CC BY
31
О РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ*
В.П. Танана
Челябинский государственный университет
Л.Д. Менихес
Южно-Уральский государственный университет men@math.tu-chel.ac.ru
Исследуется регуляризуемостъ линейных обратных задач в банаховых пространствах с использованием локально выпуклых пространств. Полученные результаты применяются при изучении регуляризуемости отображений, обратных к интегральным операторам.
Ключевые слова: регуляризуемостъ, проективный предел, интегральный оператор.
Пусть X, У — метрические пространства, / — отображение с областью определения -0(/) С X и множеством значений в У. Отображение / называется регуляризуемым, если существует семейство отображений {Д$, ^ £ (0; <50)}, Д5 : X —> У такое, что
для любого х £ D{f).
Отображение / называется В-измеримым отображением первого класса, если -0(/) = X и прообраз любого открытого множества есть множество типа Ра.
Понятие регуляризуемости возникло при решении некорректных задач. Если отображение / = А-1 является регуляризуемым, то для операторного уравнения Ах = у можно удовлетворительно определить понятие решения.
В.А. Винокуровым [1] было доказано, что в случае сепарабельного пространства У отображение / регуляризуемо в том и только том случае,
* Работа поддержана грантами РФФИ 01-01-00300 и РФФИ-Урал 01-01-96426.
когда / является _В-измеримым отображением первого класса.
В данной работе мы изучаем вопрос о регуляризуемости линейных обратных задач, т.е. / = А-1, где А : Е —> Е — линейное уплотнение (т.е. непрерывное и инъективное отображение), Е и Р — банаховы пространства. При установлении регуляризуемости линейных обратных задач оказывается полезным “пропускать” оператор через рефлексивное пространство. С помощью следующей теоремы [2] доказана регуляризуемостъ различных задач.
ТЕОРЕМА 1 [2, с. 196]. Если оператор С : Е\ —> Ез, отображающий сепарабельное банахово пространство Е\ в банахово пространство Ез, имеет вид С = В А, где А : Е\ —> и В : Е2 —> Е3 - линейные уплотнения такие, что А-1 регуляризуемо и Е2 рефлексивно, то отображение С~1 регуляризуемо.
Из этой теоремы, в частности, следует, что если линейное уплотнение А : С(0,1) -т- Е2(0,1) таково, что А непрерывен для некоторой Ер-нормы, р > 1 и продолжение А по непрерывности на это Ьр инъективно, то А-1 регуляризуем.
Целью данной работы является обобщение теоремы на локально выпуклые пространства. Для оператора А : С(0,1) —> 2^2(0,1) мы получим более сильное утверждение, чем сформулированное в теореме 1 (см. ниже теорему 4).
Оказывается, что в теореме в качестве Е2 необязательно брать рефлексивное банахово пространство, можно взять полурефлексивное локально выпуклое пространство, только тогда нельзя говорить о регуляризуемости А-1. Имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2. Если оператор С : Е\ —> Ез, отображающий сепарабельное банахово пространство Е\ в банахово пространство Ез, имеет вид С = ВА, где А : Е\ —> Е2 и В : Е2 —> Е3 — линейные уплотнения такие, что А-1 ^ ^ является В-измеримым отображением первого
класса и Е2 — полурефлексивное локально выпуклое пространство, то отображение С~1 регуляризуемо.
Теперь рассмотрим некоторую конструкцию пространства Пусть {Е„, а £ 1} — семейство полурефлексивных локально выпуклых пространств, Е\ С Еа для всех а, причем множество индексов I является направленным при помощи отношения а < /3 ^ Ед С Е„. Через
дар для а < (3 обозначим вложение дар : Ед —> Е„, которое предполагается непрерывным. Пространство Е2 определим как проективный предел пространств Е„ относительно отображений дар : Е2 = Нт дарРр- Тогда ясно, что как множества Е\ С Е2, Е2 С Е„ для всех а. Оказывается, что при некоторых дополнительных условиях построенное таким спосо-
бом пространство Е^ можно использовать в теореме 2. Точнее, имеет место следующий результат.
ТЕОРЕМА 3. Если оператор С : Е\ —> Ез, отображающий сепарабельное банахово пространство Е\ в банахово пространство Ез, имеет вид С = ВА, где А : Е\ —> Е2 и В : Е2 —> Е3 — линейные уплотнения, причем Е2 — построенное выше пространство Е2 = Нт да/зР/з, А —
В-измеримым отображением первого класса при наделении Е2 топологией, индуцированной из Еа, то отображение С~1 регуляризуемо.
Теперь применим полученные результаты к классической ситуации. А именно, рассмотрим вопрос о регуляризуемости отображений, обратных к операторам А : С(0,1) —> £2(0,1).
Роль пространств Еа будут играть пространства Ьр(0,1), р > 1. Обозначим, таким образом, Е2 = Нт дР1Р2ЬР2, где дР1Р2 : ЬР2 —> ЬР1 — вложение при рі < р2• Известно, что дР1Р2 — непрерывные отображения. Ясно, что вложение А : С(0,1) —> НтдР1Р2ЬР2 — непрерывное отображение и для
первого класса при наделении топологией, индуцированной из Ьр.
Следовательно, из теоремы 3 вытекает такой результат.
ТЕОРЕМА 4. Пусть линейное уплотнение А : С(0,1) —> 2^2(0,1) таково, что оно непрерывно в некоторой Ьр-норме и продолжение оператора А по непрерывности на пересечение всех Ьр инъективно. Тогда отображение А-1 регуляризуемо.
Эта теорема является усилением ранее сформулированного результата. Было известно, что регуляризуемость А-1 следует из инъективности продолжения А на некоторое Ьр, а мы доказали, что достаточно инъективности продолжения на пересечение всех Ьр.
Легко построить примеры, когда продолжение оператора А на любое Ьр неинъективно, а на пересечение всех Ьр инъективно.
Теорему 4 можно применить для изучения регуляризуемости отображений, обратных к интегральным операторам. Пусть А — интегральный оператор с непрерывным ядром, т.е.
оператор вложения и существует а Є I такое, что А 1
МЕі)
является
любого р > 1 отображение А 1
МЕі)
является _В-измеримым отображением
і
А : /(ж) у К(х,і)/(і) (И, о
где К(ж, £) — непрерывная функция. Регуляризуемость А-1 связана с решением интегральных уравнений и имеет давнюю историю. Впервые В.П. Та-наной [3] было доказано, что если продолжение оператора А на все Ь2(0,1) инъективно, то А-1 регуляризуемо. Затем в [2] показано, что достаточно инъективности продолжения на некоторое Ьр. Л.Д. Менихесом [4] приведен пример интегрального оператора (1) с нерегуляризуемым обратным отображением. Из теоремы 4 вытекает такой результат.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если продолжение интегрального оператора 1 на пересечение всех Ьр(0,1), р > 1 инъективно, то отображение А-1 регуляризуемо.
Список литературы
1. Винокуров В.А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11, № 5. С. 1097 - 2013.
2. Петунии Ю.И., Пличко А.Н. Теория характеристик подпространств и ее приложения. Киев: Вища шк., 1980.
3. Танана В.П. О решении интегральных уравнений Фредголъма первого рода в пространстве С(0, 1) // Мат. зап. 1970. Т. 7, тетр. 4. С. 83 - 90. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1970.
4. Менихес Л.Д. О регуляризуемости отображений, обратных к интегральным операторам 11 ДАН СССР. 1978. Т. 241, № 2. С. 282 - 285.
SUMMARY
In this paper, we investigate the regularizability of inverse linear problems in Banach spaces by using the theory of locally convex spaces. The method developed is applied to the study of the regularizability of mappings inverse to integral operators.
