О регулярных квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № б, с. 43-47

УДК 621.391.01

О РЕГУЛЯРНЫХ КВАЗИСИНХРОННЫХ РЕЖИМАХ В СИСТЕМЕ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ

© 2010 г. Г.М. Бакунов, В.В. Матросов, В.Д. Шалфеев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского gleb@bakunov.com

Поступила в редакцию 07.07.2010

Рассмотрены характеристики регулярных квазисинхронных режимов в системе фазовой автоподстройки частоты в зависимости от параметров.

Ключевые слова: фазовые системы, фазовая автоподстройка частоты, динамические режимы, синхронизация, бифуркации.

1. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации (систем фазовой автоподстройки частоты - ФАП) изучена достаточно хорошо [1-3]. Известно, что в типовой модели системы ФАП с интегрирующим RC-фильтром в цепи управления учет запаздывания приводит к нарушению устойчивости состояния равновесия, соответствующего режиму синхронизации, и появлению около этого состояния равновесия предельного цикла. С возникновением предельного цикла связано появление регулярной (периодической) автомодуляции колебаний частоты на выходе ФАП при стабилизации средней (центральной) частоты этих колебаний по опорной частоте, поэтому его обычно называют режимом квазисинхронизации [3]. При использовании в цепи управления фильтров второго порядка и выше режим регулярной периодической квазисинхронизации может иметь место и без учета запаздывания [4]. Более того, здесь может происходить усложнение периодической автомодуляции колебаний генератора на выходе системы ФАП, в результате которого регулярные автомодуляционные колебания становятся хаотическими. С точки зрения достижения точной синхронизации появление автомодуляции колебаний на выходе системы ФАП, как регулярных периодических, так и хаотических, ведет к ухудшению точности синхронизации, и актуальной становится задача поиска путей эффективного подавления автомодуляции. В настоящей работе представлены результаты исследования зависимости некоторых характеристик автомодуляционных режимов от параметров типовой системы ФАП.

2. Рассмотрим типовую систему ФАП с фильтром К(р) в цепи управления. Базовая математическая модель такой системы может

быть представлена следующим операторным уравнением [1]:

Рф + K (р) F (ф) = у, (1)

где p = d/dt - оператор дифференцирования, ^ - максимальная расстройка по частоте, которая может быть скомпенсирована цепью управления, у = QH/Q - относительная начальная частотная расстройка подстраиваемого и опорного генераторов, К(р) - коэффициент передачи фильтра, -Р(ф) - нормированная нелинейная характеристика фазового дискриминатора.

При приближенном учете запаздывания в

цепи управления ( е~ТзР « 1 — ТЗ р, где ТЗ - время

запаздывания) уравнение (1) можно записать в виде [З]

Рф + K (р)(1 - T3p)F (ф) = у. (2)

Полагая фильтр интегрирующим К(р) = = (1+Тр)-1, нелинейность -р(ф) = sinф и вводя безразмерное время т = Qt и параметры є = QT, d = ТЗ/Т, запишем (2) в следующей форме: dф _ dx

s — = у — (1 - ds cos ф)y — sin ф. (З)

dx

Качественное исследование динамики системы (З) выполнено в работе [5]. В этой работе наряду с существованием устойчивого состояния равновесия на фазовой поверхности (ф,у), соответствующего режиму синхронизации подстраиваемого и опорного генераторов, установлена возможность нарушения устойчивости этого состояния равновесия с ростом запаздывания d через бифуркацию Aндронова-Хопфа и образования устойчивого предельного цикла вокруг со-

Рис. 1. Разбиение плоскости параметров у) на области качественно различной динамики системы (3) для е = 5

стояния равновесия, соответствующего режиму периодической автомодуляции подстраиваемого генератора. Целью настоящей работы является исследование количественных характеристик периодического квазисинхронного режима, изучение параметров угловой автомодуляции в зависимости от параметров модели (3).

3. Ниже представлены результаты компьютерного моделирования динамики системы (3), полученные с помощью пакета [6]. Пакет позволяет провести построение фазовых портретов (ф,у), вычисление бифуркационных значений параметров, соответствующих изменению фазовых портретов, а также исследовать характеристики периодических движений. На рис.1а приведено разбиение плоскости параметров (<3,у) на области, соответствующие различным режимам работы системы (3) при е = 5, а на рис. 1б представлены фазовые портреты для этих областей параметров.

На рис.1а четыре бифуркационные кривые: у = 1 - двукратного состояния равновесия, ун -нейтрального состояния равновесия, у^ и уи -гомоклинических траекторий первого и второго рода - разбивают плоскость (4 у) на шесть об-

ластей D\-D(.. Для параметров, принадлежащих области Dl, фазовый портрет системы содержит устойчивое состояние равновесия О^агсэту, 0) и седловую точку 02(л-агсзту, 0) (рис. 1б). При любых начальных условиях система приходит в состояние равновесия О1, где разность фаз постоянна, а разность частот равна нулю, то есть реализуется режим синхронизации. При выходе из области D1 в область D5 через кривую уи в фазовом пространстве модели (3) из петли сепаратрис, охватывающей фазовый цилиндр, рождается устойчивый предельный цикл 2-го рода L1. В результате в области D5 глобальная устойчивость синхронного режима нарушается режимом биений, определяемым циклом L1. При переходе из области D1 (й5) в область D2 ф4) состояние равновесия О1 теряет устойчивость [5] на кривой уН, удовлетворяющей условию йе = (1 - у2)~12. При этом в результате мягкой бифуркации Андронова-Хопфа вокруг состояния равновесия О1 появляется предельный цикл L0 (рис. 1б). Цикл L0 является образом ква-зисинхронного режима, поскольку здесь разность частот колебаний подстраиваемого и опорного генераторов совпадает только в сред-

нем. Цикл Ь0 существует в области параметров Б0 = D^2uD4, которая на рис. 1а выделена серым цветом. При переходе из Б0 в область Б3 с ростом параметра й размер цикла Ь0 увеличивается и при достижении значений параметров, соответствующих кривой У]^0, цикл влипает в петлю сепаратрис, не охватывающую фазовый цилиндр, и исчезает. Область Б3 характеризуется наличием единственного аттрактора Хь т.е. при значениях параметров из этой области в системе всегда реализуется режим биений. Отметим, что в [5] обсуждается другой логически возможный вариант исчезновения устойчивого предельного цикла Ь0 - через бифуркацию двойного предельного цикла - и указывается, что существование такой бифуркации доказать не удалось. Проведенное нами компьютерное моделирование системы (3) показало, что при просчитанной сетке параметров исчезновение цикла через бифуркацию двойного предельного цикла в системе (3) не имеет места. В заключение обсуждения разбиения плоскости параметров (й,у) отметим, что поведение системы (3) в областях Б6 и Б3 одинаково, в этих областях фазовое пространство содержит единственный аттрактор Ь\ - в системе ФАП при любых начальных условиях реализуется режим биений.

Перейдем теперь к рассмотрению свойств предельного цикла Ь0, размеры и период которого определяют параметры модулирующих колебаний. Проведенное численное исследование позволило выявить зависимость характеристик этого цикла - его размера (Дф и Ду диапазонов изменения переменных ф и у) и периода ТС - от параметров системы (3). На рис. 2 представлены зависимости Дф (рис. 2а) и Ду (рис. 2б) от параметра запаздывания й при различных значениях параметра расстройки у. Как видно из рис. 2, при у ~ 0.5-0.7 предельный цикл существует лишь в узком интервале значений параметра й ~ 0.15-0.2 и девиация фазы и частоты колебаний (величины Дф и Ду) зависит от параметра й практически линейно. При у < 0.5 и у > 0.7 зависимости Дф и Ду от й становятся существенно нелинейными - с насыщением при больших значениях й. В целом, глубина автомодуляци-онных колебаний уменьшается с ростом параметра у.

На рис. 3 представлена зависимость периода цикла Тс от параметра й при различных у. Зависимость ТС(й) является нарастающей, причем крутизна нарастания вначале возрастает с увеличением параметра у от 0 до ~0.5, а затем начинает уменьшаться. Области существования функции ТС(й) соответствуют рис. 1а.

.,"С 2 0.5

П.7

П.95

1

Е1 1

■З.Е

о.п

і

■.?

п.в ■

. О.?

;

...0.7

п

й.1

і

п.?

ЙД

I

П.4

с!

СГ|>

Рис. 2. Зависимость Аф (а) и Ау (б) от d при е = 10 и различных у (значения у указаны рядом с соответствующими кривыми)

Рис. 3. Зависимость периода цикла от d при е =10 и различных у (значения у указаны рядом с соответствующими кривыми)

На рис. 4 представлены фазовые портреты, осциллограммы переменной у предельного цикла Х0, определяющего закон модуляции квазисинхронных колебаний на выходе ФАП, а также соответствующие этим колебаниям спектры мощности. Эти картины приведены для малых и больших начальных расстроек у и трех значений параметра запаздывания d: при «малом

Рис. 4. Фазовые портреты, осциллограммы и спектры мощности колебательных аттракторов модели (3) при у = 0.2 и значениях d = 0.2042 (а), d = 0.3 (б), d = 0.4244 (в), а также при у = 0.95 и значениях d = 0.641 (г), d = 0.75 (д), d = 0.836 (е)

запаздывании» - в окрестности кривой ун (рис. 4а, г), где зарождаются колебания, «большом запаздывании» - в окрестности кривой уи (рис. 4в, е), где разрушаются колебания, и «среднем запаздывании» (рис. 4б, д). Эти картины иллюстрируют зависимость свойств модулирующих колебаний от начальной частотной расстройки и запаздывания. Из анализа этих картин следует, что свойства квазисин-хронных колебаний сильно зависят от запаздывания и практически не зависят от параметра у. При больших (у = 0.95) и малых (у = = 0.2) значениях расстройки частот эволюция

модулирующих колебаний с ростом й протекает по одному сценарию: возникающие колебания имеют квазисинусоидальный вид (рис. 4а, г); с ростом запаздывания форма колебаний меняется, отдаляясь от гармонической, в спектре мощности нарастают гармоники на эквидистантных частотах (рис. 4б, д); при дальнейшем росте й колебания принимают кноидальный вид, спектр мощности усложняется, вплоть до подавления центральной частоты модуляции.

4. Проведенное компьютерное моделирование системы фазовой автоподстройки при учете

запаздывания позволяет заключить, что наряду с синхронным режимом в системе возможен квазисинхронный режим, характеризующийся наличием регулярных периодических автомо-дуляционных колебаний подстраиваемого генератора. Глубина автомодуляционных колебаний (определяемая размерами предельного цикла) увеличивается с ростом величины запаздывания, причем при малых запаздываниях d эта зависимость близка к линейной, а с ростом запаздывания становится существенно нелинейной. Период автомодуляционных колебаний с ростом запаздывания увеличивается и в пределе стремится к бесконечности (при «влипании» цикла в петлю сепаратрис).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-02-00865 и проекта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (контракт № 02.740.11.0565).

Список литературы

1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. - 2-е изд., доп. и перераб. М.: Связь, 1972.

2. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении / Пер. с англ. под ред. Ю.Н. Бакаева и М.В. Капранова. М.: Сов. радио, 1978.

3. Капранов М.В. Элементы теории систем фазовой синхронизации: Учебное пособие по курсу «Теория колебаний». М.: Издательство МЭИ, 2006.

4. Матросов В.В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 4. С. 357-368.

5. Белюстина Л.Н. Исследование нелинейной системы фазовой автоподстройки частоты // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2. № 2. С. 277-291.

6. Матросов В.В. Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем: Учебно-методическая разработка. Нижний Новгород: ННГУ, 2002.

ON REGULAR QUASI-SYNCHRONOUS REGIMES IN A PHASE-LOCKED LOOP

G.M. Bakunov, V.V. Matrosov, V.D. Shalfeev

The paper discusses the characteristics of regular quasi-synchronous regimes in a phase-locked loop system depending on its parameters.

Keywords: phase systems, phase-locked loop, dynamic regimes, synchronization, bifurcations.