О разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных дифференциальных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2 ББК 22.161.6 С 78

Сташ А.Х.

Кандидат физико-.матаматических наук, ассистент кафедры математического анализа и методики преподавания .математики факультета .математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]

О разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных дифференциальных систем

(Рецензирована)

Аннотация

В пространстве линейных двумерных дифференциальных систем с непрерывными ограниченными коэффициентами приводится точка, в которой каждая из крайних частот терпит скачки как вверх, так и вниз при возмущениях коэффициентов, исчезающих на бесконечности.

Ключевые слова: линейная дифференциальная система, колеблемость решений, число нулей функции, полная (векторная) частота решения.

Stash A.Kh.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Lecturer of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]

On discontinuity of extreme frequencies on a set of the linear two-dimensional differential systems

Abstract

The point, in which each of extreme frequencies suffers jumps both up and down at disturbances of the coefficients disappearing on infinity, is given in space of linear two-dimensional differential systems with continuous limited coefficients.

Keywords: linear differential system, variability of solutions, number offunction zeros, full (vector) frequency of the solution.

1. Введение и формулировка основного результата

Для заданного n е N обозначим через Mn множество линейных систем

x = A(t)x, x е Rn, t е R +=[0, ,

каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией A :R + ^ EndRn. Множество всех ненулевых решений x :R + ^ Rn системы A е Mn обозначим через S* (A).

Для заданных вектора и вектор-функции

m = (,...,mn)е Rn, x = (,...,xn):R + ^Rn

обозначим через v(x, m, t) число нулей (возможно бесконечное) скалярной функции

(x(t\ m)= xi (r)mi + ... + xn (t)mn , Te (0, t].

Определение 1 [l]. Каждому решению x е S* (A) системы A е M n поставим в соответствие его верхнюю и нижнюю полную (векторную) частоты

---- 7Г 7Г

а(х) = inf lim — v(x, т, t). а(х) = inf lim —у(хл m, t),

met" t—>oc t met" t—>oc t

----- 7Г - 7Г \

С(ж) = lim inf —v(x,m,t). £(x) = lim inf —u(x,m,t) j ,

t—>co t t—>oo mel" t )

а в случае совпадения верхней частоты с нижней будем называть ее точной и обозначать просто а(х) (соответственно С(ж))-

Кроме того, по каждой из перечисленных частот к = а, а, С, С образуем крайние частоты системы A Е Жп, а именно, младшую и старшую частоты

xi(A) = inf х(х). хп(А) = SUP х{х).

В дальнейшем все крайние частоты будем рассматривать как функционалы на линейном топологическом пространстве Мп с естественными для функций линейными операциями и равномерной на R+ топологией, задаваемой нормой

||Л|| = sup |Л(£)|. ieK+

Определение 2 [2]. Для системы А Е Мп обозначим через “В (А) множество систем В Е Мп. удовлетворяющих условию lim |B(t) — A(t) \ = 0. при котором возмущение В — А назовем

t—> ОС

бесконечно малым. Скажем, что функционал, определенный на М". инвариантен в точке А Е Мп относительно бесконечно малых возмущений, если его сужение на множество Ъ(А) есть константа.

При п = 2 сужения этих функционалов на топологическое подпространство линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка (к которым сводятся двумерные системы с помощью канонической замены) непрерывны [3] и. будучи остаточными [2]. инвариантны относительно бесконечно малых возмущений.

В связи с этим возник вопрос: распространяются ли указанные свойства крайних частот с пространства линейных уравнений второго порядка на пространство всех линейных двумерных дифференциальных систем? На этот вопрос отвечает следующая

Теорема. В пространстве М2 существует точка, в которой ни одна из крайних частот не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Данный результат был доложен на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ имени М.В. Ломоносова и анонсирован в [4].

2. Вспомогательный результат

Лемма. Пусть последовательность положительных чисел t\ < ^ < ■ ■ ■ удовлетворяет условиям

lim tk = оо. lim = 1. (1)

А;—>-оо к—> ос tk

Тогда для любого решения х Е S* (Л) любого уравнения А Е Мп справедливы равенства

7Г --- 7Г

а(х) = inf Um —u(x,m,tk)-, а(х) = inf lim —u(x,m,tk)-,

meK11 к—j-oc tk met" fc—)-oc t

7Г ~ --- 7Г

£(:c) = lim inf —u(x,m,tk), ((x) = lim inf —u(x,m,tk).

fc->oo mel" tk ^_>0° m£l” tk

Доказательство леммы (см. лемму б [5]).

Условия (1) позволяют заключить каждое значение t > t\ в свои границы tk < t ^ tk+i и записать цепочку соотношений

7Г 7Г

а(х) = inf lim —v(x,m,t) ^ inf lim ------tk) =

meK11 t—>oc t meK11 к—tk+1

= inf lim ----------u(x,m,tk) • lim = jnf —i/(x,m,tk) =

meK11 к—j-oc tk+1 k—>oc tk mgK11 k—>cc tk

= inf lim —v{x,m,tk+i) = inf lim —i/(x, m, tk+i) • lim ^ =

m£P k—>oc tk+1 m£K" k—>oc tk+1 fc—>oc tk

71 7Г

= inf lim —v(x,m,tk+i) inf lim —v(x, m, t) = a(x).

met" к—¥ос ^к met" t—>oc t

в которой все неравенства обращаются в равенства, откуда и следует справедливость утверждения настоящей леммы для нижней полной частоты. Аналогичные соотношения имеем и для нижних векторных частот

7Г 7Г

С(ж) = lim inf —i/(x,m,t) ^ lim inf ---u(x,m,tk) =

Hoo m£l” t ):->oo m£l” tk+1

tt -f-

= lim inf

tk+

7Г 7Г

= lim inf —u(x,m,tk+1) ^ lim inf —i/(x,m,t) =((x).

к—)-oo met11 tk t—>co m£Mn t

____ _____v(x,m,tk) ■ lim = lim inf —i/(x,m,tk) =

fc->oo mel" tk+l к—>oc tk fc->oo mel" tk

Формулы для верхних полной и векторной частот доказываются аналогично.

Лемма доказана.

3. Доказательство основного результата

1. Определим последовательность е\ > £2 > • • • > положительных чисел, стремящуюся к пулю. Зададим непрерывно дифференцируемые функций ф^), у>(£). при любом фиксированном к € N строго возрастающие на промежутках (2(к — 1)7Г. (2к — 1)7г), строго убывающие на участках ((2к — 1)7г. 2кж) и принимающие на концах интервалов значения

'ф(2(к — 1) 7г) = 0, ф((2к — 1) 7г) = 7г — tk-

ф{2[к — 1) 7г) = ф((2к — 1) 7г) = О,

<f(2(k — 1)7г) = 0, (р((2к - 1)7г) = 7Г + ек,

^ф(2ктт) = ф((2к — 1) 7г) = 0.

(2)

Функция

Ф{г) = <

ф{г), t е [0, 2тг],

(p(t), t £ [27Г, 47г],

Ф(Ь), t Е [47Г, б7г].

(p(t), t G [67Г, 87г],

является непрерывно дифференцируемой в силу равенств (2).

Ясно, что при любом к Е N выполнены

|ф{€) - ф(Ь) I < 2е2к-, t е [4(к - 1)тг, 4Ьг], Iф{€) - <^(^)| < 2е2А;-1, t е [4(к - 1)7г, 4Ьг], (3)

- 27 -

а с ними и равенства Іііщ-юс \ф(і) — ф(Ь)\ = 0. Иш^^ос |ф(і) — (р(і)| = 0. из которых следуют

Нт |ф{£) — ф{Ь)\ = 0, (4)

к—> ОС

Нт \ф(г) - ф(г)\ = о. (5)

к—> ОС

2. Построим на Я+ двумерную систему А = ( й11 12 ) с непрерывными ограниченными

\ а21 а22 /

коэффициентами ац, а\2, 0,21, 0-22-

Для этого определим фундаментальную систему Х(і) = (х1 (і), х2(і)) :

СО в('0(^))

Так как сІеіХ(і) = со82(ф(і)) + 8Іп2(ф(і)) = 1. то

-ілл _ І соз(г/;(і)) эт(ф(і))

^ ^ 1 — 8Іп('0(і)) СОб('0(і))

Известно, что фундаментальная матрица удовлетворяет исходной матричной системе

х(г) = А{г)х{г),

а значит, без труда, восстанавливается система А (і) = Х(£)Х_1(£) :

ац (і) = ф{Ь) (— віпіф^)) сов(ф^)) + вій(ф^)) сов('0(^))) = 0.

аі2(і) = Ф(і)(~ віп2 (</>(*)) - соз2(ф^))) = -ф{Ф),

021 (^) = ф(і)(с032(ф(і)) +вІП2('0(і))) =Ф{Ф),

022^) = Ф(і)(соб(Ф(і)) Бт(ф(і)) - сов(ф(г)) вій(ф^))) = 0.

Любое решение хс = С\Х1 + С2Х2 Є §*(Л) на і?+ колеблется между двумя направлениями с = (с\. С2), —с = (—Сі, —с2) и при этом решение ни разу не коснется вектора —с. Поэтому найдется такой вектор тс, что соответствующее решение хс ни разу не будет ортогонально этому вектору, т.е. скалярное произведение (хс, тс) ф 0 при любом і ^ 0. поэтому

((х) = ((х) = а(х) = а(х) = 0. х Є §*(Л).

следовательно, (і (Л) = (і(Л) = (2(А) = С2(А) = 0, сгі(А) = о2(А) = &і(Л) = о2(А) = 0.

3. Возмущенная система В = ( ?12 ) с фундаментальной матрицей

V 021 022 /

-1п\ - I 0 -Фі1)

имеет вид

т = гт-'(г> = Кф{() 0

Произвольное решение ус = С\у1 + с2у2 Е §>*(В) при любом фиксированном к Е N на промежутках (2(к — 1)7Г. (2к — 1)7г], ((2к — 1)7Г. 2ки] пересекает направление —с = (—с\, —с2),

- 28 -

т.е. на указанных промежутках длины 7Г решение ус совершает повороты более чем на 180° (но менее чем 270°). поэтому найдется такой вектор тс Е R2. что выполнены равенства

inf и (у с, т, пк, 7Г (к — 1)) = v(yc, гпС1 пк, тг (к — 1)) = 1.

те К2

Следовательно, для произвольного решения ус Е S*(В) имеем

£(Ус) = lim inf = Unj =

t—>CO mGMn ^ t—>ОС t

= lim -

t—> ОС t

= -- -4=1,

t—>ос t \7Г I 7Г

так как 0 ^ {^} < 1.

Для нижних частот произвольного решения ус Е 5* (5) справедлива оценка

х ■ , тг 1>{ус,т,г) 'яи(ус1 тс, £) 1

<т(ус) = 1Ш 1пп -------------- ^ 1пп --------------- = 1.

шеЕ” <—1-ос ^ >ос ^

Аналогичные соотношения справедливы и для верхних частот, поэтому имеем

1 = С (У с) < °(Ус) < 1-Таким образом, для любого решения у Е 5* (5) выполнены равенства

С (у) = С (у) = а (у) = а (у) = 1,

следовательно.

С1(в) = С1(в) = С2(5) = С2(5) = 1,

0-1(5) = С7г(в) = а2(В) = сг2(В) = 1.

4. Очевидно, что матрица 2(±) = (ЛО.^М) = (

Х(Ь). I Е [0, 2ж],

У(£), t Е [27Г, 47г].

= < Х(£), Ь Е [47Г, 67г].

У(^), £ Е [67Г, 87г],

является фундаментальной для системы

'A(t), t E [o, 2тг],

B(t), t E [2-7Г 4тг]

Ait), t E [47Г бтг]

B(t), t E [67Г 8тг]

с непрерывными коэффициентами (в силу непрерывной дифференцируемости функции ф).

- 29 -

Для вычисления нижних частот произвольного решения 2 Є §*((7) определим последовательность й0 = 0. 5/с = 47гк. обладающую свойствами

V V 8к+1 г 4тг(А; + 1)

пт з^ = оо. пт -------------= пт ------ —----= 1.

к—> оо к—> ос в к к—> ос 4тїк

По произвольному направлению с = (сі,с2) выберем вектор тс Є К2, который ни разу не будет ортогонально решению гс = Схг1 + С2%2 Є §*(С) на тех участках, где оно совпадает с вектор-функцией хс = С\Х1 + С2Х2. Выбранный вектор тс Є М2 бывает два раза ортогонально решению на каждом участке длины 2п, где оно совпадает с вектор-функцией ус = сгу1 + с2у2. Следовательно, для произвольного решения Є §*((7) найдется такой вектор тс Є К2, что при любом к Є N выполнены равенства іпГтєК2 к(гс, т, вк, вк_і) = и(гс, тс, вк, вк-і) = 2.

По лемме, с учетом последних равенств, будем иметь

ї/ ч т . , тгі/(гс,т,,як) тгі/(гс,т,с,як) 2ттк 1

ті --------------- = пт ----------------= пт —- = -.

к—>оо $к к^ос $к к^ос 47їк 2

Для нижних полных частот рассматриваемых решений имеем следующее соотношение

,/ ч ■ , пи(гс,т,г) тги(гс,тс,г) 1

(7{гс) = ті пт ----------------^ пт ---------------= -.

шЄМ11 <—»ос ^ >ос ^ 2

Аналогичные соотношения справедливы и для верхних частот, поэтому имеем

^ = Фс) < фс) <

Следовательно, для любого решения 2 Є §*(С*) выполнена цепочка равенств ((г) = а(г) = 1/2. из которой следуют равенства

й(С) = Сі (С) = 4 (С) = 6(С) = 1/2,

^(С) = ст, (О) = <т2(С) = »2(С) = 1/2.

5. За счет выбора последовательности {ек} возмущения С — А. С — В можно сделать равномерно малыми в силу равенств (4). (5),

\\С — Л|| = тах | С (і) — А(ї) І =

= тах ^(ф(і) — ф(і))2 + (~Ф) + Ф{і))2 = д/2тах |ф(і) — ф(і)\,

\\С-В\\ = тах \Си) -ВШ =

_____________ ІЄК+

= ^ах у/ (ф(і) - ф(і))2 + (~ф) + ф(і))2 = л/2тах\ф) - ф(і) |.

Поэтому в любой достаточно малой окрестности системы С, все крайние частоты которого равны 1/2 найдутся системы вида А. В с нулевыми и единичными крайними частотами соответственно. Последнее означает не только разрывность всех крайних частот в точке С но и то. что все крайние частоты в этой же точке С не являются ни полунепрерывными снизу, ни полунепрерывными сверху.

6. Возмущение С — А является бесконечно малой (при і —> оо) поскольку на основании равенств (3), (4) имеем

Пт \С(£) - А(г) | = Ііт у/(ф(і) - ф))2 + (~ф) + ф))2 =

1-ї ос ^ 1—>ос у

= л/2 Ііт |ф) — ф(і) \ = л/2 Ит \Ф) — ф(і) \ = 0.

ос к—їос

но соответствующие крайние частоты систем А и С ие совпадают. Последнее означает, что все крайние частоты не являются инвариантными в точке С.

Теорема доказана.

Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.

Примечания:

1. Сергеев ИЛ. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 6. С. 908.

2. . .

линейных систем дифференциальных уравне-// . . . . 1983. Вып. 9. С. 111-166.

3. . .

решений дифференциального уравнения второ// -тета. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 6. С. 21-26.

4. . . -

тот решений двумерных линейных дифферен-// -

нения. 2013. Т. 49, № 11. С. 1497-1498.

5. . . -

//

. . . . 2006.

Вып. 25. С. 249-294.

References:

1. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of a linear system // Differential equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 908.

2. Sergeev I.N. On the theory of Lyapunov indices of linear systems of differential equations // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 1983. Iss. 9. P. 111166.

3. Sergeev I.N. Unsteadiness and roaming of solutions of the second order differential equation // Bulletin of Moscow University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. 2011. No. 6. P. 21-26.

4. Stash A.Kh. Properties of full and vector frequencies of solutions of two-dimensional linear differential systems // Differential equations. 2013. Vol. 49, No. 11. P. 1497-1498.

5. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249294.