Пусть Фт всюду плотно в Нр+17 тогда ■] (ит(£)) ^ ■](у) при т ^ то.

Доказательство приведено в [9]

О

Теорема 5. Для любого ит €Нт+1 справедлива оценка

p+l т

Е / ||u(q)(t) - vt(q)

9=о о

dt max

Nq (t) J (um),

где матрицы N из (0.7) и N связаны равенством N = N. Доказательство приведено в [9]

В качестве управлений при построении итерационного процесса будем рассматривать многочлены вида

um

i(t) = ait%- (2-4)

i=p+1

В качестве множества допустимых управлений будем расматривать шар

p+l т е / lum)(t) 9=о о

dt d,

(2.5)

где т — максимальная степень многочлена, й — неотрицательная постоянная величина, а — коэффициенты многочлена.

Теорема 6. Множество многочленов вида (2.4) всюду плотно в

О

Нр+1.

Доказательство. Докажем утверждение при р = 1. В этом случае функции управления должны отвечать условиям и(0) = 0, и;(0) = 0. По теореме Вейерштрасса найдется многочлен Р1{г) степени М такой, что

|и"{*) — Р1{г)1 < 2^2, при г € [0,Т ]. Положим теперь Р (г) = / / Р1{т )йт,

тогда имеем

|u(t) - P(t)\ =

t t

J J (u"(т) - pl(т)) dT <JJ

оо

t t

2T 2

оо

< є.

оо

2

U

є

Из выражения P(t) ясно, что многочлен вида

m

um(t) = ^ ait1 ■ i=2

Доказательство для всех p > І проводится аналогично. Таким образом при m ^ то

p+1 т

Е I Wum(t) - u(q)y2dt ^ 0.

q=0 0

□

Алгоритм 2. Алгоритм решения задачи оптимального управления состоит из двух основных этапов.

Этап І практически совпадает с алгоритмом решения задачи Шоу-олтера-Сидорова, представленном в п.І. Отличие заключается в том, что решение x(t) на этом не вычисляется.

Этап 2 заключается в поиске многочлена, минимизирующего функционал. Перепишем функционал (G.7) в виде

1 Т p k m

J(u) = £ / ||C(- £ HkM- (I - Q)(/(t) + Б £ ait) + U*X0+

q=0 0 k=0 i=2

t m / ч

+ / Rt-sQ(/(s) + Б £ aisi)ds)(q) - z0q) ||Ndt+

0 i=2

p+1 t m m

+ £ KN(£ aiti)(q)(t), (£ aiti)(q)(t))Ndt.

q=0 0 i=2 i=2

Пользуясь свойством интеграла и производной, вынесем коэффициенты многочлена допустимого управления за знаки интеграла и производной. Перепишем функционал (G.7) в виде функций от переменных um — коэффициентов многочлена допустимого управления. Затем воспользуемся алгоритмом минимизации функции нескольких переменных. При его реализации будем учитывать условие принадлежности многочлена управления множеству допустимых управлений.

Обозначим umj — вектор коэффициентов многочлена, которым приближаем оптимальное управление. В качестве um0 возьмем нулевой вектор, так как в этом случае всегда будет выполняться условие принадлежности управления множеству допустимых управлений (шару заданного радиуса). В дальнейшем для краткости это условие будем называть условием принадлежности. Рассмотрим пошагово алгоритм минимизации функции нескольких переменных.

Шаг 1. Вычисляется значение функционала в точке J(umj).

Шаг 2. Затем вычисляется значение umj+1 = umj + h, h — вектор, i-ый коэффициент которого равен максимальной величине шага изменения переменных u.

Шаг 3. Вычисляется значение функционала З(пт-+1). Если 3(пт-) > З(пт-+і) и одновременно выполняется условие принадлежности, то повторяются шаги 1 и 2. Если одно из данных условий не выполняется, то вычисляется новое значение шага изменения переменной (в нашем случае — умножаем значение шага изменения на заданную константу 0 <к< 1).

Шаг 4. Повторяем шаги 1-4, каждый раз умножая вектор Н на к.

Шаг 5. Если заданное большое число раз (например, 1000) шаги 1-4 повторяются, то будем считать достаточным приближение к границе множества допустимых управлений или к минимуму функционала по г-ым коэффициентам вектора п. В таком случае, можно переходить к минимизации функционала, уменьшая коэффициенты вектора п. Для этого повторяем шаги с 1 по 4, предварительно умножив вектор Н на -1.

Шаг 6. При достижении вновь границы множества допустимых управлений или минимума функционала по г-ым коэффициентам вектора п, можно перейти к изменению г + 1 коэффициентов вектора управлений и повторить шаги с 1 по 6 снова.

Предложенный алгоритм отличается от метода градиентного спуска большей простотой вычислений. Вместе с тем необходимо отметить, что метод градиентного спуска позволяет сразу выявить направление изменения вектора п, дающее наибольшее сокращение значений функционала 3(п). Таким образом, вычисляя с помощью предложенного алгоритма коэффициенты пт, при которых функционал (0.7) минимален, будем определять многочлен степени т, минимизирующий функционал на множестве многочленов степени т.

3. Примеры Пример 1. Пример Леонтьева

Взяв в качестве матриц

Ь

( 7 1 21 ^

20 20 20

1 103 8

100 200 25

\ 0 0 0

м =

3

4

-7

25" -4

V Т5

-1

10304189

11996000

-2

15

-11

~20”

-70836357

119960000

13

15 )

Если переобозначить Ь = В, М = I — А, то матрицы В и А почти совпадут с матрицами из классического примера [10]. «Почти» означает, что элементы Ш22 и Ш23 подобраны специально с целью упростить

22 3

вычисления и отличаются от приведенных в примере чисел 25 и — 5 на величины - и соответственно-

В. В. Леонтьев рассматривал взаимосвязи между тремя отраслями экономики — сельским хозяйством, промышленностью и домашними хозяйствами. Элемент матрицы матрицы А означает количество продукции г-ой отрасли необходимой для производства единицы продукции ]-ой отрасли. Элемент матрицы матрицы В представляет удельные капиталовложения материалов отрасли г используемые отраслью ] для прироста продукции.

Далее по формулам, приведенным в части 1 данной статьи построим точное и приближенное решение. Приведем точное решение и результаты счета по алгоритму без комментариев, взяв при этом в качестве / = (2£;2£;2£). Для простоты приведем расчеты при £ = 0,1/12,1/6, ...2/3

Таблица 1.

Точное решение задачи Шоуолтера-Сидорова для примера Леонтьева

1 х1 Х2 Х3

0 1 1 0,7692307692

1/12 1,079594653 1,115125754 0,6545486955

1/6 1,211221782 1,260474368 0,5698255794

1/4 1,399261210 1,434354380 0,5156284632

1/3 1,649051640 1,634491393 0,4925503470

5/12 1,967129067 1,857877706 0,5012141312

1/2 2,361526596 2,100584518 0,5422779145

7/12 2,842149925 2,357527831 0,6164435987

2/3 3,421246553 2,622172543 0,724463383

Таблица 2.

Приближенное решение задачи Шоуолтера-Сидорова для примера Леонтьева

1 х1 Х2 Х3

0 1 1 0,7692307692

1/12 1,0795957679 1,1151265428 0,6545494099

1/6 1,2112238218 1,260475827 0,5698269423

1/4 1,3992644345 1,4343566045 0,5156305665

1/3 1,6490560881 1,6344943024 0,4925530898

5/12 1,9671347889 1,8578811956 0,5012174099

1/2 2,36153371 2,1005887151 0,5422821007

7/12 2,8421584126 2,3575325354 0,6164483714

2/3 3,4212567008 2,622177848 0,7244687609

Пример 2. В качестве примера рассмотрим модель модернизированного устройства, приведенную в [1]. Модель сводится к системе леон-тьевского типа

/1 0 0\ / -44 0 0 \ /-0,594 0 0\

(010) z = (-117 -16 0 I z + I 0 0 01 u,

\0 0^ \ 0 1 -1/ V 0 0 0/

где z = (xi(t), x2(t), y(t)), z0 = (0,0,0). Здесь x = x(t) — вектор-функция состояний измерительного устройства, x = (xi, Х2, ..., xn), u = u(t), y = y(t) - вектор функции входа и выхода сигнала соответственно, причем u = (ui, u2,..., um), y = (y1,y2, ...,yi), Используя начальное условие Шоуолтера-Сидорова получим точное и приближенное решение Поскольку наблюдения показывают, что вектор-функция выхода при начальных значениях t имеет скачок, то было положено -0, 594u(t) = A sin2 wt. По алгоритму, разработанному во втором разделе статьи, получено приближенное решение задачи (2.3). При расчете взяты значения параметров A = 15, w = п.

Таблица 3.

Точное и приближенное решение задачи динамического измерения

Точное решение Приближенное решение

t X1 X2 y x1 X2 X3

0 0 0 0 0 0 0

1/12 -0,013772 0,029317 0,029317 -0,013771 0,029312 0,029312

1/б -0,0бб270 0,23797б 0,23797б -0,0бб2б7 0,237938 0,237938

1/4 -0,14бб0 0,б7492 0,б7492 -0,14б59б 0,б74819 0,б74819

1/3 -0,233320 1,253870 1,253870 -0,233314 1,253б92 1,253б92

5/12 -0,303195 1,827893 1,827893 -0,303189 1,827б54 1,827б54

1/2 -0,337503 2,245344 2,245344 -0,337497 2,245077 2,245508

7/12 -0,327050 2,394938 2,394938 -0,32704б 2,394б83 2,394б83

2/3 -0,274б37 2,23б741 2,23б741 -0,274б35 2,23б538 2,23б538

3/4 -0,194309 1,813182 1,813182 -0,194309 1,813055 1,813055

5/б -0,107589 1,2377б4 1,2377б4 -0,107590 1,237718 1,237718

11/12 -0,037714 0,бб4б72 0,бб4б72 -0,037715 0,бб4б89 0,бб4б89

1 -0,00340б 0,2474бб 0,2474бб -0,003407 0,247513 0,247513

Таким образом, разработанный алгоритм позволяет численно решение прикладных задач с достаточной степенью точности.

Список литературы

1. Бизяев, М.Н. Динамические модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов измерительных систем в скользящем режиме: дисс. ... канд. тех. наук / М. Н. Бизяев. - Челябинск: ЮУрГУ, 2004.

2. Бояринцев, Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев. - Новосибирск: Наука, 2000.

3. Бояринцев, Ю.Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев, И. В. Орлова. - Новосибирск: Наука, 2006.

4. Брычев, С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов / С. В. Брычев. - Дисс. ... канд. физ.-мат. наук, Челябинский гос. ун-т, 2002.

5. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц, 4-ое издание / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

6. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера-Сидорова / С. А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.

7. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / А. А. Замышляева // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8, № 3. - С. 45-54.

8. Келлер, А.В. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера-Сидорова для систем леонтьевского типа / А. В. Келлер // Методы оптимизации и их приложения: труды XIV Байкальской школы-семинара, Иркутск-Северобайкальск.

- 2008. - С. 343-350.

9. Келлер, А.В. Численное решение задачи оптимального управления вырожденной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями Шоуолтера-Сидорова / А. В. Келлер // Вестник ЮУрГУ. Серия Мат. моделирование и программирование. - 2008. - №27 (127). Выпуск 2. - С.50-56.

10. Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика / В. В. Леонтьев. - М.: Экономика, 1997.

11. Павлов, Б.В. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений./ Б. В. Павлов, А. Я. Повзнер // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1973. - Т.13, №4. - С. 1056-1059.

12. Павлов, Б.В. Численное решение систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами /Б. В. Павлов, О. Е. Радионова // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1994. - Т. 34, №4. - С. 622-627.

13. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г. А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 8. - С. 46-52.

14. Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г. А. Свиридюк, И. В. Бурлачко //ЖВМиМФ. - 2003.

- Т.43, № 11. - С. 1677-1683.

15. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 12. - С. 75-83.

16. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semi-groups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. -Utreeht-Boston-Koln-Tokyo: VSP, 2003.

17. Федоров, В.Е. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2004. -Т.9, № 2. - С. 92-102.

18. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. - Новосибирск: Наука, 2003.

19. Шестаков, А.Л. Динамические измерение как задача оптимального управления / А. Л. Шестаков, Г. А. Свиридюк, Е. В. Захарова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, № 4. - С. 732 -733.

A. V. Keller The Leontief type systems: classes of problems with the Showalter-Sidorov intial condition and numerical solving

Abstract. This paper contains the review of the results obtained by the author during the last years in the sphere of a numerieal methods of solving optimal eontrol problem for the Leontief type system with the Showalter-Sidorov intial condition. The base of the research is a numerical algorithm for solving Showalter-Sidorov problem. The article includes numerical solutions for some concrete problems.

Keywords: the Leontief type system; a numerical solving; the Showalter-Sidorov intial condition; optimal control.

Келлер Алевтина Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцет, Южно-Уральский государственный университет, 454080, Челябинск, пр. В. Ленина, 76 тел.: (351)9093529 (alevtinak@inbox.ru)

Alevtina Keller, professor, South-Ural State University, 76, V. Lenins St., Chelyabinsk, 454080 Phone: (351)9093529 (alevtinak@inbox.ru)