О серии подмногообразий многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии w 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

О. А. Богданчук. О серии подмногообразий многообразия, порожденного алгеброй W2

МАТЕМАТИКА

УДК 512.5

О СЕРИИ ПОДМНОГООБРАЗИЙ МНОГООБРАЗИЯ, ПОРОЖДЕННОГО ПРОСТОЙ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ АЛГЕБРОЙ КАРТАНОВСКОГО ТИПА ОБЩЕЙ СЕРИИ W2

О. А. Богданчук

Аспирант, ассистент кафедры алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университ, bogdanchuk_o_a@mail.ru

В работе изучаются числовые характеристики многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики, в основном экспонента многообразия. Автором была построена дискретная серия алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста коразмерностей, принадлежащая многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W2.

Ключевые слова: многообразие алгебр Ли, экспонента многообразия, полиномиальные тождества.

Работа посвящена изучению многообразий алгебр Ли и их числовых характеристик. Все использованные, но не объясненные понятия можно найти в монографиях [1, 2]. Характеристика основного поля Ф предполагается равной нулю. На протяжении всей работы в относительно свободных алгебрах, а также при записи тождественных соотношений запись лиевской операции ведется без коммутаторных скобок. Кроме того, будем использовать левонормированную запись произведений, опуская скобки, т. е. (ab)c = abc. Коммутаторные скобки используем только в конкретных алгебрах Ли, которые построены из соответствующих ассоциативных алгебр, в которых ab обозначает результат ассоциативного умножения элементов алгебры.

Пусть V — многообразие алгебр Ли, а F(V) — его относительно свободная алгебра счетного ранга, порожденная элементами x\,x2,.... Обозначим через Pn(V) подпространство полилинейных элементов от x\,...,xn в F(V), а через cn(V) = dimPn(V) — его размерность. Рост числовой последовательности cn(V) называют ростом многообразия V. Если последовательность cn(V) мажорируется экспонентой an для подходящего a, то существуют пределы

LEXP(V) = liminf ^cn (V), HEXP(V) = lim sup ПCn (V),

n n—

которые называют нижней и верхней экспонентой многообразия V. Если предел последовательности Пcn (V) существует, то он называется PI-экспонентой или просто экспонентой многообразия V:

EXP (V) = LEXP (V) = HEXP (V).

Пусть Rk = Ф[^1 , t2,... ,tk] — кольцо многочленов от переменных t1, t2,..., tk над полем Ф. Всякий элемент бесконечномерной простой алгебры Ли картановского типа общей серии Wk может быть записан

© Богданчук О. А., 2014

125

(/Щ-Ш^тЬ J^s--,__Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 2

k

в виде fд, где di — оператор взятия частной производной по U, а fi <G Rk, i = 1,..., k. В этой ал-i=1

гебре лиевской операцией является коммутирование операторов. Обозначим через Wk многообразие, порожденное соответствующей алгеброй Wk. В работе [3] было доказано, что для верхних экспонент многообразий Wk выполняются неравенства

HEXP(Wk) < k(1 + k)(1 + 1/k)k.

В этой же статье была высказана гипотеза о том, что экспонента многообразия, порожденного алгеброй Wk, существует и равна верхней оценке из приведенного выше неравенства, т.е. EXP(Wk) = k(k + 1)(1 + 1/k)k. Давно известно, что экспонента многообразия Wi равна 4 (см. [4]). В случае же многообразия, порожденного алгеброй W2, экспонента целым числом не является. В работе [3] доказано, что в случае поля нулевой характеристики экспонента многообразия W2 является дробной:

13,1 < LEXP(W2) < HEXP(W2) < 13, 5.

Напомним еще раз строение простой бесконечномерной алгебры Ли картановского типа общей серии W2. Пусть R2 = Ф[^1 ,t2] — кольцо многочленов от переменных t1 ,t2. Алгебра W2 состоит из дифференциальных операторов первого порядка вида

fldi + f2^2,

где di — оператор взятия частной производной по ti, а fi <G R2, i = 1, 2. Относительно операции коммутирования множество W2 является алгеброй Ли, причем результат коммутирования двух операторов первого порядка будет также оператором первого порядка. Проверим этот хорошо известный факт в явном виде. Действительно, выпишем результат коммутирования двух дифференциальных операторов, каждый из которых состоит из одного слагаемого. Для этого применим коммутатор к многочлену h <G R2

[fldi, f2 d2 ](h) = fidi (f2d2 (h)) - f2d2 (fidi (h)) = fi di ( f2 Ц) - f2d2 fi Ц) = = fi f + fif2 d2 h _ f2 df - f2 h д2h

д/2 д/1 д^ _ ( д/2 „ = /1 д£Тд^ - /2 д^Т" / д£Тд2 - /2 д7 (л)'

Итак,

д /2 д /1

[/1д1, У2д2 ] = Л^Г2 д2 - У^^Т1 д1'

Договоримся опускать в произведениях элементов алгебры коммутаторные скобки в случае их левонормированной расстановки, т. е.

[[[а, Ь], с], й] = [а, Ь, с, й],

где а, Ь, с, й — некоторые элементы алгебры В работе [5] была получена дискретная серия алгебр Ли Ь3, где 5 = 3,4,''', с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей. Дадим определение алгебры Ь3. Пусть А2 — многообразие всех метабелевых алгебр Ли, определенное тождеством

(Х1Х2 )(хз Х4) = 0,

а М3 = Е8(А2), 5 = 3,4,''' — относительно свободная алгебра ранга 5 этого многообразия с множеством свободных образующих ,''',^5-1}. Рассмотрим линейное преобразование й векторного пространства (г0, г1, - - -, ), действующее по правилу zid = Zi-1, % = 1, 2,''', 5 — 1, ¿0й = 0. Так как М3 — относительно свободная алгебра, то отображение й можно продолжить до дифференцирования алгебры М3, которое мы обозначим той же буквой. Напомним, что дифференцированием й некоторой алгебры А называется линейное отображение алгебры в себя, удовлетворяющее условию

(ху)й = (хй)у + х(уй), (1)

О. Л. Богданчук О серш подмногообразий многообразия, порожденного алгеброй W-2__

где x,y — элементы алгебры A. Вернемся к построению алгебры Ls. Линейная оболочка построенного дифференцирования (d) алгебры Ls относительно операции коммутирования является одномерной алгеброй Ли с нулевым умножением. Поэтому можно определить полупрямое произведение (см. [1, п. 1.4.4, с. 16]) алгебр Ms и (d), которое обозначим Ls = Ms X (d). Отметим, что алгебра Ms является метабелевым идеалом коразмерности 1 алгебры Ls. Поясним, что как векторное пространство алгебра Ls является прямой суммой пространств Ms и (d), т. е. Ls = Ms ф(d). Элементы алгебры Ls умножаются следующим образом:

(x + ad)(y + ed) = xy + ^xd _ ayd,

где x, y — элементы относительно свободной метабелевой алгебры Ms, xy — их лиевское произведение, а xd и yd — результаты действия дифференцирования d на элементы x и y соответственно.

Многообразие, порожденное алгеброй Ls, обозначим как Ls, s = 3,4,..., и сформулируем доказанную в работе [5] теорему об экспонентах этих многообразий. Для экспонент роста коразмерностей алгебр Ли Ls выполняются строгие неравенства:

3 = EXP (Ls) < ■ ■ ■ < EXP (Ls) < EXP (Ls+i) < ■ ■ ■ < 4, где s = 4, 5,... .

Хорошо известно, что в алгебре Wi выполняется стандартное лиевское тождество степени пять, которое имеет вид

(_1)pxoxp(i)xp(2)xp(3)xp(4) = 0,

pes 4

где S4 — симметрическая группа, а (_1)p — четность перестановки. Однако это тождество не выполняется в алгебрах Ls, где s = 3,4,..., поэтому алгебры Ls не лежат в многообразии W1. Действительно, для проверки этого факта достаточно подставить элементы z0, zi, z2, z3, d алгебры L4 вместо переменных тождества x0, xi, x2, x3, x4 соответственно и получить ненулевой результат подстановки. Оказалось, что многообразию W2 рассматриваемая серия алгебр уже принадлежит. Сформулируем основной результат этой работы.

Теорема. Дискретная серия алгебр Ли Ls с различными дробными экспонентами роста коразмерностей принадлежит многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W2.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно проверить, что любое тождество, которое не выполняется в алгебре Ls, также не выполняется в алгебре W2. Предположим, что произвольное тождественное соотношение степени n + 1 не выполняется в алгебре Ls. Тогда существуют такие элементы этой алгебры, после подстановки которых вместо переменных тождества получаем ненулевой элемент алгебры Ls. Пусть вместо k образующих был подставлен элемент d. Обозначим эти образующие буквой b. А вместо остальных m (m = n + 1 _ k) образующих подставлены некоторые zi или их произведения, которые мы, в свою очередь, переобозначим как y0, yi,... ,ym. Так как adb является дифференцированием алгебры и действует по правилу (1), то дифференцируя образующую b необходимое число раз, перепишем наше тождественное соотношение в виде суммы левонормиро-ванных произведений элементов вида ys(adb)p. После подстановки базисных элементов алгебры Ls мы можем менять местами скобки начиная с третьей, так как алгебра Ms является метабелевой. Это же свойство перестановки скобок выполняется и после подстановки элементов из алгебры W2, что будет следовать из того типа подстановки, о которой будет рассказано ниже. Сделаем подстановки вместо образующих элементов алгебры Ls и W2 и, производя одинаковые преобразования в обоих случаях, перепишем полученное выражение, считая, что элементы алгебр уже подставлены, но не производя вычислений. При этом еще раз заметим, что мы одновременно производим преобразования, переставляя скобки начиная с третьей и приводя подобные.

В базисе алгебры Ls, кроме zi и d, есть еще произведения свободных образующих метабелевой алгебры Ms, но произведение может быть подставлено только один раз. Так как если мы подставим произведение два раза, то по свойству метабелевости алгебры Ms получим ноль. Любой из ys(adb)p можно «вынести» на первое место, так как мы работаем в алгебре Ли. Будем считать, что если вместо одного из yi мы подставили произведение, то именно его мы вынесем на первое место. Упорядочим скобки начиная с третьей, по возрастанию индекса i элементов yi. Тогда тождественное соотношение

Математика

127

(/Щ-Ш^тЬ __Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 2

после подстановки элементов из Ь3 или из будет иметь вид

Е (уоЬко)(уЬк)(У1 Ьк1)... (у*-^-1 )(у»+1 Ьк*+1)... (УтЬкт)• (2)

Так как результат подстановки элементов из Ь3, по нашему предположению, отличен от нуля, то хотя бы один из коэффициентов в сумме (2) отличен от нуля. Без ограничения общности будем считать, что таким ненулевым коэффициентом является а*,ко,к1 ,...,кт•

Обозначим через ^ подстановку элементов алгебры и определим ее следующим образом:

р(Ь) = д2, ) = дь ) = ^д1, при $ = г.

Докажем, что в результате такой подстановки элементов алгебры в сумму (2) остается единственное ненулевое слагаемое вида

а*,ко,к1,...,кт(У0Ько)(у*Ьк)(У1 Ьк1)... (у*-1 Ьк*-1 )(ут Ьк^)... (утЬк-). (3)

Рассмотрим любое другое слагаемое. Возможны два случая. В первом случае слагаемое имеет вид

а*,ро,Р1 ,.,Рт(уоV0)(у*ЬР')(у1 V1)... (у*— Ь^-1 Ху^Ь^1)... (утЬРт),

где (ро,Р1, ... ,Рт) = (ко, к1,..., кт).

Чтобы такое слагаемое не было равно нулю, требуется выполнение следующих неравенств: р0 < к0,

т т

р1 < к1 , ...,рт < кт• Но Р = к и ^ к* = к, поэтому неравенства превращаются в равенства

*=0 *=0

= кг, I = 0,..., т. Другими словами, приходим к слагаемому вида (3). Во втором случае слагаемое такое, что первые два сомножителя имеют вид (у0Ь^0)(у7-Ь^3'), где г = $. Здесь возможны три подслучая. Если р0 > к0, то, исходя из вида подстановки у0ЬРо = 0. Аналогично, если р > к7-, то у?Ь^3 = 0. Остается третий вариант, когда р0 < к0 и р < к7-. В этом случае результат произведения первых двух скобок равен

(-1)p0 ко (ко - 1)... (ко - po (kj - 1)... (kj - pj )[tk0 -p0 di di ] = 0.

■озуго.)

Таким образом, в результате такой подстановки элементов алгебры в сумму (2) остается

[Г=о(

единственное ненулевое слагаемое. Заметим, что оно имеет вид вд1, где в = (—1)т ■ т! П¿=0(кг)!. А

это значит, что тождество не выполняется в алгебре W2. Теорема доказана.

Выражаю благодарность моему научному руководителю профессору Сергею Петровичу Мищенко за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к работе.

Библиографический список

1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М. : На- 4. Кириллов А. А., Молев А. И. Об алгебраической ука, 1985. 448 с. структуре алгебры Ли векторных полей. Препринт

2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and № 16. М. : Ин-т прикл. математики им. М. В. Кел-Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Mono- дыша АН СССР, 1985. 23 с.

graphs. Providence, RI : American Math. Soc., 2005.

Vol 122 352 p 5. Malyusheva O. A., Mishchenko S. P., Verevkin A. B.

3. Мищенко С. C. Новый пример многообразия ал- Series of varieties of Lie algebras °f fractional гебр Ли с дробной экспонентой // Вестн. Моск. ун-та. exponents // Compt rend. Acad. Bulg. Sd. 2013. Vo1. 66, Сер. 1. Математика и механика. 2011. № 6. С. 44-47. № 3. P. 321-330.

On Subvariety of Variety Generated by a Simple Infinite Lie Algebra of Cartan Type General Series W2

O. A. Bogdanchuk

Ulyanovsk State University, 42, Leo Tolstoy str., 432970, Ulyanovsk, Russia, bogdanchuk_o_a@mail.ru

We consider numerical characteristics of Lie algebras variety over a field of characteristic zero, basically, the exponent of variety. Here, was constructed the infinite series of varieties of Lie algebras with different fractional exponents, which belong to variety generated by a simple infinite Lie algebra of Cartan type general series W2.

Key words: variety of Lie algebras, identity, exponent of variety.

С. С. Волосивец, Р. Н. Фадеев. Весовая интегрируемость сумм рядов

References

1. Bakhturin Iu. A. Tozhdestva v algebrakh Li [Identities in Lie algebras]. Moscow, Nauka, 1985, 448 p. (in Russian).

2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI, American Math. Soc., 2005, vol. 122, 352 p.

3. Mishchenko S. S. New example of a variety of Lie algebras with fractional exponent Russian Math.

[Moscow Univ. Math. Bull.], 2011, vol. 66, pp. 264-266.

4. Kirillov A. A., Molev A. I. On the algebraic structure of the Lie algebra of vector fields. Preprint no. 16. Moscow, In-t prikl. matematiki im. M. V. Keldysha AN SSSR, 1985, 23 p. (in Russian).

5. Malyusheva O. A., Mishchenko S. P., Verevkin A. B. Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents. Compt. rend. Acad. Bulg. Sci., 2013, vol. 66, no. 3, pp. 321-330.

УДК 517.518

ВЕСОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

С. С. Волосивец1, Р. Н. Фадеев2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, VolosivetsSS@mail.ru

2Аспирант кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, belal_templier@mail.ru

Получены необходимые и достаточные условия Ьр-интегрируемости со степенным весом функции /, представимой рядом по мультипликативной системе с обобщенно-монотонными коэффициентами. Интегрируемость мажоранты частичных сумм представляющего функцию ряда описывается теми же условиями. Кроме того, мы изучаем интегрируемость разностного отношения (/(х) - /(0))/х.

Ключевые слова: весовая ^-интегрируемость, мультипликативная система, степенной вес, обобщенно-монотонная последовательность.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть {Рп}^=1 с М, 2 < рп < N .По определению т0 = 1, тп = рптп-1, п £ М, тогда каждое х £ [0,1) имеет разложение вида

x =

^ ^xn/

е Z+ n [0,pn).

(1)

n=1

x

n

Разложение (1) будет единственным, если для х = к/т^, к,1 £ 0 < к < т^, брать разложение с

те

конечным числом хп = 0. Каждое к £ Ъ+ единственным образом представимо в виде к = ^ кт^-1,

¿=1

(те \

к £ П [0,р). Для х £ [0,1) и к £ Ж+ положим по определению (х) = ехр 2П ^ х^к^/т7- .

V ^=1 )

Система {хп(х)}те=0 является ортонормированной на [0,1) и полной в X1 [0,1). Подробнее о ее свойствах см. [1, § 1.5]. Измеримая на [0,1) функция /(х) принадлежит пространству [0,1), 1 < г < го,

( 1 \1/г а £ М, если конечна норма ||/||г,а = ( /0 |/(х)|гха ёх) .

п— 1

Сумма (х) =: Еп(х) называется п-м ядром Дирихле. Для ряда

к=0

Xk(x) (2)

k=0

Волосивец С. С., Фадеев Р. Н, 2014 129