CC BY
68
ФИЗИКА
УДК 530.145
О РЕШЕНИИ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ МЕТОДОМ КАНТОРОВИЧА - ПРИВЕДЕНИЕ К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
В.Л. Дербов, В.В. Серов, С.И. Виницкий*, А.А. Гусев*, О. Чулуунбаатар* **, Э.М. Казарян***, А.А. Саркисян"*
Саратовский государственный университет * Объединённый институт ядерных исследований, Дубна ** Международный университет природы общества и человека «Дубна», Дубна "* Российско-Армянский (Славянский) университет, Ереван, Армения E-mail: derbovvl@gmail.com
Представлена вычислительная схема решения эллиптических задач методом Канторовича для примесных состояний в моделях квантовых точек, квантовых проволок и ям в приближении эффективной массы с ограничивающими потенциалами гармонического осциллятора и бесконечно высокой стенки. Скорость сходимости метода и эффективность предлагаемого комплекса программ, реализующих метод конечных элементов, демонстрируется примерами вычисления спектральных характеристик моделей, а также новых эффектов резонансного прохождения и полного отражения для кулоновского рассеяния, индуцированных аксиальным однородным магнитным полем, кристаллической решеткой или квантовой проволокой. Ключевые слова; эллиптические краевые задачи, метод Канторовича, примесные состояния, квантовые наноструктуры.
On Solving the Low-Dimensional Boundary Value Problems of Quantum Mechanics by Kantorovich Method - Reduction to Ordinary Differential Equations
V.L. Derbov, V.V. Serov, S.I. Vinitsky, A.A. Gusev, 0. Chuluunbaatar, E.M. Kazaryan, H.A. Sarkisyan
The calculation scheme for solving the elliptic boundary problem by Kantorovich method for impurity states in models of quantum dots, wires and wells in the effective mass approximation with parabolic confinement potential of harmonic oscillator and infinitely-high walls is presented. The rate of convergence of the method and the efficiency of the proposed program complex, realized by the finite element method, is demonstrated on examples of calculation of spectral characteristics of the models and new effects of resonance transmission and total reflection for the Coulomb scattering, induced by axial homogeneous magnetic field, crystal lattice, or quantum wire. Key words: elliptic boundary problem, Kantorovich method, impurity states, quantum nanostruc-tures.
Введение
Начиная с работ Борна и Оппенгеймера адиабатический метод применяется для решения различных задач физики. Используется идея приближенного разделения «быстрых» х, и «медленных» х переменных в гамильтониане Н = Н(х f,xs) исходной системы, представимом в виде суммы H(xf,xs) = Ну(х/,х,)+Н,(хх)
гамильтонианов быстрой и медленной подсистем с характеристическими собственными энергиями, подчинёнными условию |= ticof >||= ticos [1]. В общем случае волновая функция ищется в виде адиабатического разложения
© В.Л. Дербов, В.В. Серов, С.И. Виницкий, A.A. Гусев, О. Чулуунбаатар, Э.М. Казарян, A.A. Саркисян, 2010
(х/> X, I Пк) = X „4+| (х.г К+Р ) (х,„ И* , I ).
по параметрическим базисным функциям (х/1 и4+рЗс.5) быстрой подсистемы с неизвестными вектор-функциями (хя,пк+1 |
медленной подсистемы. Усреднение исходного уравнения системы с гамильтонианом /,хЛ) по базисным функциям приводит к системе уравнений по переменным х5 относительно неизвестных вектор-функЦий {х пк+1 \ пк) медленной подсистемы. В математике сходный метод - приведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям для решения двумерных эллиптических краевых задач, который занимает промежуточное положение между точным решением задачи и методом Релея - был предложен в 1935 г. Л.В. Канторовичем [2]. Построение подходящих базисных функций, зависящих от второй переменной как от параметра, а также решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в этом методе предполагает, прежде всего, их подчинение краевым условиям исходной задачи, что и обеспечивает корректное строение приближенного решения. Вычислительная схема и применение метода для решения задачи с краевыми условиями третьего рода даны в [3].
Многошаговое обобщение адиабатического метода, или метода Канторовича, сформулировано в работе [4]. Все независимые переменные х е X подобласти координатного пространства X с Кл трактуются как некоторый набор динамически упорядоченных от быстрых к медленным переменных
Х\->{х/,хЛ' в соответ-
ствии с набором параметрических гамильтонианов подсистем Н- = (х(; хм,..., х,),
составляющих исходный гамильтониан ^—. /у
Н = ^ _, - дифференциальный опера-
тор эллиптического типа. Применение метода пошагового усреднения исходного га-
мильтониана Н позволяет исключать независимые более быстрые переменные (хд,,...,х2)
последовательно, что соответствует многошаговому обобщению адиабатического метода, или метода Канторовича:
= 1 ^)(х,,...,х2-,х])х1[\{х]) = п2 '
2 N
х (хк; дсА_,,..., х,)...х™г (х2, х, )х„г\ (х,).
Оптимизация скорости сходимости метода возможна при подходящем выборе упорядоченного набора гамильтонианов подсистем, характеристические собственные значения которых подчиняются условиям
14тш) 1>14т,1п) |>...>к,(тш)|-
В качестве первого шага в реализации метода ниже представлена вычислительная схема решения двумерных эллиптических задач для примесных состояний в квантово-размерных моделях квантовых точек, квантовых проволок (КПр) и квантовых ям (КЯ) с ограничивающими потенциалами гармонического осциллятора и бесконечно высокой стенки [5, 6]. Скорость сходимости метода и эффективность предлагаемого пользователям комплекса программ СЮРЕУР [7] и КАМТВР
[8], реализующих метод конечных элементов
[9], демонстрируется примерами вычисления спектральных характеристик рассмотренных моделей и сравнением приближенных решений в зависимости от выбора систем координат, гамильтонианов подсистем, быстрых и медленных переменных, базисных функций и краевых условий. Схематическое представление полупроводниковых наноструктур: объемный образец, квантовые ямы, проволоки и точки и соответствующие им зависимости плотности состояний (ПС) от энергии Е даны на рис. 1.
Объемный образец
1
у-и
Энергия
V
Квантовая яма
г
Яма Барьер
Энергия
Квантовые проволоки Квантовые точки
I
Энергия
& в 0 & &
/
£
Энергия
Рис. I. Схематическое представление полупроводниковых наноструктур: объемный образец, квантовые ямы, проволоки и точки и соответствующие им зависимости плотности состояний от энергии Е
Вычислительная схема решения двумерных краевых задач
В приближении эффективной массы' уравнение Шредингера для примесного электрона, находящегося под действием магнитного поля, квантовой точки, квантовой проволоки [10] и квантовой ямы [11, 12], имеет вид
2 Ц\ с ) к | г с
где Е - энергия
<71 -
= (1)
системы, кулоновский
I г с 1= ^х'+у1 + {г-гс)
заряд электрона = -е (позитрона ц\ = +е), д2е - кулоновский заряд примесного центра, гс е [—г0/2,г0/2] - сдвиг заряда ц 2е по оси г
для КЯ (2с = 0 для КТ и КПр), ц=-цщ1в", к -диэлектрическая проницаемость (для СаАз <7 = 1, к = 13.18), ц = Рте - эффективная масса электрона (для ОаАэ ¡3 = 0.061), и (г) -параболический потенциал с частотой со = уг , уг тс2/3 подгоночный пара-
С л-' 41
метр (модель А):
и (г) = иА(г) = мсо2(СМ2 + / ) + С3-2)/2,
Сравнение теории с экспериментом показывает, что если толщина образца в направлении квантования содержит более 10-ти кристаллических слоев, т.е. начиная от 30-ти, 40-ка ангстрем и выше, то можно использовать приближение эффективной массы [5].
/0 =1]слх: + у; ) + - радиус КТ (¿Г. = 1, 4-3=1), КПр (£=1, ^3=0) и КЯ (£=0, ц, = 1). Для сравнения используем модели КТ, КПр и КЯ (С. = 1/2) с потенциалом Щг) (модель Б) :
Щг) = иБ(г) = {0,0 <| г \< г0;+ю,\г \ > г0},
Щг) = Щ(г) = {0,| г |< 2 | > г0/2}.
Направление оси 2 выберем вдоль магнитного поля Н с вектор-потенциалом А = ^Нхг , используем приведенные атомные единицы (а* = 102 А, = Ну* =5.2 мэВ) и безразмерный параметр у*-Н/Н'0, где Я* = 6Тл [6]. Уравнение (1) при фиксированных значениях магнитного квантового числа т = 0, +1,... имеет вид
1
Н2(хг;х,) +я,(х1)-2Е IЧЧх,.х:) = 0,(2)
#2:
1
3 3
8гМг ) + V, (Х/ ) + V , X,),
ё\М/) дх/
1_а а ...
Я, =--——Я,. (х.) — + У,(х,),
о*, охх
где 2Е = р2 + р~, р~, и - асимптотические значения квадратов импульсов гамильтонианов быстрой я2 = я/х,; ) = (х, )Н2(х/; х5)
и медленной н] = н](хх) = Н](дгЛ) подсистем,
V гXхг>Л\) = Яз. (*, Ж/ * ' ) " кулоновский
потенциал в цилиндрических (ЦК) или сферических (СК) координатах:
Я Ч
Для КТ движение ограничено по поперечным и продольной переменным, а в КПр - только по поперечным, поэтому в качестве быстрых и медленных переменных в ЦК выбраны соответственно: хг = р и х, = г, а в СК -
х. -ц и хк=г. Для КЯ движение ограничено только по продольной переменной, поэтому быстрые и медленные переменные в ЦК меняются местами, т.е. х, = г и хх = р, а в
СК остаются теми же, х, -т] и хч=г (рис.2).
При 2С = 0 гамильтониан коммутирует с оператором г-чётности (г -» -2 или г| -> —Г|), решения разделяются на чётные (а = +1) и нечётные (о = -1), а при 2С ф 0 не имеют определённой чётности (а = 0). В таблице при-
ведены параметры коэффициентов и потенциалов, входящих в уравнение (2), и краевые условия задач (4), (5) для КТ, КПр и КЯ в ЦК и СК. В таблице использованы следующие обозначения: V, = ^ - ^п^^ут + ^у2 р2,
где 51ёп((//) = -1 для электрона и sign(6^,) = ■■( 1 для позитрона (дырки),
К. - {со2 + р2){\ - >у)
при р = уггс12, у„,=^-с2(\-П2)~Ы1с+/
при С = СО Г2 , Ь - -2 012/I , / = (С02сГ2) ; Д -граничное условие Дирихле (Ф(д-тш,.г5) = 0, ф( х™* ,*,) = 0, х1'\х™ ) = 0 или г < г - 1 = 0), Н - граничное условие типа Неймана
( Ип!„„ ёц(хг)
= 0 ■
Ип1„ ёгМ./)
— - о
или
11Ш ,1; (.V I • • -= 0.
Параметры коэффициентов и потенциалов, для КТ, КПр и КЯ. в ЦК и
входящих в (2) и краевые условия задач (4), (5) СК (в приведённых единицах)
Параметр ЦК СК
КТ КПр КЯ КТ КПр КЯ (у = 0)
*/ Р Р 2 Пс Чс п,
г 2 Р гс 'с
8ч р Р 1 1 1 1
р Р 1 1 ~п1 1
1 1 Р г2 г2
1 1 Р г2 С г2 г1
1 1 1 г2 Г г
Модель А
У. + а'р2 У, + согрг (ОV К. к. к,.
„ тш / -V Н(ш = 0) Д(/77*0) Н(ОТ = 0) Д(/и*0) д Н(т = 0) Д(т#0) Н (т =0) Д(/н*0) Н(т = 0) Д(т*0)
х, х 7х д Д д II (ш = 0) Д(т#0) Н(от = 0) Д(/77#0) Н(т = 0) Д(т*0)
УХк) со : 0 У, о)2,-; 0 0
X, -> Д д Н(от = 0) Д(тФО) п II Н
х, --> хтах д д д Д д д
Окончание таблицы
Параметр ЦК ск
КТ КПр КЯ КТ КПр КЯ (у = 0)
Модель Б
к. г; 0 V,. К,
х,- н> х7" Н ( /77 = 0 ) Д(/и#0) Н(/и = 0) Д(т*0) д Н (/и = 0) Д(т*0) Н(т = 0) Д (от * 0 )
.г, X™ д Д Д Н(т = 0) Д ( /77 # 0 ) Н (от = 0) Д (от # 0 )
КМ 0 0 к 0 0
хг -> X™" д д Н(,„ = 0) Д ( /77 # 0 ) н н
х, -» х™4 д д д д Д
О — хг=ч-с(мО
Ч=Р
а о
Рис. 2. Системы цилиндрических (:,р,<р) и сферических (>',!] = сое6,<р) координат (при = 0) для КТ, КПр (отличается поворотом вокруг оси у на я/2 от рис. 1) и КЯ и их соответствие быстрым х^ и медленным хн переменным: а-х( = р,(р', хг = г для КПр, х{ =г],<р ; х! = г для КПр. КТ; б - х/ = г,<р ; хх = р для КЯ и х/- = г/,(р\ хх=г для КЯ, КТ
Решение задачи (2) ищем в виде разложения
1=1
по собственным функциям параметрической задачи для быстрой подсистемы
{Н2(х.г> х>) ~ Е,(х,)} ф,(х/; ) =
которые подчиняются краевым условиям в граничных точках интервала
(
Пш
= 0.
,/ф"1' ■ ■
V-' = х""" х"М
./ / " / '
где Л^'"' = 1, Ои"' = 0 при /?7 — 0, сг = +1 или сг = 0 , = 0, £><ш) =1 при = 0, о- = -1 или
т Ф 0 (см. таблицу), и удовлетворяют условию ортонормировки
(Ф, |Ф,)= \ ФД.х/;л^ФДл>;.г1)я,/(.г,)г/т,^;.(5)
а б
Рис. 4. Модель А КЯ при у* = 0, со = 3 и т = 0. Профили в плоскости хг базисных функций Ф|. ЗЬ: а - угловые вытянутые сфероидальные функции при 2С =0; б - модифицированные угловые вытянутые сфероидальные функции при = 0.5
Здесь ¿\(хч) < Ё, (*,)<■•■ - искомый
набор вещественных собственных значений (термов), Ф"'(/?,.) =/Т(Ф{хг\х5 -><»))> где
ВТ - преобразование Фурье. Решения задачи (4), (5) вычисляются с использованием программы СЮРЕУР [7].
На рис. 3-6 показаны базисные функции КТ, КПр и КЯ для моделей А и Б в СК и ЦК.
Виден сдвиг максимума 2тах = 0.4 базисных
функций, соответствующий сдвигу кулонов-ского центра г = 0.4 для модели А - КЯ с
параболическим ограничивающим потенциалом, и разделение базисных функций по четности при г = 0 как для КЯ, так и для КТ
и КПр.
Рис. 3. Модели А КПр и КТ при ш = 0, у= 1 и т = 0. Профили в плоскости гх базисных функций Ф], Ф2: а - угловые сплюснутые сфероидальные функции в СК, б - базисные функции в ЦК
а о
Рис. 5. Модель А КЯ при у = 0, со = 3 и т - 0. Профили в плоскости хг базисных функций Ф|, Ф2, являющиеся решениями параметрической задачи (4) в цилиндрических координатах: а - четные и нечетные решения, гс = 0; б- решения, не имеющие определённой чётности, 2С = 0.4
Рис. 6. Модель Б КЯ при у = 0, Ь = 1 и т = 0. Профили в плоскости хг базисных функций Ф|, Ф2 - решений, являющихся решениями параметрической задачи (4) в цилиндрических координатах: а - четные и нечетные решения, гс=0,
б - решения, не имеющие определённой чётности гс = 0.4
Подставляя разложение (3) в уравнение ) ^ + ' ¿ЯгЛ^Щ2)
(2) с учетом (4) и (5), получаем систему ОДУ &«(*,) ' g[x(xs)
для медленной подсистемы относительно неизвестных вектор-функций
Здесь и(*,) = и,'(*.) и 0(г,) = -0г(дс,)
X ( Л' . Е I = у (.V.! {/ ¡Л ).....(Л-.))
Нх"'(л-Л) = 2£,1х,"(Д-1). (6) ..... &.(*.)"' " " ХМ
и, (X,) = — Е <Х, )8„ + ^^ Щ, (*,),
1 б/ с1 х'г ЭФ,(л;г\хЛ
е,.(х.) сЬс. ах.. А ох, ох,
х'г ЗФ,(*,;*„) Qïï,(xs) = - J —-gs(xJdx,-
/
вычисляются при помощи программы ODPEVP [7]. Решения x(v)(x,) дискретного
спектра: 2<2Е2 <... < 2£„ <... < 2t/n(xmax),
подчиняющиеся краевым условиям (см. таблицу) и условиям ортонормировки
хГ'
¡(ï.(v\xs))r7L('\xMxs)dxs=ô,v, (7)
rain
вычисляются при помощи программы KANTBP [8]. Для многоканальной задачи рассеяния число открытых каналов Na = max j < ymax в (3) определяется условием для непрерывного спектра значений 2 F. > lim ,„„ . U (х !Ч).
если lim __g2Xx™x)/gJx™x) = const, а нормировка решения F(xç) = {х, (лгг)},Л°, :
F«ax ) = F"'5, (хлтах ) + F™ (хлтах )K, (8)
где К - искомая матрица реакции размерностью N0xN0, a F^(xv) и Ох™*) - матрицы размерностью jmax х N0 асимптотик регулярных и нерегулярных решений уравнения (6) на интервале (xsmilx,-i-oo), построенные с учетом диагональной матрицы кулоновских фазовых сдвигов Ô' ={£>". в [11, 12]. Решения непрерывного спектра подчиняются краевым условиям для КЯ в ЦК, xs - р, или
CK [11], xs = r, и для КПр в ЦК, xs = z, или CK [12], х1=г:
dF (х.Г)
dx.
R(xDF«ax)' (9)
где К(х|11ах) - неизвестная несимметричная
матрица реакции размерностью утях х утах,
через которую выражается искомая короткодействующая симметричная К-матрица, вычисляемые при помощи программы КА1ЧТВР [8]. Решения задачи (6), (9), дополненные асимптотиками (8), удовлетворяют соотношениям
о
/",/' = 1 ,...,Ы .
' ' о
Короткодействующая матрица рассеяния 8 определяется через К-матрицу:
= 88^1„„,К = /(1оо ^ = (1„„ + 'К)(100 - гК)-1. (Ю)
Здесь 8 = (1„„ +/К)(1да - /К) - симметричная унитарная короткодействующая матрица рассеяния 8+8 = 88+ = \00 определяет искомую § = ехр(/5')8 ехр(/6е). Для аксиально симметричной КПр, матрицы амплитуд прохождения Т и отражения И, блоки полной матрицы рассеяния [12]
S+S = SS+ =1
/ ~ « \ Т R
R Т
(П)
определяются соотношениями
1
Т T + RfR = 1вн, Т = —(~S+i + S-i)>
(12)
где дальнодеиствующая ч _ - матрица связана
через 8е - кулоновский фазовый сдвиг [13] с короткодействующей 8-матрицей из (10) соотношениями «г = ехр(/£с)8ет ехр(/^') , ст = +1 -г-чётность.
Обсуждение и анализ результатов
Представленные ниже результаты решения краевых задач для уравнений (4) и (6) моделей А и Б (КЯ, КПр и КТ) в сферических и цилиндрических координатах получены с помощью программ СЮРЕУР [7] и КА1ЧТВР [8]. Для вычисления с заданной точностью энергии (основного состояния) с восемью значащими цифрами использовался набор Улта*- Ю базисных функций в (3) и дискретизация искомого решения методом конечных элементов четвёртого порядка точности по шагу сеток на интервалах [хт,п,хтах] и
[х,тт,х;ах].
На рис. 7 показаны зависимости энергии связи электрона от радиуса КТ для моделей А и Б. С уменьшением г0 энергия связи
Ев/Е*к увеличивается, так как уменьшается
область локализации электрона вокруг примесного центра.
Из сравнения кривых 1, 2 и 3 видно, что оценка подгоночного параметра уг = л2!Ъ
обеспечивает качественное согласование моделей А и Б.
На рис. 8 показаны зависимости энергии связи электрона от магнитной длины ан/ав = 1/л/у для моделей А и Б. Из сравнения кривых 1, 4 и 3 видно, что оценка подгоночного параметра уг = тг2/3 обеспечивает качественное согласование моделей А и Б. При увеличении Я (уменьшении аи ) энергия
связи растёт. Это связано с тем, что при больших Н задача всё более приближается к одномерной как для КТ, так и для КПр (рис. 9, 10).
На рис. 11 показаны зависимости энергии связи электрона от величины магнитного поля у =Н/Н*0,Н*0 = 6 Тл для модели А при
со = 0, вычисленные в различных приближениях. В соответствии с изменяющейся симметрией задачи верхние (кривые 2 и 4) и
<0/ав
Рис. 7. Зависимости энергии связи электрона EbIE'r = ~(E{q = 1 )-E0(q = 0))/£" - разности между энергиями электрона в КТ без примеси E0(q = 0) и с примесью (q = 1) ■ от радиуса КТ (1 < г0 < 3): 1 и 2 - с параболическим потенциалом a> = \!rl и со = л1ЦЪг^); 3 - с потенциалом бесконечно высокой стенки, при фиксированном магнитном поле у= !(//' = 6Тл)
Рис. 8. Зависимости энергии связи электрона Ев/Е'к от напряженности магнитного поля ан1ав = У^у , К у <11, при фиксированном г0 = а'д радиусе КТ: / и 4 - примесный электрон в параболической КТ при наличии ограничивающего потенциала с частотой ю = \1гЦ и а = к2/(3г0 ); 2 - примесный электрон без ограничивающего потенциала (со = 0 ); 3 - примесный электрон в КТ с потенциалом бесконечно высокой стенки
Рис. 9. Модель БКТ при /■ = 1 . Профили в плоскости г* волновых функций ¥ основного примесного состояния при значении магнитного поля: а - у' - 1, б- у' =10
а б
Рис. 10. Модель А КТ (КПр) при со = 0. Профили в плоскости гх волновых функций V основного примесного состояния при значении магнитного поля: а - у =1, 6 - у" = 10
-за, •к
100 1000 10000
Рис. 11. Зависимости энергий связи электрона в КПр (модель А при со = 0) от величины магнитного поля у = =6 Тл:
о - энергия связи основного состояния (V = I) Е / Еаи = ЕВ/(2Е'К), вычисленная в различных приближениях: кривая / -с заданной точностью, кривые 2 и 4 - грубое адиабатическое приближение (¡тах- I, = 0) в СК и ЦК, кривые 3 и 5 - адиабатическое приближение (]тш = 1) в СК и ЦК, 6 - оценка ЕВАХ - (1п2 у)/2 с логарифмической точностью; б - первые десять
уровней удвоенной энергии связи ЕВ!Е\ = у' - 2£„,у = 1,...,10
нижние (кривые 3 и 5) оценки приближаются к значению, вычисленному с заданной точностью (кривая У), при у < 1 для разложения (3) по базисным функциям в СК и при у" > 50 - в ЦК. Заметим, что стандартная оценка (кривая 6) с логарифмической точностью [13] примерно в три раза отличается от точной (кривая 1) и требует соответствующего уточнения [15].
На рис. 12 показаны зависимости энергии связи электрона от положения кулонов-ского сдвига гс в КЯ для моделей А и Б, вычисленные в различных приближениях с использованием базисных функций в СК и ЦК. Разложение (3) в ЦК имеет низкую скорость сходимости, что связано с его нефакторизуе-мостью по г, /) и невыполнением краевых условий типа Като в окрестности точки г = как и в окрестности точки г-0 для
КТи КПр [16].
На рис. 13,14 показаны профили волновых функций основного примесного состояния без сдвига и со сдвигом кулоновского центра в КЯ для моделей А и Б. В соответствии с поведением базисных функций (см. рис. 5) на рис. 13 виден сдвиг максимума гтах=0Л волновой функции, соответствующий сдвигу кулоновского центра л. = 0.4 для
модели А КЯ с параболическим ограничивающим потенциалом.
С другой стороны, в соответствии с поведением базисных функций (см. рис. 6) на рис. 14 виден незначительный сдвиг максимума гтах - 0.04 волновой функции, соответствующий сдвигу кулоновского центра = 0.4 для модели Б КЯ с потенциальной
ямой с бесконечно высокими стенками, в отличие от более реалистических моделей со стенками конечной высоты или модели А с параболическим ограничивающим потенциалом. Различие в поведении функций можно использовать для верификации моделей А и Б и др.
Коэффициент примесного поглощения К{а>рИ) в параболической квантовой яме из
ваЛв вычислялся с помощью вариационных функций [14]:
47г2е2
КШ''4 кт^ссо^У где V - объём образца, ё - вектор поляриза-
ции и со
вИ
частота падающей электромаг-
нитной волны, - матричный элемент перехода из начального состояния / в конечное состояние /, - энергия начального состояния, Еу энергия конечного состояния,
1.8 1.6
1.0
— - {Upper ad (jm '
-U™=24>
------(¡™-12>
.....
.... var
----(Lower ad =1»
-0.50
-0.25
0.00
z /a„
0.25
0,50
Рис. 12. Зависимость вычисленной энергии связи модели А параболической КЯ от положения кулоновской примеси zc при q = m = Q, <u = 3 в ЦК и СК: а, б, в - модели Б КЯ с бесконечно высокими стенками при L = 1 в ЦК в различных приближениях: (upper ad) (jmax = 1) - грубое адиабатическое приближение W\\ = 0; (lower ad) (Jmax = 1) - адиабатическое приближение; (jmax = 2, 4, 6, 12, 24) - в зависимости от числа базисных функций jmax; (var) - вариационный расчет [14]; г - интервалы резонансных энергий фотона Ерь = mphh = Ef- Е,, определяющие максимальные значения коэффициента поглощения, K(wpi,), в зависимости от положения примеси zcIL\ отрезки - верхние и нижние адиабатические оценки, крестики - вариационный
расчет [14], кружки - адиабатический расчет
а наличие ¿-функции в (13) обеспечивает закон сохранения энергии при переходах. Полученные верхние и нижние оценки и значения с заданной точностью энергии =Е0-Ев
примеси позволяют уточнить границы интервалов значений резонансной энергии фотона Enh =hcoph - Ef - Et (см. рис. 12, г), в которых будут находиться «пиковые» (максимальные) значения коэффициента поглощения K[o)ph j в зависимости от положения примеси (рис. 15, 16).
Эффективность разработанных методов, алгоритмов и созданных комплексов программ ODPEVP [7] и KANTBP [8] подтверждена результатами численного анализа полученных теоретических оценок погрешно-Рис. 14. Модель Б при q = 1, m = о, L0= 1. Профили в плос- сти решений краевых задач и результатами
кости pz волновых функций V основного примесного со- анализа моделей типа А КПр для следующих стояния модели КЯ в зависимости от значения сдвига г J
кулоновского центра: а - zc = 0, б - zc = 0.4 физических процессов:
а б
Рис. 13. Модель А при q = 1. т = 0, со = 3. Профили в плоскости рг волновых функций V основного примесного состояния модели КЯ в зависимости от значения сдвига кулоновского центра: а - гс = 0, б - гс = 0.4
с*
I
в <
■
Acceptor Donor V
1435 1440 1445 1450 1455
Photon Energy (meV)
Рис. 15. Различие кривых поглощения при переходах акцептор —> зона проводимости (Acceptor) и валентная зона —> донор (Donor) при L = 100 A, mjmc = 9.2
Lightly Doped Heavily Doped
■ ———
■
10" 5x10'' Ю
Impurity concentration (acceptor)
Рис. 16. Зависимость синего смещения для переходов донор-акцептор от концентрации доминирующей (акцептор) примеси: квадраты - результаты эксперимента [17], сплошная линия - результаты расчетов [18], слева - область низких концентраций, справа - область высоких концентраций
а) проведено численное исследование модели резонансного механизма фотоионизации и лазерно-стимулированной рекомбинации атома антиводорода в однородном магнитном поле у-Н/Н0, Н0 = 2.35-Ю5 Т
(рис. 17). Впервые предсказаны (рис. 18, а) эффекты резонансного прохождения и полного отражения разноименно заряженных частиц в однородном магнитном поле [19];
б) выполнено численное исследование модели осевого каналирования одноименно заряженных частиц в эффективном параболическом потенциале с частотой со = 1 / 2 . Выявлен немонотонный характер зависимости от энергии Е столкновения коэффициента усиления К(Е), обусловленный впервые предсказанными резонансными эффектами отражения, и прохождения каналированных ионов [19, 20] (рис. 18, 19).
1,6
1,4
1,2
о 1,0
о
X 0,8
a:
C/l 0,6
0,4
0,2
0,0
X SRR
I I , J,I,., , u .. .„ ... U.i,-L
5,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0
Energy (cm1)
Рис. 17. Зависимость скорости лазерно-стимулированной рекомбинации в состояние 3so на один антипротон по отношению к начальной энергии позитрона Е (при<?=1, m = 0): XSHR при у = 2.595х 10~5 (Н ~ 6 Тл) (сплошная линия), Я„„ при у= 0 во все состояния с N = 3 (пунктирная линия [21])
-|R|!, —■ nf.
0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 Energy (atomic unit)
Рис. 18. Зависимость от энергии: а - коэффициентов прохождения | т |2 и отражения | и |2 при
q=\,m = Q,y = \x\Q \ б - диагональных элементов амплитуд прохождения [ Т и отражения 1, соответствующим первым девяти открытым каналам (;'о = 1-ь9), в зависимости от энергии (2Е) для эффективного заряда д = -6 и а> = 1/2 (в масштабированных единицах [20])
q=-6
а б
Рис. 19. Суммарный коэффициент усиления К(Е) =[ = 0, Е,у) |2 /1 *¥(г = О, Е,у = 0) |2 (сплошная линия) и парциальные вклады (пунктирные линии) открытых каналов /о = 1-10 в зависимости от Е для эффективного заряда д = 6 (а) и д = -6 (б), ю= 1/2 (в масштабированных единицах [20])
if\J\ Л
_ 40
Ш
* 30
Заключение
Перспективы дальнейшего развития и применения метода Канторовича [22], алгоритмов и комплекса программ [23] при решении краевых задач для уравнения эллиптического типа с использованием подходящих параметрических базисных функций связаны с изучением новых механизмов формирования примесных и экситонных состояний моделей квантовых полупроводниковых наноструктур и спектральных, кинетических, транспортных и оптических характеристик: квантовых ям, квантовых проволок, квантовых точек, в зависимости от их строения и внешних полей, а также моделей процессов ионизации и рекомбинации водо-родоподобных атомов в магнитном поле или процессов каналирования ионов в кристалле и квантовой проволоке.
Примечательно, что для задачи непрерывного спектра в моделях КПр имеют место эффекты резонансного прохождения и полного отражения как разноимённо, так и одноимённо заряженных частиц (см. рис. 17), поскольку ограничение по поперечной переменной соответствует наложению однородного магнитного поля по продольной переменной [24] или ограничивающего осцилля-торного потенциала канала кристалла [19, 20] по поперечной переменной.
При кулоновском рассеянии в магнитном поле отношение квадрата модуля волновой функции в нуле к квадрату модуля куло-
новской функции, так называемый коэффициент усиления, имеет немонотонное поведение в зависимости от энергии столкновения (см. рис. 19) при различных значениях магнитного поля или ограничивающего ос-цилляторного потенциала канала кристалла [19, 20], что может приводить при резонансных энергиях к дополнительному увеличению скорости образования экситона в результате поглощения электроном в валентной зоне фотона по сравнению со скоростью образования эксигона в отсутствие магнитного поля [25, 26]. Возможно, что указанные резонансные квантовые эффекты найдут применение при описании транспорта квантового тока в полупроводниковых наноструктурах [6, 27, 28, 29].
Работа выполнена в рамках протокола 3967-3-6-09/11 о сотрудничестве О ИЛИ с РАУ [29] в области динамики конечномерных квантовых моделей и наноструктур во внешних полях и поддержана грантом РФФИ 08-01-00604а и грантом Президента РФ МК-2344.2010.2.
Список литературы
1. Вот А/., Oppenheimer R. Zur Quantentheorie der Molekeln // Annalen der physik. 1927. Bd.84. P.457-484; Born M. Die Verbindung der elektronischen und nuklearen Bewegungen in den Molekülen und den Kristallen // Festschrift Goett. Nach. Math. Pliys. 1951. Kl. I'.1-6.
2. Канторович Л.В.. Крылов В.М. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Гостехиздат, 1952.
3. Власова З.А. О методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Работы по приближенному анализу: Тр. МИАН СССР. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1959. Т.53. С.16-36.
4. Gusev A.A., Chuluunbaatar О., Gerdt V.P., Markovski B.L., Serov V.V., Vinitsky S.I. Algorithm for reduction of boundary-value problems in multistep adiabatic approximation // Proc. of Intern. Conf. on Computer Algebra and Differential Equations (CADE 2009). Pamplona, Spain, 2009; http://arxiv.org/abs/ 1005.2089
5. Bimberg D., Grundmann M., Ledentsov N.N. Quantum Dot Heterostructures. N.Y.: John Wiley and Sons, 1999; Saleh B.E.A., Teich M.C. Fundamentals of photonics, 2nd ed. N.Y.: John Wiley & Sons, Inc., 2007.
6. Miura N, Physics of Semiconductors in High Magnetic Fields. N.Y.: Oxford University Press Inc., 2008.
7. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich
A.G. ODPEVP: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined Sturm-Liouville problem // Comput. Phys. Commun. 2009. Vol.180. P.1358-1375.
8. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. KANTBP 2.0: New version of a program for computing energy levels, reaction matrix and radial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic approach // Comput. Phys. Commun. 2008. Vol.179. P.685-693.
9. Rarndas Ram-Mohan L. Finite Element and Boundary Element Application in Quantum Mechanics. N.Y.: Oxford University press, 2002.
10. Виницкий С.И., Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Дербов
B.Л., Казарян Э.М., Саркисян А.А. Адиабатическое описание примесных состояний квантовой точки в сильном магнитном поле // Материалы 13-й Междунар. школы для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике Saratov Fall Meeting, SFM'09. Саратов, 2009.
11. Vinitsky S.I. Chuluunbaatar O., Gerdt VP., Gusev A.A., Rostovtsev V.A. Symbolic-Numerical Algorithms for Solving Parabolic Quantum Well Problem with Hydrogen-Like Impurity // LNCS. 2009. Vol.5743. P.334-349.
12. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Derbov V.L., Kazaryan E.M., Kostanyan A.A., Sarkisyan H.A. Adiabatic approach to the problem of a quantum well with a hydrogen -like impurity // ЯФ. 2010. T.73, №2. C.352-359.
13. Ландау JI.Д., Лифшиц E.M. Квантовая механика. M.: Наука, 1989.
14. Карнаков Б.М., Попов B.C. Атом водорода в сверхсильном магнитном поле и эффект Зельдовича // ЖЭТФ. 2003. Т.124. С.996-1022.
15. Kazaryan Е.М., Kostanyan A.A., Sarkisyan H.A. Impurity optical absorption in parabolic quantum well // Physica E. 2005. Vol.28. P.423-430.
16. Guzman A. , Sanchez-Rojas J.L., Tijero J.M.G., Sanchez J. J., Hernando J., Calleja E., Mufioz E., Ver gar a G., Montojo M. T,, Gomez L.J., Rodriiguez P., Alrnazan R., Ver du M Optical characterisation of quantum well infra-red detector structures // IEE Proceedings Optoelectronics. 1999. Vol.146. P.89-92.
17. Kazaryan E.M., Kostanyan A.A., Sarkisyan H.A. Optical absorption in GaAs quantum wells caused by donor acceptor pair transitions//J. Phys. Cond. Mat. 2007. Vol.19. P.046212.
18. Chuluunbaatar O. , Gusev A.A., Vinitsky S.I., Derbov V.L., Melnikov L.A., Serov V. V. Photoionization and recombination of a hydrogen atom in a magnetic field // Phys. Rev. A. 2008. Vol.77. P.034702-1-4.
19. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Derbov V.L., Krassovitskiy P.M., Vinisky S.I. Channeling Problem for Charged Particles Produced by Confining Environment // ЯФ. 2009. T.72. C.768-778.
20. Виницкий С.И., Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Дербов В.Л,, Серов В.В., Красовицкий П.М. Эффекты резонансного прохождения и отражения каналированных ионов при наличии поперечного осцилляторного потенциала // Моделирование нелинейных процессов и систем: Материалы Междунар. науч. конф. / ГОУ ВПО МГТУ «Станкин 2009»; под ред. Л.А. Уваровой. М.: Янус-К, 2009. С.402-422.
21. Ryabinina M.V., Melnikov L.A. Laser-induced antiproton-positron recombination in traps // Nucl. Instr. Meth. in Phys. Res. B. 2004. Vol.214. P.35-39.
22. Общероссийский математический портал // URL: http:// www.mathnet.ru (дата обращения: 02.06.2010).
23. О. Chuluunbaatar's home page // URL: http://wwwinfo. jinr.ru/chuka/; Group of Algebraic and Quantum Computations, Alexander Gusev // http://compalg.jinr.ru/CAGroup/Gusev/ (дата обращения: 02.06.2010).
24. Chuluunbaatar О., Gusev A.A., Derbov V.L., Kaschiev M.S., Mardoyan L.G., Serov V.V., Tupikova T.V., Vinitsky S.I. Adiabatic representation for a hydrogen atom photoionization in an uniform magnetic field // ЯФ. 2008. T.71, №5. P.871-878.
25. Ансельм A.M. Введение в теорию полупроводников. M.: Наука, 1978.
26. Усанов Д^А., Сучков С.Г Многочастичные квантовые эффекты в физике твёрдого тела. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.
27. Fu Y., Willander M. Physical Models of Semiconductor Quantum Devices. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1999.
28. Sundqvist P.A., Zhao O.X., Willander M., Boundary conditions for electron tunneling in complex two- and three-dimensional structures // Phys. Rev. B. 2005. Vol.72. P.165103-1-14.
29. Российско-Армянский (Славянский) университет, физико-технический факультет // URL: http://www.rau.am/ faculties.php?l= 1 &add_page= 1 &f_id=6&l 1 =36&I2=37 (дата обращения: 02.06.2010).
