CC BY
31
на для произвольного п, большего 1, отсутствуют какие-либо ограничения на весовые коэффициенты в формулах плоскостей ¿,и Ц. Предложенные методы значительно расширяют класс булевых функций, для которых можно получать дополнительную информацию о входных переменных по выходным значениям.
Заключение
Таким образом, в статье рассматриваются задачи выделения наиболее вероятного решения системы линейных неравенств и определения параметров пороговой функции. При решении задач в асимптотике, то есть при большом числе входных переменных, выведены простые формулы, по которым нетрудно производить вычисления на практике. Учитывая полученные результаты, необходимо сделать вывод о том, что веро-ятностно-статистический подход к анализу систем линейных псевдобулевых (псевдо-&-значных) неравенств имеет право на жизнь и
может найти применение при решении различных прикладных задач.
Литература
1. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. 3-е изд., перераб. - М.: Наука, Гл. ред. физмат. лит., 1987.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / Пер. с пересмотренного третьего английского издания Ю.В. Прохорова; Пред.
А.Н. Колмогорова. - М.: Мир, 1984.
3. Гаврилкевич М. Введение в нейроматематику / Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП, 1994.
4. Балакин Г.В., Никонов В.Г. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соот-ношений/Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер.: «Дискретная математика» Т. 1,Вып. З.-М., 1994.-С. 389-401.
5. Никонов В.Г. Пороговые представления булевых функций / Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. «Дискретная математика». Т. 1, Вып. З.-М., 1994. - С. 402-457.
6. Смирнов В.Г. Системы булевых уравнений рекуррентного типа / Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. «Дискретная математика». Т. 2, Вып. 3. - М., 1995. - С. 477-482.
О РАЗВИТИИ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ НА БАЗЕ ПОЛНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕМАНТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
О.М. ПОЛЕЩУК, доцент МГУЛа, к. ф.-м. н.
Успешное функционирование любой системы гуманистических областей - областей деятельности человека - главным образом зависит от того, как этой системой управляют. Своевременные и адекватные управляющие решения принимаются на основе информации о внутренней структуре этой системы, внешней среде ее функционирования, связи этой системы с другими системами и т. д. Разноплановая информация, определяющая состояние управляемой системы, определяется как количественными, так и качественными показателями, некоторые из которых в силу своей трудноформа-лизуемости могут быть представлены только в вербальном - описательном - варианте. Различный характер поступающей инфор-
мации определяет тип заложенной в этой информации неопределенности и соответственно требует дифференцированных подходов к методам ее обработки. Методы обработки информации направлены на получение адекватной реальности выводов с целью принятия на их основе эффективных и своевременных управленческих решений. В обычном разговорном языке понятия случайности и неопределенности имеют тенденцию смешиваться в одно понятие, но в языке науки достаточно давно произошло разграничение этих понятий [1]. В связи с этим при рассмотрении такого философского понятия, как неопределенность, предлагается пользоваться следующей классификацией [2]:
Неопределенность
Физическая
неопределенность
Лингвистическая
неопределенность
Физическая неопределенность описывает неопределенность реального мира с точки зрения наблюдателя. Неточностью занимается теория измерений, а случайностью
- теория вероятностей. Лингвистическая неопределенность включает в себя неопределенности понятий и конструкций естественного языка. Неопределенностью смысла фраз занимается формальная грамматика, а неопределенностью значений слов - теория нечетких множеств.
До момента изучения организационных задач, связанных с принятием решения человеком, и построения автоматизированных систем управления с моделированием деятельности человека-оператора физические неопределенности успешно учитывались с помощью методов классической теории вероятностей, а элементы систем управления представлялись в рамках классической теории множеств. Теория вероятностей была первой теорией, занимающейся обработкой неопределенности, а точнее, ее разновидности - случайности - и поэтому из всех теорий, в настоящее время занимающихся обработкой неопределенности, теория вероятностей наиболее развита. Однако сле-
дует отметить, что взаимоотношение явления и его вероятностной модели обнаруживается при повторных наблюдениях за явлением. Частоты исходов в длинном ряду испытаний стабилизируются, их колебания с ростом числа испытаний уменьшаются. Выходя за пределы реального опыта, полагают, что при его неограниченном повторении частоты стремятся к пределам, которые и принимают за вероятности соответствующих исходов или событий [3]. Таким образом, теория вероятностей работает только с событиями, обладающими статистической устойчивостью. Такие события в теории вероятностей называются случайными. Кроме этого, не стоит забывать, что теория вероятностей базируется на ряде требований, выполнение которых необходимо для адекватности выводов, полученных в рамках анализа информации. Примерами таких требований могут быть:
- наличие генеральной совокупности с наблюдаемыми признаками;
- неограниченная повторяемость наблюдаемых признаков в одинаковых условиях;
- независимость событий и т.п.
Методы теории вероятностей и математической статистики с самого начала своего развития были направлены именно на изучение физических неопределенностей -случайностей. Если информация получена в условиях, искусственно созданных, или независимо от воли наблюдателя, то можно говорить об адекватности применения методов теории вероятностей и математической статистики для обработки этой информации [4, 5].
В реальных ситуациях эти условия часто не выполняются. Например, когда мнения, суждения или качества человека вносят в исследуемые данные, - это субъективный фактор, который нельзя не учитывать. Или когда исследуемые признаки нечетки (расплывчаты) и в связи с этим труд-ноформализуемы.
Применение аппарата теории вероятностей для решения задач с неформальными рассуждениями, нечетко описанными условиями и целями приводит к тому, что или учитывается один вид неопределенности -случайность - или все виды неопределенности, независимо от своей природы, отождествляются со случайностью.
Попытки применения какого-либо конкретного классического математического аппарата - интервального анализа, статистических методов, теории игр, детерминированных моделей и т. д. - для принятия решений в условиях неопределенности позволяют адекватно отразить в модели лишь отдельные виды данных и приводят к безвозвратной потери информации других типов.
Применяя большую часть традиционных методов, приходится мириться с упрощенными моделями действительности и излишне жесткими требованиями к ее описанию, что значительно уменьшает ценность полученных результатов, к тому же нередко приводящих к неверным выводам и решениям.
Вообще говоря, классическая вероятность - это характеристика не отдельного объекта или события, а характеристика генеральной совокупности событий. В системах с участием человека чаще всего вызывает интерес не вероятностное описание отношения объекта или события к полной группе объек-
тов или событий, а уникальность и специфика этого объекта или события.
Этот возникающий интерес - до развития теории нечетких множеств - пытались реализовать с помощью неклассических вероятностей [6-8]. Наиболее часто применяемые неклассические вероятности - валентные и аксиологические вероятности. Валентная вероятность выражает ожидаемость реализации гипотезы с учетом контекста фактических свидетельств об объекте исследования.
В частном случае, когда репрезентативная выборка является выборкой однородных событий, валентная вероятность является статистической - классической. Однако, чем глубже изучается объект или событие, тем больше обнаруживается источников неопределенности, которые не могут быть раскрыты четко и однозначно. Ряд параметров оказывается недоступным для точного измерения, и в их оценках неизбежно появляется субъективная компонента. Аксиологическая вероятность выражает ожидаемость реализации гипотезы с учетом контекста субъективных оценок об объекте исследования, выдвинутых экспертом или группой экспертов.
При использовании такой вероятности неизменно возрастает риск произвола и ошибочного прогноза поведения объекта. В ряде задач нет необходимости получения оптимального четкого решения, так как затраты на накопление информации быстро растут, а время еще быстрее обесценивает актуальность этой информации. Чаще всего, в этом случае исследователь не может быть удовлетворен соотношением между полученным результатом и затратами - временными и материальными - на накопление и обработку информации классическими методами. Устранение в жестком режиме модельных невязок нередко превышает достигаемый при этом эффект, а на практике вполне достаточно указать решение с заданным уровнем оценочной уверенности - значением функции принадлежности.
Попытки формализации логиколингвистических высказываний, связанных с мыслительной деятельностью человека и его
субъективной оценкой наблюдаемых свойств определенного объекта, привели к появлению и развитию теории нечетких множеств Л. Заде. В 1965 году в журнале «Information and Control» появилась статья «Fuzzy Sets» [9], которая стала мощным толчком для теоретических разработок и прикладных исследований в различных областях человеческой деятельности. В [10] говорится, что основная идея Л. Заде состояла в том, что человеческий способ рассуждения, опирающийся на естественный язык, не может быть описан в рамках традиционных математических формализмов.
Программа Л. Заде состояла в построении новой математической дисциплины, в основе которой лежала бы не классическая теория множеств, а теория нечетких множеств. При построении этой теории были обобщены и использованы лучшие достижения многих математических теорий. Конечная цель такого построения - создание необходимого формального аппарата для моделирования человеческих рассуждений и человеческого способа решения задач. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, то есть систем, в которых участвует человек.
Подход Заде опирался на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. С самого начала развития своей теории он понимал, что использование таких объектов - средство повысить устойчивость математических моделей реальных явлений сферы человеческой деятельности.
В реальных ситуациях принятия решений цели, ограничения, критерии выбора в большей части субъективны и точно не определены. Поэтому при обработке поступающей информации и построении на ее основе различных моделей возникает необходимость использования нечеткой логики, нечетких множеств, нечетких отношений, которые в совокупности позволяют модели-
ровать плавное изменение исследуемых признаков и исследовать неизвестные функциональные зависимости, выраженные в виде качественных связей.
Различие между нечеткостью и случайностью приводит к тому, что методы теории нечетких множеств абсолютно не похожи на методы теории вероятностей. Можно даже сказать, что методы теории нечетких множеств проще во многих отношениях, поскольку базируются на более простом понятии - функции принадлежности (по Л. Заде) по сравнению с функцией распределения вероятностей, которая предполагает определение вероятностной меры, порождающей эту функцию.
Функции принадлежности нечетких множеств обладают теми же достоинствами в анализе, что и неклассические вероятности, и вдобавок к этому они являются количественной мерой наличной информационной неопределенности в отношении анализируемых параметров, значения которых описываются в лингвистически нечеткой форме. Преобразование нечетких, или искусственно размытых, значений признаков объектов в значения функции принадлежности соответствует измерению этих признаков в единой нечеткой шкале, что обеспечивает адекватность не только реалиям объекта исследования, но и специфическим особенностям познающего субъекта, а также формально очерченным границам наличной информационной неопределенности.
Необходимость дальнейшего развития теории нечетких множеств была обусловлена процессом автоматизации многих видов интеллектуального труда, в частности, автоматизацией управления сложными системами гуманистических областей. Можно выделить класс задач, для которых необходим аппарат теории нечетких множеств. Эти задачи имеют следующие общие черты, которые присущи многим задачам областей деятельности человека:
1) наличие лица, принимающего решение;
2) влияние субъективного фактора, не позволяющего адекватно описывать на базе
обычной теории множеств расплывчатые (нечеткие) понятия;
3) динамичность многих субъективных характеристик вследствие изменения мнений экспертов.
В последние годы интерес к методам теории нечетких множеств неуклонно возрастал, что нашло отражение в многочисленных теоретических и прикладных работах [10]. Однако в некоторых разделах этой теории ситуация сложилась таким образом, что их прикладная составляющая получила более существенное развитие по сравнению с теоретической составляющей. Результатом такой относительной неразвитости математических основ теоретической части стало образование пробела, не позволяющего продолжить связующую нить теоретических разработок, с одной стороны, и расширить поле потенциальных практических приложений - с другой.
Подобная ситуация сложилась в разделе теории нечетких множеств, который занимается изучением полных ортогональных семантических пространств. Полные ортогональные семантические пространства в совокупности составляют подмножество множества лингвистических переменных. Понятие лингвистической переменной является одним из основных понятий теории нечетких множеств. По своим свойствам полные ортогональные семантические пространства были выделены в отдельное подмножество множества лингвистических переменных сравнительно недавно [2]. Толчком к выделению и более глубокому изучению этого подмножества послужило бурное развитие на его базе перспективного прикладного направления.
Недостаточная развитость теоретических исследований тормозила дальнейшее развитие этого направления и, с насущной необходимостью, заставляла укреплять теоретический фундамент. Следует отметить многочисленность областей применения полных ортогональных семантических задач: поиск информации в нечеткой среде [2], обработка информации образовательного процесса [13— 16], оценка качества образовательных услуг [17], анализ риска банкротства предприятий
[6], анализ риска инвестиций [7], модели принятия решений [11,12], подбор кадров, оценка качества персонала [11, 18], анализ экспертных критериев [19] и т. д. Не обошли стороной полные ортогональные семантические пространства и классические разделы математики, в частности, теорию вероятностей [6, 7].
Нельзя не остановиться на анализе того, что же послужило причиной использования в многочисленных прикладных приложениях полных ортогональных семантических пространств рядом авторов и развития на их основе системы методов [14-19] обработки нечеткой информации автором настоящей статьи.
Как известно [10], лингвистическая переменная и, в частности, полное ортогональное семантическое пространство определяются функциями принадлежности своих терм-множеств. Функции принадлежности терм-множеств полного ортогонального семантического пространства имеют ряд свойств, которые органично вплетаются в мыслительные процессы человека и облегчают проводимую им процедуру оценочных и управляющих действий. Плавность границ этих функций повторяет плавность мыслей человека при переходе от одного понятия к другому. Существование хотя бы одного эталона - типичного представителя - для каждого понятия и разделимость всех понятий уменьшают нечеткость процедуры оценивания. Существование не более двух точек разрыва первого рода обеспечивает возможность работы с четкими понятиями посредством их характеристических функций.
Перечисленные выше свойства дают возможность применения аналитического аппарата функционального анализа, обеспечивают пользователю удобства работы с полными ортогональными семантическими пространствами и делают однозначным выбор в их пользу.
Все перечисленное в комплексе является причиной использования полных ортогональных семантических пространств в многочисленных прикладных приложениях и непрерывного развития автором на их основе методов обработки нечеткой информации.
Литература
1. Кофман А., Хил Алуха X. Введение теории нечетких множеств в управление предприятиями. -Минск: Вышэйшая школа, 1992.
2. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. - М.: Диалог-МГУ, 1998 - 116 с.
3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. - М.- Л.: ОНТИД936.
4. Ширяев А.Н. Вероятность. - М.: Наука, 1980. - 576 с.
5. Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 350 с.
6. Недосекин А.О., Максимов О.Б. Анализ риска банкротства предприятия с применением нечетких множеств // Вопросы анализа риска. - 1999. - № 2-
3.
7. Недосекин А.О., Максимов О.Б. Анализ риска инвестиций с применением нечетких множеств // Управление риском. - 2001. - № 1.
8. Орлов А. И. Заводская лаборатория. - 1990. - Т. 56, №3.-С. 76-83.
9. Zadeh L.A.. Fuzzy sets // Inform. And Control - 1965-№8,-P. 338-352.
10. Аверкин A.H., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Силов
В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-312 с.
11. Борисов А.Н., Крумберг O.A., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. - Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.
12. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / Под ред. Д.А. Поспелова- М.: Наука, 1986.-311 с.
13. Chiu-Keung Law. Using fuzzy numbers in educational grading system // Fuzzy Sets and Systems.- 1996 - № 83.-P. 311-323.
14. Полещук O.M. Некоторые подходы к моделированию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. - 2002. - № 3 (10). - С. 54-72.
15. Полещук О.М. Нечеткая регрессионная модель прогноза успеваемости обучающихся // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. -Т. 9, Вып. 2.-С. 435-436.
16. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В. О тенденциях развития систем обработки информации в образовательной среде // Качество. Инновации. Образование. - 2002. - № 1.
17. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О системном подходе к повышению качества образовательных услуг // Качество. Инновации. Образование. - 2002. - № 3.
18. Домрачев В.Г., Петров В.А., Полещук О.М. Лингвистические переменные в задачах кадрового отбора // Лесной вестник. - 2001. -№ 5 (20). - С. 192-197.
19. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О нечетком кластер-анализе на основе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П. Королева. - 2002. - Вып. 6. - С. 52-53.
НЕЧЕТКАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА ПОЛНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕМАНТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
О.М. ПОЛЕЩУК, доцент МГУЛа, к. ф.-м.
И. А. ПОЛЕЩУК, кафедра интеллектуальных систем МГУ
В статье [1] изложены методы построения функций принадлежности полных ортогональных семантических пространств (ПОСП). Пусть в рамках одного из этих методов построены к ПОСПХ , г = 1,к, с функциями принадлежности терм-множеств {/л„(х), 1 = 1 ,к,1 = 1,ш}.
Все к ПОСП построены в результате обработки информации, полученной в ходе проведения одной из следующих процедур:
1) оценивание к экспертами проявлений качественного признака у объектов некоторой совокупности;
2) оценивание экспертом проявлений качественного признака у объектов к совокупностей.
Задачи построения ПОСП в рамках обработки информации процедур 1) и 2) можно считать двойственными задачами.
Обозначим за Е‘, Н* = {х., і = 1,к]
множество к ПОСП, построенных в результате обработки информации одной из процедур 1, 2.
Пусть
= Ы, (*). 1 = Ъгп] /і, (х) 3 ( а', а[, а[, а[),
