О решениях многомерного уравнения Клеро с мультиоднородной функцией от производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 1 УДК 517.952

О РЕШЕНИЯХ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ КЛЕРО С МУЛЬТИОДНОРОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ ОТ ПРОИЗВОДНЫХ

И. В. Рахмелевич

Кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий в предпринимательской деятельности, Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, [email protected]

Проведен анализ решений уравнения Клеро с произвольным числом независимых переменных. Предполагается, что нелинейная функция от производных, входящая в состав уравнения, является мультиоднородной. Это означает, что множество аргументов функции можно представить в виде объединения подмножеств, по каждому из которых функция является однородной. Рассматриваются решения уравнения, зависящие от линейных комбинаций исходных переменных, в каждую из которых входят только переменные из определенного подмножества. Исходное уравнение преобразовано к редуцированному, которое решается методом разделения переменных. Получены решения редуцированного уравнения в виде произвольных однородных функций с показателем однородности 1, а также некоторых обобщенных полиномов.

Ключевые слова: уравнение Клеро, редуцированное уравнение, мультиоднородная функция, метод разделения переменных.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из наиболее известных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной, является уравнение Клеро [1,2]. В указанных работах приведено общее решение уравнения Клеро, являющееся линейной функцией, а также особые решения, представленные в параметрической форме [2]. При этом не использовались никакие дополнительные предположения о свойствах нелинейной функции от производных, входящей в состав уравнения. В то же время известно, что при решении дифференциальных уравнений, содержащих однородные и мультиоднородные функции от частных производных [3-5], весьма эффективным является метод разделения переменных. В данной работе с помощью названного метода проводится анализ решений многомерного уравнения Клеро в случае, когда нелинейная часть уравнения представляет собой мультиоднородную функцию.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим многомерное уравнение Клеро относительно неизвестной функции и(х\,х2, ):

р / ди ди ди \ + ^^ ди

V дх1' дх2 ' ' дх^ / ^ г дxi

4 ' г=1

Рассмотрим функцию Р (р1 ). Пусть множество значений I = {1,..., N} индекса %, нуме-

рующего независимые переменные, представлено в виде объединения К непересекающихся подмножеств 1к (к = 1,..., К). Тогда вектор аргументов этой функции Р = {р1,... } может быть разбит на К непересекающихся подвекторов Рк = {рг}ге1к. По определению функция Р называется мультиоднородной относительно подвекторов Р1,..., РК с показателями однородности г1,... ,гК, если при всех к = 1, . . . , К выполняются соотношения:

Р (Р1,..., аРк ,...,Рк) = аГк Р (Р1 ,...,Рк ,...,Рк). (2)

Эти соотношения должны выполняться для любых действительных а,Р1,... ,РК, при которых определены функции, входящие в (2). Понятие мультиоднородной функции [3,5] является обобщением классического понятия однородной функции [6].

Предполагая, что Р является мультиоднородной функцией, решение уравнения (1) будем искать в виде

и = и (х1,...,хк), zk = ^ ег xi. (3)

ге1к

Тогда с учетом свойства мультиоднородности (2) функции Р уравнение (1) сводится к следующему:

А К (ди У* ^ ди тт

А йЫ + 5>йк = и- (4)

Здесь сг — произвольные постоянные, А = F(С1}... ,Ск), Ск = — постоянные векторы

(к = 1,...,К).

Таким образом, исходное уравнение (1) для решений вида (3) сведено к редуцированному уравнению (4) в предположении мультиоднородности функции F.

2. АНАЛИЗ РЕДУЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ

В данном параграфе проведем анализ решений уравнения (4). Простейшие частные случаи, когда это уравнение сводится к линейному, описываются следующей теоремой.

Теорема 1. Уравнение (4) имеет следующие решения в виде произвольных однородных функций с показателем однородности 1, дифференцируемых по всем аргументам:

1) и = и(г1,..., гк), если удовлетворяется условие

^ (С1 ,...,Ск) =0; (5)

2) и = и (г1,..., г\-1 ,..., гк) при выполнении условия п > 0(1 е [1, К]). Доказательство. 1. Пусть постоянные С1 таковы, что удовлетворяется условие (5). В этом случае (4) сводится к линейному уравнению:

£ гк Ц = и. (6)

к=1 К

Решением этого уравнения является произвольная однородная функция и(г1,...,гк) с показателем однородности 1 [1, с. 223].

2. Пусть I е [1,К] — некоторое значение индекса к. Рассмотрим функцию и = и(г1,..., г1+1,..., гк), дифференцируемую по всем своим аргументам. Подставив эту функцию в уравнение (4)

ди

и учитывая, что —— = 0 при данном I, находим, что при выполнении условия п > 0 уравнение (4)

ОХ\

сводится к следующему:

Еди

к1к=Гк ^ = и (7)

к=1,к=1

Решением уравнения (7) также является произвольная однородная функция и(г1,..., г1+1,... ,гк) с показателем однородности 1, причем в отличие от случая 1) на постоянные никаких дополнительных условий не накладывается. Теорема доказана.

Отметим также, что при К = 1 функция F является однородной (в обычном смысле), и тогда уравнение (4) представляет собой частный случай одномерного уравнения Клеро:

, (<ШV йи ТТ

аы) + = и. (8)

Решения уравнения (8) хорошо известны [7, с. 144]:

.-1 ч 1/(г-1)

и (г) = Вг + АВг, и (г ) = Ьгг/(г-1), Ь = (г ^ ^

(9)

Здесь В — произвольная постоянная; первая из формул (9) соответствует общему решению одномерного уравнения Клеро, а вторая - особому решению, которое существует при г = 1 .

Рассмотрим теперь общий случай 1 ^ К ^ N и проведем анализ решений уравнения (4) с помощью метода разделения переменных [8].

Теорема 2. Уравнение (4) имеет следующие решения, представимые в виде суммы функций, каждая из которых зависит от одной из переменных г1,... ,гк:

кк

и (г1 ,...,гк ) = ^ ак гк + А]\агкк, (10)

к=1 к=1 к

и(г1,... ,гк)= акгк + Ь1 г?/(г'-1) . (11)

к=1,к=1

Здесь а^ — произвольные постоянные, а Ьг определяется выражением

( к г -л1/(гг-1)

Ь/ = -(1/А) П а-Гк (Г/ -У ) . (12)

у &=1,&=/ 1 у

Решения вида (12) существуют при всех I е [1, К], для которых выполнено условие гг = 1.

Доказательство. В соответствии с известной схемой аддитивного разделения переменных будем искать решение уравнения (4) в виде суммы функций одной переменной:

к

и (*!,..., *к ) = Х) ^ (^). (13)

&=1

Подставив функцию (13) в уравнение (4), получаем следующее:

кк

А П [и^(**)Р = Е (и(^) - ^Щ(^)). (14)

&=1 &=1

Нетрудно видеть, что уравнению (14) удовлетворяют, в частности, линейные функции и(^) = = а^^ + . Подставив это выражение в уравнение (14) и учитывая (13), получаем решение вида (10), которое представляет собой известный полный интеграл многомерного уравнения Клеро [1,2]. Для нахождения особых решений продифференцируем почленно уравнение (14) по , где I е [1,К] — некоторое значение индекса к. Тогда уравнение (14) преобразуется к следующему:

к

Агг П [и' (** )Р [и/ (¿/)Р-1и/' (¿г ) = -¿¿и/' (¿г). (15)

Уравнение (15) удовлетворяется, в частности, при и''(гг) = 0, что соответствует рассмотренному выше линейному решению (10). Для нахождения другого решения предположим, что и''(гг) тождественно не равна 0, тогда (15) можно переписать в виде

к

А )Г =- гш^. (16)

Так как функции и(^), иг(гг) зависят от разных переменных, то в соответствии с известной схемой метода разделения переменных из (16) получаем уравнения относительно этих функций:

и£ )= ^ (к = 1), г/ [и/ )]Гг-1 = А/, (17)

где а^, Аг — некоторые постоянные. Находя решения уравнений (17) и подставив их в (14), получаем решения, определяемые формулами (11), (12). Теорема доказана.

Теорема 3. Уравнение (4) имеет следующие решения, представимые в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной из переменных ,..., ¿к:

к

!) и(¿1,... ,2к) = ВЦ***, (18)

где

А;=1

к к / - 1 х ^ = , ГЕ = £ г^, В =[(1 - гЕ)А] р- -Е ; (19)

2) для каждого I е [1,К]

к

и (¿1 ,...,** ) = В и/ ) [] , (20)

где U (z) является решением следующего ОДУ:

D[Ut(zi)]ri [Ui(z)p-ri-1 = ki - • (21)

к

Здесь к = (ri - 1)/(rE - 1), D = AB-1 П qkk •

k=1,k=i

Решения, определяемые формулами (18)—(21), существуют при условии rs = 1-Доказательство. В соответствии с известной схемой мультипликативного разделения переменных будем искать решение уравнения (4) в виде произведения функций одной переменной:

к

U(zi,...,zK) = п Uk(zk)• (22)

k=1

Подстановка выражения (22) в уравнение (4) приводит к следующему:

A П [Uk(ZkГ [Uk(Zk)P-1 = 1 - E Z-TT(7Y, (23)

k=i k=1 Uk (Zk)

где rs определяется второй из формул (19).

Из уравнения (23) непосредственно следует, что если при всех k = 1, функции Uk (zk)

удовлетворяют системам ОДУ

[Uk (zk )]rk [Uk (zk )P-1 = Ak, ZUU(ZZk) = qk, (24)

то функция U(z15...,zK), определяемая формулой (22), является решением уравнения (4). Здесь Ak, qk — некоторые постоянные, которые должны удовлетворять условию:

к к

AjlAk = 1 qk • (25)

k=1 k=1

Решая системы (24), находим:

Uk (Zk) = ^ , qk = ^4 • (26)

k VqW rE -1

Подставляя функции (26) в выражение (22) и учитывая условие (25), получаем решение, определяемое формулами (18), (19). Для получения других решений продифференцируем уравнение (23) по zj, где l <G [1,K] — некоторое выбранное значение индекса k:

A П [Uk (zk )]rk [Uk (zk )p-rk-1 dZi ([U/ (zj )]ri [Uj (zj )]--ri-1) = - ZUUU(Z^) • (27)

Если функция U/(z/) удовлетворяет системе (24), то уравнение (27) удовлетворяется автоматически. Рассмотрим теперь случай, когда

[U/(z/ )]ri [U/ (z/ )p-ri-1 = const; z/ U/(z/)/U/(z/) = const.

Тогда поскольку в левой части (27) присутствует произведение функций от разных переменных zk, а правая часть зависит только от zj, то при всех k = l функции Uk (zk) должны удовлетворять первому из уравнений (24). Тогда уравнение (23) преобразуется к виду

A П Ak[U/(z,)]ri [Uj(zj)]--ri-1 = 1 - E ZkUZZy) • (28)

k=1,k= k=1 k k

Аналогично, так как левая часть (28) зависит только от zj, а в правой части содержится сумма функций от всех zk, то при всех k = l функции Uk (zk) должны удовлетворять и второму из уравнений (24). Поэтому поскольку функции Uk(zk) (k = l) должны удовлетворять обоим уравнениям (24),

то эти функции определяются выражениями (26). Подставляя эти выражения в (23), получаем, что функция Ui(zi) должна быть решением уравнения (21). Теорема доказана.

Кроме рассмотренных выше аддитивного и мультипликативного разделения переменных, в данной задаче также существуют решения, представимые в виде суммы произведений функций от отдельных переменных zk. Вид этих решений устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Пусть множество О = {1,...,K} значений индекса k представлено в виде объединения S (1 ^ S ^ K) непересекающихся подмножеств Os (s = 1,..., S). Тогда уравнение (4) имеет решения следующего вида:

1) для каждого t е [1, S]

S

U (zi ,...,zk)= Y, Bs П zf + BtU zkk, (29)

s=i,s=t fceos ke^t

где qk, qk определяются выражениями:

Qk = rk/(r-t - 1), qk = rk/r-Zs, r^s = rk, = ^ rk . (30)

keQs keßt

Постоянные Bs (s = 1,... ,S) должны удовлетворять условию:

S

(1 - rzt)A П B?s П ft" Brtst-i П qkk = 1. (31)

s=i,s=t keßs keßt

Решение (29) для каждого фиксированного t существует при r1t = 1, r1s = 0 (второе из этих условий должно выполняться при всех s = t);

2) для каждого t е [1, S] и каждого l е Ot

S

U(zi,...,zk)= Y, Bs П zf + BtUi(zi) [] zkk, (32)

s=i,s=t keßs keßt ,k=l

причем функция Ul (zl) является решением следующего ОДУ:

D[Ui(zi)]ri [Ui(zi)]r-t-ri-i = Ki - . (33)

Здесь

Л S K S

Ki = , D = AB?*-i П B?s П qkk П П . (34)

1 s=i,s=t kent ,k=i s=i,s=tkens

Доказательство. Решение уравнения (4) будем искать в виде

U (zi ,...,ZK ) = Y ( П Uk (Zk Л •

s=i Vkeos /

Подставляя функцию (35) в уравнение (4), получаем следующее:

A П П (U (zk Г [Uk (zk )]r) = ¿( П Uk (zk)) (l - £

s=i keos s=i V kens / \ ken.

(35)

zk Uk(zk) Uk(zk)

(36)

где г^в определяется формулой (30).

Пусть I, I — некоторые значения индексов к, в, причем I е Для дальнейшего анализа уравнения (36) продифференцируем его по Zl, тогда:

5 -VI ^I) Е zkУк) + ZlV/I)

-4П П (кГ и(zkи—-'-о = н^Умгдау-. (37)

s=ikeß

Здесь использованы обозначения V) = Ц')/Ц), ^ ) = Ц'')/Ц'), — символ Кроне-

Так как правая часть уравнения (37) зависит только от переменных ¿к (к £ ^), то в соответствии с известной схемой метода разделения переменных функции ик (¿к) при к £ , 5 = должны удовлетворять уравнениям:

[Ц (¿к )]Гк [Ц (¿к = Ак, (38)

где Ак — некоторые постоянные. Решая уравнения (38), находим, что

1 / -у -у \qk

I zk — zk0

Uk(zk) = Ak- , (39)

где qk определяется второй из формул (30), zk0 — произвольные постоянные интегрирования. Подставим выражение (39) в уравнение (36) и перепишем это уравнение в виде

S

A П П Ak П ([Uk(zk)]rk [Uk(zk)]rst-rk) =

s=i,s=ikens kent

= e (n ^(i- e+ г1 Uk(Zk) (i -efg?). (40)

s=1,s=t \ keOs / \ keOs / kent \ k£\it /

Левая часть (40) зависит только от переменных zk (k G Ot), а первое слагаемое в правой части зависит от zk (k G Os, s = t). Поэтому уравнению (40) можно удовлетворить только в том случае, если при всех s = t выполнено условие

1 - у ^ 0. (41)

kt£ Zk - Zko

Учитывая выражение (30) для qk, получаем, что условие (41) выполняется только в том случае, если

Zko = 0 (42)

при всех k G Os, s = t. Тогда с учетом (41) уравнение (40) принимает вид

A(1) п ([Uk (zkГ [Uk (zk)]—-1) =1 - e ZkUlT' (43)

ken t ken

где

S

A(1) = A П П Ak. (44)

s=1,s=t kGns

Уравнение (43) имеет вид, аналогичный уравнению (23), с точностью до входящих в него параметров. Поэтому повторяя соответствующие рассуждения для уравнения (43), получаем, что для всех k G Ot ему удовлетворяют функции:

Uk (zk) = zk) ^ , qk = , (45)

k Vik/ rst - 1

причём постоянные Ak должны удовлетворять условию:

a(1) п Ak = 1 - e qk• (46)

kent kent

Подставляя выражения (39), (45) в (35), получаем решение в виде (29), причем постоянные Bs, Bt определяются выражениями:

i i / \ rSs / \ rSt-1

Bs = П A J П , Bt = П Ak п q-qk • (47)

\kens / ken Vke^t / ken

Принимая во внимание условие (46) и учитывая (47), (44), находим, что постоянные В8, В*, входящие в решение (29), должны удовлетворять условию (31).

Далее, для нахождения другого решения, продифференцируем уравнение (43) по где I е О*, тогда получаем:

A П (U(ZkГ [U(Zk)]—-1) dzi ([U(z,)]ri [U,(z,)]-<-1) = -A ) • (48)

Для решения, определяемого формулами (29)-(31), рассмотренного выше, выражения под знаком производной по z, в левой и правой частях (48) являются постоянными величинами и, следовательно, для этого случая (48) удовлетворяется автоматически. Рассмотрим теперь случай, когда

[U/(z, )р [U, (z, )]r«-ri-1 = const; z,U/ (z, )/U, (z,) = const.

Так как правая часть (48) зависит только от z,, а левая часть — от всех zk (k G ), то при всех k (k G , k = l) функции Uk(zk) должны удовлетворять уравнениям:

[Uk (zk )]rk [Uk (zk )]rst-rk-1 = Ak, (49)

Решение уравнения (49) имеет вид

i / \ -Г—T / zk — zk0

и ) = А-^ ' (50)

Подставив выражение (50) в уравнение (43), преобразуем это уравнение к виду

А(1) П ^ ([и/(*)]" [и/(*)]--п -1) = 1 - £ ^^ - £Ц2М, (51)

Так как левая часть (51) зависит только от , а правая часть — от всех ¿к (к е О*), то это уравнение может быть удовлетворено только в том случае, если для всех к е О*, к = I выполнено условие (42). Тогда, подставляя (39) и (50) в выражение (35) и учитывая условие (42), получаем решение уравнения (4) в виде (32), где постоянная В* определяется выражением

В* = П Ак П «Г*. (52)

укен4,к=г у ,к=г

Для дальнейшего преобразования уравнения (51) учтем, что

1 - Е 5к = К, (53)

, к=г

где кг определяется первой из формул (34). Тогда с учетом (52) и (53) из (51) получаем уравнение для иг(¿г) в виде (33). Теорема доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной работе многомерное уравнение Клеро (1) с мультиоднородной функцией от производных сведено к редуцированному уравнению (4). Показано, что в случаях, когда уравнение (4) сводится к линейному, оно имеет решения в виде произвольной однородной функции от переменных ,..., ¿к с показателем однородности 1 при выполнении условия (5); и в виде произвольных однородных функций от переменных ,..., -1, +1,..., ¿к с показателем однородности 1 для всех I е [1,К], при которых выполняется условие гг > 0. Другие решения уравнения (4) найдены методом разделения переменных. Так, в случае аддитивного разделения переменных получены решения, определяемые формулами (10)-(12); в случае мультипликативного разделения переменных — решения (18), (19) и (20), (21); в случае комбинированного разделения переменных - решения, определяемые формулами (29)-(31), (32)-(34). Результаты данной работы могут быть обобщены на другие уравнения аналогичного вида.

rv+ — 1

Библиографический список

1. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М. : Физматлит, 2003. 416 с.

2. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М. : Наука, 1966. 260 с.

3. Рахмелевич И. В. О некоторых уравнениях в частных производных, содержащих мультиоднородные функции // Научная дискуссия : вопросы физики, математики, информатики : материалы III междунар. заочн. науч.-практ. конф. М. : Междунар. центр науки и образ., 2012. С. 18-23.

4. Рахмелевич И. В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных //

Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 3. С. 37-44.

5. Рахмелевич И. В. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 1. С. 42-50.

6. Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными / пер. с англ. М. : Физмат-лит, 2003. 432 с.

7. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Физ-матлит, 2001. 576 с.

8. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М. : Физматлит, 2002. 256 с.

On the Solutions of Multi-dimensional Clairaut Equation with Multi-homogeneous Function of the Derivatives

I. V. Rakhmelevich

Nizhny Novgorod State University, 23, Gagarin ave., Nizhny Novgorod, 603950, Russia, [email protected]

The analysis of the solutions of Clairaut equation with an arbitrary number of independent variables is completed. It is assumed that the function of the derivatives, which is part of the equation is multi-homogeneous. This means that the set of function arguments can be represented as the union of subsets, and the function is homogeneous on each of these subsets. We consider solutions of equations depending on linear combinations of the original variables, each of which contains only a certain subset of variables. Original equation is transformed to a reduced one, which can be solved by separation of variables. It is shown that the reduced equation has solutions in the form of arbitrary homogeneous functions with index of homogeneity 1 and solutions in the form of some generalized polynomials.

Keywords: Clairaut equation, reduced equation, multi-homogeneous function, variables separation method.

References

1. Polyanin A. D., Zaitsev V. F., Moussiaux A. Handbook of First Order Partial Differential Equations. London, Taylor & Francis, 2002. (Rus. ed. : Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Spravochnik po differentsialnym uravneniyam s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka. Moscow, Fizmatlit, 2003, 416 p.)

2. Kamke E. Differentialgleichungen: L-sungsmethoden und L-sungen, II, Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung fir eine gesuchte Funktion. Leipzig, Akad. Verlagsgesellschaft Geest & Portig,1965. (Rus. ed. : Kamke E. Spravochnik po differentsialnym uravneniyam v chastnyh proizvodnyh pervogo poryadka. Moscow, Nauka, 1966, 260 p.)

3. Rakhmelevich I. V. O nekotoryh uravneniyah v chastnyh proizvodnyh, soderzhashih odnorodnye funkcii [On Some Partial Differential Equations Containing Multi-homogeneous Functions]. Nauchnaya discussiya : voprosy fiziki, matematiki, informatiki : materialy III Mezhdunar. zaoch. nauch.-pract. konf. Moscow, 2012, pp. 18-23 (in Russian).

4. Rakhmelevich I. V. On Application of The Variable Separation Method to Mathematical Physics Equations Containing Homogeneous Functions of Derivatives.

Vestnik Tomsk Univ. Math. Mech., 2013, iss. 3, pp. 3744 (in Russian).

5. Rakhmelevich I. V. On Equations of Mathematical Physics Containing Multi-homogeneous Functions of Derivatives. Vestnik Tomsk Univ. Math. Mech., 2014, iss.1, pp. 42-50 (in Russian).

6. Aczel J., Dhombres J. Functional equations in several variables. Cambridge Univ. Press, Cambridge,1989. (Rus. ed. : Aczel J., Dhombres J. Funkcionalnye uravneniya s neskolkimi peremennymi. Moscow, Fizmatlit, 2003, 432 p.)

7. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, Second Edition. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. (Rus. ed. : Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Spravochnik po obyknovennym differentsialnym uravneniyam. Moscow, Fizmatlit, 2001, 576 p.)

8. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2004. (Rus. ed. : Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Spravochnik po nelineinym uravneniyam matematicheskoi fiziki: tochnye resheniya. Moscow, Fizmatlit, 2002, 432 p.)