CC BY
26
2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(25)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 512.53
О РЕГУЛЯРНОСТИ НЕКОТОРЫХ ПОДПОЛУГРУПП МОНОИДА ЭНДОМОРФИЗМОВ ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Е. А. Бондарь
Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко, г. Луганск, Украина
E-mail: [email protected]
Для графов отношения эквивалентности получен ответ на вопрос М. Беттчера и У. Кнауэра, при каких условиях множество полусильных (локально сильных, ква-зисильных) эндоморфизмов является полугруппой. Найдены условия регулярности таких полугрупп.
Ключевые слова: регулярность, полугруппа, эндоморфизм, эквивалентность.
Введение
Полугруппам эндоморфизмов графов различных классов посвящено множество исследований. К примеру, хорошо освещен в литературе вопрос об определяемости графов своими эндоморфизмами. Так, данную проблему изучал Л. М. Глускин [1] для квазипорядков; Л. Б. Шнеперман [2], Ю. М. Важенин [3], Б. В. Попов [4] —для рефлексивных графов; Ж. Араужо и Я. Конечны [5] —для так называемых плотных отношений. Условия регулярности полугрупп эндоморфизмов упорядоченного и квазиупорядочен-ного множеств исследованы в [6], а для конечных и счётных цепей — в [7, 8]. Копред-ставление моноида эндоморфизмов конечной цепи найдено в [9]. Как отмечено выше, определение эндоморфизма зачастую рассматривалось с некоторыми дополнительными условиями в зависимости от целей исследования. Различные типы эндоморфизмов собраны в [10] для определения спектра эндоморфизмов и эндотипа. С их помощью можно классифицировать графы [10, 11].
Целый ряд работ китайских математиков посвящен изучению отношений Грина и регулярных элементов полугрупп эндоморфизмов графов эквивалентностей и их подполугрупп: эндоморфизмы изучались в [12, 13], сильные эндоморфизмы в [14], изоморфизмы в [15, 16]. Точное представление моноида эндоморфизмов графа отношения эквивалентности описано в [17], а для 2-нильпотентных отношений — в [18]. Открытым в этом направлении остается вопрос М. Беттчера и У. Кнауэра [10], при каких условиях множество всех полусильных (локально сильных, квазисильных) эндоморфизмов неориентированного графа является полугруппой. В настоящей работе получен ответ на данный вопрос для графов отношения эквивалентности.
Работа построена следующим образом. В п. 1 приводятся необходимые определения и обозначения. В пп. 2-4 изучаются полусильные, локально сильные и квазисильные эндоморфизмы отношения эквивалентности. Получено описание соответствующих эндоморфизмов, найдены необходимые и достаточные условия, когда множество таких эндоморфизмов образует полугруппу, и доказана регулярность этих полугрупп.
1. Предварительные сведения
Пусть T(X) — симметрическая полугруппа на множестве X, ^ Е T(X), A С X — произвольное непустое подмножество. Через <^|а будем обозначать ограничение ^ на множество A; множество всех константных отображений vt : A М X : a М t, t Е X, обозначим через I (A).
Пусть р С X х X — произвольное отношение на X. Преобразование f Е T(X) называется эндоморфизмом реляционной системы (X, р), если для любых a, b Е X из того, что (a, b) Е р, следует (af, bf) Е р. Множество всех эндоморфизмов реляционной системы (X, р) образует полугруппу относительно обычной композиции преобразований и обозначается End(X, р).
Эндоморфизм f Е End(X, р) называется полусильным эндоморфизмом, если для любых x,y Е X из условия (xf, yf) Е р следует, что существуют прообразы x',y' Е X, т. е. xf = x'f, yf = y'f, такие, что (x',y') Е р. Множество всех полусильных эндоморфизмов реляционной системы (X, р) обозначается HEnd(X, р).
Эндоморфизм f Е End(X, р) называется локально сильным эндоморфизмом, если для любых ж, у Е X из условия (xf, yf) Е р следует, что для каждого прообраза ж' Е X элемента xf существует такой прообраз у' Е X элемента yf, что (ж', у') Е р, и аналогичное утверждение справедливо для каждого прообраза yf. Множество всех локально сильных эндоморфизмов реляционной системы (X, р) обозначается LEnd(X, р).
Эндоморфизм f Е End(X, р) называется квазисильным эндоморфизмом, если для любых x,y Е X из условия (xf, yf) Е р следует, что существует такой прообраз x' Е X элемента xf, что для любого прообраза y' Е X элемента yf выполняется (x',y') Е р, и аналогичное утверждение справедливо для каждого прообраза yf. Множество всех квазисильных эндоморфизмов реляционной системы (X, р) обозначается QEnd(X, р).
Эндоморфизм f Е End(X, р) называется сильным эндоморфизмом, если для любых x, y Е X из условия (xf, yf) Е р следует, что (x, y) Е р. Множество всех сильных эндоморфизмов реляционной системы (X, р) образует полугруппу относительно обычной композиции преобразований и обозначается SEnd(X, р).
Эндоморфизм f Е End(X, р) называется автоморфизмом, если f биективно и f-1 — эндоморфизм. Группа всех автоморфизмов реляционной системы (X, р) обозначается Aut(X, р). Таким образом, для реляционной системы (X, р) имеем цепочку включений
End(X, р) D HEnd(X, р) D LEnd(X, р) D QEnd(X, р) D SEnd(X, р) D Aut(X, р).
Множество всех отношений эквивалентности на X обозначим Eq(X). Для а Е Eq(X) через X/a обозначим фактор-множество, а класс эквивалентности а, содержащий элемент x Е X, будем обозначать xa.
Через ix обозначается диагональное отношение на множестве X, а через wx — универсальное:
iX = {(a, a) : a Е X}, wx = X х X.
Пусть G(X) —симметрическая группа на множестве X. Очевидно, что
T(X) = End(X,ix) = HEnd(X, ix) = LEnd(X,ix) D
D QEnd(X,ix) = SEnd(X,ix) = Aut(X,ix) = G(X),
T (X) = End(X, wx) = HEnd(X, wx) = LEnd(X, wx) =
= QEnd(X, wx) = SEnd(X, wx) D Aut(X, wx) = G(X).
Бинарное отношение называется тривиальным, если оно диагонально или универсально. Известно, что имеет место следующая
Лемма 1 [17]. Преобразование / € Т(X) является эндоморфизмом отношения а € Eq(X) тогда и только тогда, когда для любого А € Х/а существует В € Х/а, такое, что А/ С В.
2. Полусильные эндоморфизмы
Выясним, при каких условиях произвольный эндоморфизм графа отношения эквивалентности является полусильным.
Лемма 2. Эндоморфизм / € Епё(Х, а) отношения а € Eq(X) является полу-сильным тогда и только тогда, когда для любого В € Х/а, такого, что В П 1ш(/) = 0, и любых а, Ь € В П 1ш(/) существует А € Х/а, такой, что а, Ь € А/.
Доказательство. Необходимость. Пусть / — полусильный эндоморфизм отношения эквивалентности а, В € Х/а, ВП 1ш(/) = 0. Предположим, что а, Ь € ВП 1ш(/), следовательно, (а,Ь) € а. Так как / € НЕп^Х, а), то среди множества прообразов а/-1, Ь/-1 найдутся такие элементы а' и Ь' соответственно, что (а',Ь') € а, то есть а', Ь' € С для некоторого С € Х/а. Следовательно, а'/ = а, Ь'/ = Ь € С/.
Достаточность. Пусть / € Еп^Х, а) —произвольный эндоморфизм, (а',Ь') € а для некоторых а',Ь' € 1ш(/). Тогда а',Ь' € В П 1ш(/) для некоторого В € Х/а и по условию леммы в Х/а существует такой класс эквивалентности А, что а',Ь' € А/. Следовательно, существуют прообразы а € а'/-1, Ь € Ь'/-1, для которых (а,Ь) € а: в самом деле, для любой пары (ж, у) из (а'/-1 П А) х (Ь'/-1 П А), очевидно, (ж,у) € а. Таким образом, / € НЕп^Х, а). ■
Следствие 1. Любой эндоморфизм / € Еп^Х, а) отношения а € Eq(X), область значений которого содержит не более чем по одному представителю из классов Х/а, является полусильным.
Множество всех полусильных эндоморфизмов отношения эквивалентности в общем случае не является полугруппой. Действительно, пусть, например, Х = {1,2, 3,4},
/1 2 3 4\
а = {1,2}2 и {3}2 и {4}2. Тогда, согласно лемме 2, имеем / = К 1 3 Л , д =
1 2 3 4 1 2 3 4
12 12/ € НЕп^Х, а), однако произведение /д = К 1 1 ^ € НЕпё(Х, а).
Нетрудно убедиться, что если |Х| ^ 2, то имеют место равенства
Еп^Х, а) = НЕп^Х, а) = ЬЕп^Х, а).
Утверждение 1. Пусть |Х| > 2, а € Eq(X). Множество НЕп^Х, а) всех полу-сильных эндоморфизмов отношения эквивалентности а является полугруппой тогда и только тогда, когда а — тривиальное отношение эквивалентности.
Доказательство. Пусть НЕп^Х, а) — полугруппа, а — нетривиальное отношение эквивалентности на X. Тогда в фактор-множестве Х/а найдётся класс мощности больше 1, обозначим его через А. Пусть В € Х/а — произвольный фиксированный класс, а 8 : Х/а ^ X — отображение, которое ставит в соответствие каждому классу произвольный фиксированный элемент из этого класса. Обозначим через у элемент
из А, отличный от АЯ. Рассмотрим следующие полусильные эндоморфизмы f и д:
элементов А8, у € АП1ш(/д) не выполняется лемма 2. Следовательно, /д € HEnd(X, а), что противоречит начальному предположению.
С другой стороны, если а — тривиально, то, как было отмечено в п. 1, HEnd(X, а) =
Хорошо известно, что Т(X) регулярна, поэтому справедливо
Следствие 2. Для тривиального отношения а Є Eq(X) полугруппа НЕпё(Х, а) регулярна.
Следующая лемма описывает критериальные условия, при которых обычные эндоморфизмы являются локально сильными.
Лемма 3. Эндоморфизм / € End(X, а) отношения а € Eq(X) является локально сильным эндоморфизмом тогда и только тогда, когда для любых А, В, С € Х/а из того, что А/ С С и В/ С С, следует А/ = В/.
Доказательство. Необходимость. Пусть / € LEnd(X, а) и выполняются включения А/ С С, В/ С С для некоторых А, В, С € Х/а. Предположим, что А/ = В/, тогда А = В. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что у € А/, у € В/ для некоторого у € С. Для любого ж € А/, очевидно, (ж, у) € а, но для прообраза ж' € х/-1 П А не существует такого прообраза у' элемента у, что (ж', у') € а, а это противоречит условию / € LEnd(X, а).
Достаточность. Пусть / € End(X, а) —произвольный эндоморфизм и включения А/ С С, В/ С С для любых А, В, С Х/а влекут А/ = В/. Тогда для любых ж, у € СП 1ш(/) из условия (ж, у) € а следует, что для каждого прообраза ж' € ж/-1 существует у' € у/-1 П (ж')а, такой, что (ж', у') € а. Аналогичное утверждение справедливо для каждого прообраза у/-1. Таким образом, / — локально сильный эндоморфизм отношения а € Eq(X). ■
Множество всех локально сильных эндоморфизмов отношения эквивалентности в общем случае не является полугруппой. Чтобы убедиться в этом, ррссмотрим на
X = {1, 2, 3, 4} эквивалентность а = {1, 2}2и{3, 4}2. Эндоморфи;
является локально сильным эндоморфизмом.
Утверждение 2. Множество LEnd(X, а) всех локально сильных эндоморфизмов отношения эквивалентности а на множестве Х = 0 является полугруппой тогда и только тогда, когда а = и а и \а для некоторого А С X.
Доказательство. Необходимость. Пусть LEnd(X,а) —полугруппа. Если |Х| < 4, то а такое, как указано в условии данного утверждения. Пусть |Х| ^ 4 и
в с д
у СЯ Ш
Таким образом, для класса А и
Т(X). .
3. Локально сильные эндоморфизмы
2 і удовлетворяют лемме 3, а их произведение
2 3
а € Eq(X) такое, что а = и \А для любого А С X. Тогда фактор-множество Х/а содержит хотя бы два класса эквивалентности А, В с мощностью ^ 2. Пусть а, а' € А, а = а', Ь € В. Рассмотрим следующие локально сильные эндоморфизмы:
{а, если ж € А, ( а, если ж = а или ж € В, ж = Ь,
Ь, если ж € В, жф = < а', если ж = Ь или ж € А, ж = а,
ж в остальных случаях, ж в остальных случаях.
Для любого ж Х имеем
{а, если ж € А, а', если ж € В, ж в остальных случаях.
Следовательно, рф € LEnd(X, а), что противоречит исходному предположению.
Достаточность. Пусть а = и а и *х\а для некоторого А С X. Если |А| ^ 1 или А = X, то а = или а = и, следовательно, LEnd(X, а) = Т(X) —полугруппа. Пусть |А| ^ 2. Учитывая, что Х/а содержит единственный класс эквивалентности неединичной мощности, по лемме 3 все элементы из LEnd(X, а) представляют собой объединение трёх попарно непересекающихся множеств:
Ф1 = {р € Т(Х) : рЦ € Т(А), рЦ € I(А), р|х\А € Т(Х\А)},
Ф2 = {р € Т(X) : рЦ € I(А), т(р) С X\А},
Фз = и ф(“), ф(“) = {р € Т(X) : р|а € I(А), а € 1ш(р), 1ш(р) С (X\А) и {а}}.
Нетрудно видеть, что Ф1 и Ф2 и Ф3 замкнуто по умножению. Таким образом, множество LEnd(X, а) образует подполугруппу Т(X). ■
Следствие 3. Для любого а = и аи*х\А, А С X полугруппа LEnd(X, а) является регулярной.
Доказательство. Если |А| ^ 1 или А = X, то LEnd(X, а) = Т(X), следовательно, LEnd(X, а) регулярна. Пусть р € LEnd(X, а) —произвольный локально сильный эндоморфизм. Построим такой ф € LEnd(X,а), для которого р = рфр. Рассмотрим возможные случаи.
Если р € Ф1, то определим преобразование ф множества X следующим образом:
у,у € жр-1, если ж € 1ш(р),
жф
ж в остальных случаях.
Нетрудно видеть, что ф|А € Т(А), ф|х\А € Т(X\А) и р = рфр. Поскольку ранг р|А
всегда ^ 2, имеем ф|а € I(А). Таким образом, ф € Ф1.
Пусть р € Ф2, Ь € X\А — произвольный фиксированный элемент. Положим
{у, у € жр-1, если ж € 1ш(р),
Ь, если ж А,
ж в остальных случаях.
Тогда ф € Ф2 и Ф3 и р = рфр.
Пусть р € Ф(а) С Ф3, а € А. Определим ф так, что
{у, у € жр-1, если ж € 1ш(р),
аф, если ж € А\{а},
ж в остальных случаях.
В этом случае ф € Ф2 и Ф3 и р = рфр. ■
Отметим, что если X конечно, |А| ^ 1 или А = X, то ^Е^(Х, а)| = |Х||х|.
Как известно [19, с. 210], число всех сюръективных отображений яиг п™ из т-эле-ментного множества в п-элементное множество равно п!Б(т, п), где Б(т, п) —число Стирлинга второго рода.
Следствие 4. Пусть X — конечное множество, а = и а и \а для некоторого А с X, |А| ^ 2. Тогда
1+1
|LEnd(X, а)| = (кк - к)/1 + /1+1 + к Е С™- 1 зиг т(1+1),
т=1
где к — мощность множества А; / — мощность множества X\А.
Доказательство. Нетрудно видеть, что |Ф1| = (кк — к)/1, |Ф2| = /1+1. Так как для произвольного преобразования из р € Ф(а) ранга т, т ^ / + 1, справедливо р|а € I(А), то
ф(а)
равномощно множеству всех сюръективных преобразований из (/ + 1)-элемент-ного множества в т-элементное. Поскольку элемент а определён и фиксирован, остальные (т — 1) элементов можно выбрать Ср-1 способами. Таким образом,
|Ф(а) | = яиг 11+1 + С/эиг 21+1 + С^иг 31+1 + ...
1 + 1
... + С-1зиг I1+1 + яиг (/ + 1)'+1 = Е С™-1 яиг т(1+1),
т=1
+1 1
и, следовательно, |Ф3| = к|Ф(а)| = к Ё С^^игт(1+1). Поскольку Ф1 П Ф2 П Ф3 = 0,
т=1
получаем искомую формулу. ■
4. Квазисильные эндоморфизмы
Для квазисильных эндоморфизмов выполняется следующая Лемма 4. Для всякого отношения а € Eq(X) справедливо равенство
QEnd(X, а) = SEnd(X, а).
Доказательство. Достаточно доказать включение QEnd(X, а) С SEnd(X, а). Пусть / € QEnd(X, а). Отметим, что так как / — квазисильный, для любого с € 1ш(/) в с/-1 существует прообраз с', а-эквивалентный любому другому прообразу элемента с. Следовательно, все прообразы любого фиксированного элемента находятся в одном и том же классе эквивалентности, то есть несколько классов не могут одновременно отображаться в с.
Пусть а, Ь € 1ш(/) и (а, Ь) € а. По определению в а/-1 существует такой элемент ж, что (ж, у) € а для любого у € Ь/-1. Так как а/-1 С жа, последнее равносильно условию: для любых ж € а/-1 и у € Ь/-1 выполняется (ж, у) € а. Таким образом, / — сильный эндоморфизм. ■
Если X — конечное множество, моноид SEnd(X, а) регулярен (см., например, [20]). Таким образом, имеет место
Следствие 5. Для любой эквивалентности а € Eq(X), где X — конечное множество, полугруппа QEnd(X, а) является регулярной.
В случае если множество X бесконечное, согласно [21] и лемме 4, QEnd(X, а) — нерегулярная полугруппа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глускин Л. М. Полугруппы изотонных преобразований // Успехи математических наук. 1961. Т. 16. №5. С. 157-162.
2. Шнеперман Л. Б. Полугруппы эндоморфизмов квазиупорядоченных множеств // Учёные записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1962. Т. 238. С. 21-37.
3. Важенин Ю. М. Об элементарной определяемости и элементарной характеризуемости классов рефлексивных графов // Изв. вузов. Математика. 1972. Т. 7. С. 3-11.
4. Попов Б. В. Полугруппы эндоморфизмов рефлексивных бинарных отношений // Учёные записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1967. №302. С. 116-123.
5. Araujo J. and Konieczny J. Dense relations are determined by their endomorphism monoids // Semigroup Forum. 2005. No. 70. P. 302-306.
6. Кожухов И. Б., Ярошевич В. А. Полугруппы отображений, сохраняющих бинарное отношение // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. №7. С. 129-135.
7. Айзенштат А. Я. Регулярные полугруппы эндоморфизмов упорядоченных множеств // Учёные записки ЛГПИ им. А. И. Герцена. 1968. Т. 387. С. 3-11.
8. Ким В. И., Кожухов И. Б. Условия регулярности полугрупп изотонных преобразований счетных цепей // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. №8. С. 97-104.
9. Айзенштат А. Я. Определяющие соотношения полугруппы эндоморфизмов конечного линейного упорядоченного множества // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3. №2. С. 161-169.
10. Bottcher M. and Knauer U. Endomorphism spectra of graphs // Discrete Mathematics. 1992. No. 109. P. 45-57.
11. Bottcher M. and Knauer U. Postscript: Endomorphism spectra of graphs // Discrete Mathematics. 2003. No. 270. P. 329-331.
12. Pei H. S. and Dingyu Z. Green’s equivalences on semigroups of transformations preserving order and an equivalence relation // Semigroup Forum. 2005. No. 71. P. 241-251.
13. Ma M., You T., Luo S., et al. Regularity and Green’s relations for finite E-order-preserving transformations semigroups // Semigroup Forum. 2010. No. 80. P. 164-173.
14. Deng L., Zeng J., and You T. Green’s relations and regularity for semigroups of
transformations that preserve reverse direction equivalence // Semigroup Forum. 2011. No. 83. P. 489-498.
15. Deng L., Zeng J., and Xu B. Green’s relations and regularity for semigroups of
transformations that preserve double direction equivalence // Semigroup Forum. 2010. No. 80. P. 416-425.
16. Deng L., Zeng J., and You T. Green’s relations and regularity for semigroups of
transformations that preserve order and a double direction equivalence // Semigroup Forum. 2012. No. 84. P. 59-68.
17. Жучок Ю. В. Ендоморфiзми вщношень еквiвалентностi // Вюн. Ктв. ушв. Сер. Фiз.-мат. науки. 2007. Т. 3. С. 22-26.
18. Жучок Ю. В. Полугруппы эндоморфизмов 2-нильпотентных бинарных отношений // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. №6. С. 75-83.
19. Новиков Ф. А. Дискретная математика. 2-е изд. Стандарт третьего поколения. СПб.: Питер, 2013. 432 с.
20. Knauer U. and Nieporte M. Endomorphisms of graphs I. The monoid of strong
endomorphisms // Arch. Math. 1989. V. 52. P. 607-614.
21. Fan S. Graphs whose strong endomorphism monoids are regular // Arch. Math. 1999. V. 73. P. 419-421.
