CC BY
19г(о) = г'(о) = г(1) = 0, б) при р > 1
г(х)е С[0;1]п С2 (0;1), г(1) = 0, то существует решение задачи (2) - (6) при р ^ 1, X < 0 и оно имеет вид
1-p
y) = 2Cnx 2 Jp-1 (Vnx)e
-hn2-ЛУ
n=1
где C определяются по форму-
лам
C =
J2 , J p+1 \^n) 0
, 1 P+1
^J x 2 r(x)jp-i {pnx)ix .
\Mn ) 0 pT
Теорема 2. Если существует решение задачи (2) - (6) при р > 1 и X < 0, то оно единственно.
Список литературы
1. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области [Текст] / М.В. Келдыш // Доклады АН СССР. - 1951. - Т. 77, № 2.
2. Пулькин, С.П. Некоторые краевые задачи
P
для уравнения uxx ± u Н--Ux = 0 [Текст] / С.П.
x
Пулькин // Уч. зап. Куйбыш. пединститута., 1958, Вып. 21.
3. Сабитов, К.Б., Ильясов, Р.Р. Решение задачи Трикоми для уравнения с сингулярным коэффициентом спектральным методом [Текст] / К.Б. Сабитов, Р.Р. Ильясов // Изв. вузов. Матем. - 2004. - № 2.
4. Akimov A., Safin E., Agafonova A. On uniqueness generalized problem of Tricomi for the Chaplygin equation// International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017. Т. 115. № 4. С. 895-899.
5. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи [Текст] / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. -1999. - Т. 35, № 8.
6. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций [Текст] / Г.Н. Ватсон. - Ч.1.- М: ИЛ, 1949.
7. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. [Текст] / А. Зигмунд. - М: Мир, 1965.
8. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / Э. Камке. - М: ИЛ, 1949.
9. Акимов, А.А. О единственности решения задачи типа Неймана для уравнения Чаплыгина [Текст] / А.А. Акимов. - Вестник Московского государственного областного университета. 2013. № 4. С. 38.
да
2
2
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Наметкулова Ф.Д.
Канд. пед. наук, доцент, Наметкулова Р.Ж., Кадиримбетова А.К.
таршие преподаватели Таразский региональный университет им. М.Х. Дулати, г. Тараз, Республика Казахстан
SOLVABILITY OF A CLASS OF NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS
Nametkulova F.,
Candidate of Pedagogical Sciences Nametkulova R., Kadirimbetova A.
Teachers
Taraz State University named M.Kh. Dulati, Taraz, Kasakhstan
Аннотация
Исследованы вопросы однозначной разрешимости нелинейного интегрального уравнения специфического вида и указан алгоритм построения его решения. Установлены достаточные условия существования единственного решения.
Abstract
Were studied problems of the unique solvability of a nonlinear integral equation of a specific type and an algorithm for constructing a solution. We establish sufficient conditions for the existence of a unique solution.
Ключевые слова: Нелинейное интегральное уравнение, оптимальное управление, принцип сжимающих отображений, метод последовательных приближений.
Keywords: nonlinear integral equations, optimal control, the contraction mapping principle, the method of successive approximations.
При изучении задачи оптимального управле- достаточно изучены в теории интегральных уравнения процессами, описываемыми уравнениями в ний, т.е. не разработана методика решения инте-частных производных, в случаях, когда функция гральных уравнений, содержащих неизвестную внешнего источника нелинейно зависит от функ- функцию, как под интегралом, так и вне интеграла. ции управления, искомое оптимальное управление В данной работе рассматриваются вопросы одно-определяется как решение нелинейного интеграль- значной разрешимости одной из таких задачи. ного уравнения и удовлетворяет дополнительному Рассмотрим нелинейное интегральное уравне-условию в виде неравенства [1,2]. Такие задачи не- ние вида
Р, + £ ^)/ И / (т У,и Г У ^ (У ^ (х) = £ а* (г )кп2п (х) (1)
У" " У" п=1 0
fu (t, x u (t, x))
с дополнительным условием
^ u(t, x) ^
/и (*> х и(*,х))
V а, хх)) у
где и(г, х) неизвестная функция, /(г, х, и(г, х)) заданная функция,
т
О() = е(т-г) + Л/
> 0, (2)
G'Jt) = е-л»(т-*> + Ä\RJs,t,Ä)e-ßi(T-s)ds,
0
T
К =4-Vn(e-*T Rn(T,s,Ä)e-^ds),
Кп (/, .V, Я\ К (5, Л) известные функции, удовлетворяющие следующим оценкам
Т к
I % (', Л <,__ Ко ., о у 2Л2 -Щ4КГ )
t к (3)
\ ~ (t, Md ;
о у -\a4kt )
ги(х), П = 1,2,3,..., ортонормированная (в гильбертовом пространстве Н(0), О = (0,1)) система собственных функций краевой задачи
г"(х) + //г( х) = 0, г (0) = 0, т"(1) + (1) = 0, а Лп, П = 1,2,3,..., соответствующие им собственные значения, которые удовлетворяют следующим неравенствам
71
п(п-\)<Хп<-(1п-\\ п = 1,2,3,..., (4)
Л - параметр, постоянная ( > 0, Т - фиксированный момент времени.
Вопрос однозначной разрешимости нелинейного интегрального уравнения (1) исследуем согласно методике разработанной проф. Керимбековым А. [3]. Положим
и(г, х)
Р-^^-= Р(г, х) .
X(г, х и(1, х))
Согласно условию (2) это равенство разрешается относительно функции и(г, х), т.е. существует функция ((■) , такая что
и(г, х) = ((г, х, р(г, х), Р). (5)
Уравнение (1) перепишем в виде
ад Т 1 ад
р (г, х) + £ с; (г)/ Сп (г)/ /(т, у, (г, у, р (т, У), р))гп (у^т гп (х) = £ О* (г)Нягя (х)р. (6)
0 0 n=1
0
Введя обозначения
ш т 1
ад = °п (т){ /(т, уМт У p(т, у\ Р))гп (у)ауат2п (x),
П=1 0
да
(7)
h = h(i, x) = 2 )hnzn (x),
уравнение (6) перепишем в операторной форме
р = И + р]. (8)
Лемма-1: Функция р(Х, х) является элементом гильбертово пространства Н «т), т.е.
р(^ х) е Н(<).
Доказательство. Утверждение леммы следует из неравенства
Цр('. х)Н = \)рг (>. х) ЧхЛ = Р Я х)1 Н <Ш
0 0 0 0 /и (', х, и(1, х))
где М = 5ир 1 (t, х) е <.
/и x, и0, х))
Лемма-2: Функция И^, х) является элементом гильбертово пространства Н «т), т.е. Щ, х) е Н<
Доказательство. Утверждение леммы следует из неравенства
Т 12
TT TT f да у T да
JJh2(t,x)dxdt = J Jl 2G(t)hnzn(x) I dxdt = {£|g:(t)h„ J
<
0 0
<
T да
J2
0 n=1
(t-t)
0 0 V n=1
T
+
äJ Rn (s, t,\)e (T-s )ds
0 n=1
hl dt <
да
<
n=1
TT i2
J e"2ä (T-T)dt + Jä2 J R (s, t, Ä)ds J e(T-s )dsdt
00
h2 <
<
<
-2ä* (T -t) dt = . 1 132
2Ä
e-2\ (T-t)
T = —1 - e-2\ (T-t ))< J_ 0 2ä2 V 7 2ä2
<
22
1 2ä*
2
1 +
ä2 kt
Л
2Än —\Ä\-r
ä2 kt
hl < 2 1 \_fr
VK^JJ V w\-WVKT)
£(x)| H + %(x)
1 +
ä2 k 0t
11
+ -
\ 6
< да,
V V
которое устанавливается непосредственно вычислением. Лемма-3: Оператор С0[р] переводит пространство Н(< ) в себя. Доказательство. Непосредственным вычислением имеем соотношение
1
n
2
e
0
T
0
0
T
e
0
1
х
х
T If T 1
Я G02 [p] dxdt = JJ|JJ G(t, t, x, y)f (t, y )dydr
0 0 0 0 V 0 0
T 1 T 1 T 1
< J J J J G2 (t, t, x, y)dxdTj J f (r, y, p (•)dydrdxdt
dxdt <
<
0 0 0 0 T1
0 0
<JJ|£ G* (t )J Gn Tr)fn (u )dr Zn (x) dxdt <J£l G* (t )J Gn (r)fn (u )dr
n V /I n 1
0 0 V n = 1 0
n V /J n1
0 n=1V 0
<
<J£Gn2(t)JG2(t)drJ f2(uu)dTdt <J£G2(t)JG2(t)drdt\f (t,x,pQ)|2ff <
0 n = 1
0 n = 1
ад 1
<£ -< r
n=1 A,
1 +
A2 K0T
(VÄ-Щ4КТ )
llf (•)
H
<
f
<
1+
A K0T
(VÄ -Щ-Щ J
2A2 - A
1+^4 ^
VA Ж2 3 у
1 ш 1
A n=2 AnУ
<
1 +
A2 K 0T
(M J2
< ^
из которого следует утвеждение леммы.
Лемма-4: Пусть функция /(г, х, и(г, х)) удовлетворяет условию Липшица по функциональной переменной и, а функция ((г, х, р(г, х), Р) по функциональной переменной р . Тогда при выполнении условия
7 =
1 + -
A K0T
1
1 1 4
— + — —
VA ж 3 у
foP(ß) < 1,
ФЛ -\л\4кт )2
где / ,(0 (Р) - положительные постоянные, оператор о[р] = н + О0[р] является сжимающим. Доказательство. Утверждение леммы следует из соотношения
||ФЬ Со [р 0 ]|я =|Ь - С [р]-h + О0 [р0 ]|я < С [р0 ]|я <
<
'0
Л2
1 +
A K0T
¡fiÄ -\A\4KTf
X _14 AT
1
У
f [,p(t, p(t), p)]-f [•, p(t, p0 (t), p)\\
H
<
1 +
A2 K0T
V
1 1 4
—+—-
A4 ж 3
1
у
f)P0 (p) p(t, x)-p 0 (t, x)
H
Теорема. При выполнении условий Лемм 1-4 Решение операторного уравнения (8) строится
операторное уравнение (8) имеет единственное ре- методом последовательных приближений по следу-
шение в пространстве Н(^ ) . ющей схеме
Доказательство. При выполнении условий рп(г,х) = О[p;-l(г,х)]
лемм 1-4 имеет место принцип сжимающих и удовлетворяет оценке
отображений [4].
2
2
2
T
T
0
0
0
2
2
2
2
X
X
X
2
X
X
X
p0(t, x) - pn (t, x)| <
Yn
H
1 -Y
Go [h(t, x)J|
H
где p (t, x) = lim p (t, x) - точное решение
операторного уравнения (8).
Оптимальное управление находим по формуле
u0 (t, x) = р [ t, x, p (t, x), ß~\. Функция
u (t, x) является единственным решением нелинейного интегрального уравнения (1). Это решение, быть может, не всегда удовлетворяет условию (2). Поэтому f (t, x, u(t, x)) берется из класса функций удовлетворяющих условию (2).
Список литературы
1. Керимбеков А., Наметкулова Р.Ж. Решение задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, описываемым фредгольмово интегро-диф-ференциальным уравнением. // Вестник КРСУ, -2014, Т.14, №1. - С. 166-172.
2. Наметкулова Р.Ж. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, описываемого фредгольмово интегро-диф-ференциальным уравнением. // Вестник КРСУ, -2013, Т.13, №7. - С. 23-27.
3. Керимбеков А.К. Нелинейное оптимальное управление линейными системами с распределенными параметрами. -Дисс... докт. физ.-мат наук. Институт математики НАН КР. - Бишкек, 2003. -224с.
4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965.-520 с.
ДВИЖЕНИЯ БЛИЗКОГО ГРАВИТИРУЮЩЕГО ТЕЛА НА ОСНОВНОЙ ПЛОСКОСТИ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ СФЕРОИДА
Утенов Н.М.,
кандидат физико-математических наук, доцент
Рустемова К.Ж., кандидат физико-математических наук, доцент
Нурсейтов К.С., кандидат физико-математических наук, доцент
Сабалахова А.П. старший преподаватель Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова
GRAVITATIONAL BODY NEAR DESESTACIONALIZADO FIELD OF TRACTION OF A
SPHEROID
Utenov N.,
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
Rustemova K.,
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
Nurseitov K.,
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor
Sabalakhova A.
senior teacher
M. Auezov South Kazakhstan State University
Аннотация
При исследовании движения пассивно гравитирующей точки в нецентральном поле тяготения пользуются промежуточным потенциалом тяготения, который уже в первом приближении учитывает основные наиболее значительные неравенства в движении этой точки. Обычно, когда имеют дело с точкой постоянной массы, промежуточная орбита, который соответствует промежуточный потенциал, более точна и ближе к истинной орбите точки.
Дифференциальные уравнения движения гравитирующих тел в полной постановке задачи достаточно сложны и не интегрируются в замкнутой форме в квадратурах. Поэтому применяются различные приближенные методы интегрирования, в которых используются классические разложения в ряды по степеням эксцентриситета и тригонометрические ряды. В связи с этим проектирование орбит связано с анализом сотен, а иногда и тысяч траекторий, полученных численным интегрированием дифференциальных уравнений движения на ЭВМ. Решение поставленной проблемы связано с построением, так называемых невозмущенных или промежуточных орбит. Изложенный метод позволяет получить приближенное решение задачи орбитальных движений гравитирующего тела совместно с центром масс в поле тяготения сфероида,
как явные функции времени с точностью порядка, где (к4 ) - модуль эллиптического интеграла 1-го рода.
