CC BY
19
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 4 (2013)
УДК 512.577
О ПОЛУГРУППАХ ЭНДОМОРФИЗМОВ
СВЯЗНЫХ УНАРОВ С ОДНОЭЛЕМЕНТНЫМ
ЦИКЛОМ
С. В. Сыроватская (г. Волгоград)
Аннотация
К настоящему времени получен ряд глубоких результатов по проблеме описания классов унаров (алгебр с одной унарной операцией), полугруппа эндоморфизмов которых коммутативна, регулярна, является группой или обладает другим заданным свойством. В данной заметке рассматривается обратная задача — описание классов полугрупп, каждая из которых изоморфна полугруппе эндоморфизмов некоторого унара. В работе описаны полугруппы эндоморфизмов некоторого класса унаров с одноэлементным циклом.
Ключевые слова: унар, эндоморфизм, сплетение полугрупп.
ON ENDOMORPHISM SEMIGROUP OF
CONNECTED MONOUNARY ALGEBRAS WITH ONE-ELEMENT CYCLE
S. V. Sirovatskaya (c. Volgograd)
Abstract
In this paper we consider the inverse problem. Our goal is to describe classes of semigroups which is isomorphic to the endomorphism semigroup of some monounary algebra. We describe the endomorphism semigroup for certain class of monounary algebras with an one-element cycle.
Keywords: unar, endomorphism, wreath product of semigroups.
1. Необходимые определения и обозначения
Алгебра А = (А, f) с одной унарной операцией f называется унаром.
В дальнейшем через N обозначается множество целых положительных чисел и N0 = N и {0}. Запись п1 | п2 для п1,п2 & N означает, что п1 делит п2.
Для любых т & N0 и а & А под а^ подразумевается результат т-кратного применения операции f к элементу а, при этом а^ = а. Элемент а унара А называется циклическим, если существует и & N такое, что afп = а. Элемент а периодический, если afт является циклическим элементом для некоторого т & N0. Глубиной в,(а) элемента а называется наименьшее т & N0 такое, что afm циклический. Период р(а) элемента а — это наименьшее число и & N такое, что af Л(а')+п = afа(а).
Унар, порожденный элементом а & А, называется моногенным и обозначается через (а) ([1]). Через Ст обозначается унар, порождаемый периодическим элементом а с глубиной ^а) = т и периодом р(а) = п. Если т = 0, то С° называют циклом длины п. Под подразумевается свободный моногенный унар, называемый лучом.
Если В является подунаром унара А и В = А, то будем использовать запись В < А. Унар, представляющий собой объединение бесконечной возрастающей цепочки
(а1) < (а2) < ... < (аг) < ...,
где г & N (аг) = Сгп, и - фиксированное число из N обозначается через С™.
Элементы а и Ь унара А называются связными, если afт = bfк для некоторых т,к & N0. Отношение связности есть отношение эквивалентности на А, и каждый класс этой эквивалентности является подунаром А, называемым связной компонентой. Говорят, что А разбивается на свои связные компоненты. Унар связный, если любые два его элемента являются связными. Напомним (см., например, в [2]), что связный унар содержит не более одного цикла.
Другие термины, применяемые в теории унаров, можно найти, например, в
[1].
Сформулируем определение сплетения полугрупп (см. [3]).
Далее Т (X) означает множество всех преобразований множества X и Т(X) = (Т(X), ■) — симметрическая полугруппа X, где х(а1а2) = (ха1)а2 для произвольных а1 ,а2 & Т(X),х & X.
Пусть Я = (Я, *), Б = (Б, *) — полугруппы. Через ЯУ обозначается полугруппа (Я¥, ■), где ЯХ — множество всех отображений множества У во множество Я и для любых т1,т2 & ЯХ,у & У, у(т1т2) = (ут1) * (ут2).
Сплетением Я Б полугрупп Я и Б посредством представления ф: Б ^ Т(У) называется полугруппа (Я¥ х Б, *), операция которой задана по правилу: для произвольных т1 ,т2 & ЯХ, 3^^ & Б
(Т1,в1) * (т2,32) = (т3,81 * 82),
где утз = (ут{) * ((у(81ф))т2) для любого у & У.
2. Результаты
Приведем сначала несколько вспомогательных результатов.
Лемма 1. ([1], с. 8). Для элемента a унара A равенство afk = afk+h (k Є N0,h Є N) имеет место тогда и только тогда, когда d(a) ^ k и p(a) | h.
Лемма 2. ([2], с. 577). Для любого m Є N0, fm - эндом.орфизм унара A.
Подполугруппу {fm I m Є N0} полугруппы End A будем обозначать через ха .
Лемма 3. ([2], с. 578). Отображение pa, определенное по правилу: xpa = a для любого x Є A, является эндоморфизмом унара A тогда и только тогда, когда af = a.
Следствием леммы 1 и обобщением лемм 2.8 и 2.10 из [2] является
Лемма 4. Пусть ф: A ^ B — гомоморфизм A в унар B = {B,g). Гомоморфный образ a/ф периодического элемента a унара A есть также элемент, периодический, причем d(a^) ^ d(a) и p(a^) | p(a).
Доказательство. Непосредственно вытекает из леммы 1. □
Лемма 5. Пусть Aф — гомоморфный образ унара A. Если A = C^ , то Aф = C° либо Aф = C™ для некоторого n1 Є N.
Доказательство. Следует из определений. □
Предложение 1. Если A = C™, то полугруппа End A разбивается на подполугруппы
End A = Ха u {ф0} ,
где aф0 = a0 для любого a Є A (a0 — циклический элемент унара A).
При этом ха — {N0, +).
Доказательство. С учетом леммы 3 включение ха U {ф0} с End A очевидно.
Пусть ф Є End — произвольный элемент. Допустим, что ф = ф0. Значит, найдется элемент a Є A такой, что aф = a0. Отсюда, d(a),d(aф) > G, причем, согласно лемме 4, d(aф) ^ d(a). Покажем, что ф = fm, где m = d(a) — d(aф). Для произвольного x Є A возможны варианты.
1) x = a. Так как d(afm) = d(a) — m = d(aф) и поскольку для любого k Є N0 в унаре A существует единственный элемент с глубиной, равной k, то afm = aф.
2) x = afk для некоторого k Є N.
Тогда xф = (afk)ф = (<іф)fk = (afm)fk = (afk)fm = xfm
3) a = xf* для некоторого t Є N. Обозначим через a1 = xф, через a2 = xfm. Имеем:
alf* = ^)f = (xf*)ф = aф; a2f = (xfm)f = (xft)fm = afm.
Таким образом, a1f = аф = a2f'- Предположим, что a1 = a2- Не нарушая общности, положим: a2 = a1fk для некоторого k Е N. Значит, a1f' = a2ft = (aifk)f = (a1ft)fk, откуда a1ft = a0- Это противоречит тому, что a/ф = a0-Поэтому хф = a1 = a2 = xfm. Итак, ф = fm Е xA - Таким образом, End A С Xa U {фо}.
Докажем теперь, что xA П {ф0} = 0- Предположим, ф0 = f' для некоторого t Е No- Рассмотрим элемент у Е A с глубиной d(y) = t + 1. yf' = уф0 = a0, что противоречит определению глубины элемента- Значит, наше предположение неверно, и следовательно, End A = xA U {ф0} есть разбиение множества End A-Отметим, что fm = fk для любых различных m,k Е N0- Действительно, пусть m < k- Если бы fm = fk, тогда для элемента х Е A с глубиной d(x) = k имело бы место равенство xfm = xfk = a0, что противоречило бы определению глубины-
Ясно, что соответствие а: {fm | m Е N0} ^ N0, определенное правилом: afm) = m для любого m Е N0, является изоморфизмом xA на полугруппу
(N0; +)- ^
Пусть A = U Ai — разбиение A на связные компоненты- Рассмотрим унар iel
A такой, что Ai = для всякого i Е I -В каждом Ai зафиксируем элемент ai-(ai I i Е I) — это подунар A, порожденный множеством {ai | i Е I}; 6(ai\i&i) есть конгруэнция Риса по (ai | i Е I)- Фактор-унар A/0(ai\iei) будем обозначать через C(^’m), где m = III- Заметим, что при m =1, C(^’m) = C^°-Если A = Cj~’m), то примем следующие обозначения:
C — цикл с носителем {a0}, содержащийся в унаре A;
W = {W ^ A | W = C?}, пусть W = {Wi = (W, f )I i Е I}, где III = m-Напомним, что XY есть множество всех отображений из Y в X-
Предложение 2. Если A = C(^’m); то для множества End A имеет место разбиение
End A = (U Enda A,
ae(W U(C})W
где для каждого а Е (WU {C})W
Enda A = {ф: A ^ A — соответствие | для любого a Е A
{a0, если Wia = C,
afmi, если Wia = Wi, ,
bfmi, если Wia = Wj ,j = i, где b Е Wj, d(b) = d(a)
где mi Е N0 } .
Доказательство. Пусть а Е (WU {C})W, ф Е EndaA- Из способа задания следует, что ф: A ^ A является отображением- Пусть a Е A, a Е Wi для некоторого i Е I, откуда af Е Wi- Возможны варианты-
1) Wia = C- Тогда ^ф)f = a0f = a0 = (af)ф-
2) ад,а = iWi. Отсюда, аф = а/т для некоторого т, € М0. Имеем:
(аф)/ = (а/т)/ = (а/)П = (а/)ф.
3) ОДа = Wj,] = г. Тогда аф = Ь/т для некоторого mi € М0, где Ь € , д(Ъ) =
д(а). Отметим, что для произвольных элементов х, у любого унара из равенства д(х) = д(у) следует д(хдп) = й(удп), где д есть операция унара, п € N. Так как д(а) = д(Ь), следовательно, д(а/) = д(Ь/). При этом Ь/ € Wj. Значит,
(аФ)! = (Ь/т)/ = (Ь/)/т = (а/)ф.
Итак, ф € А. Таким образом, Еп^ А С Е^ А для любого а € (Ш[^ {С})ш.
Докажем, что ад,ф = ад,а для произвольных ф € Еп^ А и г € I. Для ад,а возможны варианты:
1) ад,а = С. Отсюда, по определению ф, аф = а0 для любого а € Wi. Следовательно, Шф С {а0}. Обратное включение очевидно, и значит, ад,ф = С.
2) ОДа = Wi. Тогда для любого а € Ш,,, аф = а/т € Ш,,. Поэтому Шф С Ш,,. Далее для произвольного а € Ш, ввиду сюръективности отображения / на множестве Ш, существует х € Ш, такой, что х/т = а, откуда хф = х/т = а, следовательно, а € Ш,ф. Таким образом, обратное включение имеет место, и
^ф = ад,.
3) ад,а = Wj,] = г. Для любого а € Ш,, аф = Ь/т, где Ь € Wj,й(Ь) = й(а). Откуда Ш,ф С Wj. Пусть х € Wj. Ввиду сюръективности отображения /^ существует у € Wj такой, что у/т = х. Отсюда для элемента г € Wi, д(г) = д(у) имеем: гф = у/т = х. Значит, Wj С Wiф. Итак, Ш,ф = Wj.
Из доказанного следует:
Еп^х А П EndQ,2 А = 0 для любых а\,а2 € {С})ш, а\ = а2.
Рассмотрим произвольный ф € End А. Согласно лемме 5, для любого г € I = С либо Wiф = Wj для некоторого ] € I. Покажем, что ф € EndQ, А, где Wiа = ад,ф для каждого г € I. Пусть а € А — произвольный элемент, а € Wi для некоторого г € I. Возможны варианты:
1) ад,а = С. Значит, *Ш,ф = С, откуда аф = а0.
2) ад,а = ад,. Т. е. ад,ф = ад,. Рассмотрим ограничение ф^ отображения ф
на множестве Wi. фщ1 € End ад,. Так как Wiфwi = {а0}, следовательно, по
предложению 1, ф^ € х<ж.. Отсюда, ф^ = /т для некоторого т € N. Поэтому аф = афцгг = а/т, где т, = т € М0.
3) ад,а = Wj,] = г. Тогда ад,ф = адj. Значит, найдется элемент х € Wi такой, что хф = а0. Обозначим через т = д(х) — в,(хф). Согласно лемме 4, т € М0.
Пусть у € Wi. Возможны случаи:
а) у = х. Тогда найдется гх € Wj такой, что в,(гх) = в,(х). Так как ё,(гх/т) =
в,(гх) — т = в,(х) — т = в,(хф) и хф € Wj, следовательно, гх/т = хф.
б) у = х/к для некоторого к € N. Пусть гу € Wj таков, что д(гу) = д(у). Поскольку в,(гх) = б,(х), значит, д(гх/к) = в,(х/к). Отсюда, в,(гх/к) = д(гу). Поэтому гх/к = гу. Имеем: уф = (х/к)ф = (хф)/к = (гх/т)/к = (гх/к)/т = гу / т.
в) х = у/к для некоторого к € N. Выберем элемент гу € Wj такой, что д(гу) = д(у). Так как д(у) = д(гу), следовательно, д(у/к) = д(гу/к), откуда в,(гх) =
d(zy fk)- При этом zx,zyfk Е Wj- Таким образом, zx = zy fk-Положим далее b1 = уф и b2 = zyfm- Тогда b1fk = (yф)fk = (yfk)ф = xф. С другой стороны, xф = zxfm = (zyfk)fm = (zyfm)fk = b2fk- Отсюда следует-что b1fk = b2fk = xф. Предположим, что b1 = b2- Пусть, для определенности, b2 = b1ft для некоторого t Е N- Отсюда, b2fk = (b1ft)fk = (b1fk)ft = (b2fk)ft-Таким образом, получили противоречие с тем, что xф = a0- Следовательно, bi = b2-
Итак, для любого y Е Wi, уф = zyfm, где zy Е Wj,d(zy) = d(y)- Поэтому a/ф = bfmi, где mi = m Е N0, b Е Wj ,d(b) = d(a)- Значит, ф Е Enda A, где Wia = Wiф для любого i Е I -
Таким образом, End A разбивается на множества Enda A, а Е (W (J {C})W-
□
В следующей теореме под O подразумевается нуль полугруппы-
Теорема 1. Пусть A = C(^’m). Если m = 1, то End A = (N0 U {O} , +). При m > 1
End A = (End W wr^T(X)) /p,
где W ^ A, W = C1°; IX| = m; ф есть тождественный автоморфизм полугруппы T(X); конгруэнция p определена по правилу: для любых т1,т2 Е (End W)X, t1,t2 Е T(X)
def
(Ti,ti) p (т2 , t2) & (ti = T2) & ((Vx Е X )(xTi = ф0 ^ xti = xt2)) (здесь ф0 Е
End Wj.
Доказательство. Положим сначала, что m =1- Изоморфность полугрупп End A и (N0 U {O} , +) очевидна с учетом предложения 1 и того факта, что ф0 является нулем полугруппы End A-
Пусть теперь m > 1- Конструкция p для сплетения R wr^S, где R — полугруппа с нулем, построена в [4]- Здесь же [4, лемма 1-1] приводится доказательство того, что бинарное отношение p является конгруэнцией R wr^S-
Определим соответствие y : End A ^ ((End W)X х T(X)) /p следующим образом-
Пусть EndA Э ф — произвольный элемент- Согласно предложению 2, ф Е Enda A для некоторого а Е (W[J {C})W- Полагаем, что X = {xi | i Е I}- Обозначим через tv преобразование множества X, заданное по правилу: для любого i Е I
t = ( xi, если Wiа = C или W^ = Wi,
Х% ф \ xj, если Wi а = Wj ,j = i .
Элемент тф Е (End W)X определим так- Пусть I Э i — произвольный элемент-
Поскольку ф Е Enda A, значит, для любого a Е Wi
a0, если W^ = C,
aф = afmi, если W^ = Wi, , где mi Е N0.
bfmi, если W^ = Wj,j = i, где b Е Wj,d(b) = d(a)
Мы полагаем:
ф0, если W^ = C
{
xiT& л
^ I f "н, в противном случае.
Итак y(ф) = [(тф^ф)]р-
Из способа задания ясно, что y — отображение- Можно показать, что y — биекция-
Пусть End A Э /31, в2 — произвольные элементы- y(в1в2) = [(тв1в2 ,te1e2)]Р-С другой стороны,
Y Ш * Y Ш = [(тв1 М )}р * [(тв2 ,te2 )]р = [(тв1 М ) * (тв2 ,te2 )]р;
(тв! ,tfa) * (тв2, t в2) = (T,tete2), где xt = (xTfr )((xtf3l )тв2) для любого x Е X -По предложению 2, в1 Е Endai A, в2 Е End«2 A, вв Е End« A для некоторых а1, а2, а Е (W (J {C})W- Для произвольного i Е I возможны варианты-
1) W а1 = C- Тогда xiTe1 = ф0, откуда xiT = ф0- Напомним (см- доказательство предложения 2), что W^ = Wi(e1e2)- Имеем: Wi(в1в2) = (Wie1)e2 = C[32 = C- Следовательно, xiTe1e2 = ф0-
2) W ial — Wj для некоторого j Е I- Отсюда, xit^! = xj - Для любого a Е Wi af31 = bfmi, где b Е Wj,d(b) = d(a), mi Е N0- Значит, xiTe1 = fmi- Возможны
случаи-
а) Wjа2 = C- Тогда xjтв2 = ф0, и xiT = ф0- С другой стороны,
Wi(fiiв2) = (Wiах)а2 = Wjа2 = C- Поэтому x^e = ф0-
б) Wjа2 = Wh для некоторого h Е I -В этом случае для любого y Е Wj, yf32 = zfkj для подходящего kj Е N0, где z Е Wh,d(z) = d(y)- Следовательно, xjтр2 = fkj- Таким образом, xiT = fmifkj = fmi+kj- С другой стороны, Wi(e1e2) = Wj а2 = Wh- При этом для произвольного a Е Wi
a(ee) = (afii)e2 = (bfmi)в2 = zfkj, где b Е Wj,d(b) = d(a), z Е Wh,d(z) =
d(bfmi)-
Рассмотрим элемент za Е Wh,d(za) = d(a)-
Так как d(za) = d(a) = d(b), значит, d(zafmi) = d(bfmi)-
Отсюда, z = zafmi, и, следовательно, a(e1e2) = (zafmi)fkj = zafmi+kj - Итак,
xTee = fmi-
Таким образом, t = тв1в2 -
Пусть i Е I таков, что xiT = ф0- Откуда xiTp1, (xite1)тв2 = ф0- Поскольку xiTe1 = ф0, значит, W^ = Wj для некоторого j Е I- Имеем xitp1 = xj - Из того, что xjтв2 = ф0, следует: Wjа2 = Wh для подходящего h Е I- Поэтому xjtp2 = xh- Таким образом, xi(te1te2) = (xite1 )tp2 = xjtp2 = xh- При этом Wi(e1e2) = (Wial)a2 = Wjа2 = Wh- Отсюда, xite^ = xh- Итак, (T,tete2) p (твгв2,tee)-Значит, y(вф2) = Y(e1) * Y(в2) для любых в1 ,в2 Е End A- Следовательно, y -изоморфизм полугрупп End A и (End W wr^ T(X)) /p- □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1- Карташов В- К- Квазимногообразия унаров // Математические заметки-1980- Т. 27, №1- С- 7-202- Varlet J. C. Endomorphisms and fully invariant congruences in unary algebras
(A, Г) // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. 1970. Vol. 39. P. 575-589.
3. Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. и др. Общая алгебра. Т. 2. М.: Наука, 1991.
4. Knauer U., Mikhalev A. Endomorphism monoids of free acts and O-wreath products of monoids. I. Annihilator properties // Semigroup Forum. 1980. Vol. 19. P. 177-187.
REFERENCES
1. Kartashov V. K. Quasivarieties of unars // Math. Notes. 1980. Vol. 27. P. 5-12. DOI: 10.1007/BF01149807.
2. Varlet J. C. Endomorphisms and fully invariant congruences in unary algebras
(A, Г) // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. 1970. Vol. 39. P. 575-589.
3. Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A. et al. Obshchaia algebra [General Algebra]. Vol. 2. Moscow: Nauka, 1991. (in Russian).
4. Knauer U., Mikhalev A. Endomorphism monoids of free acts and O-wreath products of monoids. I. Annihilator properties // Semigroup Forum. 1980. Vol. 19. P. 177-187. DOI: 10.1007/BF02572514.
Волгоградский государственный социально-педагогический университет. Поступило 14.09.2013
