CC BY
16Механика
УДК 532.529
О РОЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ И "НАСЛЕДСТВЕННЫХ" СИЛ В ЗАДАЧАХ ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ СУСПЕНЗИЙ
Ю. А. Невский, А. Н. Осипцов
При исследовании задач гравитационной конвекции в суспензиях значительное внимание уделяется моделированию мезомасштабных течений, вызванных неустойчивым ростом неоднородностей концентрации дисперсной фазы [1]. При этом в межфазном обмене импульсом, как правило, учитывается лишь стационарная сила сопротивления (сила Стокса).
В настоящей работе на примере задачи о гравитационном оседании (всплытии) сферической частицы в гармоническом поле скорости вязкой несущей фазы исследовано влияние нестационарных и "наследственных" сил на характер движения частицы. Предложен алгоритм вычисления наследственной силы Бассе-Буссинеска, пригодный для произвольных значений отношения плотностей фаз. Определен диапазон параметров, в котором корректное описание мезомасштабных движений в оседающей (всплывающей) суспензии невозможно без учета нестационарных и наследственных сил.
1. При описании поведения континуума частиц в суспензиях сила межфазного взаимодействия, как правило, определяется из решения задачи о движении уединенной сферы в вязкой жидкости. При малых числах Рейнольдса обтекания сферической частицы в условиях, когда пространственные масштабы изменения поля скорости жидкости много больше радиуса сферы, суммарная сила, действующая на частицу, представима в виде [2]
{з = + (л + (т + £бб + mg,
— и ■___ _ _ I - —
= 67Гац(лг-лг3), = ~ & )' ^
Гвв = 6сг2у'7гр/х
г
2 _ I I (1у (1Ч3
(Ь ¿Ь
(Вч с рТз ((¿V (¿V
2
(ь1
0
t=t1 л/г - ¿1
Здесь (/(Ь = д/дЬ + у3г ■ д/дхг и В/Вг = д/дЬ + Vi ■ д/дхг обозначают соответственно субстанциональные производные вдоль траекторий твердой частицы и частицы несущей фазы, совпадающей в данный момент с центром твердой частицы (в рассматриваемом ниже случае малых чисел Рейнольдса, посчитанных по скоростям движения частиц относительно несущей фазы ¡V — vз|, различие между этими производными несущественно); £31, £л, £т, £бб — силы Стокса, Архимеда, присоединенных масс и Бассе-Буссинеска соответственно; а, т, тз — радиус, масса и объем частицы, индекс в относится к параметрам частицы; р и ц — плотность и динамическая вязкость жидкости; § — ускорение силы тяжести; остальные обозначения общепринятые.
Для задач гравитационной конвекции суспензии в качестве масштабов при обезразмеривании удобно использовать скорость стационарного оседания частицы в малоплотной вязкой среде и = тд/6па¡, длину скоростной релаксации фаз при стоксовском законе сопротивления 1Т = ти/6пал и время 1Т/и.
После обезразмеривания уравнения движения частицы принимают следующий вид:
¿Гз
° 1 ^ ° ^ ¿=¿1V Ь — ¿1
(И 3 2 + 5 (И V 2п у V ¿Ь (И
0
(Ьл
Гз(0) = Гз0, Vs(0) = v(0) = V0.
Здесь 1 — единичный вектор, направленный против силы тяжести; 5 = р/рз, X = 2/(2 + 5). Как следует из (1), если плотности фаз сравнимы (5 ~ 0(1)), то силы, учитывающие нестационарные и наследственные эффекты в межфазном взаимодействии, формально имеют тот же порядок, что и сила Стокса. При этом
вклад сил Архимеда и присоединенных масс пропорционален отношению плотностей фаз, а вклад силы Бассе-Буссинеска — квадратному корню из отношения плотностей фаз.
С целью оценки количественного вклада указанных сил были проведены численные расчеты уравнений движения частицы для модельного одномерного нестационарного поля скорости несущей фазы, описываемого гармоническим законом и = 1 еов(шЬ).
2. В пренебрежении силой Бассе-Буссинеска система (1) может быть решена аналитически и зависимость скорости от времени может быть найдена явно:
ь3 — и = Св-Хг + с\ еов(шЬ) + с2 8т(шЬ) + 5 — 1,
где
_ (6 - 1)\ш2 _ (1 - 5)ш\2 01 ~ А2+со2 ' °2 ~ А2+со2 " Здесь константа С = У3(0) — и(0) + 1 — 5 — с\ определяется из начальных условий.
3. Для численного решения полного интегродифференциального уравнения движения частицы были использованы два различных подхода. Первый основан на замене интегродифференциального уравнения эквивалентной системой дифференциальных уравнений более высокого порядка. Такой подход был впервые предложен в [3], где показано, что в случае, когда поле скорости несущей фазы зависит только от времени, после преобразования Лапласа по времени уравнения в пространстве изображений принимают вид
¡~98
(1 + 0,56)р\¥ + + л/ — = (1 - + (1 - 6).
Здесь р — переменная в пространстве изображений, Ш — образ V — а Е(р) — образ V. Домножив это уравнение на (1 + 0,55) +р~1 — л/9£/2р-1/2, перегруппировав ряд членов и взяв обратное преобразование Лапласа, получим, что уравнения движения частицы эквивалентны (в наших обозначениях) следующей системе:
drs dvs
йЬ ^ dt "
^ = —А(2 - 4.5А5) - V) - Л2К - V) - (А(1 - 8) - 1) ^ - А2(1 -6)^ +
I— 1 I-
.2,л п 95 [ d2v dtl .2,л 95 (dv Д >9 + А (1 -6)\ — , + А (1 - 6)\ - — - I + А (1 - <Ш.
1 ; V 2тг У (И\ л/Г^П у V 2тг^ V ^ )
о
Для эквивалентности данной системы исходной необходимо, чтобы начальная относительная скорость частицы равнялась нулю, а отношение плотностей фаз удовлетворяло неравенству 5 < 4/7 [4]. Заметим, что такая форма представления межфазного взаимодействия позволяет легко обобщить полный лагран-жев метод расчета концентрации частиц, предложенный в [5] для газовзвесей, на рассматриваемый случай движения суспензий.
При больших значениях 5 замена интегродифференциального уравнения системой дифференциальных уравнений не является эквивалентной и приходится решать исходную систему (1).
4. Второй подход состоит в численном решении интегродифференциального уравнения (1), при этом аппроксимация несобственного интеграла осуществлялась следующим образом. Интеграл разбивался на две части — с особенностью и без нее:
г г-н г
о о г-н
Интеграл без особенности аппроксимировался по формулам Симпсона [6], а интеграл с особенностью — по квадратурным формулам путем использования интерполяционного многочлена Лагранжа первой степени с весовой функцией р(х) = 1/\/Ь — ¿1 [7]. Дифференциальные уравнения аппроксимировались с помощью схемы Рунге-Кутта четвертого порядка.
Отладочные расчеты, проведенные с использованием обоих методов в диапазоне 5 < 4/7, показали, что значения скорости совпадают в трех значащих цифрах. В случае малых 5, когда силой Бассе-Буссинеска заведомо можно пренебречь, проводилось сравнение результатов численного и аналитического решений.
5. Для определения количественной характеристики влияния нестационарных и наследственных сил на поле скоростей дисперсной фазы сравнивались решения системы с учетом всех сил с решениями системы с учетом: только сил гравитации, Стокса и Архимеда (рисунок, кривые 2, 5, 8); всех сил в (1), за исключением наследственной силы Бассе-Буссинеска (кривые 1, 4, 7); всех сил в (1), за исключением силы присоединенных масс (кривые 3, 6, 9).
а б
тах|у,-у„„1 0,4
0,3
0,2 0,1
"1 40 80 120 160 5
Зависимость нестационарных и (или) наследственных сил от отношения плотностей фаз 5 при ш = 1 (сплошная линия), ш = 0,1 (пунктир) и ш = 10 (штрихпунктир)
В случае тяжелых частиц (5 < 1) в качестве количественной характеристики "влияния" различных сил на решение было выбрано значение максимума модуля разности скоростей, вычисленных на основе полной системы уравнений и системы без нестационарных и (или) наследственных сил (чзт). Для случая легких частиц (5 > 1) указанный модуль разности нормировался на 5. Такой выбор параметра, характеризующего относительное влияние тех или иных сил, в случае легких частиц обусловлен асимптотическим поведением решения системы (1) при 5
На основании параметрических численных исследований был установлен диапазон параметров 5, ш, в котором влияние нестационарных и наследственных сил несущественно (рисунок, а), а именно: если отношение плотностей фаз близко к нулю или единице, влиянием как наследственных, так и нестационарных сил можно пренебречь.
Из расчетов для тяжелых частиц следует, что при уменьшении ш влияние наследственных сил уменьшается. С увеличением частоты влияние силы Бассе возрастает до некоторого момента, после чего остается примерно постоянным; при этом (в рассмотренном диапазоне ш < 10) относительное влияние силы присоединенных масс значительно возрастает.
Аналогичные расчеты выполнены и для легких (всплывающих) частиц. Качественный характер зависимости решений от ш остается прежним. При значениях отношения плотностей фаз, близких к единице или бесконечности, влиянием наследственных сил можно пренебречь (рисунок, б). Влияние нестационарных сил можно не учитывать только в случае 5 ~ 1.
Вклад наследственных сил быстро увеличивается с ростом отношения плотностей фаз от нуля. Например, для ш = 1 вклад силы Бассе составляет ~ 5% при 5 = 0,005. При 5 = 0,24 вклад силы Бассе максимален 43%), затем он уменьшается и при 5 = 0,92 становится меньше 5%. При дальнейшем увеличении 5 вклад силы Бассе становится нулевым (при 5 = 1), затем снова возрастает и достигает максимума при 5 = 4,4.
Таким образом, при описании межфазного обмена импульсом в задачах гравитационной конвекции суспензий в широком диапазоне значений отношения плотностей фаз нельзя пренебрегать нестационарными и наследственными силами.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00502).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Asmolov E.S. Evolution of fluctuations in a suspension sedimenting in a container bounded by horizontal walls // Phys. Fluids. 2004. 16, N 8. 3086-3093.
2. Maxey M.R., Riley J.J. Equation of motion of a small rigid sphere in a nonuniform flow // Phys. Fluids. 1983. 26. 883-896.
40
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №4
3. Michaelides E.E. A novel way of computing the Basset term in unsteady multiphase flow computations // Phys. Fluids. 1992. 4, N 7. 1579-1582.
4. Michaelides E.E. Hydrodynamic force and heat/mass transfer from particles, bubbles, and drops — the Freeman scholar lecture //J. Fluids Eng. 2003. 125. 209-238.
5. Osiptsov A.N. Lagrangian modeling of dust admixture in gas flows // Astrophys. Space Sci. 2000. 274. 377-386.
6. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1. М.: Наука, 1975.
7. Корнев А.А., Чижонков Е.В. Упражнения по численным методам. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 2003.
Поступила в редакцию 30.11.2006
УДК 531.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСТРЕЛА ИЗ ЛУКА А. В. Звягин, А. А. Лужин
Лук как метательное орудие является достаточно сложным физическим объектом, состоящим из двух скрепленных между собой плеч, выполненных из упругого материала, и тетивы, соединяющей (и стягивающей) их концы. Все элементы лука допускают много вариантов реализации. Целью работы является выяснение влияния на скорость выстрела стрелы только лишь основных факторов (материала плеча лука, отношения полудлины тетивы к длине плеча, геометрических параметров начального состояния лука), поэтому модель лука упрощается.
Считается, что каждое плечо лука в ненапряженном состоянии представляет собой однородный стержень постоянного сечения [1, 2]. Тетива рассматривается как нерастяжимая идеальная нить. При этом допускается, что при снятой тетиве между плечами лука может быть отличный от развернутого угол, который является одним из параметров задачи. В данной постановке рассмотрены две основные задачи: в первой исследовано статическое равновесие лука, во второй — зависимость скорости вылета стрелы от длины плеча лука, массы стрелы и от угла, который образуют основания плеч лука, когда тетива снята.
Статическое равновесие лука. Рассмотрим геометрию плеча лука в зависимости от расстояния между серединой тетивы и точкой закрепления плеча лука АВ = Н (рис. 1). Начальная длина плеча АО и длина половины тетивы ОВ считаются заданными. Требуется определить изогнутую форму плеча лука. В качестве модели стержня выберем модель Кирхгофа-Лава [3], в которой основной гипотезой является гипотеза нормальных сечений.
В ненатянутом состоянии известен угол а, равный половине угла, дополняющего до развернутого угол между плечами. Тогда угол между тетивой и плечом лука меняется в диапазоне [во — а; 9\], где во — угол отклонения тетивы, в\ — угол между тетивой и свободным концом плеча лука; оба этих угла неизвестны.
dв
В системе координат хОу уравнение моментов М = Е.] ——
ds
примет вид [4]
-Тх = Е,7^-, (1)
Рис. 1. Схема выстрела из лука: А — точка закрепления лука; АО — плечо лука; ОВ — половина тетивы; во — угол отклонения тетивы; в\ — угол между тетивой и свободным концом лука; Н — расстояние между точкой закрепления лука и серединой тетивы; а — угол, равный половине угла, дополняющего до развернутого угол между плечами лука
ds
где М — момент, Е — модуль Юнга материала стержня, .] — геометрический момент инерции, в — угол наклона плеча лука к оси Оу, s — лагранжева координата, Т — сила натяжения нити.
