Решение краевых задач шрёдингеровского типа методом Канторовича Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.184.28, 519.632 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2010, вып. 3

С. И. Виницкий, А. А. Гусев, О. Чулуунбаатар

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ШРЁДИНГЕРОВСКОГО ТИПА МЕТОДОМ КАНТОРОВИЧА*

В ряде случаев малочастичные квантово-механические задачи сводятся к решению многомерного стационарного уравнения Шрёдингера [1-6]:

1 д д 1 / л \

Я (г, П)Щг, П) = ЕЩг, П), Н(г, П) = - ——/2(г)— + — (-Л& + и (г, О)) . (1)

Здесь Л^ - самосопряжённый дифференциальный оператор эллиптического типа с частными производными в конечной области X С К^-1, П = {П}£ X - набор независимых переменных, г £ (г1 ,г2) € В С К1 - независимая переменная, X = = В ® X С К - конечная область координатного пространства К^; Е - спектральный параметр, соответствующий энергии квантовой системы. Предполагается, что функции /1(г) > 0, /2(г) > 0, /з(г) > 0, дг /2(г), и (г, П) и дг и (г, П) - непрерывны и ограничены при всех (г, П) £ X. Предполагается также, что самосопряжённый оператор Ь(П; г) = —Л ^ + и (г, П) имеет только дискретный вещественный спектр е(г). Решение Ф(г, П) £ (X) уравнения (1) подчиняется краевым условиям третьего рода:

ЭФ(гьП) _ ^ П) = 0, ПедХиХ, 1 = 1,2; дг

а---^—- — Ь(г)Ф(г, Г2) = 0, П € дХ, г € [г\, г2], (2)

д п

где Ц1, ^1, Ц2, а - вещественные константы; \2 = ~к2(г2) - вещественная функция, зависящая от г2; ц2 + X2 = 0; функции Ь(г), дгЬ(г) - непрерывны и ограничены; п - единичный вектор нормали к границе д^С области X.

В методе Канторовича (МК) решение Ф(г, П) ищется в виде разложения по однопараметрическому набору базисных функций {^(П; г)}^=1 £ТГ ~ Ь2(X):

■4=1

В разложении (3) вектор-функция %(г) = (х1(г),...,х^пах(г))Т - искомая. В качестве базисных функций yj(П; г) выбираем решения параметрической задачи на собственные значения

Ь(П; r)yj (П; г) = ^ (r)yj (П; г), (4)

~ Кг)^з(^;г) = о, О, € дХ, г € [гьг2].

Они образуют ортонормированный базис по набору переменных П £ X для каждого значения параметра г £ [г1 ,г2] £ В:

[ Уг(П; г)^Цj(П; г)йП = Ъ^. (5)

■) X

^ П) = ^2 ”7 Уj(П;г)^(г). (3)

* По материалам доклада на юбилейном семинаре «Вычислительная физика» 29—30 октября 2009 г., С.-Петербург.

Авторы благодарят РФФИ (грант 08-01-00604) за финансовую поддержку работы.

© С. И. Виницкий, А. А. Гусев, О. Чулуунбаатар, 2010

Здесь £1 (г) < ■ ■ ■ < £jпax (г) < ■ ■ ■ £ е(г) - искомый набор вещественных собственных значений, расположенных в порядке возрастания.

В результате проецирования (3)-(5) задача (1), (2) сводится к задаче на связанные состояния (относительно искомых Е, %(г)) или к многоканальной задаче рассеяния (относительно набора искомых {Х2^о }1^°=1, {Хга (г)}^°=1 при фиксированном значении Е) для системы из зта:х обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

Н(г)х(г) = Ех(г), г £ (гиг) (6)

с краевыми условиями третьего рода в граничных точках интервала г £ Пг = (г1,г) :

№ ^1^ - х(г) - \а(г) = О, г = п, 1 = 1, 2, (7)

где I - единичная матрица, Н(г) - самосопряжённый матричный оператор:

ни = -^рМ^+Щг) + (8)

/дг) аг аг }1(г) аг /дг) аг

Собственная функция %(г) задачи на связанные состояния (6)-(8) нормирована:

IIX(r)llo = 1, ||х(^)По = / fi(r)x(r)Tx(r)dr.

Jr 1

(9)

Для многоканальной задачи рассеяния (6)—(8) число открытых каналов No = max j ^ < jmax определяется условием E > limr2^TO Vjj(го), если limr2^TO fo(ro)lf\(ro) = const, а нормировка ограниченного решения Ф(г) = {xio(r)}N°=1 - условием:

Ф(г2) = $reg(r2 ) + Ф1гг(г2)К, (10)

где K - искомая матрица реакции размерностью NoxNo, а $reg (r) и Ф^г(г) - асимптотики регулярных и нерегулярных решений уравнения (6), построенные в [1, 2]. В системе (8) переменные элементы матриц V(r) и Q(r) размерностью jmax x jmax выражаются через решения задачи (4) и их производные по параметру:

v-(г)—v--(r) — . I W--(r)

>X

WM-WMr)-!. (11)

Qij(r) = -Qji(r) = -J л dQ.

Дифференцирование по параметру задачи (4), (5) приводит к неоднородной краевой задаче относительно искомой производной по параметру дг^Уj(П; г) £ТГ ~ L2(X):

WP, г) - е,М) = (*£> - ) „(П; Г), (12)

а-

d\j(О; r) дyj (О; r) db(r) -

-Q.^---- d~r------ = VedX,re [run],

JX

4>,(n;r)aVjln;r)(m =0.

dr

Реализация МК приводит к необходимости разработки эффективных вычислительных схем для решений следующих задач:

1. Вычисление конечного набора собственных значений и собственных функций параметрической краевой задачи (4), (5).

2. Вычисление первой производной собственных функций по параметру из неоднородной краевой задачи (12).

3. Вычисление элементов матриц ^(г) и ~У(г) по формулам (11).

4. Решение задачи на связанные состояния для системы ОДУ (6)-(9).

5. Решение многоканальной задачи рассеяния для системы ОДУ (6)-(8), (10). Разработаны эффективные вариационно-проекционные вычислительные схемы

и экономичные алгоритмы [6, 7] для численного решения задач 1—5 на основе теории Д-матрицы, асимптотических методов и метода конечных элементов (МКЭ). Созданы проблемно ориентированные комплексы программ KANTBP [8, 9], POTHMF [10] и ODPEVP [11].

Комплекс программ KANTBP предназначен для численного решения задач 4 и 5. Построенная численная схема обеспечивает известные оценки следующих погрешностей численного решения на неравномерной сетке Пр.н [г1,г2]:

Е — Е*\ < С1к2р, Их-(г) — Л0 ^ с2кр+\ (13)

где Е- и (г) £ Н2 - искомые собственные значения и соответствующие собственные функции задачи на связанные состояния; Е* и £ Н1 - соответствующие численные решения; Н - максимальный шаг конечноэлементной сетки Прн [г1, г]; р - порядок аппроксимации; а С1 и С2 - положительные константы, не зависящие от Н и р. Подобные оценки верны также для численного решения многоканальной задачи рассеяния, где Х* - собственные значения матрицы реакции, а - соответствующие собственные функции.

Комплекс программ ODPEVP в рамках задач 1—3 предназначен для численного решения однопараметрической задачи Штурма-Лиувилля на конечном интервале г £

£ Пг = (г1,г2):

+ и(г’г^ = ез(г)ъ(г’’г)- (14)

Здесь г £ Пг = [г1 ,г] - вещественный параметр, в- (г) - собственные значения, зависящие от параметра г. Предполагается, что функции д1(г) > 0, д2(г) > 0, д2(г), и (г, г) и дг и (г, г) - непрерывны и ограничены при всех г £ П х и г £ Пг. Параметрические собственные функции у- (г; г) подчиняются краевым условиям третьего рода в граничных точках интервала г £ Пх:

0492+ Ьг(г)уд-(г:;г) = 0, г = 1 = 1,2, (15)

аг

и удовлетворяют условию нормировки

IIу-(г;г)11о = ^ 1Кг)||° =[ дЛФ^2^. (16)

-}Х1

Здесь а1 ^ 0, а2 ^ 0 - вещественные константы, функции Ь1(г) ^ 0, Ь2(г) ^ 0, дгЬ1(г) и дгЬ2(г) - непрерывны и ограничены при г £ Пг, а2 + Ь2(г) = 0.

Представлен экономичный алгоритм вычисления с заданной точностью набора зтах собственных значений, собственных функций и их первых производных по параметру г и интегралов

91(г )

дуДг; г) дуц (г; г)

дг

дг

йг, Яц (г) = - 91(г)уг(г; г)

«/ г\

дЧз(г;г)

дг

3,г. (17)

В МКЭ для численного решения еЦ и уЦ доказаны следующие оценки погрешностей:

вц(г) - е?| ^ слЬ2р, ||уц(г; г) - уЦ^ ^ е2кр+1,

(18)

где вц (г) и уц (г; г) € Н2 - точные решения; еЦ и у? € Н1 - соответствующие численные решения; Н - максимальный шаг конечноэлементной сетки 0,рн [гт[п, гтах]; р - порядок аппроксимации; С1 и С2 - положительные константы, не зависящие от Н и р.

Доказано, что имеет место следующая оценка [7]:

Теорема 1. При заданном значении параметра г погрешности аппроксимаций первой производной по параметру от собственных значений, собственных функций краевой задачи (14), (15) и интегралов (17) ограничены неравенствами:

де^г) _м < с3Н2р, ду^г) ду1^

дг дг дг дг

1цц(г) - Яц1

< саНр+1,

< с5Н2р, (г) - Wгhj | < с6Н2р,

(19)

дгуц (г; г) € Н2, Яц (г) и W^j (г) - точные функции; дгеЦ и дгуЦ € Н

где дгвц (г)

ЯЦц и Whj - соответствующие численные значения; с3, с4, с5 и с6 константы, не зависящие от Н и р.

положительные

Вышеназванные комплексы программ KANTBP и ODPEVP позволяют решать с заданной точностью краевую задачу для двумерного уравнения эллиптического типа в рамках МК с дискретизацией последовательности краевых задач МКЭ. Комплекс программ POTHMF предназначен для численного решения задач 1—3 для угловых сплюснутых сфероидальных функций.

Эффективность разработанных методов, алгоритмов и созданных комплексов программ KANTBP [8, 9], POTHMF [10] и ODPEVP [11] подтверждена результатами численного анализа полученных теоретических оценок погрешности решений краевых задач и результатами моделирования следующих физических процессов в малочастичных квантовых системах.

Проведено численное исследование модели резонансного механизма фотоионизации и лазерно-стимулированной рекомбинации атома водорода в однородном магнитном поле у = Н/Но. Впервые предсказаны эффекты резонансного прохождения и полного отражения разноимённо заряженных частиц в однородном магнитном поле [1, 3].

Выполнено численное исследование модели осевого каналирования одноименно заряженных частиц в осцилляторном приближении непрерывного потенциала взаимодействия каналируемых частиц с цепочками ионов канала кристалла. Выявлен немонотонный характер зависимости от энергии Е столкновения коэффициента усиления скорости ядерной реакции К(Е), обусловленный впервые предсказанными резонансными эффектами отражения и прохождения встречных каналированных ионов [4, 5].

о

1. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Derbov V. L. et al. Calculation of a hydrogen atom photoionization in a strong magnetic field by using the angular oblate spheroidal functions // J. Phys. (A). 2007. Vol. 40. P. 11485-11524.

2. Vinitsky S. I., Chuluunbaatar O., Gerdt V. P. et al. Symbolic-Numerical Algorithms for Solving Parabolic Quantum Well Problem with Hydrogen-Like Impurity // Lecture Notes in Computer Sci. 2009. Vol. 5743. P. 334-349.

3. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Derbov V. L. et al. Adiabatic representation for a hydrogen atom photoionization in an uniform magnetic field // ЯФ. 2008. Т. 71. С. 871-878.

4. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Derbov V.L. et al. Channeling Problem for Charged Particles Produced by Confining Environment // ЯФ. 2009. T. 72. C. 768-778.

5. Виницкий С. И., Гусев А. А., Чулуунбаатар О. и др. Эффекты резонансного прохождения и отражения каналированных ионов при наличии поперечного осцилляторного потенциала // Материалы международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем», под ред. Л. А. Уваровой, ГОУ ВПО МГТУ “Станкин 2009”, М., 2009. Т. 12. C. 402-422.

6. Чулуунбаатар О. Вариационно-итерационные алгоритмы численного решения задачи на связанные состояния и задачи рассеяния для систем связанных радиальных уравнений // Вестн. РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2008. № 2. С. 40-56.

7. Чулуунбаатар О. Алгоритм численного решения параметрической задачи Штурма-Лиу-вилля и вычисления производных от решения по параметру методом конечных элементов // Вестн. РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2009. № 2. С. 54-65.

8. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Abrashkevich A. G. et al. KANTBP: A program for computing energy levels, reaction matrix and radial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic approach // Comput. Phys. Commun. 2007. Vol. 177. P. 649-675.

9. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Vinitsky S. I. et al. KANTBP 2.0: New version of a program for computing energy levels, reaction matrix and radial wave functions in the coupled-channel hyperspherical adiabatic approach // Comput. Phys. Commun. 2008. Vol. 179. P. 685-693.

10. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Gerdt V. P. et al. POTHMF: A program for computing potential curves and matrix elements of the coupled adiabatic radial equations for a hydrogen-like atom in a homogeneous magnetic field // Comput. Phys. Commun. 2008. Vol. 178. P. 301-330.

11. Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Vinitsky S. I. et al. ODPEVP: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined Sturm-Liouville problem // Comput. Phys. Commun. 2009. Vol. 180. P. 1358-1375.

Статья поступила в редакцию 19 марта 2009 г.