О решении одной технологической задачи методами вычислительной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

[x+(tk );x-(tk)] u [x+(tk );x-(tk)] u...

u[x+_t(tk );x-_t(tk)] u [xk;xk + lk (tk)]=0.

Задача заключается в максимальном освобождении места на складе при последовательном складировании поступающих партий в штабели.

Для данных определений задачу минимизации площади портового склада запишем следующим

образом: (max x-(t)-min x+(t))—> min.

Наивный дискретный алгоритм решения задачи будет состоять в последовательном назначении величин xi° и p,(t) соответствующим штабелям и в выборе их наиболее оптимальной перестановки относительно критерия задачи минимизации.

Рассмотренная идея автоматизированного планирования работы склада навалочных грузов

поможет сократить используемую площадь хранения, что приведет к увеличению пропускной способности терминалов навалочных грузов. Следует отметить, что данная модель может быть применена не только для угольных складов, но и для складов других навалочных и насыпных грузов. Основное условие применимости модели -хранение различных сортов и марок груза в разных штабелях, а также перегрузочные работы по технологии реклайминга.

Литература

1. Механик П.Н., Токман Г.И. Портовые перегрузочные работы. М.: Транспорт, 1983. 285 с.

2. Белинская Л.И., Сенько Г.А. Грузоведение и складское дело на транспорте. М.: Транспорт, 1990. 383 с.

3. Claudis Peters Technologies. Technik Stockyard. Schanzenstraße 40, D-21614 Buxtehude, Germany. 2004.

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ ЗАДАЧИ МЕТОДАМИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

А.Г. Ложкин, к.т.н. (Ижевский государственный технический университет, lag@istu.ru); М.А. Яхнис, к.т.н.; Ипатов А.И. (ОАО «Ижсталь», jma@izhstal.ru)

Описана модернизация САПР высокоточных стальных фасонных профилей. Изменения коснулись геометрического ядра расчетных задач. Более подробно дан процесс аппроксимации отрезками прямых дуги эллипса.

Ключевые слова: САПР, высокоточный стальной фасонный профиль, информационно-лингвистическая интерпретация геометрии.

Работы по созданию САПР технологии изготовления высокоточных стальных фасонных профилей (СФП) ведутся на ОАО «Ижсталь» более тридцати лет [1].

Теоретическая база САПРа неизменна - это понятия внутреннего и внешнего скелета контура, которые могут служить аналогом линии мгновенных центров деформации (МЦД) и обеспечивать равномерность обжатия при проектировании инструмента на каждом переходе при различных технологических схемах изготовления СФП.

В процессе проектирования САПР решаются три основные задачи: построение переходных сечений, расчет МЦД и выбор технологических параметров [2].

Важное внимание на данном этапе модернизации САПР уделено расчету МЦД. Кроме ранее применявшихся для описания СФП, отрезков прямых и дуг окружностей, предлагается употреблять дуги эллипсов. Такая возможность появилась благодаря информационно-лингвистической интерпретации геометрии. Эти методы апробированы и широко используются на кафедре АСОИУ Ижевского государственного технического университета. Теоретической базой метода является интер-

претация евклидовой плоскости как таблицы реляционной БД. При этом плоскость подчиняется второму правилу Кодда и одновременно определяется синтаксическое правило ее построения: сохранение переставной симметрии, определяемой ' 0 1 ^

. Из абстрактных исследований

матрицей

1 °

для получения новой версии САПР использовалось вычисление точек пересечения геометрических примитивов через цепочки преобразования [3].

Для расчета МЦД необходимо решить две задачи: аппроксимировать геометрические примитивы отрезками прямых и рассчитать точки МЦД. Эти точки рассчитываются как пересечение отрезков, направленных по нормали к геометрическому примитиву в данной точке. При этом расстояние между двумя точками, принадлежащими разным примитивам, должно быть минимальным [1].

Аппроксимация отрезков прямых и дуг окружностей не вызывает сложностей, а дуги эллипса не так тривиальна. Рассмотрим ее подробнее.

Нормаль в данной точке эллипса определяется как обратная величина по отношению к радиусу

кривизны. Радиус кривизны К в точке М(х0, у0), как известно из аналитической геометрии, запи-

\ 3/2

2 2

шем как И = а Ь

22 ъ+

4 + и 4

а4 Ь4

ч у

, где а, Ь - длины

полуосей эллипса. Пусть выполняется условие Ь/а=к<1. Значение к=1 рассматривать не будем, так как эллипс в данном случае трансформируется в окружность. Длина отрезка аппроксимации Д

должна быть постоянной: Д = л/Дх2 + Ду2 , где Дх, Ду - элементарное приращение по соответствующей координате. Подстановка в каноническое

22 х2 у2

уравнение эллипса — + —- = 1 не позволяет со-а2 Ь2

блюсти условие Д=еоп81. Использование параметрической системы уравнений, описывающих эл-Г х = аео81

липс, < , приводит к очень сложным рас-

[ у = Ь 8Ш1

четам, при которых шаг изменения угла ^ не является постоянным. Так как необходима аппроксимация не всего эллипса, а его дуги, использование приближенного значения для периметра эллипса также возможно, только с большими вычислительными затратами.

Для решения проблемы предлагается использовать понятие малого угла, применяемого в машиностроении. Малым углом, для которого выполняется условие а—нпа^а, считается угол со значением, принадлежащим промежутку [-п/12, п/12]. Данный промежуток принято считать для таких геометрических примитивов, как отрезок прямой или дуга окружности.

Пусть имеется эллипс, расположенный в центре координат, и его дуга не имеет разрывов в I квадранте. Рассмотрим, какой угол будет малым в окрестностях точки (а, 0). Треугольник, образованный по точкам (0, 0), (а, 0), (аео8 ф, а8т ф), где

ф=п/12, при сжатии вдоль оси ординат с коэффициентом к будет иметь угол ф1 = arctg(ak/ а) < ф. Максимально малым углом будет угол ф2, обу-

, . Ь 8Ш ф2

словливающийся формулой tg п /4 =-2 ,

аео8 ф 2

tg п /4 = ktg ф2 , tgп/4 = tgф^ф2, где ф3=arеtg к.

Отсюда диапазон малых углов эллипса в окрестности точки (а, 0) можно определить как [0, п /12/arctgk]. Для углов, попадающих в данный диапазон, значение шага аппроксимации равно Д - у]02 + Ду2 - Ду. Отсюда выбираем переменный шаг изменения угла й!.

В окрестностях точки (0, Ь) диапазон малых углов относительно оси ординат уменьшится до промежутка [п/2-п arctg к/12, п/2]. Шаг изменения угла также будет переменным, так как

х2 + 02 - Дх .

На промежутке [п/12/arеtg к, п/2-п arctg к/12]

считаем шаг изменения угла ^ в параметрической системе уравнений эллипса постоянным, как для окружности.

Получившуюся погрешность в расстоянии между точками аппроксимации компенсируем точностью расчета точек при определении МЦД.

Разработанные алгоритмы нахождения точек пересечения позволяют быстрее найти точки пересечения эллипса с эллипсом, а также выделить из всех точек пересечений действительно существующие для ограниченных геометрических примитивов. К примеру, пересечение эллипса с эллипсом (окружностью) решается через квадратное уравнение [3], в отличие от применяемого метода Декарта-Эйлера для решения уравнений четвертой степени и связанного с ним метода Кардано-Тартальи для решения кубических уравнений. Уменьшение количества вычислительных операций происходит за счет не только непосредственного расчета, но и - главное! - за счет уменьшения и упрощения различных проверок. Чем сложнее вид геометрических примитивов, тем быстрее работает программа.

Пример работы САПР представлен на рисунке. Из него видно, что аппроксимация эллипса по предложенному алгоритму прошла достаточно равномерно. В программе употреблены конструкторские термины. Линия МЦД имеет некоторые отклонения от реальной, которые исправляются увеличением точности аппроксимации. В тестовом примере в середине контура расположена окружность, которой не бывает на стандартно рассчитываемых высокоточных стальных фасонных профилях. Окружность внедрена в контур, чтобы показать, что и для непредвиденных ситуаций возможно правильное решение.

На первый взгляд, полученная линия МЦД похожа на диаграмму Вороного, но в отличие от нее имеет следующие особенности: точки МЦД находятся всегда по нормали, в геометрическом объекте отсутствуют пересечения отрезков прямых. Даже если такие пересечения есть, линии МЦД никогда не достигают точки пересечения.

Опыт реализации поставленной в работе задачи показал, что использованные методы решения геометрических задач могут быть эффективны для расчета траектории режущего инструмента при

обработке трехмерных объектов в различных плоскостных сечениях.

Литература

1. Автоматизированное проектирование технологии обработки материалов / А.И. Петров, В.С. Тарасов [и др.]. Ижевск,

Удмуртия, 1978. 196 с.

2. Яхнис М.А Автоматизация технологической подготовки производства // Сталь, 2000. № 4. С. 49-52.

3. Ложкин А.Г. Вычислительная планиметрия с вырожденными преобразованиями. Екатеринбург: Изд-во ин-та экономики РАН, 2009. 158 с.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АДАПТИВНЫЙ ПРЕДОБУСЛОВЛИВАТЕЛЬ CPR

В ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ

И.Г. Горелов (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

chronosphere@mail.ru)

Рассмотрена адаптивная модификация предобусловливателя СРЯ применительно к системам, возникающим при аппроксимации систем дифференциальных уравнений в частных производных для задач фильтрации многокомпонентной смеси в пористой среде. На тестовых и реальных моделях газонефтяных месторождений Западной Сибири проведены вычислительные эксперименты в составе российского промышленного комплекса гидродинамического моделирования на параллельных ЭВМ, подтверждающие эффективность алгоритма.

Ключевые слова: CPR-метод, параллельный предобусловливатель, течение вязкой жидкости в пористой среде.

Неотъемлемой частью современных методов добычи углеводородов являются построение и анализ математической модели месторождения, позволяющей сделать прогноз на несколько лет вперед и принять наиболее оптимальную схему разработки. При этом неизбежно возникает необходимость решения задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде. Большие размеры моделируемых газонефтяных пластов, а также высокий уровень детализации требуют использования для расчетов дорогостоящего оборудования. Расчет многих моделей может длиться несколько часов, а иногда и дней. Это приводит к тому, что построение более быстрых методов расчета является важной задачей моделирования.

Одним из наиболее распространенных методов описания течения многокомпонентной смеси в пористой среде является следующая система уравнений в трехмерной области [1]:

ai(W =

= div ^ хс,р?рР

P=0,W,G

с = 1, ...,п Ро

k-^4Vpp-ppgVD)l+ чс

Пс

Ni

= 3,

— pG = PC0G- p0 — pW = PC0W-

Sw + So + SG = 1

= Nw = ?W,SC^w> Bw

So Sg

(1)

N = Nn =

fS0 SG\

Nn = MBo + Ro,GBG>

(bgg+rG'0bb0)'

N3 = Ng =

Искомые величины: N = Nc(t, х, у, г) - молярные плотности компонент; рР = рР(^х,у,г), Р = О, Ш, С - давление в нефтяной, водной и газовой фазах; 5Р = 5Р0:,х,у, г) - насыщенности фаз.

Величины ф, хс,р, k, krP, цр, pP, qc, Pc0G, Pc0w, Bp, rg,0, r0,g - известные функции, нелинейно зависящие от Nc, pP и SP и определенные в [1]; р, g и ^P,SC - известные константы; D -известная функция. Для аппроксимации по времени обычно используется полностью неявная схема, которая при расчете позволяет делать большие относительно других схем шаги по времени. Аппроксимация по пространственным переменным -метод конечных объемов. Задача сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений вида:

F(p,Ni.....Nnj=0, (2)

где p = (p1), Nm = (N¡„) - векторы значений давления и молярных плотностей в блоках сетки. Задача решается методом Ньютона, на каждом его шаге необходимо решать систему с несимметричной матрицей А, состоящей из блоков размера пс х пс:

ах = Ь. (3)

Существует множество методов решения данной системы линейных алгебраических уравнений, в том числе несколько алгоритмов ее предо-бусловливания. Одним из них является так называемый метод Constrained Pressure Residual, или CPR, который основан на особой структуре получающейся матрицы А.

Классический метод CPR базируется на построении по матрице А подматрицы Ap с использованием элементов блоков, соответствующих только переменной давления. Под применением предобусловливателя Mcpr подразумевается следующее:

решаем Apxp = rp, (4)

по xp строим xz (вставляя нули на место неизвестных) и подставляем в