О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ С МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ ПРИ ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМ ПРОЦЕССОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №2

МАТЕМАТИКА

УДК 517.97

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 2 80

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ С МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ ПРИ ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМ ПРОЦЕССОМ

Керимбеков Акылбек, д.ф.-м.н., профессор,

akl7@rambler.ru

Кыргызско-Российский Славянский университет имени первого Президента Российской Федерации Б.Н. Ельцина,

Бишкек, Кыргызстан Баетов Авалкан Куканович к.ф.-м.н., доцент,

carterbek@mail.ru Институт новых информационных технологий, Кыргызского Государственного университета имени И. Арабаева Доулбекова Салтанат Байызбековна, к.ф.-м.н., доцент,

doulbekova25@mail.ru Кыргызско-Российский Славянский университет имени первого Президента Российской Федерации Б.Н. Ельцина,

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация: В статье исследованы вопросы разрешимости задачи оптимизации колебательных процессов, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных с интегральным оператором Фредгольма, при минимизации интеграла энергии управляющей силы. Исследование проводилось с использованием понятия обобщенного решения краевой задачи управляемого колебательного процесса. В задаче оптимизации требуется найти управление, которое переводит колебательный процесс из одного состояния в другое заданное состояние. В процессе исследования установлено, что искомое оптимальное управление определяется, как решение бесконечномерной системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода и найдены достаточные условия существования решения этой некорректной задачи.

Ключевые слова: краевая задача, обобщенное решение, интеграл энергии, функционал, граничное управление, оптимальное управление.

ТЕРМЕЛУУ ПРОЦЕССИН ЧЕКТИК БАШКАРУУДА ЭНЕРГИЯНЫ МИНИМАЛДАШТЫРУУ МЕНЕН ОПТИМАЛДАШТЫРУУ МАСЕЛЕСИНИН ЧЕЧИЛИШИ ЖЭНУНДе

Керимбеков Акылбек, ф.-м.и.д., профессор,

akl7@ rambler.ru Россия Федерациясынын биринчи президенти Б. Н. Ельцин атындагы Кыргыз-Россия Славян университети

Бишкек, Кыргызстан Баетов Авалкан Куканович ф.-м.и.к., доцент,

carterbek@mail.ru

И. Арабаев атындагы Кыргыз Мамлекеттик университети,

Жаны маалымат технологиялар институту

Доулбекова Салтанат Байызбековна, ф.-м.и.к., доцент,

doulbekova25@mail.ru Россия Федерациясынын биринчи президенти Б. Н. Ельцин атындагы Кыргыз-Россия Славян университети,

Бишкек, Кыргызстан

Аннотация: Макалада башкаруу кучунун энергия интегралын минималдаштырууда Фредголмдун интегралдык операторун кармаган жекече туундулуу интегро-дифференциалык тецдемелер менен CYрвттвлгвн термелYY процессинин оптимизациялоо маселесинин чечилиши тууралуу суроолор изилденген. Изилдвв термелYY процессинин оптимизациялоо чектик маселесинин жалпыланган тушунугун колдонуу менен жургузулгвн. Оптималдаштыруу маселесинде термелYY процессин бир абалдан экинчи абалга вткврYYЧY башкарууну табуу талап кылынат. ИзилдввHYн ЖYPYШYндв изделген оптималдык башкарууну биринчи тYрдвгY Фредгольмдун интегралдык тецдемелеринин чексиз влчвмдYY системаларынын чыгарылышы катары табылды жана бул начар коюлган маселенин чыгарылышынын жашашы YЧYH жетиштYY шарттар аныкталды.

Урунттуу свздвр: чектик маселе, жалпыланган чыгарылыш, энергия интегралы, функционал, чектик башкаруу, оптималдуу башкаруу.

ON THE SOLVABILITY OF THE OPTIMIZATION PROBLEM WITH MINIMUM ENERGY UNDER BOUNDARY CONTROL OF THE

OSCILLATIONAL PROCESS

Kerimbekov Akylbek, Dr Sc, professor akl7@rambler.ru Kyrgyz-Russian Slavic University named after the first President of the Russian Federation B.N. Yeltsin

Baetov Avalkan Kukanovich, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor

carterbek@maiL.ru Institute of New Information Technologies, Kyrgyz State University named after I. Arabaev Doulbekova Saltanat Bayzbekovna, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor

doulbekova25@mail.ru Kyrgyz-Russian Slavic University named after the first President of the Russian Federation B.N. Yeltsin,

Bishkek, Kyrgyzstan

Abstract:: The paper studies the solvability of the optimization problem for oscillatory processes described by partial integro-differential equations with an integral Fredholm operator while minimizing the energy integral of the control force. The study was carried out using the concept of a generalized solution of the boundary value problem of a controlled oscillatory process. In the optimization problem, it is required to find a control that transfers the oscillatory process from one state to another given state. In the course of the study, it was established that the desired optimal control is defined as a solution to an infinite-dimensional system of Fredholm integral equations of the first kind, and sufficient conditions for the existence of a solution to this ill-posed problem were found.

Keywords: boundary value problem, generalized solution, energy integral, functional, boundary control, optimal control.

Постановка задачи оптимизации и ее разрешимость. Рассмотрим задачу граничного управления колебательными процессами, где требуется минимизировать функционал

T

J [u(t)] = J u\t )dt, (1)

0

энергии управления (управляющих сил) при переводе управляемого процесса, описываемого краевой задачей

Vtt = Vа + л| K(t,T)V(т, x)dr, 0 < x < 1, 0 < t < T

(2)

(3)

(4)

V(0, x) = щ (x), V (0, л) = ¥2 (л), 0 < x < 1,

V ^ ,0) = 0, Гх (М) + аГ (t,1) = u(t) из начального состояния V(0, л) = ( (л) в заданное другое положение

V (Т, л) = £( л)

за заданное время Т. К (t,т) -заданная функция, определенная в области Б = {0 < t < Т ,0 <т < Т} и удовлетворяет условию

(5)

TT

JJK2 (t,T)dTdt = K

= Ko <

0 0

т.е. К^,т) е Н(Б),; £(л), (л), у/2(л) заданные функции из пространства Н(0,1), причем функция (л) имеет обобщенную производную первого порядка; Я -параметр, Т -фиксированный момент времени, постоянная а > 0, Н(У) -гильбертово пространство квадратично суммируемых функций, определенных на множестве У.

Обобщенное решение краевой задачи. Известно [1,2], что краевая задача (2)-(4) при заданных условиях имеет единственное обобщенное решение

ад

V(t, л) = (Г) (л) (6)

n=1

где система функций z (x) =

2(Л+«2)

cos Лп x при каждом фиксированном

Л1 + а2 + а

n = 1,2,3,..., опеделяется как решение краевой задачи

zn(x) + ^^Zn (x) = 0, z'n (0) = 0, zn (l) + azn (1) = 0,

и образуют полную ортонормированную систему в гильбертовом пространстве H (0,1), а соответствующие собственные значения Лп определяются как решения трансцендентного уравнения ЛtgЛ = а и удовлетворяют следующим условиям

я

Ли<Ли+1,Vn = 1,2,3,..., limЛп=ю. (n-1)я<Л„<-(2n-1), n = 1,2,3,...;

n—2

А коэффициенты Фурье Vn (t) определяются соотношениями

1 T

Vn (t) = ¥n (t, Л) + — f Dn (t, т, Л) Zn (1)M(T)dT,

Л t

(7)

¥n(t ,Л) = ¥n

t

cos Лп s + Л f Bn (t, s, Ä)cos\sds

t

sin Лп t + Л^Вп (t, s, Л^тЛи sds

T

0

Я (г, я, Л) =

т Лп (г -т) + Л | В (г, я,Л) (я -т)Ся, 0 <т< г,

0

г

| Вп (г, я, Л) $тАп (5 - т)Ся,

г<т<т,

Вп (г, 5, Л) = £ Лг X, (г, 5), п = 1,2,3,... -резольвента ядра

1 г

Кп (г, я) = — Г з!пЛп (г - т)К(т, я)Ст, Кп (0, я) = 0, Л J

(9)

(10)

п 0

а повторные ядра Кп^(г,я) при каждом фиксированном п = 1,2,3,..., определяются по формулам

т

Кп4+1(г,я) = ГКп(г,т)Кй,(т,8)йт, I = 1,2,3,...,

(11)

КпЛ(г, я) = Кп(г, я).

Согласно равенствам (10) -(11) имеет место следующая оценка

7Т

\Вп (г, я,Л)\ <

Лп-\л\^кГ У

Г К 2 (т, 8)с1т,

(12)

которая выполняется для значений Л удовлетворяющих следующего неравенства

Л — ^0 < 1, п = 1,2,3,....

Лп

Используя неравенства (12) получаем оценку:

т К т

||В (г, я,Л)\2 ёя < 0

(Лп -Л

-\л\тж

(13)

(14)

Ряд Неймана (10) абсолютно сходится при каждом фиксированном п = 1,2,3,... для значений параметра Л удовлетворяющих условию

Л

Л<

т^К'

(15)

Л

Заметим. что радиус сходимости \ <—. ряда Неймана увеличивается с ростом

т4К0

П и резольвента Ви (г, я, Л) является непрерывной функцией, как сумма абсолютно

сходящегося ряда. Отметим, что при значениях параметра |Л| <—ряд Неймана

ту1К0

абсолютно сходится к непрерывной функции для любого (!) п = 1,2,3,....

Доказано, что построенная функция V(г, х) является элементом пространства Н(О) и обобщенным решением краевой задачи (2) -(4).

Решение задачи оптимизации. Обобщенное решение (6) подставляем в (5) после не сложных вычислений получим уравнение

0

0

0

0

|ап(о)и(о>О = Ап, п = 1,2,3,....

где

ап О) = Т

Бт

1

Лп (Т - о) + Л | Вп (Т, s, Л) вт Лп (5 -

гп(1);

(16)

Кп = 4 -Ъп

1

СОБ Лп.т + Л| В (Т, 5, Л) СОБ Лп

Л

1

ЛпТ + Л^Вп (Т, 5, Л) Бт Л^

(17)

Таким образом, искомое управление следует находить как решение системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Эту систему, введя обозначения

а(1) = (а^),..., ап^)...),

К = (А,,..., К,...)

перепишем в матричной форме

1

| а(1 )и(£^ = А.

о

Теперь исследуем разрешимость интегрального уравнения (18). Решение ищем в виде:

ад

и({) = а*(1)-а + р = ^ а (Оа + Р;

(18)

(19)

к=1

где а =

а

а

-неизвестный вектор, а -произвольне постоянное , символ * -знак

V... У

транспонирования.

Подставляя (19) в (18) получим бесконечномерную систему линейных неоднородных алгебраических уравнений вида :

(ах{г Я

ап V)

а

V-.. у

а

(ах{г Я

1

& +1

V-" У

ап Ц)

■Р& =

V■■■ у

(I Л

п

2

V ••• У

(20)

Введем бесконечномерную квадратную матрицу

о

(ах(г Я

Т Т

А = | а(1) ■ а($ = |

ап а)

V •••

т

(т т \

|(а^)■ а^))& ••• |(а^)■ а^))& •••

\(ап(г0 ■ ••• ¡(а„(^ ■ ап(Ш ...

и

Ч =

т

| а(1 =

Ч2

V ••• У

Систему линейных неоднородных алгебраических уравнений (20) перепишем в матричной форме

Аа = Н, Н(0) = к -Рч, (22)

Поскольку в системе (22) матрица А бесконечномерная, то при исследовании разрешимости системы (22) будем пользоваться вариационными методами, т.к. в этом случае методы решения конечномерных систем не пригодны. В этой связи ниже будем доказывать несколько утверждений:

Лемма 1. Вектор Н является элементом пространства /2.

Лемма 2. При любом ае /2 вектор Аа является элементом пространства /2.

Доказательства лемм проводится непосредственно вычислением и не представляет труда.

Лемма 3. Бесконечномерная матрица А является положительно определенной.

Доказательство. Пусть у е /2 -произвольный элемент. Тогда для скалярного

произведения в /2 имеет место неравенство

т т т

(Ау,у) = УАу = у*|а(г)йг у = §у*а(?)а*(?)уйг = [||а*(Г)у|| & > 0,

0 0 0

Откуда следует положительность матрицы А . Далее из равенства

2 ш || а(1)у\ = 0, ^(ак (Х)ук )2 = 0,

к=1

С учетом того, что функции ап (^), п = 1,2,3,••• являются линейно независимыми на отрезке [0, Т], равенства ак ^)ук = 0, выполняются тогда и только тогда когда все ук = 0, к = 1,2,3,•••. Следовательно, матрица А -является положительно определенной.

Теорема. Алгебраическая система (22) при каждом фиксированном Р имеет

0

единственное решение в простанстве /2.

Доказательство. В пространстве /2 определим оператор Б[а] = Аа, Б : /2 ^ /2. Тогда оператор Б[а] является положительно -определенным, что следует из Леммы 3, т.е.

, Б(а)) 1 = (а Аа) = X ааак > 0.

2 1,к=1

Оператор является линейным, т.е. для любых произвольных поятоянных С и С2 и произвольных векторов а(1) и а(2) пространства /2 имеет равенства

Б [ С а(1) + С2 а(2) ] = СДа(1)] + С2Б[а(2)]. Из линейности следует, что оператор Б[а] является взаимно -однозначным оператором. Следовательно, существует обратный оператор Б х[а], который согласно теороеме из функционального анадлиза [3] является ограниченным оператором, т.е. оценка

||Б_1[а]| < Б0 , Д > 0 -постоянная (23)

имеет место для любого вектора ае /2.

Таким образом, решение уравнения (22) определяется по формуле

а = Б 1[Н ] = Б 1[А + Рд] Это решение подставляя в (19) получим решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (18) в виде

и(г) = а\г) •а + Р = а* (г )Б- [А + Рд] + Р, (24)

где Р -произвольная постоянная.

Таким образом, устанолено, что интегральное уравнение (18) имеет бесконечно много решений вида (24), среди которых может быть искомое управление и °(г), минимизирующее функционал (1).

Далее, для определения управления и °(г) рассмотрим функционал

т т

3 [и(г, Р)] = | и2 (г, Р)йг = К а\г) Б\к + Рд] + р)2 Ж, (25)

0 о

и параметр Р находим как решение экстремальной задачи вида

Ф(Р) = 3 [и(г, Р)] ^ шт, Ре Я, (26)

Поскольку решается задача на безусловный экстремум, то для функции

т т

Ф(Р) = | и2 {г, РУН = а\г) Б 1 [А] + Р(1 + а\1 )Д-*[д]) ];

о о

применяя классический метод решения, находим сначала критическую точку из условия

т

Ф' (Р) = 21 [ а* (г [А] + Р(1 + а* (г) Б- [д])] (1 + а* (г )Б - [д]) Жг =

о

т т

= 21 а* (г [А] (1 + а* (г [д]) Ж +2 Р | (1 + а* (г) Б- [д])Ж = 0;

о о

т.е. критической точкой является

зо

т

*

т

'\ + а

о

Далее, из неравенства

\ а* (I) Б -1 [к](1 + а* (I )Б~'[д]) йг

т

1(1 + а* (г) Б ~1[д])*йг

3° = - *-т--(27)

т

Ф"(/) = 2|[а* (г)Б- [к] + /(1 + а* (г)Б- [д])] (1 + а*(г)Б1 [д])йг =

о

т

= 2^(1 + а*(г)Б1[д]) йг > 0;

Следует, что значение /0 является точкой минимума функции Ф(/), тогда для любого управления имеет место неравенство

3 [и(г, /0)] < 3 [и(г, /)]. Причем, равенсто имеет место лишь при / = . Таким образом, искомое управление и°(г) на котором функционал (1) принимает наименьшее возможное значение определяется по формуле

и0 (г) = а\г )Б 1 [к] + /\1 + а" (г )Б 1 [д ]). (28)

Теперь проверим, что найденное оптимальное управление и 0(г) является элементом гильбертового пространства Н(0,Т) квадратично суммируемых функций, т.е. является допустимум управлением. Это следует из неавенства

т т

С / 1Г,П „П п. \ 2

1|и0(г)|| я[0, ] = К и 0(г)) йг = \(а(г)Б1 [к] + /0(1 + а(г)Б1 [д ])) 2

' о о

< 2{Г|(а(г), Б 1 [к]}|2 + 2/02 (1 +1(а(г), Б 1 [д]

о ^ ^

т

< 2а(г)||2 , Б2 ||к||22 + 2/02 (1 +1|а(г)\\^ Б21\д\{ ))йг < ю,

о

которое имеет место в силу следующих соотношений: Заключение.

В заключение отметим, что полученные результаты может быть использованы на производстве, а также при разработке новых методов решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. Рассматриваемая задача оптимизации является не корректной, что следует из системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода, поэтому полученные результаты в частности разработанный алгоритм построения решения системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода представляет практический и теоретический интерес.

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами -М.: Наука, 1978.-500с.

2. Керимбеков А., Доулбекова С.Б. О разрешимости задачи нелинейной оптимизации колебательных процессов при появлении особых управлений // Вестник Евразийского национального университета имени Л.Н.Гумилева. Серия Математика. Компьютерные

науки. Механика, -2020, Т.132, №3. -С. 6-16.

3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.-М.: Наука, 1965.-520с.