О РЕШЕНИИ МОДЕЛЬНОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ES Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 3.

УДК 517.9 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-3-37-49

О решении модельного кинетического уравнения ES

О. В. Гермидер, В. Н. Попов

Гермидер Оксана Владимировна — кандидат физико-математических наук, Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова (г. Архангельск). e-mail: o.germider@narfu.ru

Попов Василий Николаевич — доктор физико-математических наук, Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова (г. Архангельск). e-mail: v.popov@narfu.ru

Аннотация

В статье описан метод нахождения решения линеаризованного эллипсондально-статнс-тического кинетического уравнения (ES) с однородным граничным условием на основе полиномиальной аппроксимации Чебышева в рамках задачи моделирования осевого течения разреженного газа в длинном канале. Канал образован из двух цилиндров, имеющих общую центральную ось. В качестве модели отражения молекул газа от цилиндров использовано диффузное отражение Максвелла. Течение газа обусловлено малым по абсолютной величине градиентом давления, направленным вдоль оси цилиндров. Проведен расчет массового потока газа в канале в зависимости от параметра разрежения и отношения радиусов цилиндров. Неизвестная функция, аппроксимирующая решение линеаризованного уравнения ES, представлена в виде частичной суммы разложения по многочленам Чебышева первого рода. Путем выбора узлов интерполирования и применения свойств конечных сумм многочленов Чебышева задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в этих узлах. Получены выражения массовой скорости газа в канале и потока массы газа через значения частичных сумм рядов многочленов Чебышева.

Ключевые слова: многочлены Чебышева первого рода, эллипсоидально-статистическое кинетическое уравнение, полиномиальная аппроксимация.

Библиография: 15 названий. Для цитирования:

О. В. Гермидер, В. Н. Попов. О решении модельного кинетического уравнения ES // Чебы-шевский сборник, 2022, т. 23, вып. 3, с. 37-49.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 3.

UDC 517.9 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-3-37-49

On the solution of the model kinetic equation ES

O. V. Germider, V. N. Popov

Germider Oksana Vladimirovna — candidate of physical and mathematical sciences, M. V. Lomonosov Northern (Arctic) Federal University (Arkhangelsk). e-mail: o.germider@narfu.ru

Popov Vasily Nikolaevich — doctor of physical and mathematical sciences, M. V. Lomonosov Northern (Arctic) Federal University (Arkhangelsk). e-mail: v.popov@narfu.ru

Abstract

The article describes a method for finding a solution to a linearized ellipsoidal-statistical kinetic equation (ES) with a homogeneous boundary condition based on the Chebyshev polynomial approximation in the framework of the problem of modeling the axial flow of a rarefied g as 111 a long channel. The channel is formed from two cylinders having a common central axis. Diffuse Maxwell reflection is used as a model for the reflection of gas molecules from cylinders. The gas flow is due to a small absolute value of the pressure gradient directed along the axis of the cylinders. The calculation of the mass flow of gas in the channel is carried out depending on the rarefaction parameter and the ratio of the radii of the cylinders. The unknown function approximating the solution of the linearized ES equation is represented as a partial sum of the expansion in Chebyshev polynomials of the first kind. By choosing interpolation nodes and applying the properties of finite sums of Chebyshev polynomials, the problem is reduced to a system of linear algebraic equations with respect to the values of the desired function at these nodes. The expressions for the g as mass velocity in the channel and the g as mass flow are obtained in terms of the partial sums of the series of Chebyshev polynomials.

Keywords: Chebyshev polynomials of the first kind, ellipsoidal-statistical kinetic equation, polynomial approximation.

Bibliography: 15 titles. For citation:

O. V. Germider, V. N. Popov, 2022, "On the solution of the model kinetic equation ES" , Cheby-shevskii sbornik, vol. 23, no. 3, pp. 37-49.

1. Введение

В работе рассматривается модельное эллипсоидально-статистическое кинетическое уравнение [1], которое применяется в динамике разреженного газа, в частности, при описании процессов переноса газа в каналах микро- и наноэлекторонных систем [2]-[7]. В настоящее время для решения модельных кинетических уравнений широко применяются методы дискретных ординат и скоростей [3], [8], конечно-разностные методы [6], [7]. Однако при реализации данных методов возникает необходимость использовать достаточно подробную сетку [6], [7]. Последнее условие приводит к большому росту вычислительных затрат при расчете параметров течений газа в канале. Для уменьшения вычислительных затрат моделирования течения

газа в длинном концентрическом канале в настоящей работе предлагается метод, основанный на разложении искомой функции трех переменных в ряд по ортогональным многочленам Чебышева первого рода для каждой переменной. Выбор данной системы многочленов обусловлен устойчиво высокой скоростью равномерной сходимости разложения при увеличении порядка разложения [9], [10]. Получены выражения для частных производных функции и ее интегралов через коэффициенты частичной суммы ряда Чебышева. Краевая задача сведена к решению системы линейных уравнений, записанной в матричной форме, где в качестве узлов интерполирования выбраны точки экстремума и нули многочленов Чебышева. Вычисление коэффициентов разложения при этом выполнено с использованием свойств конечных сумм в этих точках. При таком подходе к построению решения не только минимизируется погрешность интерполирования, но и минимизируется влияние ошибок округления при вычислении значений искомой функции в узлах. Основной расчетной величиной является приведенный поток массы газа. Полученное для него выражение записывается через найденные значения функции в узлах.

2. Постановка задачи

Рассмотрим течение разреженного газа в длинном канале, образованным двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и К^ (К^ < К^), под действием заданного градиента давления, направленного вдоль оси канала х'. Считаем, что цилиндры поддерживаются при постоянной температуре. Полагаем, что длина канала Ь' ^ И', где И' = 2(К2 — ~ гидравлический диаметр [8].

Состояние газа в точке г' определяем функцией распределения молекул газа /'(г', V), где V - молекулярная скорость газа. В качестве масштабов длины, скорости, концентрации, температуры, функции распределения выберем соответственно величины: И', (3-1/2, п'0, Т0, п'о/З3/2, где Р = т'/(2квТ0), кв - постоянная Больцмана, т' - масса молекул газа, п'0, Т0 - концентрация, температура газа в некоторой точке, принятой за начало координат; р' = п'квТ'. Тогда для безразмерных величин имеем следующие соотношения

Г = Г' р = % р = К>2 Г = /'

г = ТУ , К1 = ТУ, П2 = ТУ, 1 = ТГ

К 1 К 2 К ^3/2'

С = ¡3и = ¡31/2и', я = ^я', п = 4,Т = 1.

Ро Щ

Считаем, что безразмерный градиент давления является малым по абсолютной величине,

т.е.

Ор = Ъ 1^1 « 1.

(1р ¿г1

Учитывая, осесимметричный характер течения газа в канале, введем цилиндрические координаты г = (р, г^, гх) в конфигурационном пространстве и в пространстве скоростей С = ( С±,СФ,С2). В линейном приближении имеем

р(г) = 1 + Срг, /(г, С) = /о(С) (1 + Ср(г + Н(р, С))), /о(С) = к-3/2 ехр (—С2) ,

и2(р) = ^ У ехр (—С2) СКр, С)ё3С. (2)

к3

Основной расчетной величиной является приведенный поток массы газа

Я2

4

(Щ — ^2)

= Лу2-I (Р)РАР. (3)

Дх

Для нахождения h(p, C) используем уравнение ES [1]

(JTp COS^ - Щ + Cz + P^h(P, C) = =33/2 J К( C, C') exp(-C/2)h(p, C')d3C', (4)

К(C, C') = 1 + 2C'C + 3 (c/2 - 2) (c2 - 2) -

- 2(Pr-1 - 1) £ fc/cj - 3c'2Sia fCiCj - 1c2Sia . (5) i,j=1

где 5 - параметр разрежения газа, bij - символ Кронекера, Pr - число Прандтля, которое для одноатомного газа равно 2/3. В частном случае Pr = 1 модель ES сводится к модели Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК, BGK) [11].

Умножим левую и правую части уравнения (2) на =-1/2Cz exp(-С|) и проинтегрируем по cz z

Введя обозначение

Zi(p, й, Ci) = -1= У exp(-Cz2)Czh(p, C)dC

(6)

где Q = cos ф^ ф1 £ [0, =} и ф2 = 2= -ф1; записываем выражение (2) через Zj,(p, Q, С±) (i = 1, 2)

+ 2 1 1 г 2 С 1

' )С±Г .-Zi(p,C±, Ci)d CidC±. (7)

Uz(p) = 1 / exp(-С2)C± V / *-Zi(P,C±, Ci)dCidC±.

К J л J л /1 ("2

о i=1-i у1 - (,i

ф = ф1

idZ1 dZ1 1 -С?1 „ , . ~ v

{-W(1 + acT^) ^ +1 ■+ MZ1("' ^1 =

= Pri (Uz(p) + (p) + - ^С^Р)) , (8)

ф = ф2

(^ + f ^ + ) =

= Pr^ (Vz(P) + (p) - ^-ClС^(р)) . (9)

Здесь

2 1

^1(p) = 1 -Pr f exp(-С2)C2 f r^Zi(p,C±, (i)dQdC±, (10)

о i=1-1 \!1 - C2

2 1

1 Pr-1 2

^(p) =-=- J exp(-Cl)C1^ J (-1)i+1Zi(p, Ci, Ci)dCidCi. (11)

о i=^1

Учитывая, что (2 = С1) перепишем уравнение (9) и функции (7), (10) и (11) в виде

дг21 — (2\ _ , 1 , „ ^ ^ ^ ^

удр^^1 + ж; -¡г)С±+ 1 +Рт522(р ,СьС±) =

= Рт6 (и,(р) + (1С±а1(р) — у/1 — (2С±<Т2(р)) , (12)

2 1

иг(Р) = - i ехр(—С2±)С\ V i *-гг(р, С1,С±)ё(1ёС±,

К ' л ' Л /1 ("2

о 1=1-1 \] 1 — ^ г

(13)

_1 2 1 а1(р) = 1—РГ- / ехр(—С1)С\ —^=гг(р, (1,С±Щ^С±, (14)

К 0 ¿=1^ V1 — С1

2 1

1 — Pr—lf 2 е

<Т2(р) = —к- У ехр(—С2 )С2£ у (—1)^+1гг(р, С1 ,С±)ёС^С±. (15)

о ^-1

Пусть 2 (р, С, С±) = г1(р, С1,С±) + г2(р, (1, С± )ш( = Тогда

1

иг(р) = 1 I ехр(—С2±)С±/ 2(р, С, С±)<1(<1С±. (16)

о -1 ^ ^

Складывая левые и правые части уравнений (9) и (12), получаем

/ д7 д7 1 — ¿2\

+ С± + 1 + Рг57 (р, С С±) = 2Рг5 (иг (р) + (С±а(р)), (17)

где

1

°(Р) = <п(р) = Г" / ехр(—С2)С2±1 -г= 2(р,(,СМ&С±. (18)

о

В качестве граничного условия на цилиндрах используем модель диффузного отражения Максвелла [12]. В этом случае

г(Ег,С,С±) = о, (—1)% < о. (19)

Таким образом, определение безразмерной массовой скорости газа иг согласно (16) и вычисление потока массы газа в канале по формуле (3) сводится к решению уравнения (17) с граничным условием (19).

3. Решение краевой задачи

Представляем 2(р, (, С±), где р € [Щ, К2\, ( € [—1, 1] и С± € [0, в виде частичной

суммы ряда полиномов Чебышева первого рода (Т^(х^) = еов^'г агееввх^), (^ = 0,П{)} [13], [14] для каждой переменной Хг € [—1, 1] {щ € N ^ = 1, 3)'

2р — К2 — К1 С± — 1

Х1 = К2 — К1 , Х2 = (,Х3 = С7Т~1 ■ (20)

В результате

г(Р,С,С±) = ^ ак1к2кзТк1 (Ж1 )Тк2(х2)Ткз(ха) = Тх(ж1) ® Т2(х2) ® Т3(ха)А, (21) к4=о

г=1,а

где Т1 - матрица-строка размером 1 х Щ (Щ = щ + 1 г = 1, 3):

Т(хг) = (Т0(хг)Тг(х{) ...Тп-1(хг)Тп.(хг)), (22)

с помощью ® обозначается операция умножения Кронекера двух матриц, А - матрица-столбец, имеющая размер П1П2Па х 1 и составленная го коэффициентов ак1к2к3,'-

А = ( аооо

а001 . . . аП1П2Пз — 1 аП1П2Пз У . (23)

Получим выражения для производных от полиномов Чебышева. Учитывая, что из определения полинома Чебышева нулевой степени То(х^) = 1 вытекает

¿То(хг)

&хг '

а для производной от полинома Чебышева степени > 0 выполняется соотношение [13]

^ (хО Л-1

2]г Ткг (хг), 1 = 1, 2,

3г—кг~ нечет.

где под ^ понимаем сумму, в которой первое слагаемое умножается на 1/2, имеем

ёТ-

-1 = Б1Т1, г = 1, 2, (24)

ёхг

где - верхняя треугольная матрица размером Щ х Щ

п , . . Г 32, Л = ° п нечет. 1,3132 \ 2]2 31 > 0, 32 - 31 > 0, 32 - 31 нечет.

Здесь и ниже нумерацию строк и столбцов матриц начинаем с нуля.

= х2

нальности полиномов Чебышева [13]

2 Г Тг(х2)Т3(х2) л/1 - х2

где - символ Кронекера,

ёх2 = (26)

12

2, = 0,

1' =|2'

1 \ 1 г> 0.

Для вычисления интегралов (16) и (18) по переменной С± применяем метод ОепвЬаду-Сигйв [15], записывая эти интегралы в виде

Рш,кз = У ехр(-С2 )С1Ткз(ха)ёС± = о

1

( (1 + ха)2 N (1 -ха) *+2 ^ (1 -ха)2)

= 2 1 + ха)+2 ехр (- (1 + ха)2 ) Ткз(ха)ёха, г = 1, 2, ка = 0, па- (27)

На основе (26) в (27) для (16) и (18) имеем

2 и, = Тх ® Ро ® Р2А, (28)

2аг = (1 - ГГ—1) Тх ® Рх ® Р3А, (29)

где

1 1 2 Г хг 2 Г 1

Р1 = - Т2(х2)ах2 = - Тг(х2)Т2(х2)dх2 = (25ог, 6ц, 0 ... 0, 0), г = 0,1,

- 1 -х2 - 1 -х2

Р2 Р3

Выражая переменные р, ( и С± из (28) через х^ х^ и ха, записываем интегро-дифференциальное уравнение (17) и граничное условие (19) в матричной форме. Подставляя (21), (28) и (29) в (17) и (19) и учитывая (24), получаем

В(х1,х2,ха)А = -1, (30)

Тх(±1) ® Т2(х2)Тз(ха)А = 0, ±х2 < 0, (31)

где

4(1 + ха)

В(х1, х2, ха) = -- (х2Тх(х1)Бх ® Т2(х2) +

1 - ха

+ х1 +(2№х-Д1) Тх(х1) ® (Т2(х2)°2)) ® Т3(ха)+

+ Рг£Тх(х1) ® ( Т2(х2) ® Тз(ха) - Ро ® Р2 - ^ - ^ )х2(1 + ха)Рх ® РЛ , (32)

1 - ха

х1

Тп1 (х1) на отрезке [-1; 1], для х2 и для ха — корни Тп'(х2) и Тп' (ха) на этом отрезке:

/-(щ ъ-

х1 кл = сов - , к1 = 0, п1, (33)

, V Щ1 /

хг,к1 = соЧ -(2Щ/-л+ ^ ) , кг = 0,Пг, ¿ = 2, 3. (34)

Подставляя (33) и (34) в (17), приходим к системе линейных п^^п^-уравнений, в которой, полагая, что п2 - нечетное число, вместо уравнений в узлах х^о, х2,к2 (й2 = п'2/2,п2) записываем уравнения (31):

Тх(-1) <В> Т2(х2,к2) ® Тз(ха,кз)А = 0, йа = 0,па. (35)

х1, п1 х2, к2 2 = 0, п2/2 - 1

Тх(1) ® Т2(х2, к2) ® Тз(ха,кз)А = 0, йа = 0,па. (36)

п1 п2 па

КА = Е, (37)

где К - квадратная матрица размера п^п^п'з х п^п^п'з, в которой строки с индексами = к2п'г + кз (к2 = п'2/2,п2, кз = 0,пз): Кл = Тх(-1) ® Т2(х2,к2) ® Т3(х3,кз), с индексами ]2 = щп'2п'3 + к2п'3 + кз (к2 = 0,п'2/2 - 1, кз = 0,п3): К^ = Тх(1) ® Т2(х2,к2) ® Тз(хз,к3), для остальных строк этой матрицы К^ = Б(хх}к1,х\}к2 ,х\,к3), Р - матрица-столбец размера п'х^п'з х 1 единичными элементами за исключением Р^1 = Р^2 = 0. Используя обозначение

2 = ( Zооо, 2оо1 ... 7П1П2Пз-\Znm2n3)Т , 7к1к2к3 = %(рк1 ,С±,к2, (к3), получаем выражение для коэффициентов в (21) через значения функции % в узлах (33) и

(34):

А = 3х-1 ® Их-1 ® Ох-12, (38)

где 3х, Их и Ох - квадратные матрицы с элементами = Т^(х1,к1) Нк2^2 = Т^2(х2,к2),

<^к3,]3 = Т33 (хз,к3), Зг, кг = 0, Щ, 1 = 1, 3.

Найдем обратные матрицы 3х-\ Их-1 и Ох-1- Для этого рассмотрим суммы

2 п1

91 (з,1) = К;)ТкК), 3,1 = 0~т, (39)

п1 к=0

2

= 0, п, г =

2 V—> _

9г(з, I) = —Г^^Тк (хг,3 )Тк (хь1), 3,1 = 0,пг, 1 = 2, 3, (40)

п + 1 к=о

где двойной штрих у знака суммы (39) означает, что первое и последнее слагаемое умножается 1/2

Подставляя (33) и (34) в Т^ (хг) = cos(ji агссовх^, (31 = 0,щ), имеем

Тк1 (хг,1 )=сов(Жк1(п1- - ^ , п,к1 = МТ, (41)

V 2п>

Ткг(хг,п) = соЦ^^^г^-) , К, кг = 0, пг, г = 2, 3. (42)

Учитывая, что

п { п 3 =0,2

$п(з) = 2 с0в(Зкк) = \ 8т(зж) вт(зпж)

к=о I У / л , 0 <,]< 2,

к=о ^ 1 - соъ(зк)

и подставляя соответственно (41) и (42) в (39) и (40), получаем

11 - зЛ , „ 11 + 31

пт(11,31) = + ^ (2 - ,

/ п -ч (к - зЛ . (2щ - (к + + 1

п19г(lí, Зг) = ¿Ц ^ J + ¿п<

п

- (сов (п(Iг - + сои (ж(2щ - (Iг + + 1))

( 8щ (0)+ Зт (2)

п1

= 2, 1 = 1 = 0,

1( 1, 1) =

^ = 1, 0 < 11 = л <п1, п1 1 1 1

0, 1 = 1, 28щ (0)

-^ = 2, к = 31 =п1,

п1 1 1 1

( «п'. (0)

9г(Iг, *) = < = 1, 0 " к = * " г = 1, 2. (44)

I 0, и = зг,

Из (43) и (44) следует, что обратные матрицы 1х—1 = 2^хт)"/п1, Нх —1 = 2(НхТ)'/п2 и Ох-1 = 2(ОхТ)'/пЗ, где верхний индекс Т у матриц Jх, Нх и Ох обозначает операцию транспонирования, а одиночный штрих у матриц НхТ и ОхТ - умножение их строк с нулевым индексом на 1/2 двойной штрих у матрицы JхГ - умножение строк и столбцов с индексами 0, п1 1/2

Используя (38), приходим к уравнению относительно Z,

WZ = Е, (45)

где

W = К^х-1 ® Нх—1 ® Ох-1) = 4Wх + 5Рг1 - 5Рг№ + Wз),

Wх = Ели о (JхDх Jх—1 ® 1а,2 + ^х ® (Н2 о НхБ2Нх —1)) ® 1а,з,

W2 = Ели о (1х ® Нз) ® О2,

Wз = Ели о (1х ® Н4) ® Оз,

где 1х и I - единичные матрицы размерами Щ х п1 и п^Щп^ х пЩп'а, соответственно; 1^х, 2 и з - диагональные матрицы:

1 1 + ха

1(1,1,к1,к1 = -, 0,„-ТТГ-, I <1,2,к2,к2 = х2,к2 , Ь,а,к3,к3 = ^-, ^г = 0,п^ Я = 1, 3;

х1,к1 + 2(Ё2 - Л1) 1 - ха,к3

Ели - квадратная матрица размером п1 п2 х п^п^, все элементы которой равны 1, за исключением нулевых строк с индексами к (к = п2/2, п^ и щп2 + к (к = 0, п2/2 - 1; Н2 - квадратная матрица размером п2 х п2 с равными столбцами Н2,к,з = 1 - х2 к 0', к = 0,п2), Нз -

п2 х п2 1 О2 па х па

равные строки Р2Ох —^ Н4 = У2(Нх — VI - матрица-столбец с элементами = 1а,г,к1М (г = 2, 3), (Нх-1)1 - матрица, которая является первой строкой Нх—1 при нумерации от нуля, Оз = VзPзGl — 1. Отметим, что применение выражения (38) для коэффициентов в (21) через значения функции 2 в узлах (33) и (34) со свойством произведения Кронекера позволяет получить диагональные матрицы 1а,х, 1а,2 и !а,з-

Решение уравнения (45) находим Ьи-методом. Зная элементы матрицы Z, восстанавливаем

и, (р):

2 и,(р) = Тх(2 ^Д2-^1) Jх—1 ® Нзо ® О2о ® Z, (46)

где Нзо и ®О2о - матрицы, которые являются соответственно сроками Нз и ®О2 с индексом 0

Подставляя (46) в (3), имеем

^м = Р4Jх-1 ® Нзо ® О2оZ, (47)

// 1_ё \ ё

Тх(х1) (х1 Г+д + 1) ёх1, К = д".

-1 2

Учитывая, что [15]

2х1 Тг(х1) =Тг+1(х1)+Т|г-1|(х1), I Тг(х1)^1 = \ 1 - ¿2, г ^ (48)

1

0, -

1

2

приходим к следующим выражениям для элементов матрицы-строки P4:

2

P4

1-Я

(1

1- г2'

1

+

1

1 + Я \1 - (* - 1)2 1 - (г + 1)2

¡2 )•

г — че т.,

(49)

4. Анализ результатов

Для проверки адекватности полученнвк результатов (47) проведем сравнение с аналогичными результатами, представленными в [8] для случая Pr = 1. Расчеты проводились с использованием системы компьютерной алгебры Maple. На рис. 1 показано относительное отклонение dr величины приведенного потока массы газа, расчитанного по формуле (47) с использованием найденных значений элементов матрицы Z при щ = 15 (г = 1, 3), от его величины, полученной

dr

выполнено с применением кубического сплайна по точкам, которые отмечены на этом рисунке. Видно, что результаты настоящей работы в целом хорошо согласуются с результатами из [8].

dr

dr

Jm при Pr = 2/3 от его величины при Pr = 1. Расчеты выполнены по формуле (47) при щ = 15

Г г = 173).

dr

величины Jm при Pr = 1

dr

величины Jm при Pr = 2/3 от значения Jm при Pr = 1

Представленные результаты тестовых расчетов показывают, что предложенный метод решения модельного кинетического уравнения ЕБ, обеспечивает хорошую точность счета в ши-

радиусов цилиндров.

Рис. 3 и 4 иллюстрируют сходимость результатов вычислений, соответственно при Рг = 1 и Рг = 2/3. Количество узлов, которое использовано, составляет п = 15 (г = 1, 3) и п = 7 (г = 1, 3) для каждого рассматриваемого случая.

Рис. 3: Относительное отклонение dr величины Jm при щ = 7 от значений Jm при щ = 15 (г = 1, 3) для Pr = 1

Рис. 4: Относительное отклонение dr величины Jm при щ = 7 от значений Jm при щ = 15 (г = 1, 3) для Pr = 2/3

5. Заключение

Методом полиномиальной аппроксимации Чебышева получено решение эллипсоидально-статистического кинетического уравнения в рамках задачи об изотермическом течении разреженного газа в длинном канале, образованном двумя цилиндрами, при полной аккомодации молекул газа на стенках этого канала. Реализация метода выполнена с использованием свойств сумм многочленов Чебышева в точках экстремума и нулей этих многочленов. Вычислены значения массового потока газа для широкого диапазона изменения значений параметра разрежения. Показано, что применение многочленов Чебышева при исследовании течений газа дает возможность эффективно находить интегральные характеристики этих течений с последующим их анализом.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Holway L.H. New statistical models for kinetic theory: Methods of construction // Physics of Fluids. 1966. Vol.9. P. 1658-1673.

2. Andries P., Bourgat J-F., Le Tallec P., Perthame B. Numerical comparison between the Boltzmann and ES-BGK models for rarefied gases // Comput Methods Appl Mech Eng. 2002. Vol. 191, № 31. P. 3369-3390.

3. Graur I.A., Polikarpov A.P. Comparison of different kinetic models for the heat transfer problem // Heat Mass Transfer. 2009. Vol. 46, № 2. P. 237-244.

4. Belyi V.V. Derivation of model kinetic equation // Europhysics Letters. 2015. Vol. 111. P. 40011.

5. Chen S., Xu K., Cai Q., A comparison and unification of ellipsoidal statistical and Shakhov BGK models // Adv. Appl. Math. Mech. 2015. Vol. 7. P. 245-266.

6. Ambrus V. Е., Sharipov F., Sofonea V. Comparison of the Shakhov and ellipsoidal models for the Boltzmann equation and DSMC for ab initio-based particle interactions // Computers and Fluids. 2020 Vol. 211. P. 104637

7. Фролова А.А., Титарев В.А. Кинетические методы решения нестационарных задач со струйными течениями // Математика и математическое моделирование. 2019. Vol. 4. Р. 34-51.

8. Breviannis G., Varoutis S., Valougeorgis D. Rarefied gas flow in concentric annular tube: Estimation of the Poiseuille number and the exact hydraulic diameter // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2008. Vol. 27. P. 609-622.

9. Baseri A., Abbasbandv S., Babolian E. A collocation method for fractional diffusion equation in a long time with Chebvshev functions // Applied Mathematics and Computation.2018. Vol. 322. P. 55-65.

10. Шильков А.В. Разложение оператора рассеяния уравнения переноса частиц в ряд по сферическим тензорам // Препринты 1111 \! им. М.В.Келдыша. 2018. № 249. 28 с.

11. Bhatnagar P. L., Gross Е. P., Krook М. A. Model for collision process in gases // Physical Review. 1954. Vol. 94. P. 511-525.

12. Cercignani C. Mathematical Methods in Kinetic Theory. - New York: Plenum Press, 1969. -227 p.

13. Mason J., Handscomb D. Chebvshev polynomials. - Florida: CRC Press, 2003. - 360 p.

14. Boyd J. Chebvshev and Fourier Spectral Methods, second ed. - New York: Dover, 2000. - 668 p.

15. Clenshaw C.W., Curtis A.R. A method for numerical integration on an automatic computer // Num. Math. 1960. Vol. 2, P. 197-205.

REFERENCES

1. Holwav, L.H., 1966, "New statistical models for kinetic theory: Methods of construction", Physics of Fluids, vol.9, pp. 1658-1673.

2. Andries, P., Bourgat, J-F., Le Tallec, P. к Perthame, В., 2002, "Numerical comparison between the Boltzmann and ES-BGK models for rarefied gases", Comput Methods Appl Mech Eng., vol. 191, no. 31. pp. 3369-3390.

3. Graur, I.A. к Polikarpov, A.P., 2009, "Comparison of different kinetic models for the heat transfer problem", Heat Mass Transfer, vol. 46, no. 2. pp. 237-244.

4. Belvi, V.V., 2015, "Derivation of model kinetic equation", Europhysics Letters, vol. Ill, pp. 40011.

5. Chen, S., Xu К. к Cai, Q., 2015, "A comparison and unification of ellipsoidal statistical and Shakhov BGK models", Adv. Appl. Math. Mech., vol. 7. pp. 245-266.

6. Ambrus, V. E., Sharipov, F. к Sofonea, V., 2020, "Comparison of the Shakhov and ellipsoidal models for the Boltzmann equation and DSMC for ab initio-based particle interactions", Computers and Fluids, vol. 211. pp. 104637

7. Titarev V.A. к Frolova А.А., 2019, "Kinetic methods for solving unsteady problems", Mathematics and Mathematical Modeling, no. 04. pp. 34-51.

8. Breviannis, G., Varoutis, S. к Valougeorgis, D., 2008, "Rarefied gas flow in concentric annular tube: Estimation of the Poiseuille number and the exact hydraulic diameter", European Journal of Mechanics В/Fluids, vol. 27, pp. 609-622.

9. Baseri, A., Abbasbandv, S. к Babolian, E., 2018, "A collocation method for fractional diffusion equation in a long time with Chebvshev functions", Applied Mathematics and Computation, vol. 322, pp. 55-65.

10. Shilkov, A.V., 2018, "Operator decomposition Scattering of the Particle Transport Equation in a Series in Spherical Tensors", Keldysh Institute Preprints named after M. V. Keldysh no. 249, 28 pp. (Russian).

11. Bhatnagar, P. L., Gross, E. P. к Krook, M. A., 1954, "Model for collision process in gases", Physical Review, vol. 94, pp. 511-525.

12. Cercignani, C. 1969, Mathematical Methods in Kinetic Theory, Plenum Press, New York, 227 p.

13. Mason, J. к Handscomb, D. 2003, Chebvshev polynomials, CRC Press, Florida, 360 p.

14. Boyd, J.2000, Chebvshev and Fourier Spectral Methods, second ed., Dover, New York, 668 p.

15. Clenshaw, C.W. к Curtis, A.R. 1960, "A method for numerical integration on an automatic computer", Num. Math., vol. 2, pp. 197-205.

Получено 10.01.2022 Принято в печать 14.0.2022