CC BY
3Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 4. С. 711-719. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru
УДК: 531.38
М8С 2010: 70Е18, 37J60, 37J35
О шаре Чаплыгина в абсолютном пространстве
А. В. Цыганов
Обсуждается применение теоремы Ли об интегрируемости векторного поля к него-лономной системе, описывающей качение динамически несимметричного уравновешенного шара на плоскости, при условии, что шар катится без проскальзывания в точке контакта.
Ключевые слова: неголономная механика, интегрируемые системы, пуассонова геометрия
1. Введение
Рассмотрим пространство с координатами
а = (аьа2,аз), 0 = (01 ,02,0з), 7 = (71,72,7а), М = (МьМ2,Мз)
и векторное поле X, определяемое уравнениями движения
а = а х и, 0 = 0 х и, 7 = 7 х и, М = М х и. (1.1)
При любом значении векторной функции ,ш(а, 0,7, М) это поле обладает десятью геометрическими интегралами движения вида
(x,У),
где х и у — любой из векторов а, 0, 7 или М. Из них девять интегралов движения функционально независимы.
Рассмотрим далее частный случай, когда существует еще один интеграл движения (кинетическая энергия)
Н = ±(М,и), (1.2)
Получено 11 ноября 2012 года После доработки 4 декабря 2012 года
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 13-01-00061.
Цыганов Андрей Владимирович andrey.tsiganov@gmail.сот
Санкт-Петербургский государственный университет
199034, Россия, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7-9
а угловая скорость является линейной функцией моментов
ш — АХМ.
В случае волчка Эйлера матрица АХ постоянна
I
(1.3)
а в случае шара Чаплыгина имеет вид
а1 0 0
0 й2 0
0 0 аз
, йк £ К,
(1.4)
АХ - А +
с? А 7 О 7 А д'Ч 7)
в это определение входит функция д(^) вида
д{ 7) = -й(7,А7).
(1.5)
(1.6)
Физический смысл параметра ! и матрицы А подробно обсуждается в работах [4-6].
И в случае Эйлера, и в случае Чаплыгина векторное поле X обладает инвариантной мерой
О - / ёа Л ё/З Л ё7 Л ёМ
плотностью / — 1 и / — д-1 (7) соответственно.
Итак, на 12-мерном фазовом пространстве векторное поле X (1.1) обладает только десятью функционально независимыми интегралами движения и инвариантной мерой, и, поэтому интегрируемо в квадратурах.
Напомним, что, согласно Эйлеру и Якоби, система уравнений
X £ - Х£(Х11 . . . ,Хп(1)
(1.7)
интегрируется в квадратурах, если имеется п — 2 функционально независимых первых интегралов /1, . . ., ¡п-2 и инвариантная п-форма объема
О — / ёх1 Л ёх2 Л ... Л ёхп.
Поведение динамической системы (1.7) в окрестности компактных интегральных многообразий без особых точек описывается с помощью классических результатов Пуанкаре, Зигеля и Колмогорова о динамических системах на двумерном торе (см. например [1, 2]).
В общем случае, для к-мерных интегральных многообразий, в качестве определения интегрируемости поля можно использовать либо теорему Фробениуса, либо некоторые другие определения. Например, согласно теореме Ли, если есть к функционально независимых интегралов движения
/1,...,/к (1.8)
и п — к линейно независимых векторных полей
П1 — X, П2, . . .,Пп-к,
(1.9)
порождающих разрешимую алгебру, а производные Ли вдоль любого из полей щ от любого из интегралов fj равны нулю
^ = 0, (1.10)
то векторное поле X (1.7) интегрируется в квадратурах [8, 9].
Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы являются частным случаем этой конструкции, когда п = 2к, а к функционально независимых интегралов движения fj (1.8) находятся в инволюции относительно скобки Пуассона
1т=1
Как следствие, к гамильтоновых векторных полей щ = Pd.fi (1.9) линейно независимы в каждой точке, попарно коммутируют и удовлетворяют условию (1.10).
Целью данной работы является доказательство интегрируемости векторного поля X (1.1) с помощью теоремы Ли. Подчеркнем, что интегрируемость системы Эйлера — это давно известный факт, так что мы включили в рассмотрение этот случай исключительно для того, чтобы сравнить, как используется теорема Ли в голономном и неголономном случае.
Мы надеемся, что данный опыт может быть полезен для формального доказательства интегрируемости уравнений движения для шара Чаплыгина в поле Бруна, когда
М = Мхш + ^х 7, и = с(а2,а37? + еча-з?! + а1а27з)>
а проекции момента (а, М) и (в, М) уже не являются интегралами движения. Интегрируемость данной модели на 6-мерном фазовом пространстве с координатами (7, М) доказывается с помощью теоремы Эйлера-Якоби [7]. Однако на 12-мерном фазовом пространстве мы имеет только 9 интегралов движения и инвариантную меру, что недостаточно для применимости данной теоремы в абсолютном пространстве.
2. Пуассонова геометрия
Для того чтобы применять теорему Ли и ее обобщения, нам необходимо научиться строить дополнительные векторные поля (1.9) для исходного векторного поля X (1.1). Это удобно делать в рамках пуассоновой геометрии. В случае Эйлера
X = Р ёЯ,
векторное поле X гамильтоново относительно канонического бивектора Пуассона
Р
^ 0 0 0 А ^
0 0 0 В
0 0 0 Г
\А В Г М )
(2.1)
Здесь И — кососимметрическая матрица, отвечающая вектору г:
( \
¿1
г =
/
¿2
Шесть геометрических интегралов
С1 = (а, а), С4 = (а, в),
=
0 ¿з -¿2
-¿з 0 ¿1
¿2 -¿1 0
\
С2 = (в,в), Сз = (7,7), С5 = (а, 7), Се = (в,7)
(2.2)
являются функциями Казимира бивектора Пуассона, порождающими тривиальные векторные поля РёСк = 0. Три интеграла
31 = (а,М), 32 = (в,М), Зз = (7,М) (2.3)
образуют алгебру во(3)
{3i, 33 } — Зк,
где е^к — полностью антисимметричным тензор, равно как и соответствующие интегралам векторные поля Р d3i. Так как Зк — проекции момента на оси неподвижной ортогональной системы координат, то
з2 + 322 + з32 = м2.
Интегралы движения Н и М2 = (М, М) находятся в инволюции со всеми остальными интегралами движения, а отвечающие им векторные поля Р ёН и Р ёМ2 являются полями симметрий.
Таким образом, в случае Эйлера мы имеем девять функционально независимых интегралов движения
С1,...,Се, ¡1 = Н, ¡2 = М2, ¡з = (7,М) и три поля (гамильтоновы, независимые и коммутирующие друг с другом)
41 = Рё¡1, П2 = Р ¡2, из = Рё¡з,
включая исходное векторное поле 41 = X. При этом производные Ли вдоль векторных полей иот интегралов движения ¡3 равны нулю:
¡3 =0, пл.
Этого достаточно для доказательства интегрируемости поля X по теореме Ли [8].
2.1. Случай Чаплыгина
Согласно [4], в случае Чаплыгина ограничение исходного векторного поля X на шестимерное фазовое подпространство с координатами 7 и М является конформно-гамильтоно-вым векторным полем
X = д-1 Рд ёН
относительно бивектора Пуассона
0 Г
0 0
Рд = 9 | " ^ I " Лд-1 (М, Л7)
Г М \ 0 Г
Исходное векторное поле X на 12-мерном фазовом пространстве тоже можно представить в виде
X = д-1 Р>д (Ш (2.4)
относительно бивектора
Рп
^ 0 0 0 А ^
0 0 0 В
0 0 0 Г
\А В Г М )
- Лд-1 (М, Л7)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 Г
(2.5)
Однако на 12-мерном фазовом пространстве поле X перестанет быть конформно-гамильтоновым полем: бивектор рд не удовлетворяет тождеству Якоби, а значит, поле рд (Ш не является гамильтоновым.
Итак, для исходного 12-мерного пространства бивектор рд является почти-пуассоновым и не удовлетворяет тождеству Якоби. Поэтому закономерным будет вопрос о приведении данного почти-пуассонова бивектора к бивектору Пуассона.
Предложение 1. Бивектор
Рд = Рд +
0 0 0
0 Ад
0 Вд 0 0
V -АТ -ВТ 0 0 )
Т
где
(Ад)} = (а Х 1)г О}, (Вд)} = (в X О},
удовлетворяет тождеству Пуассона, если
71 ,Л . ч 72 ^7з(а-171 + а-27р
а1 = ~2~,-73 "3 ), (У-2 = — (71, (73 = 37-2 \-2\-2-2'
71 + 72 71 Л(«171 + «2722) - 71 - 72
(2.6)
(2.7)
Здесь х X у — векторное произведение трехмерных векторов.
Функциями Казимира данного бивектора Пуассона шестого ранга
Рд (Ск = 0, к = 1, ..., 6,
являются геометрические интегралы С1, . . . ,Сб (2.2).
Доказательство состоит в непосредственной проверке равенства нулю скобки Схоуте-на [Рд, Рд] =0 и других свойств бивектора Пуассона Рд.
д
В механике векторы а, в, 7 — это орты неподвижной ортогональнй системы координат; в этом случае элементы Ад и Вд можно записать в виде
(Ад= , (Вд= а а3,
а соответствующий бивектор Рд будет удовлетворять тождеству Якоби только при фиксированных значениях функций Казимира С\ = С2 = С3 = 1 и С4 = С5 = Сб = 0. Замена переменных
г -1Ы 1 (д - - 1)(7,М) \ г -1. , л,Л
Ьг=д 1 М Н--5-5-71, Ы=9 1 М3 + <73(7, М) ,
V 72 + 72 ) \ )
(2.8)
г . (д-ъ^з -1)(7\
¿2=5 М2 + -^^-72
У 71 + 72 У
переводит бивектор Рд в канонический бивектор Пуассона Р (2.1) (см. [11]). При этом
(ЪМ) = (ЪЬ). Девять функционально независимых интегралов движения
С1,...,Сб, ¡1 = Н, ¡2 = М2, ¡3 = (7, М)
находятся в инволюции относительно скобки Пуассона {., .}д, отвечающей бивектору Рд, а скобки Пуассона между интегралами 3к (2.3) имеют вид
{32,33 }д = 31, {31,33}д = -32.
Скобка Пуассона между интегралами З1 и З2 не является интегралом движения, в отличие от голономного случая.
Три независимых коммутирующих интеграла движения Д порождают независимые и коммутирующие друг с другом гамильтоновы векторные поля
и2 = Рд ёН, и3 = Рд ёМ2, и4 = Рд ё(7, М), [щ ,щ ] = 0,
по которым можно разложить исходное векторное поле
X = д-1 (и2 - 81 и4), (2.9)
где д — функция определяющая плотность инвариантной меры, а
/ л/Т I дж ^ 1 - ^37з 1 \ . (а172 + 73М3 81 = (0,171^1 + а272М2) —--— - —-------- +-—---.
\д(72 + 72) ¿(а172 + - 72 - 7г / д(72 + 72)
В отличие от системы Эйлера, только одно гамильтоново поле
и4 = Рд ё(7,М)
является полем симметрий для исходного поля X, так как [X, и4] = 0, а
[Х,и2]=0, [Х,и3 ]=0.
Следуя Чаплыгину [5], сделаем замену времени
dt ^ g-1dt
и определим три независимых векторных поля
v1 = gX = u2 — si u4, v2 = u3 — s2 u4, v3 = u4. (2-10)
Входящая в это определение функция s2 удовлетворяет соотношениям
Lu2 S2 = Lu3 Si, Lu4 S2 = 0, (2.11)
так что векторные поля Vi,V2 и V3 (2.10) образуют абелеву алгебру относительно операции коммутирования [.,.].
Интегрируя (2.11), мы получим
2 2 2
01 дf 1 d'(ai il + & ~ 1 , 1 ~ da'3 '3 \ ,
2 = 2( 71M1 + 72M2) —-^-^-g-2 + / 2 1 24 +
\ d(ai72 + й272) — 7i2 — 75 g(7i2 + 75)
+ 2^7172(0-1 - а2)(72М1 - 71М2) м I а 172 + «-272 «з \
5(7? + 7г) 73 3 \diai7f + 02722) " 7? " 722 5 /
Итак, для системы Чаплыгина на 12-мерном фазовом пространстве мы имеем девять функционально независимых интегралов движения
С1,...,С6, / = Н, /2 = И2, /з = (7,М)
и три коммутирующих независимых векторных поля
VI = дХ = Рд / - вхРд / У2 = Рд <1/2 - в2 Рд 1/з, Уз = Рд 1/з,
что достаточно для интегрируемости векторного поля (1.1) по теореме Ли [8] после замены времени.
Тем самым, мы формально доказали интегрируемость системы Чаплыгина на полном, не редуцированном по действию поля симметрий, фазовом пространстве. Подчеркнем еще раз, что сама процедура явного интегрирования обсуждается уже в исходной статье Чаплыгина [5] (см. также [6]).
Разложение исходного векторного поля на гамильтоново поле и поле симметрий (2.9) для других неголономных систем обсуждается в работах [3, 12, 13].
3. Заключение
В данной заметке обсуждается построение дополнительного не гамильтонова поля сим-метрий для неголомной модели Чаплыгина. Построение данного поля позволяет формально доказать интегрируемость данной не гамильтоновой системы в абсолютном пространстве.
Заметим, что в случае Чаплыгина к двенадцати уравнениям движения (1.1) можно добавить еще два уравнения
х = Ь(ш,в), У = -Ь(ш,а),
описывающих движение точки контакта по горизонтальной плоскости, где x и y — координаты точки контакта, а b — радиус шара. Процедура интегрирования этих уравнений обсуждается в [5, 6].
Для формального доказательства интегрируемости необходимо предъявить либо еще два интеграла движения, либо еще два поля симметрий с необходимыми для применимости теоремы Ли свойствами. Если при этом мы хотим сохранить полученное нами разложение векторного поля (2.9)
X = g-1(Pgdfi - sPgd/a)
на гамильтоново поле и поле симметрий, то к скобкам Пуассона {., .}g, отвечающим бивектору Pg (2.6), необходимо добавить скобки
{x, Mi}g = -bgfii, {y, Mi}g = bgai.
Однако, как и ранее, расширенные таким образом скобки уже не удовлетворяют тождеству Якоби.
С другой стороны, добавляя скобки
{x,y}g = 1
мы получим бивектор Пуассона Pg восьмого ранга на 14-мерном фазовом пространстве, с помощью которого легко доказать, что векторное поле X на 14-мерном фазовом пространстве становится более сложной комбинацией гамильтонова поля и дополнительных полей симметрий
X = g-1(Pg d/l - SiPg d/a) + b(U, ¡3)Pg dx - b(u, a)Pg dy,
отвечающих циклическим переменным x и y. Подчеркнем, что сами переменные x и y не являются интегралами движения.
Список литературы
[1] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Москва: Эдиториал УРСС, 2002. 416 с.
[2] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. The problem of drift and recurrence for the rolling Chaplygin ball // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 6, pp. 832-859.
[3] Bizayev I. A., Tsiganov A. V. On the Routh sphere problem // J. Phys. A, 2013, vol.46, 085202, 11pp.
[4] Борисов А. В., Мамаев И. С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара // Матем. заметки, 2001, т. 70, №5, с. 793-795.
[5] Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Матем. сб., 1903, т. 24, с. 139168. (См. также: Чаплыгин С. А. Собр. соч.: Т. 1. Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1948. С. 76-101.)
[6] Килин А. А. Динамика шара Чаплыгина в абсолютном пространстве // Неголономные динамические системы: Интегрируемость, хаос, странные аттракторы: Сб. ст. / А.В.Борисов, И. С. Мамаев. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. С. 76-98.
[7] Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики // Успехи механики, 1985, т. 8, №3, с. 85-107. (См. также: Kozlov V.V. On the integration theory of equations of nonholonomic mechanics // Regul. Chaotic Dyn., 2002, vol.7, no. 2, pp. 191-176.)
[8] Козлов В. В. Теорема Эйлера - Якоби - Ли об интегрируемости // Нелинейная динамика, 2013, т. 9, №2, с. 229-245. (См. также: Kozlov V.V. The Euler- Jacobi-Lie integrability theorem // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 4, pp. 329-343.)
[9] Olver P.J. Applications of Lie groups to differential equations. 2nd ed. (Grad. Texts in Math., vol. 107.) New York: Springer, 1993. 513 pp.
[10] Tsiganov A. V. Integrable Euler top and nonholonomic Chaplygin ball //J. Geom. Mech., 2011, vol. 3, no. 3, pp. 337-362.
[11] Tsiganov A. V. On the Poisson structures for the nonholonomic Chaplygin and Veselova problems // Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, no. 5, pp. 439-450.
[12] Tsiganov A.V. On generalized nonholonomic Chaplygin sphere problem // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 2013, vol.10, no. 6, 1320008, 8 pp.
[13] Tsiganov A. V. On the nonholonomic Stiibler model // Nonlinear Dynamics & Mobile Robotics, 2013, vol. 1, pp. 87-97.
On the absolute dynamics of the Chaplygin ball
Andrey V. Tsiganov Saint-Petersburg State University
Universitetskaya nab. 7-9, St. Petersburg, 199034, Russia [email protected]
We discuss an application of the Lie integrability theorem to the nonholonomic system describing the rolling of a dynamically balanced ball on horizontal absolutely rough table without slipping or sliding.
MSC 2010: 70E18, 37J60, 37J35
Keywords: nonholonomic mechanics, integrable systems, Poisson geometry
Received November 11, 2012, accepted December 4, 2012
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, vol. 9, no. 4, pp. 711-719 (Russian)
