CC BY
7Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 3. С. 569-583. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 532.5
М8С 2010: 37^0, 37^5, 53D17, 70Е18, 70F25, 70Н45
О сфере Рауса
И. А. Бизяев, А. В. Цыганов
Обсуждается вложение неголономного векторного поля для сферы Рауса в подгруппу коммутирующих гамильтоновых векторных полей. Доказано, что соответствующая скобка Пуассона приводится к канонической скобке на алгебре е*(3) в области, где у исходного векторного поля отсутствуют гомоклинические траектории.
Ключевые слова: неголономная механика, сфера Рауса, скобки Пуассона
1. Введение
С математической точки зрения любая динамическая система на фазовом пространстве М о координатами хт определяется уравнениями движения
Эта система дифференциальных уравнений задает векторное поле
которое является линейным оператором на пространстве гладких функций на многообразии М, определяющим изменение любой характеристики системы
при выполнении динамических уравнений (1.1).
Получено 28 июля 2012 года
После доработки 29 сентября 2012 года
Бизяев Иван Алексеевич bizaev_90@mail.ru
Институт компьютерных исследований Удмуртский государственный университет 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1
Цыганов Андрей Владимирович andrey.tsiganov@gmail.com
Санкт-Петербургский государственный университет
199034, Россия, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7-9
Хі = Хі, і = 1,...,т.
(1.1)
(1.2)
Наиболее общая формулировка закона движения голономных механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия. Согласно этому принципу каждая механическая система полностью характеризуется определенной функцией Н, которая называется энергией системы, функцией Гамильтона или просто гамильтонианом.
Например, для того чтобы построить векторное поле X (1.2) с помощью функции Н, достаточно подействовать бивектором Р на вектор производных гамильтониана
X = Хн = РйН. (1.3)
Если далее предположить, что энергия сохраняется
Н = Хн (Н) = (Р йН, йН) = 0,
а различные эволюции совместны друг с другом, то есть
Хн, (Хн2 (Г)) = Хн2 (Хн, (Г)) + ХХН1 (н2) (Г),
где Н\ и Н2 — функции Гамильтона (например, свободного движения и движения в потенциальном поле), то бивектор Р будет бивектором Пуассона, то есть кососиметричным бивектором, удовлетворяющим тождеству Якоби (см., например, [1, 15]). В этом случае векторное поле Х (1.3) называется гамильтоновым векторным полем.
Для ряда других негамильтоновых динамических систем, например для нескольких классических неголономных систем, векторное поле строится с помощью гамильтонина и плотности инвариантной относительно Х меры
Х = дРйН; (1.4)
здесь, как и прежде, Н — энергия системы, Р — бивектор Пуассона, а функция д определяет плотность инвариантной меры
ц = дп йхг dxj.
Соответствующее векторное поле Х (1.4) называется конформо-гамильтоновым (см. [3, 8, 16]).
В общем случае принцип наименьшего действия не применим к неголономным системам (см. фундаментальные работы Герца [10] и Пуанкаре [17]). Однако если у системы уравнений (1.1) есть несколько интегралов движения Н\,...,Нп, то вполне естественно предположить, что энергетический принцип может быть обобщен так, чтобы исходное векторное поле определялось сразу всеми интегралами движения
Х = дгРйНг +------+ дп Р йНп. (1.5)
Другими словами, можно предположить, что векторное поле Х (1.2) является линейной комбинацией коммутирующих гамильтоновых векторных полей PdHj. Такие обобщенноконформные векторные поля встречаются и в бигамильтоновой геометрии [22] и при рассмотрении некоторых неголономных систем [24]. В отличие от конформно-гамильтоновых векторных полей (1.4), в этом случае решения исходных уравнений движения не могут быть получены из решений гамильтоновых уравнений движения простой заменой времени.
Если такое разложение (1.5) существует, то слоение на инвариантные торы исходной динамической системы будет таким же, как в случае гамильтоновой системы. Таким образом, мы можем изучать лиувиллево слоение вспомогательной гамильтоновой системы, определяемой векторными полями Р dHj, используя стандартные методы, разработанные
для гамильтоновых систем. Затем мы можем постараться перенести полученные результаты на слоение исходной системы и сделать некоторые качественные выводы о типах траекторий, устойчивости и т.д.
Далее мы докажем, что векторное поле для неголономной сферы Рауса является обобщенно-конформным векторным полем вида (1.5) на шестимерном фазовом пространстве, а также изучим свойства соответствующих скобок Пуассона.
2. Сфера Рауса
Следуя [4, 11, 12, 19], рассмотрим качение неуравновешенного динамически симметричного шара по плоскости без проскальзывания. «Неуравновешенный» означает, что центр масс не совпадает с геометрическим центром, а «симметричный» означает, что два момента инерции совпадают друг с другом. Условие отсутствия проскальзывания в точке контакта имеет вид
V + и х г = 0, (2.1)
где и и V — угловая скорость и скорость центра масс тела, г — вектор из центра масс в точку контакта относительно подвижной системы координат, связанной с главными осями шара. Скобки (а, Ь) обозначают обычное скалярное произведение, а ахЬ — векторное произведение трехмерных векторов.
В подвижной системе координат угловой момент подвижной сферы относительно точки касания имеет вид
М = 1ди, 1д = I + тг2Е — тг ® г. (2.2)
Здесь т — масса шара, Е — единичная матрица, а I = diag(Il,12,1) — тензор инерции динамически симметричного шара, что означает равенство двух моментов инерции
II = 12-
Если 7 = (71,72,73) — единичный вектор нормали в точке контакта, то
г = (#71,^72,^73 + а),
где К — радиус шара и а — расстояние от геометрического центра до центра масс шара.
Фазовое пространство, уравнения движения и их редукция детально изложены в работах [4, 5, 7, 11, 12]. В силу этого мы сразу перейдем к уравнениям движения, возникающим после исключения множителя Лагранжа. Эти уравнения движения на шестимерном редуцированном пространстве с координатами х = (7, М) имеют вид
М = М х и + тг х (и х г), 7 = 7 х и. (2.3)
Уравнения движения (2.3) обладают интегралами движения
Н1 = (М, и), Н2 = (М,М) — тг2Нъ Н3 = (М,г), Н4 = (7,7) (2.4)
и инвариантной мерой
^ = #_1(7) с17с1М, д{7) = ^Д/3 + ДтЯ2{Щ - 7!) + /3т(Д7з + а)2. (2.5)
Как и в случае движения симметричного волчка, для сферы Рауса существуют два линейных по скоростям интеграла движения, которые являются обобщениями циклических интегралов, соответствующих прецессии и собственному вращению. Первый из них
был найден Э. Раусом в 1884 году [19] и С. А. Чаплыгиным в работе [11]. Этот интеграл движения связан с квадратичным интегралом Н2 соотношением
Согласно [4], именно этот квадратичный интеграл движения допускает обобщение на динамически несимметричную ситуацию, в отличие от линейного интеграла движения Н2.
Для сферы Рауса, находящейся в гравитационном поле, к уравнениям движения (2.3) добавится одно слагаемое
где и = —mg(г, 7) и g — ускорение свободного падения. В этом случае инвариантная мера ц и интегралы Н3, Н4 и Н2 сохраняются, а квадратичные интегралы имеют вид
Н1 = (и,М ) + 2и, Н2 = М2 — тг2(и,М) — 2mg (а11^3 — тК272(а2 + ч2К2)). (2.8)
Всюду далее мы будем рассматривать сферу Рауса в поле тяжести.
Согласно [12], отвечающее уравнениям (2.7) векторное поле X имеет гомоклинические траектории. Как следствие, сфера становится гироскопически нестабильной и опрокидывается, если центр масс находится выше геометрического центра находятся на одной вертикальной оси, а движение либо слишком медленное, либо такое, что значение интеграла Джеллета меньше порогового значения, описанного в [12].
2.1. Скобки Пуассона
Для того чтобы построить разложение (1.5) исходного векторного поля по гамильтоновым векторным полям, нам надо найти подходящий бивектор Пуассона. Так как для сферы Рауса шесть уравнений движения (2.7) обладают четырьмя интегралами движения и инвариантной мерой, то, по теореме Эйлера-Якоби, эти уравнения интегрируемы в квадратурах. В силу этого можно предположить, что совместные поверхности уровня интегралов движения образуют лиувиллево слоение фазового пространства динамической системы, которая является гамильтоновой относительно бивектора Пуассона Р, такого, что
ХВ отличие от встречающейся в отечественной литературе французской транскрипции «Желле», мы используем более корректную транскрипцию фамилии ирландского ученого X Н. Ле11е11.
Н3 = (М,г)
представляет собой интеграл Джеллетта1, который имеется также при достаточно общем законе трения в точке контакта [14] (см. также §243, с. 192 в книге Рауса [19]).
Второй линейный по скоростям интеграл
Н2 = д(ч) и3
(2.6)
(2.7)
РйС12 = Р dHlj = 0, (Р dHe, dHk) = {Не,Нк} = 0, [Р,Р]=0, (2.9)
где [.,.] — скобка Схоутена и (1,],к,€) — какая-либо перестановка индексов (1, 2, 3, 4). Тем самым предполагается, что интегрируемость по Эйлеру -Якоби исходных негамильтоновых уравнений движения (2.7) эквивалентна интегрируемости по Лиувиллю гамильтоновых уравнений движения с теми же интегралами движения.
Первое из этих уравнений означает, что функции С1 ,2 = Н1 ,3 являются функциями Казимира для бивектора Р. Второе уравнение означает, что на соответствующих четырехмерных симплектических листах два оставшихся интеграла движения Не,к находятся в инволюции и определяют лагранжево слоение, которое можно отождествить с некоторой гамильтоновой системой уравнений. Выполнение третьего условия гарантирует выполнение тождества Якоби и остальных свойств скобок Пуассона.
В данной работе мы будем решать уравнения (2.9) в классе линейных по моментам М1 бивекторов Пуассона при различном выборе функций Казимира. Так как мы предполагаем, что бивекторы линейны по моментам, то соответствующие функции Казимира тоже предполагаются линейными, то есть мы имеем три варианта выбора функций Казимира и интегралов движения:
1. С1 = (7,1), С2 = (М, г), Не = Н1, Нк = Н2;
2. С1 = (1,7), С2 = д(^) и3, Не = Нь Нк = Н3;
3. С1 = (М, г), С2 = дО) и, Не = Нь Нк = Н4.
В общем случае в качестве функций Казимира необходимо взять две линейные комбинации интегралов движения первых степеней
С1,2 = (4,2(1,1) + Ъ1,2(М, г) + 01,2д(^) Ш3, (4,2, Ъ^2, С1,2 е С.
Однако полученные в общем случае результаты принципиально не отличаются от результатов, полученных при рассмотрении трех частных случаев, перечисленных выше.
Аналогичная система уравнений (2.9) для осесимметричного волчка Лагранжа, также обладающего двумя линейными по моментам интегралами движения, рассматривалась в [21], где показано, как решения подобных уравнений могут быть использованы для построения переменных разделения и цепочек Ленарда-Магри для бигамильтоновых динамических систем.
После того как решение Р уравнений (2.9) найдено, мы можем попытаться построить разложение исходного векторного поля X по соответствующим векторным полям Р йНе и Р йНк. Такое разложение существует, если Р = 4, то есть если эти гамильтоновы векторные поля образуют базис.
3. Первая скобка Пуассона
Подставляя линейный по моментам М1 анзац для элементов бивектора Пуассона
3
Р1з = ^2 а1^к(ч)Мк + Ъ^ (1) к=1
в уравнения (2.9) при
С1 = Н4 = (1,1), С2 = Н3 = (М, г), Не = Н1, Нк = Н2
и решая получившуюся систему алгебро-дифференциальных уравнений, мы получим следующее утверждение.
Предложение 1. В рассматриваемом нами случае уравнения (2.9) в пространстве линейных по М бивекторов Пуассона имеют единственное решение, параметризуемое двумя функциями 0.(^1 /72) и в(1з)
(
Р
ад
0 Г„ -Г1 М
\
(
+ в
/
Гв
\
-Гк Мву
(3.1)
Матрицы Гав имеют вид
( 7172(^73 + а) 72(^73 + а)
Га
яЫ + ^
7{(Й7з + а) Д(7Г + 722) 0
Я(1 2 +72)
7172 (Д73 + а) Д(7Г+ 722)
0
72
71
Гв
717273
72 73
Л,2 . ..2 ^2 ,
71 + 72 71 + 72
7273
71 7273
72 + 72 72 + 72
72
-71 0)
0
0
0
а кососимметричные матрицы Ма,р
Ма
( п ым1 + '2 ^2)( + а)
й(7?+722)
0
-М2 ^ М1 0
V*
/ 7з(ъМ1 + 72М2) таК(К^3 + а) та^Я2 \
и Л*з----
Мв
72 + 7|
д2
д2
та^1Я2
92
0
а = тЩт(т,7)С2 + /3(7^1 + 72 М2) +/1М373
где д = д(7) и
Область определения этого решения уравнений (2.9) зависит от конкретного выбора функций а и в.
Соответствующие скобки Пуассона имеют вид
[М1,л } = 0^7172(^73 + а) Ы + 722)Я Ръъъ 7? + 71 ’ {М1,72}
{МЬ73 } = -въ, {М2,73}
{М2Л1} = 0^71(^73 + а) (7? + 722)^ 07?7з 7? + 71 ’ {М2,72}
{М3,л } = ад72, {М3,72} = -ад!1 ■, {М3,73}
ОД71 (Д7з + а) + /572'7з
Ы + 722)Я 72 + тТ
071,
ад7172 (#73 + а) в71727з
72 + 7г
(3.2)
0
г„ * ,г т «5(71^1 + 72М2ХД73 + а) , а Л ,г 7з(71-^1 + 7гМ2) а (Д73 + а) {АД, АД) = ------/^,2 _|_ ^,2^ р- + Р I -------„2 ^ „,2---------^2---
(71 +
7Г + 7г
{АД, АД} = —адМ2 + 72, {М2, М3} = од АД - 71.
92
92
При а = 0 или в = 0 эти скобки обладают дополнительными функциями Казимира 73 или 71/72 соответственно. Частный случай этих скобок Пуассона был получен в работе [18].
С помощью данных скобок и интегралов движения мы можем построить два коммутирующих гамильтоновых векторных поля
Х1 = Р(Ш1 и Х2 = Р(Ш2
и попытаться отождествить исходное векторное поле X (2.7) с линейной комбинацией этих гамильтоновых векторных полей.
Предложение 2. Используя скобки Пуассона (3.2), мы можем представить редуцированные уравнения движения (2.7) в виде
если и только если
В этом случае
91
хи = 91{%к, Н1} + 92{хи, Н2}, к = 1,...,6,
а(71/72) = еоп81, вЫ) = ад ( 1 +
Д73
(3.3)
(3.4)
(Д73 + а.)Д - Д73/3 2од(Д — /з)(Д7з + о)'
92
2ад(11 — Тз)(Яъ + а)
Доказательство состоит в непосредственной проверке уравнений (3.3). Отметим, что при выполнении условий (3.4) скобки Пуассона (3.2) имеют сингулярность при 73 = 0 или при условии д = д(^) = 0.
Другие выделенные значения функций а и в описываются следующим предложением.
Предложение 3. Бивектор Пуассона Р (3.1) совместен
[Ро,Р] = 0
с каноническим бивектором Пуассона на алгебре е*(3)
Ро
0 Г -Гт м
где
( \ / \
0 7з -72 0 Мз - М2
Г= -7з 0 71 , м = —М3 0 М1
\ 72 -71 0 V М2 - М1 0 )
и
а
а
при условии
( / ) t ш ) ag(hRY3 - h(Rj3 + а) (3
а(ъ/ъ) = const, /3( 73) = -т—------—-----■--------у, (3.5)
Щ(Д - 1з)7з + am(r, 7))
то есть скобка Схоутена между ними равна нулю.
Условие совместности означает, что линейная комбинация этих бивекторов
Px = Po + XP, X е C,
также является бивектором Пуассона при любом значении параметра X, то есть удовлетворяет тождеству Якоби. Это также означает, что в этом случае бивектор Р (3.1) является тривиальной деформацией канонического бивектора (см. [23]). Интересно, что именно при выполнении этого условия совместности (деформируемости) редуцированные уравнения движения (2.7) представимы в виде
x k = 9i{xk ,Hi} + g2 {xk ,H}, k = 1,..., 6, (3.6)
где H2 — линейный интеграл Рауса (2.6), а функции
~ = 1 ~ = а ( 73(71 Mi + Y2M2) \
91 ~ 2/5 ’ 92 ~ ah (Д Д7з - h(Rji + а)) V 3 l! + 722 )
зависят уже не только от координат, но и от моментов.
Таким образом, с геометрической точки зрения поверхности уровня интегралов движения для системы Рауса могут быть отождествлены с лиувиллевыми торами гамильтоновой системы, обладающей теми же интегралами движения, при любом значении функций а и в, так как
{Hi,H2 } = {Hi,H2} = 0, У а, в.
Однако, с аналитической точки зрения, векторное поле для системы Рауса выражается через соответствующие гамильтоновы векторные поля
X = g1P dH1 + g2P dH2, или X = 7f1P dH1 + g2P dH2
только при выполнении условий (3.4) или (3.5), соответственно.
Предложение 4. В общем случае уравнения движения (2.7) на шестимерном фазовом пространстве не могут быть представлены в конформно-гамильтоновом виде
X = сдРйР (И1,И2) (3.7)
c помощью линейного по моментам бивектора Пуассона Р, удовлетворяющего уравнениям (2.9). Здесь Е(Н1Н2) — произвольная функция от интегралов движения Н1 и Н2.
Для доказательства необходимо подставить линейный по моментам анзац для бивектора Пуассона в уравнения (2.9) и убедиться, что полученная система алгебро-дифферен-циальных уравнений является несовместной с уравнениями (3.7). Это достаточно просто сделать в любой из современных компьютерных систем символьных вычислений.
3.1. Свойства скобок Пуассона
Как и для сферы Чаплыгина [24] и для системы Веселовой [25], полученные скобки Пуассона можно привести к каноническим скобкам Ли-Пуассона на алгебре е*(3) и отождествить неголономную систему Рауса с гамильтоновой системой на сфере.
Более того, как и для систем Чаплыгина и Веселовой, таких преобразований несколько. Мы ограничимся рассмотрением одного из отображений Пуассона.
Предложение 5. Преобразование моментов
_ 1 ^717з (Д(71м1+72^2) - + т(Д.7з+ а.)2) ъ(Ъм1 ~ Ъм2) \
1 71+72 V а^(Д7з + а) /3 Г
= 1 1 7273 (Е(ъм1 + 72М2) - Ы-1^ + ш(К^з + а)2) ъЫМ1 - ъМ) + \
2 “ ЖТЧ ( ад(Яъ + о) Тз + С12)'
Мз + Ъш(Е^з + а) ) )
Ьз = — +--------------, Ъ = (М, г), с = (Ь, 7 ,
ад ад11
(3.8)
переводит скобки Пуассона {., .}а,в в каноническое скобки Ли - Пуассона на алгебре е*(3)
^Ьъ,Ьз }о Рк, {Lг,7j }о &1]к7к, \,7г,7j }д 0, (3.9)
где е^к — полностью антисимметричный тензор.
Данное пуассоново отображение (3.8) определено только локально, то есть когда
7\ + 72 = 1 - 7з =°.
Именно в этой области определения у векторного поля X (2.7), описывающего сферу Рауса в поле тяжести, нет гомоклинических орбит. Именно поэтому мы выбрали именно это пуассоново отображение среди множества других.
Если с = (ч,Ь) = 0 и выполнено условие (3.4), то исходные интегралы движения являются неоднородными полиномами второго порядка по моментам
и а2 (а2- Ь1з Т 2 , д2{Я7з + а.)2(Ь172 - Ь2ъ)2^
Н1 - „2 , .,2 тр2 ^3 + ^727
72 + 72 V mR2 ° R2y2(h + mr2)
‘2bag(Rji + a)L3 b2(h + + a.)2)
IiR2( 7I + 71) #2(7i + 7г) ’
rr = a2 (hhr2 T2 . g2h(R73 + a)2(Li72-Ь2ъ)2 2 7i+72 V R2 3 R272(h + m,r2) ^
_ 2bag(Rji + a.)L3 / h + mr2 2m \ 2
R2(7i + 7г) + Vi^2(7i + 7г) + Ji / Ь
Так как в этом случае существует линейный по скоростям интеграл (2.6)
H2 = ah L3,
соответствующие уравнения Гамильтона интегрируются достаточно просто. Для этого, например, можно перейти к сферическим координатам
. , . л т- sin ф cos в
71 = sin ф sin в, Ь\ =-------—рф —cos фрв,
sin в
, . а т cos ф cos в + . (3.10)
72 = cos 0 sin L'2 =----:—-—Рф+ sm фрв, v ’
s in в
73 = cos в, L3 = -рф,
где ф,в — углы Эйлера, а рф и рд — канонически сопряженные импульсы, так что
{Ф,Рф} = {в,Рв} = 1,
а остальные скобки Пуассона равны нулю. В этих переменных гамильтониан и линейный по скоростям интеграл движения имеют вид
H1 = А(в) рф + В(в) p2e + bC(в) рф + b2V(в), H2 = -ah рф, (3.11)
где, как и ранее, b — значение интеграла Джеллетта, а A,B,C и V — функции от угла нутации в:
2 f + 1з(а2 + 2aRcos в + R2 cos2 в) \ в2
А{в) = a \ h +-------------. 2--------------- , В(в) =
R2 s in2 в J h + m(a2 + 2aR cos в + R2) '
2ag(Rcos9 + а) ЛГ(а\ h + m(a2 + 2aRcos в + R2)
()= hR2 sin2 в ’ ()= I2R2 sin2 в '
Тем самым, как и для волчка Лагранжа, для сферы Рауса решение уравнений Гамильтона сводится к решению в квадратурах одного-единственного уравнения
в = 25(0) ре = 2 sjВ{6) (.Е - А(в)с2 - ЬсС(в) - b2V(9)),
где E = H1 и c = -H2/ah — значения интегралов движения.
Таким образом, мы можем достаточно легко найти траектории коммутирующих гамильтоновых векторных полей
X1 = PdH1, X2 = PdH2 и ^2 = PdH2.
Однако для того чтобы проинтегрировать исходные уравнения движения для сферы Рауса, нам затем надо найти траектории их линейных комбинаций
X = g1 X1 + g2X2 или X = g1 X1 + $2X2,
задаваемых соотношениями (3.3) и (3.3) соответственно. Решение этого вопроса выходит за рамки данной публикации.
3.2. Конформно-гамильтоново представление при нулевом значении интеграла Джеллетта
При нулевом значении интеграла Джеллетта C2 = (M, г) = 0, то есть если b = 0, интегралы движения H1,2 (3.10) становятся однородными квадратичными полиномами по
импульсам. В этом случае можно легко построить переменные разделения для соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби, приводя одновременно обе квадратичные по импульсам формы Ні,2 к диагональному виду. Если же мы знаем переменные разделения, то, как правило, мы можем переписать исходное векторное поле X (1.5) в конформногамильтоновой форме.
Действительно, рассмотрим двумерную гамильтонову систему с интегралами движения Н\,2, удовлетворяющими разделенным уравнениям вида
Здесь Ц1г2 и р1,2 — переменные разделения и сопряженные им импульсы. Согласно [20], интегралы движения Н12 находятся в инволюции
относительно семейства скобок Пуассона, которые в терминах переменных разделения имеют вид
где /1,2 — произвольные функции. Отвечающий этим скобкам Пуассона бивектор Р^ и интегралы движения Н12 связаны соотношениями
Функции Р^ зависят от выбора функций /1,2 и образуют так называемую управляющую матрицу [20, 22].
Предложение 6. Если векторное поле X (1.5) является линейной комбинацией коммутирующих гамильтоновых векторных полей Р dHj
а функции д1,2 пропорциональны линейным комбинациям элементов Р^ управляющей матрицы
то существует бивектор Пуассона Р^, относительно которого данное векторное поле X является конформно-гамильтоновым
В отличие от исходных интегралов движения Н12 интеграл Н может не иметь явного физического смысла.
Для сферы Рауса при нулевом значении интеграла Джеллетта С2 =0 переменные разделения Ц1г2 являются функциями только от координат Yi, поэтому соответствующий бивектор Р^ получается из линейного по импульсам бивектора Р (3.1) при
В общем случае, при С2 = 0, переменные разделения являются функциями не только от координат ^г, но и от моментов Мі. В этом случае элементы искомого бивектора Pf будут не линейными, а более сложными функциями от моментов Мі.
Фі(дг,Рі,Ні,Н) = 0, к = 1, 2.
{Ні ,НЪ = 0
{ql,Pl}f = Іі(Ці,Рі), {q2,P2}f = І2^2,Р2), {Яі,Я2 }f = {Рі,Р2 }f = 0,
Pf йНі = Ріі РйНі + Рг2 РйН2, і = 1,2.
(3.12)
X = діР йНі + д2Р йН2,
X = діР йНі + д2Р йН2 = gPf dH, Н = аіНі + а2Н2.
так, что
X = діРсІЛг + д2РсІЛ2 = -і- РҐ сІНг.
2Р
4. Вторая и третья скобки Пуассона
Подставим теперь линейный по моментам М\ анзац для элементов бивектора Пуассона в уравнения (2.9) при
С = И = (Ъ1), С2 = И = д(1] из, И = Яь Ик = Щ.
Предложение 7. Общее решение первых двух уравнений системы (2.9) параметризуется тремя произвольными функциями а^7)
P'
( \ 0 Г'
-Г/Т M'
где
Г'
-ъ(а1 + Y3аз) -ъ®2 + 7з71«з 71 «1 Yi«2
mi?72(7iQ:i + 72«2)(Й7з + о) \ h + m(Ry3 + о)2
+ Y2a2)(RY3 + a)
\
Yi Y2«3
2
y2«3
Ii + m(RY3 + a)2
0
а элементы кососимметрической матрицы M' имеют вид M'i)2 = -aiMi — «2M2 + «з (yi M3 — Y3M1) —
a3YiR(RY3 + a)(m2(Y, r)H3 + mfaYMi + Y2M2) + I1Y3M3)
(4.1)
Mi
mR(RY3 + a)(Yi ai + Y2 «2)
1,3
M2 +
+
Ii + m(RY3 + a)2 a3YiY2R2{ m2(Y,r)H:i + m(h(Yi Mi + Y2M2) + I1Y3M3)
M'
mR(RY3 + a)(Yiai + Y2a2)
2,3
M1 —
Ii + m(RY3 + a)2 a3Y2R^ m2(Y,r)H:i + m(l3(YiMi + Y2 M2) + I1Y3 M3))
9
Соответствующая третьему уравнению [P', P] = 0 система дифференциальных уравнений в частных производных на функции aiY имеет несколько разных решений. Среди этих решений нас интересует только то, для которого rank P' = 4 и, соответственно, для которого существует разложение исходного векторного поля по гамильтоновым. Выпишем это решение явно:
I1 + m(RY3 + a)2 Ylh R(li + ma(RY3 + a))
CX1 =---------------------h
Yi
Yi(iYj r)
2
9
2
9
72ЛД(11 + та(Е^3 + а))
«2 =----------------ъ----г-----------, 4.2
(І7, г)
II + ш(Е^з + а)2 (72 + 72)ш1 (^1 + та(Ячз + а))
аз = —
7173 717з(17, г)
Соответствующие коэффициенты в разложении
X = д' Р ^Н1 + д2 Р'^Нз2 (4.3)
имеют вид
1 , 11(11 + та(К^з + а)) - тК(7,1г)
91 2710:3/1’ 5,2 2д2Ш%(11'уз + а)
Как и ранее, нам не удалось найти линейного по моментам решения уравнений (2.9), таких, чтобы исходное векторное поле было представлено в конформно-гамильтоновом виде. Такое решение существует только в случае
С2 = Н2 = д(7) из = 0.
Аналогично первой скобке Пуассона {.,.} (3.2), вторая скобка {.,.}' приводится к канонической скобке на алгебре в* (3) преобразованием типа (3.8). Для краткости мы не будем выписывать явно это преобразование.
Перейдем теперь к рассмотрению третьего варианта выбора функций Казимира и интегралов движения
С1 = (М,г), С2 = дО) из, Ие = Н1, Нк = НА.
В этом случае общее решение уравнений (2.9) совпадает с предыдущим решением Р' (4.1)
Р" = Р '\
171 «1+72 «2=0
при условии 71 а1 + 72а2 = 0. Легко проверить, что гапкР" = 3 и что третьей функцией Казимира будет интеграл Н4
Р ЧСз = 0, Сз = Н4 = (7,1).
Как следствие, мы не можем разложить исходное векторное поле по единственному гамиль-тоновому полю Р" с!Н 1, которое естественно не образует необходимого нам базиса векторных полей.
Заметим, что этот математический факт полностью согласуется с кинематикой системы Рауса. Напомним, что по своему физическому определению вектор 7 является единичным вектором и поэтому можно всегда положить Н4 = (1,1) = 1, так что функция Н4 не может быть динамическим интегралом, задающим эволюцию рассматриваемой динамической системы.
5. Заключение
Для динамических уравнений на шестимерном фазовом пространстве, отвечающих неголономной сфере Рауса после исключения неопределенных множителей Лагранжа, Раусом и Чаплыгиным были построены и интегралы движения, и инвариантная мера. Тем самым было доказано, что система является интегрируемой по теореме Эйлера-Якоби.
Нами построены скобки Пуассона, относительно которых данные интегралы движения находятся в инволюции, и изучены их свойства. Доказано, что соответствующее векторное поле является обобщенно-конформно гамильтоновым, а скобка Пуассона приводится к канонической там, где отсутствуют гомоклинические траектории. Более того, доказано. что при нулевом значении интеграла Джеллетта, когда известны переменные разделения для соответствующей гамильтоновой системы на сфере, исходное векторное поле является конформно-гамильтоновым.
Более того, для векторного поля X в задаче Рауса мы нашли два разложения по двум разным базисам коммутирующих гамильтоновых векторных полей (3.3) и (4.3)
X = 9iPdHi + 92PdH2 = gi P 'dHi + g2 P'dHf.
Это можно рассматривать как некий аналог цепочки Ленарда-Магри
X = PdHi = fiP'dH2 + f2P'dH3
для двумерных бигамильтоновых (fi = 1, f2 = 0), квазибигамильтоновых f = 0) или биинтегрируемых (Vfi,2) систем гамильтоновой механики [20-22].
Заметим, что в книгах [6, 9] приведен ряд других интегрируемых по Эйлеру-Якоби систем с известными интегралами движения и инвариантной мерой, для которых аналогичные скобки Пуассона и представление векторного поля в виде линейной комбинации гамильтоновых векторных полей пока не найдено (см. так же [2]). Исследование подобных систем, на наш взгляд, будет интересно как для развития пуассоновой геометрии, так и для развития теории Морса и, может быть, даже для качественного исследования поведения данных механических систем.
Авторы благодарны А. В. Борисову, А. В. Болсинову и И. С. Мамаеву за постановку задачи, неподдельный интерес к работе, стимулирующие дискуссии и ценные комментарии.
Список литературы
[1] Abraham R., Marsden J. E. Foundations of mechanics. 2nd ed., Providence, R. I.: AMS, 1978. 826 pp.
[2] Борисов А. В., Цыгвинцев А. В. Показатели Ковалевской и интегрируемые системы классической динамики: 1,2// Regul. Chaotic Dyn., 1996, vol. 1, no. 1, pp. 15-37.
[3] Борисов А. В., Мамаев И. С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара // Матем. заметки, 2001, т.70, №5, с.793-795.
[4] Borisov A. V., Mamaev I. S. The rolling motion of a rigid body on a plane and a sphere: Hierarchy of dynamics // Regul. Chaotic Dyn., 2002, vol. 7, no. 2, pp. 177-200.
[5] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. The rolling motion of a ball on a surface: New integrals and hierarchy of dynamics // Regul. Chaotic Dyn., 2002, vol. 7, no. 2, pp. 201-219.
[6] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела: Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. М.-Ижевск: Инст. компьютерн. исслед., 2005. 576 с.
[7] Borisov A. V., Mamaev I. S. Conservation laws, hierarchy of dynamics and explicit integration of nonholonomic systems // Regul. Chaotic Dyn., 2008, vol. 13, no. 5, pp. 443-490.
[8] Bolsinov A. V., Borisov A.V., Mamaev I. S. Hamiltonization of nonholonomic systems in the neighborhood of invariant manifolds // Regul. Chaotic Dyn., 2011, vol. 16, no. 5, pp. 443-464.
[9] Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А. Избранные задачи неголономной механики: Препринт (см. http://ics.org.ru/doc?book=30&dir=r").
[10] Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: АН СССР, 1959. 386 с.
[11] Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Исследования по динамике неголономных систем / С. А. Чаплыгин. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. С. 9-27.
[12] Cushman R. Routh’s sphere // Rep. Math. Phys., 1998, vol. 42, nos. 1-2, pp. 47-70.
[13] Duistermaat J.J. On global action-angle variables // Comm. Pure Appl. Math., 1986, vol. 33, pp. 687-706.
[14] Джеллетт Дж. Трактат по теории трения. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», 2009. 264 с.
[15] Jost R. Poisson brackets: An unpedagogical lecture // Rev. Modern Phys., 1964, vol. 36, no. 2, pp. 572-579.
[16] Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики // Успехи механики, 1985, т. 8, №3, с. 85-107.
[17] Пуанкаре A. Идеи Герца в механике // Последние работы А. Пуанкаре / А. Пуанкаре. Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. С. 52-56.
[18] Ramos A. Poisson structures for reduced non-holonomic systems // J. Phys. A, 2004, vol. 37, pp.4821-4842.
[19] Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел: В 2-х тт.: Т. 2. М.: Наука, 1983. 544 с.
[20] Tsiganov A. V. On the two different bi-Hamiltonian structures for the Toda lattice // J. Phys. A,
2007, vol. 40, pp. 6395-6406.
[21] Tsiganov A. V. On maximally superintegrable systems // Regul. Chaotic Dyn., 2008, vol. 13, no. 3, pp.178-190.
[22] Tsiganov A. V. On bi-integrable natural Hamiltonian systems on Riemannian manifolds // J. Nonlinear Math. Phys., 2011, vol. 18, no. 2, pp. 245-268.
[23] Tsiganov A. V. Integrable Euler top and nonholonomic Chaplygin ball // J. Geom. Mech., 2011,
vol. 3, no. 3, pp. 337-362.
[24] Цыганов А. В. О пуассоновых структурах, возникающих при рассмотрении шара Чаплыгина и его обобщений // Нелинейная динамика, 2012, т. 8, № 2, с. 345-353.
[25] Цыганов А. В. Об одном семействе конформно гамильтоновых систем // ТМФ, 2012 (принято в печать).
On the Routh sphere
Ivan A.Bizyaev1, Andrey V. Tsiganov2
1 Institute of Computer Science Udmurt State University Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034, Russia
2 Saint-Petersburg State University
Universitetskaya nab. 7-9, St. Petersburg, 199034, Russia 1bizaev_90@mail.ru, 2andrey.tsiganov@gmail.com
We discuss an embedding of the vector field associated with the nonholonomic Routh sphere in subgroup of the commuting Hamiltonian vector fields associated with this system. We prove that the corresponding Poisson brackets are reduced to canonical ones in the region without of homoclinic trajectories.
MSC 2010: 37J60, 37J35, 53D17, 70E18, 70F25, 70H45 Keywords: nonholonomic mechanics, Routh sphere, Poisson brackets
Received July 28, 2012, accepted September 29, 2012
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 3, pp. 569-583 (Russian)
